I. — De la symétrie des molécules des corps cristallisés

Dans les reclicrcli(“s qui précèdent, nous nous sommes exclusivement occupés de l’arrangement relatif des centres de gravité des molécules des corps cristallisés, arrangement qui constitue la structure cristalline proprement dite. Nous abordons maintenant une question plus délicate, celle de la structure moléculaire, et j>ar là nous entendons la disposition géométrique des éléments qui constituent la molécule autour de son «Mitre de gravité.

Les signes extérieurs capables de trahir au dehoiTi la structure de la molécule, si elle est composée, ou du moins sa forme, si elle est simple, ne peuvent être que le résultat des forces attractives ou répulsives exercées jiar la molécule suivant différentes directions. Si ces forces allaient eu s’irradiant spbériquement à partir du centre, si elles étaient les mêmes pour une «li.stance donnée suivant toutes les directions, si en un mot tout était semblable autour de ce centre, la molécule agirait comme étant sphérique, ou, mieux encore, comme un simple point, pôle de forces; sa structure propre ne se traduirait |iar aucun phénomène sensible, et ne pourrait se déduire que de considérations théoriques, par exemple dtîs lois atomi.stiques de la chimie.

ilais les choses ne se passent point ainsi ; les forces émanées de la molécule ne sont pas les mêmes dans tous les sens ; les réactions qui la sollicitent ne passent pas toujours par son centre de gravité, et les effets de ces inégalités permettent, lorsqu’on les étudie convenablement, de pénétrer dans son organisation intime.

Nous allons essayer de démontrer qu’uné molécule possè<le divers centres ou pôles de forces. Ces pôles sont probablement les atomes constituants de

{*) Présentée à rAcaclémi«* des Sciences, te 6 loût 1849. Le 24 t^-vrier i 85 i, une Commifsion com|»nséede MM. Diifrcnoy, Ue^nauU, Lame cl Cauchy rapporteur, a fait à rAcademie un Rapport favorable sur ce Mémoire.

ÉTUDES CRISTAM-OnRAFUlQUES.

la molécule; mais ce dernier point de vue, purement chimique, est jusqu’à un certain point étranger à la cristallographie, et je me bornerai à établir l’existence de la polarité imlévulaire, indépendamment des conséquences que l’on pourrait ultérieurement en déduire.

En premier lieu, il résulte des travaux des géomètres, et notamment de MM. Poisson et Neumann, sur l'équilibre des corps cristallisés, que l’on ne j>eiit expliquer la rigidité des corps solifles, sans recourir à la polarité moléculaire. « Dans les corps solides, dit Poisson, la cause qui retient les « molécules sur les directions où elles sont plus ou moins resserrées ne peut « être que la partie de leur action qui dé|>end de leur forme et de leur « situation relatives — Lors<]ue l'efièt de cette force secondaire devient « insensible, le corps passe à l’état fluide »; et, ailleurs, n la parfaite mobi- « lité des molécules fluides résulte de ce (ju’elles sont sphériques, ou assez « éloignées les unes des autres pour que leur forme n’ait aucune influence « sensible sur leur action mutuelle {*) ».

Telle est aussi l'opinion émise par Laplaœ, dans son Exposition du Système du Monde, ti' édit., tome II, page 35o. n 11 parait que l’état solide

O dépend de l’attraction des molécules combinées avec leur figure I/in-

« fluence de la ligure, sensible encore dans les liquides visqueux, est nulle « pour ceux qui jouissent d’une entière fluidité. »

En second lieu, la symiùrie de la structure cristalline est une autre conséquence de l’influence qu’exerce la direction des forces moléculaires sur leur valeur absolue. Lorsqu’un corps passe lentement, et en cristallisant, de l’état fluide à l’état solide, chaque molécule vient à son tour se Axer sur la surface extérieure du cristal en voie de formation, au lieu qui convient à l’équilibre de son centre, et dans l’orientation convenable pour qu’aucun couple de rotation ne tende à la faire tourner autour de ce centre ; l’adoption de tel ou tel système cristallin résulte de ces conditions d’équilibre, et ne paraît pouvoir s’expliquer, comme nous le dirons bientôt plus en détail, qu’en faisant intervenir la symétrie de la molécule: supposez sphérique cette dernière, et le choix du mode de cristallisation devient un effet dépourvu de cause suflisante (pii puisse le produire.

