I-a ^TCDES CBISTALl.OdRAl’IlIQUES

Dans le mode dodécaédral, la forme dominante est le dodécaèdre rhom- Itoidal t I lo j; la forme ocUiédrique n’occupe plus (pie le cinquième ranj;. J>cs grenats, la teiiiiantite doivent se rapporter au mode dodécm'-dral.

Quelquefois le cristal a des clivages octaédriques, et cependant sa forme dominante est le cube; exenqiles, le bismuth et le spath fluor; ces substances me paraissent devoir être rangées parmi les substances octaédrales.

Sjslèmc senaire.

r.’axesénaire est pris pour axe des s; son paramètre est égal à d. Les axes binaires de première espèce OG, OH {Jig. 2) sont pris pour axes d(*s ,v et des j; 01 est l'axe auxiliaire auquel se rapporte la caractéristique additionnelle : leurs paramètres sont n, a, a. La notation est à quatre caractéristiques. On a alors (formule 'jS),

S’ ighik) = A’ i' -+- A’.2cot’ U)-i 2’(oi 10).

Dans cette équation, changez S’ en 2’, supprimez le facteur i 2* (01 10), et posez, pour abréger,

(106) 2 cot’ U = A; vous aurez

( 1 07) 2 ’ (g/iili) = g-’ /i’ I* -f- P A.

[<e Tableau n° II a été calculé sur cette formule.

Pour les birhomboèdres de première espèce, on a

pour les birhomboèdres de deuxième e.spèce, on a

(g'érâiX) = 6g’-t- X’A.

.\insi les formes parallèles de première espèce doivent l’emportersur celles de deuxième espèce, quant à leur aptitude à se produire dans l’acte de la cristallisation, et quant à leur tendance à résulter du clivage. On choisira donc les axes binaires de première espèce, de manière à ce (ju’ils soient

parallMes aux formes doniiiiuntes; celle remarque lèvera l'ninlii^uité relative à la direction que l'on doit donner aux axes de première et de deuxième espèces, dans l'intérieur du cristal.

Parmi les formes obliquement placées par rapport à l’axe sénaire, la fonne dominante sera le birhomboèdre de première espèce jioi 1 j.

f)n déterminera l'angle U, soit par une mesure directe, soit indirectenienl parla mesure de l’angle que forment entre elles deux faces de |ioi 1 1.

On pourrait aussi déduire U, et par suite le rapport^» de la connaissance

de l’angle que fait une face oblique quelconque (ghik) avec le plan normal à l’axe sénaire; car la formule ( 50 ), appliquée à ce cas, donne

tang [(é'/uA), (0001)1 = ^ A.a ë ôi« Li ’

(io8)

2 cot’ U = ^

cot’|(5''/(iA), (oooi)j.

On adoptera d'une manière définitive le rapport-^) si l’ordre de prédominance théorique des diverses formes se trouve conforme à celui que l’observation directe d’un grand nombre d’échantillons aura fait découvrir.

•Fe citerai comme exemples :

i“. léapatite qui, d’après les observations de M. Descloizeaux, fournit les valeurs n= 1 , r/ = 0,735, d’oii A= 2,78.

I <es formes dominantes sont :

I.e pri.sme hexaèdre de première espèce ) 1010 1 (2’ =■• 2,00) ; c’est parallèlement à ces faces qu’a lieu le principal clivage ;

I -es troncatures terminales *0001 1 (2* = 2,78) ; faibles signes de clivage dans ce sens ;

Le birhomboèdre de première espèce j 1 o 1 1 j (2’ = ^>78) ;

Le prisme hexaèdre de deuxième espèce ji laoj (Z’ =(j,oo) ;

IjC birhomboèdre de deuxième esjièce (1 1 ai j (Z’ = 8,78) ;

Le birhomboèdre de première espèce 1 202 1 j (Z’ = 10,78) ;

I-c birhomboèdre de première espèce j loi 2) (z’ = 1 3 , 1 2) ;

Le prisme dodécaèdre j 2 1 3 o j (Z’ = t ;i,oo) ; ordinairement hémiédriipic;

Le didodécaèdre jai 3 ij (2’ = 16,78); hémiédrique ;

Rarement le birhomboèdre de deuxième espèce [i i2aj(2’= 17,1a).

Si une nouvelle forme venait à se montrer, on peut présumer que cette tiirme serait le birhomboèdre de première espèce j 3 o 3 i j.

a". L’émeraude, pour laquelle on admet généralement a =■ i , d =■ \ , d'oii a = i,5o. Ces valeurs expliquent le clivage qu’offre l’émeraude parallèlement à ses bases; mais la série des formes dominantes est plus exactement représentée par le système d’équations

les (ormes dominantes, rangées suivant les valeui-s de 2% sont alors | 1010 j, |oooij, jii2o|, [loiij, jiiaij, taoaij, |ai 3 o), série qui s’accorde assez exactement avec les rapports de fréquence qu'indique l’observation d’un grand nombre d’échantillons de cette espèce minérale.

Ici les indices tirés du clivage ne sont pas complètement d’accord avec l'eux déduits de la structure extérieure; on peut toutefois espérer que l’ambiguité qui en résulte pourra être levée, dans un état plus avancé de nos connaissances cristallographiques.

'{*. Le plomb phosphaté, le plomb arséniaté, la néphéline, la chlorite hexagonale.

