XI.VIII

MEMOIRE

OC et de B vers D, refTet de cette seconde rotation #em d’aineiier le point B en D, le point A restant en C. I.es deux rotations équivalent à une rotation unique autour du point M, |>ôle du j>etit cercle circonscrit aux points A, B, C, D (*J. IjR double rotation autour de OB et de ÜC ne troublant pas les lieux apparents des sommets du polyèdre, la rotation unique autour de M, qui la remplace, ne troublera pas non plus ces lieux apparents; donc la droite OM sera un axe de symétrie du polyèdre, et l’on voit que si l'on fait tourner le j>olyèdre autour de O.M d’un angle égal à l'angle dièdre AMC, le lieu des sommets n’en sera pas ti'oublé. Donc cet angle est coinmensurable avec la circonférence (théorème II). Donc le nombre des sommets B, C, D, etc., situés sur la circonférence du petit cercle ABCD, est limité : donc ces sommets forment un polygone régulier inscrit dont le nombre de côtés pourra être désigné par r. Il sera toujours permis de supposer que A et B sont deux somaiets voisins; on pourra donc écrire

amb = — ,

formule dans laquelle le nombre r sera nécessairement plus grand que a.

Puisque .\MB et AlKii sont des sous-multiples de 36o degrés, le polygone régulier sphérique ABCDK. .., se répétant enCBC'D"..., en A'AB('/D'..., etc., finira par recouvrir la totalité de la surface de la sphère. I. 'ensemble des points ainsi obtenus y figurera les sommets «l’un polyèdre régulier inscrit, et ce polyèdre régulier sera nécessairement l'un de ceux dans lesquels les angles plans s'assemblent en un nombre égal à y, |>our former cbacuii de ses angles solides.

Les cinq polyèdres réguliers de la Géométrie ont tous, excepté le tétraèdre régulier, un centre de symétrie en leur centre de ligure; mais, dans le tétraèdre inscrit à la s|>hère, la distance angulaire .’\B tie deux sommets surpasse 90 degrés. Ce cas ne pourra donc pas se présenter, puisqu'il est contraire à notre mode de construction.

[*1 P"*® M est à la rencontre des arcs île ;;ranil cercle BM, CM qui divisent en deiim parties

égales les angles sphériques AfiC. BCD*

âllR LES POLYÈDRES DE PORMF, SYMÈTRIQL'B. XLIX

Le polyèdre inscrit résultant de la constniction précédente sera donc ; ou le cube correspondant au cas 9 = 3 , r = 4î on a alors | * J