(*) Journal de V École Palytechnu^ue ^ XX* cahier, pA^ea 93 cl ^ 3 .

!<)<> ÉriDES CRISTAI.I.OGRAPHIQUES.

Rnfîn, c'est la polarité moléculaire qui produit le phénomène connu, en eristallof'raphie, sous le nom A' héjniédrie, comme M. Delafosse l’a indiqué le |)reniier (*), et c’est ce que nous allons développer, en entrant dans les détails que nécessite l’importance dn sujet.

Si l’on se reporte à la définition précédemment donnée (page Jofi) desyàce.t de même espèce d’nn cristal, on voit que, deux faces de même espèce étant en A’oie de formation autour du noyau placé au sein d'un milieu fluide convenablement constitué, tout sera semblable de part et d’autre pour chacune de ces faces, si les molécules sont de simples points matériels ou agissent comme de tels points. Le résultat nécessaire de cette manière de voir serait donc que dis. faces de même espèce devraient toujours coexister, sauf les cas d’avortement purement accidentel, et qu’ainsi tonte forme cristalline devrait se produire sur les flancs dn cristal avec le nombre comjilct de faces qui la caractérise.

(Vest en effet ce qui a souvent lieu; mais les choses ne se passent pas toujoui'S de cette manière, et, dans des cas nombreux, une partie des Aices disparait, sans qu’on puisse expliquer ce fait par des causes accidentelles, par exemple au moyen d’une influence h Intere exercée par le milieu ambiant. La disparition porte sur certaines faces placiVs d’une certaine manière, et ne se montre pas indistinctement sur toutes les formes cristallines. C’est ainsi que, dans le système terquaternaire, elle peut modifier la forme de l'octaèdre régulier, et le faire passer au tétraèdre régulier, tandis que rien de pareil n’a lieu pour le cube ou le dodécaèdre rhomboïdal.

Dans tons les cas de ce genre, la similitude absolue des faces d’une même forme paraît en défaut, ou du moins elle cesse d’entraîner la coexistence comme conséquence nécessaire.

Or il importe de remarquer que nous ne sommes arrivés à la loi de la coexistence qu’en considérant les molécules comme sphériques; cette hyp<tthese ne saurait dom; etre exacte.

Les molécules des corps cristallisés seront donc pour nous dorénavant des polyèdres dont les sommets, distribués d’une manière qui-lconque autour du centre de gravité, seront les centres, ou pôles, des forces émanées de la molécule. Cette supposition a toute la généralité désirable; car, si, par

(•) Savants étrangrrst tome VIII , page 64 1 •

ÉTI.'DES CRISTAU.CKJRAPHIQUES. U)"

exemple, l'on voulait faire de la molécule un solide fmi et homogène, agissant par tous les points de sa surface ou de son volume, on pourrait toujours la supposer découpée en petits éléments agissant chacun comme si sa masse était concentrée en son centre de figure.

Toutes les molécules d'une même substance doivent être identiques et superposahles. Dans la cristallisation, les lignes homologues de ces molécules deviennent j>arallèles, comme nous l'avons indiqué au commencement de la première partie de ce Mémoire; ainsi l'orientation moléculaire est la même d'un bout à l'autre du cristal. La polarité moléculaire et la variabilité des forces avec la direction sont des conséquences «le la figure polyédrale de la molécule et de la loi suivant laquelle les forces émanées de chaque sommet varient suivant la distance. l.,or.sque les intervalles de deux molécules deviennent suflisamnient grands, l’inlluence des dimensions transversales de chacune d'elles va en s'affaiblissant, et elles tendent de plus en plus à agir comme de simples points; mais les distances auxquelles elles viennent se placer en cristallisant sont nécessairement inférieures à la limite <jue nous venons d’indiquer. On voit ainsi pourquoi les actions mutuelles ne passent jws, en général, |>ar les centres de gravité, et l’on comprend comment l’orientation parallèle des lignes homologues de deux molécules voisines, effet connexe à toute cristallisation, doit résulter «les rotations que ces actions tendent à produire autour «le leurs centres de gravité.