4”. liC cuivre sulfuré, le cadmium sulfuré. Os deux substances sont remarquables par la [uédomiiiance des formes de première espèce, d’où résulte la coordination des faces en trois zones ayant pour axes les axes binaires de première espèce du système cristallin. Cette prédominance paraît devoir être attribuée à la jictitesse des valeurs de A. En effet :

Dans le cadmium sulfuré, a = 1, r/=i,63, A = 0,065,

2* t loi I j = 2,565, 2 ’ I 101 3 j = 2’ I loi 3 j = 7 , 085 ,

et pour le premier birhomboèdre de deuxième espèce, 2’ [ 1 121 | = 6,565.

Dans le cuivre sulfuré, n = 1 , d — \ ,708, A = 0 , 5 1 4 .

2’ I loi I j = 3,5i4, 2 ’ j 1012 j = 4i056, 2’ I ioi 3 1 = 6,626, et pour le premier birhomboèdre de deuxième espèce, 2 ’ I 1 1 2 1 j = 6 , 5 1 4 .

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. I 75

5 ”. ïiC quartz, l’un des minéraux dont la cristallisation offre le plus de particularités intéressantes, et que l’on a coutume de rapporter au système rhomboédrique. Malgré l’opinion dominante à cet égard, il me paraît pro- Iwlile que la symétrie de l’Assemblage moléculaire est séiiaire. Je reviendrai sur ce sujet en traitant de l’hémiédrie du quartz et des hémitropies auxquelles elle donne lieu.

6°. F.t probablement plusieurs autres substances que l'on range dans le système rhomboédrique, mais qui ne paraissent rhomboédriques que par un effet d’iiémiédric.

Système (fuatemaire, mode hexaddral.

I/axe quaternaire est pris pour axe des s; son paramètre est égal »d. F, es axes binaires de première espèce sont pris pour axes des x et des y\ leurs paramètres sont a, a. Dans la formule {76), cliangez S’ en ï’, divisez le second membre par 1 ' (100), et posez, pour abréger,

{ 1 09) cot* U = A;

vous aurez

(iio) 1 ' (gfik) = -h P ?!..

moitié supérieure du Tableau n“ III a été calculée sur cette formule.

I,es birliomboèdres du système sénaire sont ici remplacés par des octaèdres qui peuvent être de première espèce, si leurs faces sont parallèles aux axes binaires de première espèce, ou de deuxième espèce, si elles sont parallèles aux axes de deuxième espèce.

I,e symbole général des octaèdres de première espèce est jg’oA'l; le prisme { 1 j en est un cas particulier.

Le symbole général des octaèdres de deuxième espèce est | ggk ] ; le prisme 1 1 1 o | en est un cas particulier.

Pour les octaèdres de première espèce, on aura donc

(gok) = g* P y,

et pour les octaèdres de deuxième espèce,

ies^) = 2 g-’ -f- A’ A.

I 7^ ÉTUDES CniSTAU-OGHAPHlQUES.

Ainsi les formes de première espèce sont les formes dominantes; cette circonstance servira à fixer la position des axes liinaires de première espère.

Panni les formes obliquement placées, j»ar rapport à l’axe quaternaire, la Idrme dominante sera l'octaèdre j i () i j.

( )n déterminera par une mesure directe, ou indirectement jiar la mesure «le l'anple que forment entre elles deux faces de | loi l'inclinaison IJ de la face (loi) sur la face (ooi).

(Connaissant IJ, on aura facilement le rapport

l/idocrase, le mésotype, le plomli molybdaté me paraissent appartenir an mode liexaéilral. *

Sjstèine quaternaire, mode oclaédrat.

Ce mode dérive du précédent par le centraj'C des prismes droits en leur «entre «le fi;;ure.

Klevez au «-arré les «'-quations (8i) et (82), cliangez-y S’ en 2", remplacez 1 ' {g/ik) par sa valeur tirée de (1 10), et multipliez les seconds membres par 4; vous aurez

(fS k, k = 2 j -h X — g — fl) = fi (g' -h /«’ ■+■ P A).

lia premièi-e de ces deux formules peut remplacer la seconde, si l'on sousentend que, dans le cas où la relation

n’aurait p.as lieu , on l’établirait en doublant les trois caractéristiques g, ft, k. La moitié inférieure du Tableau n” III a été calculée sur la f«)rmiile (1 1 1). Dans les formes prismatiques parallèles à l’axe principal , c’est le prisme de deuxième espèce 1 iio| qui doit dominer: au contraire, pîtrmi les fonues inclinées à l’axe quaternaire, c’est l’octaèdre de première espè«’c } loi I «pii sera la forme principale. On voit que dans le mode octaédral, la combinaison dominante sera le prisme ! i 1 o | terminé par les pointements octaédriques j loi j qui alterneront avec les fac«'s du prisme. Dans le mode liexaédral, au contraire, la combinaison dominante sera le prisme droit ! io«);

imini de scs bases |ooi j. Cette circonstance pourra servir à distinguer les deux modes l’iin de l'autre.

Si l’on adopte le mode octaédral, les axes binaires de première espèce ilevront être placés parallèlement aux faces de l’octaèdre } loi |.

Si, le cristal étant rapporté à ses axes binaires de première espèce, on veut le rapporter à ses axes binaires de deuxième espèce, ou vice versa, si l’on veut passer des axes de deuxième espèce aux axes de première espère, on changera les notations des faces en remplaçant {ghk) par (g' -+-/<, g — h, k).

Dans le mode octaédral rapporté à ses axes binaires de première espèce, les formes à somme algébrique des caractéristiques divisible par 2 sont plus fréquentes que les formes à somme impaire; c’est l’inverse dans le mode hexaédral.

fj’apopliyllite, le rutile, le zircon me paraissent devoir être rangés parmi les cristaux du mode quaternaire octaédral.

Système ternaire.

L’axe ternaire est pris pour axe des s; son paramètre est égal à d. Les axes binaires OG, OH, 01 {Jig. 2) sont pris pour axe des x, pour axe des )• et pour axe auxiliaire; leurs paramètres sont a, a, a. La notation est à quatre caractéristicpies .

Dans le système ternaire, il ne peut y avoir aucun doute sur la position des trois axes coordonnés du plan des xy, attendu qu’il n’y a point d’axes binaires de deuxième espèce : les intersections des trois plans de symétrie avec le plan des.ej les remplacent. I,a symétrie extérieure du cristal indiquera toujours sans ambiguité comment sont placés les axes binaires, comment sont placés les plans de symétrie.

Un .'Vssemblage ternaire peut être considéré comme dérivant d’un .Assemblage sénaire trois fois moins riehe en Sommets (Mémoire sur les Systèmes de points, page y 3 ). De cet Assemblage sénaire faisons naître un .Assemblage à forme rhomboédrique directe, c’est-à-dire dont le rhomboèdre générateur ait pour symbole} oi 1 1 alors, rétablissons dans les équations (gb) et (97) la caractéristique i, élevons-les au carré, ehangeons-y S’ en î’, rempla- <;ons ï'(ghik) par sa valeur tirée de ( 107), et enfin multiplions les seconds XX.rin Cahier. a3

membres jiar 9 ; nous aurons

(lia) 2 ,’ (f, b = 3 y — -H A) = s' - 4 - /*’ +- i' -+■

La première de ces équations comprend la seconde comme cas particulier, si l’on sous-entend que, dans le cas où la relation /• = 3 y — g -H n'aurait pas lieu, on l’établirait en multipliant par 3 les quatre caractéristiques g, A, /, k.

I,a moitié supérieure «lu Tableau n“ IV a été calculée d'après l’équation (lia), qui suj)pose que la face (0111) appartient au rhomboèdre générateur de l’Assemblage.

Mais si r.\ssemblage ternaire était de forme rliumboédriquc inverse, c’*;st-à-dire si la Ibrme j 101 1 1 représentait le rhomboèdre générateur, on aurait nîcours aux é«]uations {98) et {99), d'où l'on déduirait facilement

La moitié inférieure du Tableau n" IV est calculée sur cette formule.

Pour l’intelligence du Tableau n" IV, il convient de se rappeler la remartpie déjà faite à la page la-i (ligne 3 ), d’après laipielle il est toujours permis de supposer, dans le symbole j §■/«/■ | de la forme cristalline, que les deux premières caractéristiques g, h sont positives, ainsi «jue la dernière A; alors, avec les caractéristiques g. A, t, k on ne peut obtenir que les deux formes distinctes IgArAj, |Ag/A(, et même ces deux formes se confondent en une .seule, 1° si l’on a A = g, a" si l’on a A = o.

Parmi les formes oblitjuement placées par rapport à l’axe sénaire, la forme dominante est le rhomboèdre générateur de l’Assemblage. Presque toujours cette forme bien développée caractérise le système ternaire. Lorsqu’elle aura été reconnue tians le cristal soumis à notre examen, nous prendrons arbitrairement l’un des trois axes binaires pour axe des x, et nous placerons le cristal de sorte que son axe ternaire soit vertical, le demiaxe des X positives étant dirigé de la gauche à la droite, et celle des trois faces du pointement supérieur qui est parallèle à l’axe des x étant tournée

ÉTUDES- CRISTALLOCRAPHIQUES. I 79

vers le spectateur; cette face recevra la notatinn (oi 1 1), et fixera la position du deini-axe des y positives, conformément aux conventions de la page lU-i.

Si l’on ne prenait pas les précautions que je viens d’indiquer, on pourrait tomber sur la forme rhomboédriquc inverse; mais je siq>poserai toujours que le cristal est ainsi placé, que la face (oi i i) appartienne au rhomboèdre générateur, et soit orientée d'après les conventions précédentes.

On déterminera, soit par une mesure directe, soit indirectement, l’inclinaison U de la face (oui) sur la face (oooi), et l’on aura, comme dans le système sénaire,

A = acot’ ü =

f)n vériliera cette valeur de A par d’autres mesures gonioniétriques, et au moyen de la formule (io8) mise sous la forme

tang’ (igA/X-, oooO

Les trois fonnes riominantes du système ternaire sont joooi ;, |oi i i j,

1 1 lao!.

Lorstpie A est compris entre o et 0,2 5 , les faces j 0001 1 sont celles de densité iiiaxinium, et c’est normalement à l’axe ternaire que le clivage doit avoir lieu. (Je cas se présente pour tous les rhomboèdres dont l'angle dièdre principal est compris entre o" et 70“ 3 a', c’est-à-dire pour les rhomboèdres plus aigus que le tétraèdre régulier, par exemple pour le rhomboèdre de la craitonite.

Loreque A est compris entre o,a 5 et .J, les faces de densité ma.ximum sont les faces du rhomboèdre générateur, et c’est parallèlement à ces faces que le clivage doit avoir lieu. Ce cas se présente pour tous les rhomboèdres dont l’angle dièdre principal est compris entre 70” 3 a' et 1 ao°, c’est-à-dire pour les rhomboèdres à sommets principaux moins aigus que ceux du tétraèdre régulier, et moins obtus que les angles trièdres du dodécaèdre rhomboidal, c’est-à-dire pour la grande majorité des cristaux rhomboédri-

I 8o ÉTUDES CBISTALLOGRATHIQUES.