Aprt'-s avou" établi l'existence des polyèdres moléculaires, nous allons prouver que «-es polyèdres sont symétriques, et qu’ils possè«lent, comm«‘ l' Assemblage cristallin sur les Sommets duquel ils viennent se fixer, des axes, «•entre ou plans de symétrie qui leur sont propres.

Je nomme centre de symétrie «l’un polyèdre, un point central tel, qu’en le joignant à un sommet quelconque de ce poly èdre, et prolongeant la droite «le jonction «l'une quantité égale à elle-même, l'extrémité de cette droite soit aussi un sommet du polyèdre. Il est visible que, dans un polyèdre limité, il ne peut y avoir qu’un seid centre de symétrie, et cju'il «•oincide nécessairement avec le centre de gravité.

Les axes de symétrie seront des droites assujetties à passer par le centre de gravité, et telles qu’en faisant tourner le polyèdre autour d’elles d’un angle égal à une partie aliquote de 36o degrés, le lieu apparent des sommets

lyfS ÉTL'OES CRISTAI.I.OGBaPH1QI’ES.

lie soit pas troublé par cette rotation. Ces axes peuvent être binaires, ternaires, quaternaires, etc., selon que la rotation qui restitue les lieux des sommets est égale à -j» y» 7 »-.. de tour.

linlin les plans de symétrie divisent le polyèdre en deux moitiés géométricjuement symétriques, et doivent aussi contenir son centre de gravité.

(Jeci posé, et j>our li.xer nos idées, considérons la molécule d’un cristal a|>partenant au système terquaternaire, dont la iurnie cristalline la plus générale consiste en quarante-luiit faces de même espèce. Deux cas différents pourront se présenter : ou bien le polyèdre moléculaire possédera tous les éléments de symétrie de l’Assemblage correspondant, ou bien il n’en possédera qu’une partie.

Dans le premier cas, le polyèdre moléculaire aura trois axes quaternaires dirigés comme les axes quaternaires de l’Assemblage, quatre axes ternaires et six axes binaires coïncidant avec les axes de même nom de l’Assemblage; il [jossédera les neuf plans de s\-métrie qui le caractérisent, et un centre de symétrie en son centre de gravité.

Soient alors deux faces F, F' provenant d’une même forme et directement semblables, et considérons la molécule M appartenant au plan réti- <-ulaire F, ainsi que la molécule M' appartenant au plan réticulaire F'.

Transportons le plan F' parallèlement à lui-n)ême, de manière à amener i\l' sur M; puis faisons tourner l’Assemblage mobile autour du centre de gravité commun de ces molécules coïncidentes, de sorte que le Réseau mobile de F' vienne coïncider avec le Réseau fixe de F. Nous produirons cette

superposition par une rotation angulaire de ^ 3Go° autour d’un certain axe

de symétrie L’ de l’Assemblage, <j étant le numéro d’ordre de cet axe, et p un nombre entier plus petit fpie y. Or, par hypothèse, cet axe appartient aussi à la molécule M'; si donc cette molécule participe au mouvement de F' et de l’Assemblage mobile, elle reprendra, après la rotation, la même position apparente, et recoincidera avec M.

D’où l’on voit que, dans ce cas, tout est pareil entre les molécules du plan F trune part et les molécules du plan F' de l'autre, et qu'ainsi les deux faces F. F' sont dans des conditions identiques de production comme faces limites du cristal.

ÉTl'DES CRISTAU.OGRAPHIQUF.S. I 91)

11 en serait de même, si la face F était inversement semblable à la face F par rapport à un plan de symétrie P. Si le plan mené parallèlement à l* par le centre de gravité de la molécule est un plan de symétrie du polyèdre moléculaire, F et F' devront encore coexister.