<]ues connus. Aussi, dans le système ternaire, le clivage principal donne-t-il |)rcsque toujours un noyau rliomlmédrique.

Kniùi, lorsque l’on a A > Pt q'*P le rhomboèdre générateur est plus obtus que celui de lao degrés (tourmaline par exemple), la forme dominante est le prisme hexaèdre de deuxième espèce J 1 1 aoj (prisme tangent aux arêtes latérales du rhomboèdre); mais comme cette forme est ouverte, elle n’exclut pas la forme toi 1 1 j. Il en serait de même dans le cas de A < o,a'j; la forme joooi |, étant une forme ouverte, n’exclurait pas joi i 1 1; de sorte rpie l’on peut dire, en thèse générale, que « dans tout cristal ternaire, les « faces du rhomboèdre générateur doivent théoriijnemenl faire partie du sys- « tème général des faces efféctives du cristal. »

l.e système ternaire, à cause de la facilité avec laquelle il laisse déterminer va forme jirimitive, est très-favorable à la recherche des rapports qui existent entre la densité réticulaire des faces et leur tendance à limiter extérieurement le cristal .

.Si l’on avait pris, avec M. Miller, les trois arêtes du rhomboèdre générateur pour axes coordonnés, on trouverait facilement, par les méthodes de transfonnation de la page i a 3 , la formule suivante,

( 1 . 4 ) 2 ’ {ghk) = (A- 4 )« + ( ^ - A-)« -h (/. - gy (^r h ^ uy A.

Le 'Fableau n“ V est construit sut celte dernière formule.

Abaques des systèmes sénuire, quaternaire et ternaire. — Dans ces trois systèmes cristallins, la densité réticulaire d’une face {{^hk) ou (gbik) dépend de la seule indéterminée A, que l’on pourrait appeler le module du système, et l’on a

t' {ghk ou ghik) = F -t- / a,

F et /'étant des fonctions entières des caractéristiques numériques g, h, i, k. Si donc l’on trace sur un plan { fig. 7) une série de droites dont les équations en coordonnées linéaires v, A soient

U = F" -+- A, etc. ,

ÉTUUES CHISTALLOUKAPHIQUF.S. iSl

(F, y), (F', y'), (F*, y") étant les différents systèmes de valeurs que fournit, pour les diverses formes cristallines, réquation

ou ghik ) = F -t-yA,

et si l’on affecte à chacune de ces droites la notation de la forme cristalline eorri-spondante, on aura construit un almque du mode cristallin considéré.

lia Jig. 7 représente un pareil abaque pour le système sénaire, et l'on pourrait en construire d'analogues pour le mode quaternaire hexaédral, poulie mode quaternaire octacdral et pour le système ternaire.

L’usage de cet abaque est le suivant: soient A„, A,, A,,. . ., les valeurs particulières du module A pour les diverses espèces minérales K„, K,, K,,..., du système sénaire. Parallèlement à l'axe des ordonnées v, trace-/, les droites

Pour l'espèce minérale E,, la manière dont se succèdent les intersections de la droite A = A, avec chacune des droites reprt^ntatives des formes \gf(ik\ fera connaître l'ordre théorique de la fréquence relative de ces formes et celui de leur facilité au clivage. Il en sera de même pour les autres esptxes minérales du même système. On a tracé, en effet, sur l’abaque les lignes verticales correspondant à un certain nombre de ces espèces.

Système, terbinaire, mode hexaédral rectangle.

Les trois axes binaires, complètement déterminés de position par la symétrie extérieure du cristal, sont pris pour axes des .r, des v et des r; les trois paramètres sont a, A et d\ l’axe des z continue à être placé- verticalement.

On a alors, en faisant, pour abréger, dans la formule {74)1 ( 1 1 5 ) tang’ U = P = A, tang’ V = ^’ = a',

S’ (ghk) = {g^ a' -(-/(’ a -t- X-’) S‘ {00 1 ).

Dans cette équation, changez S' en 2 ’, divisez le second membre pur

I’(ooi); il viendra (1 i(5)

I«T première partie du Tableau n" ^ I est calculée d’aprè.s cette luriiiule.

Pour détenniiier A et a', on examinera les formes dominantes appartenant à la zone dont l'expression générale est }o/(A j, ainsi que les formes dominantes des zones dont l’expression générale est îg’oA-j ou i^'^'o!.

Dans la zoile |o/iAj, après les formes joioj et jooi |, vient la forme ;oi i (jui pourra servir à déterminer le rapport b : d.

On traitera de même les zones jg'oAj et \gbo\. Les trois rapports h-.d, n ; d, a : h, devront satisfaire à l’équation de condition,

ha a

Parmi les formes fermées, la plus fréquente doit être la forme jii lî; on peut aussi l’employer à la détermination des rapports des paramètres.

I.a forme de plus facile clivage devra être 1 1 ooj, joio| ou |ooi j.

I,a bournonitc, le péridot, paraissent appartenir à ce mode, l’ini des moins riebes de ce système cristallin.

Sj'stéme terbinaire, mode hexaédral rhombique.

Ce mode dérive du précédent, par le centrage des liases rectangulaires des prismes droits qui composent r.\s.semblage liexaédral.

Élevez au carré les équations (83) et (8 î), cbangez-y S" en 2’, remplacez 2’ (ghk) par sa valeur tirée de (i i6), et multipliez les seconds membres |)ar 4 ; vous aurez

(I 17 ) 2 ^'g’, A = ay — g, Ai = ^'’A'-+-/i’A-t- X’,

ijH première de ces deux formules embrasse la seconde, si l'on sous-entend

que, dans le cas où la relation

ne serait pas satisfaite, on devrait multiplier g, A, A par le nombre 2 .

ÉTUDES CRISTAI.l-OCRAEHIQUES. (83

[«1 formule (i 17) a servi à calculer la deuxième partie du Tableau n° VI.

Les formes dominantes sont, en générsd, jooil et ji io|; leur combinaison donne un cristal en forme de prisme droit ayant pour base un rhombe semblable à la base du prisme générateur.

Lorsque les formes jooi j, j i loj .se combinent avec celle des tleiix formes [looj, loio| dont l’aire élémentaire est la plus petite, c’est-à-dire avec la forme parallèle à la petite diagonale du rliombe de la base, la combinaison donne un prisme à six faces latérales, ayant pour base sur le plan des .rj" l’hexagone .ABB'A'C'C de la fig. 6. Si f angle C.\B diffère [jeu de lao degrés, ce [jrisme aura l’apparence du [jrisme hexaèdre régulier du système sénaire. Plusieurs substances minérales présentent assez fréquemment celte disposition.

La topaze, la cimophane me paraissent devoir appartenir à ce mode, l'un des plus riches en espèces minéi'ales parmi les quatre modes que renferme le système tcrbinaire.

J’ai siqjposé que l’on avait centré les faces parallèles au plan des xy. Si le centrage avait porté sur les faces parallèles aux xz ou aux yz, on aurait eu

("9) -AU'- k = = a' -(- /P A-f- /L

I.,e [jliis souvent la structure extérieure dénotera sur lequel des trois plans doit être placée la Ixise rhombe.

Dans le d«utc, après avoir attribué à a, b, d leurs valeurs supposées, et affecté à chaque face sa notation symbolique, on séparera la série des formes observées en deux groupes, de trois manières différentes: 1“ en coupant la série en deux, d’après les valeurs [laire ou impaire de g-\-h\ a® en coupant la série, d'après les valeurs paire ou impaire de g->rk\ 3 ® en coupant la série, d’après les valeurs paire ou imjjaire de A -H k. La coupe qui séparera la série en deux groupes les [dus inégaux possibles avec prédominance des formes à sommes paires indiquera sur lequel des trois [jlans coordonnés doit être placée la base rhombe de la forme primitive.

ÉTUDES CRISTAI.LOGRAPHIQUES.

Sjrslème icrbinaire, mode octacdral rectangle.

O mode dérive du mode hexaédral rectangle par le centrage des prismes droits rectangulaires en leur centre de figure.

Klevez au carré les équations (8i) et (8a), eliangez-y S’ en 2 ’, remplacez i’ {ghk) par sa valeur déduite de (i iG), et multipliez les seconds membres par 4; vous aurez, comme dans le cas du mode quaternaire octaédral,

( I I y) i’ i g. II, k = y — g — h\ = g’ h' /<» A -4-

il est sous-entendu que, si la somme g' -4- /t k était impaire, on devrait multiplier g, h et k par le nombre a.

On a cali'ulé, d’après cette formule, la troisième partie du Tableau n° VI,

liCs formes j i io|, j loi 1, joi i i sont les formes dominantes du mode octaédral rectangle.

f^a combinaison de deux de ces formes suffit pour clore le cristal sous la figun* d’un octaèdre droit à base rectangle, ce qui parait être l’aspect le plus habituel des cristaux peu chargés de faces de ce mode cristallin.

Si les trois formes coexistaient, il se produirait un dodécaèdre rhomboidal, analogue au dodécaèdre rhomboidal du système terquaternaire, mais avec faces inégalement inclinées sur les axes.

Assez souvent celle des trois formes j i lo*, | loi {, joi i j, qui est parallèle à l’axe de paramètre maximum, se trouve exclue de la combinaison, et remplacée parcelle des trois formes | ioo|, joioi, jooijqui est normale à cet axe; d’où résulte un octaèdre à base rectangulaire, tronqué parallèlement à cette base.

\insi, dans le cuivre chloruré, où l’on a

0 = 1, /.> = o,883, d=\,3iy,

le cristal est souvent une combinaison des trois formes | loi ', joi 1 1, jooi j, qui sont, avec | 1 1 o j, les formes les plus fréquentes de celte espèce minérale.

Outre le cuivre chloruré, on doit citer comme appartenant à ce mode, le cuivre phosphaté, le cuivre arséniaté octaédral, et peut-é’tre aussi l’arragoiiite.

KTUDES CBISTALLCHiRAPHKjUES.

iS^i

Sjstème turbinaire, huhU oclaéJral rhoinbique.

Cl' tleruier mode du système terbinaire dérive du mode hexaédral à base rectangle, par le centrage des six faces de scs prismes générateurs.

On traitera les équations (g 3 ) et (9,4) de la même manière que lorsqu’il s’est agi du mode terquaternaire octaédral ; on remplacera 2 ’ ( ghfc ) par sa valeur tirée de l’équation (1 16), et, après avoir multiplié les seconds membres par 1 6, on trouvera

(120) l}{g,h = ij — g, X =a/— =

Dans le cas oti l’une quelconque des deux équations de condition h:^ij — g, k = -ij'—g,

ne serait pas satisfaite, un multiplierait g, h et k par le nombre a.

On trouvera les aires des parallélogrammes générateurs des principales Ibrmes de ce mode inscrites dans le dernier quadrant du 'Fableau n“ VI; elles sont calculées par la formule (120).

I.a» forme dominante est 1 1 1 1 |; elle peut à elle seule clore le cristal, et lui donner la forme d'un octaèdre droit à base rhombe, quel que soit celui des trois axes que l’on place dans la position verticale.