Enfin, dans le cas où les faces F et F' seraient inversement semblables par rapport à un centre de symétrie de l’Assemblage, c’est-à-dire, dans le cas où ces faces seraient parallèles, mais avec des côtés internes et externes tournés en sens inverses, nommons C 8) le centre de sjTnétrie du système formé par ces deux faces, et p l’un des pôles de la molécule M dont le centre de gravité est en M ; tout sera semblable entre la surface sujjérieure de F' et la surface inférieure de F’', si homologue de p par rapport à C est aussi un pôle de la molécule -M'. Or, si l’on mène p' égale et parallèle à p' doit être un pôle de M' en vertu du parallélisme des molécules des cristaux ; ainsi la coexistence des faces F, F’' dépend de celle des pôles p' , p ^ , c’està-dire de cette condition que M' soit un centre de symétrie pour la molécule M'. Si donc le polyèdre moléculaire possède un tel centre, la présence de F’ comme face limite de la moitié supérieure du cristal entraînera celle de sa parallèle F’' comme face limite dans sa moitié inférieure.

Il résulte de ce qui préct-de que, si l'on se borne à considérer les conditions de coexistence des vingt-quatre faces de la demi-forme directe ( V(^'ez les définitions de la page i lo) dans le système terquatemaire, on reconnaîtra la nécessité de la présence des treize axes de symétrie du système dans le polyèdre moléculaire, et que la demi-forme inverse accompagnera la demiforme directe, si le polyèdre moléculaire possède, en outre, un centre de symétrie.

Examinons maintenant le second cas, et supposons que l’axe L’ qui sert à effectuer la coïncidence de F’' avec F' n’existc point, comme axe de symétrie, dans le polyèdre moléculaire. Lorsqu’une rotation égale à ^ 300" aura

superposé les deux Réseaux des faces F' et F”, et que les centres de gravité de M et de M' coïncideront, le polyèdre M' aura cessé de coïncider avec M, puisque L’ n’est plus, par hypothèse, un axe de symétrie de ce polyèdre. Donc, si l’on considère F et F' comme étant des faces qui limitent au même moment le cristal en voie de formation au sein de la masse fluide qui le pro-

uoo

ËTt’DKS CnisrALLCKiRAPHiQUKS.

(luil, la situation de tous les pôles ou centres de forces au-dessus et au-dessous du plan F’ ne sera pas rigoureusement la même que celle des pôles homologues au-dessus et au-dessous du plan F*; les résultantes qui sollicitent une molécule encore libre et flottante à petite distance du plan F ne seront pas les mêmes que celles qui sollicitent une autre molécule semblablement placée par rapport au plan F'; ainsi la cristallisation pourra se comporter différemment sur les deux surfaces F, F' qui séparent le cristal de son milieu générateur, et, [>ar conséquent, une partie des faces de la forme pourra ne pas se produire.

Si le polyèdre, possédant d’ailleurs les treize axes du système ter<|uaternaire, était dépourvu de centre de symétrie, les vingt-quatre faces de lu demi-forme inverse pourraient disparaître, et la demi-forme directe se produirait seule.

On a désigné sous le nom de cristaux hohédriqucs ceux dont les formes obliques sont toujours complètes, possédant quarante-huit faces dans le système terquaternaire, vingt-quatre dans le système sénaire, seize dans le quaternaire, et ainsi de suite. D’où l’on voit, en généralisant, que :

Dans tous les cristaux fwloédriques , le polyèdre moléculaire possède les memes axes et plans de symétrie que l’ Assemblage, et un centre de symétrie eu son centre de figure (*).

On a désigné sous le nom de crisUutx hémiédriques, télartoédriques, ceux pour lesquels le nombre des faces de la forme oblique se réduit à la moitié ou au quart de sa valeur : plus généralement encore, nous désignerons ces cristaux sous le nom de cristaux mèriédriques . L’on voit donc que ;

Pour tous les cristaux mériédriques, une partie des oj'es, centre ou plans de symétrie de l' Assemblage ne se rencontre pas dans leur polyèdre midéculaire.