(ict octaèdre pourra être tronqué sur 2, 4 ou 6 de scs sommets par les formes j 100 j, }oioj, jooi j. Lorsqu’il existera quatre troncatures pareilles, et que les laces de troncature .se rencontreront, le cristal offrira l’aspect d’un prisme rectangulaire surmonté par des pointements à quatre faces qui altei-neront avec les faces du prisme.

r.>a forme | > 1 1 1 suffit à la détermination des rapports des paramètres rt, b, d.

Le soufre natif, le silicate de magnésie hydraté (villarsite de .M. Dufrénoy), la fluélitc et la scorodite (*) paraissent appartenir à ce mode cristallin.

Kn adoptant pour les paramètres des axes de la scorodite les valeurs a=rl, &=: 0,869, 0,958,

on trouve pour ses principales formes les symboles { 1 1 1 j j | ji |oio|, ji lo j, 1 2 io j, |o 2 i | ri 1 1 ta I ; ces formes sont rangées suivant Tordre de leurs densités réticulaires décroissantes.

XXXff* Cahier, i4

KTl/DES CRISTALI.OGRAPHigrKS.

Système binaire, moile hexaédral.

fi’axe binaire est pris pour axe des z et placé verticalement; son paramètre est égal à d. Les deux Rangées conjuguées OG, OH {Jig. i), parallèles à deux des côtés du triangle principal OGI' du Réseau normal à l’axe binaire, sont prises pour axes des x et des r» et sont assemblées entre elles de manière à former un angle obtus ; la Rangée diagonale OI est prise pour axe auxiliaire; les paramètres de ces axes sont

<i = OG, ô = OH, c=01,

et satisfont aux conditions exprimées par la formule (ao). I,es notations sont à quatre caractéristiques. On a alors, en posant dans l’équation (71)

(lai) lang’U = A, tang’ V = a', tang'W^A*,

(1 aa) S’ {ghUi) = ( — /«a — a' — gh}^ -f- A’) S’ (0001) ;

changeant S’ en 2’ et supprimant le facteur 2’ (0001), on trouve (ia3) 2’ — gt^' — g^'èi" ■+- A’ :

les nombres A, a', a" sont assujettis à l'inégalité A < a' < a".

On comnieucera par la détermination des rap|)orts des trois paramètres a, b, c. Pour cela, on observera les formes dominantes dans la zone verticale dont le symbole général est \ghio et qui a l’axe binaiie du système pour son axe de zone.

(ies formes peuvent se diviser en trois groupes : i". Les formes j 01 10 ), j 1010 {, j 1 100 {; a°. Les formes | a 1 1 o |, j i a 1 o }, | 1 1 ao !;

3”. Les formes de position indéterminée |g-/(foj.

On aura

2 ’joiioj = A, 2 ’jioioj = A', 2 ’ j 1 100 I = a",

2’ja7roj = — X-i-al'-t-aV', 2* j laio} = ai- X' + a).", 2* 1 1 lâo j = a X -t- ai — 1";

il importe de remarquer que A, a', A"^sont proportionnels à OG , OU , OI

frUUES CRISTALLOURAPHlgrES.

(fig. i). Pt, comme le triangle OGl' est le triangle principal du Réseau, on a

Ainsi les trois formes j loio j, j i loo [, j oi lo j sont les formes dominantes de la zone. De leur combinaison résulte un prisme hexaèdre irrégulier, parallèle à l’axe binaire. Les suppléments des angles dièdres des faces contiguës deux à deux sont les angles O, G, 1' du triangle principal CXîl'; les rapports de leurs sinus donneront les rapports des paramètres

Après avoir résolu cette première partie du problème, il faudra chercher le paramètre rf; pour cela, on observera les pointeinents ou biseaux qui terminent le cristal vers chacune des extrémités de l'axe binaire. Les formes dominantes seront encore ici des fonnes parallèles aux axes coordonnés, et ayant pour symboles \obbl, \, Ig-^o^j. Les principales seront

j 01 I I !, I lOI I i, 1 1 loi I ; dans le cas où ces trois formes sont librement

développées, elles forment vers chacun des deux sommets du crisUal un

pointement à six faces surmontant le prisme hexaèdre irrégulier joiio;, ; loio I, j I ioo|.

Après avoir mesuré rinelinaison de ees faces sur ) oooi | qui est la base supérieure du cristal, on déterminera d au moyen de la formule (49)*

Je prendrai comme exemple l’cpidote, décrit dans le tome III de la Minéralogie de M. Üufrénoy et figuré à la PI. CIAl , fig. 54, de l’Atlas de cet ouvrage.

La face M est la face de symbole (oi lo), parallèle à l’axe des ,c;

La face g' est la face ( i o i o) , parallèle à l'axe des y,

I.a face T est la face (i loo), parallèle à l'axe auxiliaire.

L’observation donne

Inclinaison de T sur g' = i ay" 3y',

Inclinaison de T sur M = 1 1 5" 4 ' \

Inclinaison de M sur g' = 1 1 4° 4<>^-

Suivant la méthode exposée à la pagç i45, prenons pour unité le dia-

|88 KTUDES CRISTALI.Or.RAPHIQUES.

mètre du cercle circonscrit au triangle principal du Réseau du plan z = o : alors a, b, c seront égaux aux sinus des angles opposés, et nous aurons

« = sin 1 29°39' = 0,7700,

A = sin 1 =o>9o*a, c = sin I i 4 “ 4 o' = 0,9087,

S(oooi) = aésin (a:, y) = abc = o,63oC.

Nous aurons ensuite

face P (figure citée) = (0001),

face c' = (01 1 1), c* sur P = U = i48°37',

face e' = ( 1 0 1 1 ), e' sur P = V = 1 45 * 6',

fece = ( 1 101 ), ft'surP = \V= i 45 * 3 '.

Nous en conclurons, par les formules (45) et ( 49 ),

d = — abc " = o, 5 oo,

d= — abc = 0 , 488 , d= — abc — = 0,485,

et, en prenant la moyenne arithmétique de ces valeurs,

Rn déterminant alors A, A', A* par les formules (121), nous trouverons

A = 0, 35 g, a'= 0,492, a"'=o, 5 oi.

Si l’on calcule avec ces nombres et la formule (1 a 3 ) les aires des parallélogrammes générateurs des formes que produit la cristallisation de l'épidote, si l'on range ces formes d'après les valeurs croissante de ces aire, et si l’on compare la série ainsi obtenue avec celle qui exprime leur fréquence relative, on trouvera une concordance très-satisfaisante entre ce deux série.

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQl'KS.

Sj'stème binaire , mode octacdral.

Ce mode dérive du précédent (*) en centrant les rectangles des liices parallèles à la forme (oi io|, ou à la forme jioioj, ou à la forme |t looj. l/axe binaire est pris pour axe des z. Nous avons, sur le plan des .rj, trois axes coordonnés, l’axe des x, l’axe des j et l’axe auxiliaire, prolongement de la résultante géométricjue des deux autres axes.

Je supposerai que l’on ait centré les faces parallèles aux xz.

Dans l’équation (86), changez S’ en 2’, ajoutez la quatrième caractéristique t, remplacez 2* {ghik) par sa valeur tirée de l’équation (laS), enfin multipliez le second membre par 4; vous aurez

(ia4) l\.(g, h, i, k = ^j—g) = — hiX — gi>: — gh>r + k\

Dans le cas où la relation

n’aurait pas lieu, on multiplierait g, h, i, k par le nombre a, et cette convention dispenserait de recourir à l’éqtiation (85).

Si l’on avait centré les faces verticales parallèles au plan des jz, on aurait eu de même

(i a5) 2 J, (g, /t, I, k = ij — h) = — /i/A — gi?\ — gh )^ /•’.

Enfin, si l’on avait centré les faces verticales parallèles à l’axe auxiliaire, en appelant toujours t (voyez page 1 19) les ordonnées parallèles à cet axe, on aurait eu

( I afi) 2’, (g, k, i, k = — i) = — hi A — gi a' — gh a" -t- A’.

^lais revenons à l’équation (i a4) et au cas d’un centrage parallèle aux xz. Dans la zone verticale des faces désignées par le symbole \gftio j où les caractéristiques A et i sont considérées comme variables, on a

2 ’joiioj = A, 2’ ! 1010 j = 4 a', 2 ’ t i 100 j = 4 a",

2 ’jatio| = — AH- 3A'-(-2A*',

2’ j lIâot = 8A-^8A' — 4 a’, 2V| i2ioj = 8 a— 4a'-+-8a\

(*) Memoirr sur les Systèmes de points, page 97.

Dans la .série d«?s formes normales ou obliques à l’axe binaire, et pour lesquelles la caractéristique k est égale à i , on a

I loi I ! = / -H I , I’ I I loi I = 1 ,

ï’;onii = 4 A-+- 1,

i’îiiai! = aA-t-aA' — A* -1-1, i’(iaiil=aA — a'-i-‘aA"-^i,

(In voit que le cristal sera une combinaison de la forme verticale j 01 10 1 avec les formes obliques j loi i j, j 1 101 1; que la forme verticale j ai 10 | iiaiti’a sur l’ai'ète qui sépare les faces (1010), (1100) et tendra à les faire disparaître; enfin, que les formes dominantes dans les jiointements qui termineront les deux extrémités de l’axe des z seront en général alternes avec les formes qui tlomineront dans la zone parallèle à l’axe binaire. Cette alternance produira tout autour de l’axe binaire des endentements de faces, et des arêtes de rencontre obliques au plan de syTiiétrie du cristal, tandis que, dans le mode liexaédral, les arêtes de rencontre sont ordinairement parallèles an plan fie symétrie et par eonsf’quent horizontales; c’est là un des meilleuis caractères pour reconnaître, sauvent à première vue et avant tout calcul, auquel des deux modes du système binaire appartient le cristal.

I.e cristal le plus .simple |>ossible est celui produit par la combinaison de |oi loi avec celle îles deux formes j loi 1 |, } i 101 î dont l’aire du parallélogramme générateur est la plus petite, soit la forme | toi 1 |; c’est un prisme dont l’axe géométrique est horizontal, qui a pour bases deux rhombes verticaux, et pour faces latérales ipiatre parallélogrammes parallèles au côté moyen du triangle principal du Réseau du plan des xy. ( hi y reconnaît facilement le prisme rhomlroïdal oblique des minéralogistes, placé dans une position qui difR-re de 90 degrés de celle qu’on lui assigne habituellement.

L’ordre de prédominance des lormes ne sera plus le même, si l'on centiv les liices (i 100) parallèles à l’axe auxiliaire. On a alors, en se bornant aux

ÉTUDES CRISTALr.Or.BAPHIQlîES. I9I

formes les plus simples,

2’(oiÏo) = 4a, 2’ (ioio) = 4a', 2’(rioo) =a",

2 ’ (oïl l) = A -i- 1 , 2 ’ (loi l) = A'h- I, 2 ’ (l loi) = 4 a" - 4 - 4 -

Les formes joi 1 1 1 , j loi i j et j i loo | tendent à prédominer et à figurer im octaèdre droit ayant pour base un parallélogramme dont les deux angles aigus seront coupés par des plans normaux à cette base, cl |>arallèles à la petite diagonale du parallélogramme ; il pouira même arriver que l’octaèdre se présente sans aucune troncature latérale.

Enfin, dans le cas où l’on centrerait les rectangles des faces (loio) parallèles à l’axe des y, c’est-à-dire, à l’axe de jjaramètre moyen sur le plan des xy, on obtiendrait les valeurs suivantes :

2 ’ (01 10) = 4^1 2 ’{ioio) = A', 2 ’ (i ioo) = 4 a",

dans ce cas, l’aspect extérieur se rapprochera soit de celui des cristaux où le prisme rhomboidal oblique domine, soit de celui des cristaux dans lequel c’est l’octaèdre droit à base parallélogrammique, selon que la valeur de a' sera plus rapprochée de celle de A, ou de celle de x".

IjCs paramètres a, b, c, d se détermineront de même que dans h^s cristaux du mode hexaédral, comme si deux des quatre faces latérales du parallélipipède générateur n’avaient point été centrées.

Les espèces cristallines que je crois pouvoir signaler à l’attention des minéralogistes comme devant se rapporter au mode binaire octaédral sont l'orthose, la chaux sulfatée, l'amphibole, l’euclase, etc. L’ampliibole et l’euclase paraissent offrir les indices du centrage sur le plan (iioo);j’ai expliqué dans mon Mémoire sur les Systèmes de points que ce cas a lieu

I (p. ÉTUDES CUISTALl.CMiHAPIlIQL'ES.

lorsque le Réseau (iu plan s = i se projett«- sur les milieux des jjaramètres Idniiant les grands côtés des triangles principaux du Réseau du plan z = o.

Système asymétrique.

Il est diflicile, à cause du grand nombre des paramètres, d’obtenir une détermination bien certaine de la forme priinilive.

On clioisii-a les quatre faces non parallèles qu’indique soit le clivage, soit une plus grande fréquence 'relative, et on les considérera comme iiu'iiiant le tétraèdre princi|jal de l’Assemblage formé par les molécules du cristal, ou du moins run de ses tétraèdres élémentaires les plus simples.

* Des quatre laces qui forment ce tétraèdre, les trois qui embrassent entre ' elles l'angle solide le moins aigu, c'est-à-dire celui où la somme des angles ilièdres est la j)lus grande, recevront les symboles (ooi), (oio), (loo), et la quatrième, le symbole (i i i). Aloisi on déterminera facilement les (>aramètres du système au moyen des six angles dièdres de ces laces. On aura, en elTel.

« = ((OIO), (OOl)), » = ((OOI), (lOO)), -ST = ((oio), (loo)),

et si l'on |•eprésente par y,, 0, les angles

((“«fTo""))' ((*"). (("'Moo0)>

il sera facile de passer des angles dièdres aux angles plans par les règles chia frigononu’trie spbéricjue, et de déduire de ces derniers le rapport a : h : d.

Toutc-s les fac'cs recevront des notations symbolicpies dépendantes du systc'-me d’axes que l’on aura adopté. On calculera les aires de leurs parallélogrammes générateurs par la formule (tiq), et, si l'acecircl entre la fréquence ibéorirpie et la frécjuence naturelle des dilférentes faces n’était pas Jugé satisfaisant, on elfectuerait les changements d’axes ou de paramètres nécc-ssaires pour rétablir le parallélisme que la théorie indic|ue.

.le lérai remarquer de nouveau que c.-e parallélisme ne saurait être toujours rigoureusement exact. Il est évident cjue la densité réticulaire n’est pas le , seul élément c|ui exerce de i’inlluencc; sur la formation d’une face, dans l’acte de la cristallisation, même sans qu'il soit nécessaire de recourir aux ibrees étrangères c|ui jyeuvent être mises en jeu. [,e mode d alternance des deux

éTL'UES CRISTAI.I.OCHAFIIIQtES. Kj'}

lU'st-aux limitrophes qui bordent une strate peut agir de son coté; ear, si l’on [)rojette ces Réseaux orthogonalenient l’un sur l’autre, le Réseau fixe et le Réseau projeté pourront, dans certains cas, être presque confondus; dans d’autres cas, les Sommets des parallélogrammes de l’un d’eux pourront être voisins des centres des parallélogrammes de l’autre. Ces difiérences, celles qui peuvent résulter des variations de forme du triangle principal, à égalité d’aire de ces triangles, et surtout celles qui sont dues à la forme du polyèdre moléculaire, à la direction de ses axes de principale attraction ou de principale répulsion, sont autant de causes qui doivent altérer, dans de certaines limites, la loi d'établissement des faces suivant la raison directe de la densité de leur tissu réticulaire.

11 pourra même arriver que ces actions favorisent toute une série fie formes au détriment d’une autre série, ce (|ui altérera d’une manière encore plus grave les résultats déduits de notre hypothèse fondamentale. Malgré ces restrictions, je ne doute pas (jue cette hypothèse ne puisse rendre des services réels à la cristallographie et à la physique moléculaire. .Mon but aura été atteint, si je parviens à engager les minéralogistes à soumettre un certain nombre d'espèces convenablement étudiées au calcul com|>aratif tle la densité rf-ticulaire de leurs faces, et de la tendance de ces mêmes faces à se produire dans l’acte de la cristallisation.

XMXlf" CaAirt.

ETIDES CRISTAÏJ.O^,RA1’HIQIIE^i.

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