Par une observation convenable de ces cristaux, on peut toujours recoiiiwître les axes et plans qui font ainsi défaut, et décomposer les éléments de la symétrie de l’Assemblage en deux groupes, dont l’un, commun à la fois à l'Assemblage et à la molécule, lend compte de la présence simultanée d’un

i *) conditions enoncees dans ce ihcoreme sont sttrabondames , de ces trois sortes d’Henient**, les axes, les plans et le rentre, deux suffisent pour entraîner la presenrr de la troisième.

KTl'DES CRISTALLOGHikPHlQUES.

certain nombre de faces de la même forme, et dont l'autre, venant à manquer dans la molécule, explique la suppression des faces disparues.

Toutes les fois que la superposition des Réseaux de deux fiices de même espèce entraînera la coïncidence.' complète des polyèdres moléculaires, ces faces seront dites, non-seulement faces de même espèce, mais de plus identiques, conformément aux définitions de la jKige 106; dans le cas contraire, les faces seront de même es|)èce, mais non identiques.

D’après cela, la loi dite « loi de symétrie » qui règle le mode de distribution des faces d’un cnstal devra s’énoncer de la manière suivante :

Toutes les faces appartenant à une meme forme cristalline, et de plus identiques, doivent coexister.

Nous allons maintenant considérer un polyèdre moléculaire dont nous ferons varier le degré de symétrie. Dans le principe, ce polyèdre sera censé posséder la sjTnétrie complète qui caractérise son Assemblage; puis, par la suppression de certains axes ou plans de symétrie, on abaissera graduellement celle-ci , et l’on fera naître des cristaux mériédriques, dans lesquels les groupes de faces identiques deviendront de moins en moins complexes, sans toutefois que les situations relatives soient altérées. 11 semble, au premier aV)ord, qu’il ii’y a pas dans la nature de limite à cette diminution [>rogressive de la symétrie de la molécule pour un système cristallin donné, et qu’on doit en rencontrer tous les cas possibles daas les différentes espèces minérales. Mais l’observation prouve qu’il n’en est pas ainsi; les polyèdres moléculaires pauvres en éléments de syniétrie ne s’associent pas en Assemblages cristallins dont la symétrie soit très-élevée, et l’on peut dire, en tbèse générale et malgré un très-petit nombre d’exceptions, que l’on ne voit pws les formes et combinaisons de fonnes des systèmes cristallins les moins symétriques présenter les angles et inclinaisons caractéristiques des systèmes les plus symétriques.

D’où l’on déduit qu’il existe une limite à l’appauvrissement de la symétrie d’un polyèdre moléculaire qui cristallise dans un système donné, et que, si on lui enlève un nombre suffisant de ses termes, la symétrie de sa cristallisation s’abaissera, elle aussi, à un moindre degré; ce que l’on peut exprimer en disant que :

XXXiy CakUr. ï6

l>Oa ÉTrDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

I^s polyèdres à symétrie comptexe cristallisent dans les systèmes à symétrie complexe, et ceux à symétrie sim/dc, dans les systèmes à symétrie simple.

Une telle correspondance ne saurait être l’efTet du hasard, et puisqu’à une structure moléculaire donnée correspond une structure cristalline qui s’y rapporte, il paraîtra bien probable que la symétrie moléculaire détermine celle de r.Vssemblaj^e cristallin.

On |)eiit arriver an même résultat [lar des considérations théoriques, et en s’appuyant sur les conditions de l’équilibre des .\ssemblages cristallins. Nous prendrons pour exemple une agrégation de molécules holoédriques, à cristallisation commençante, et nous allons essayer de démontrer que la symétrie de la molécule tend à se transmettre à l'jUssemblagc qui va sc former.

Considérons deux molécules voisines M, M', placées, l’une par rapport à l’autre, à une distance r sufTisamment petite pour que l’influence de leurs dimensions tr.Tiis versa les se fasse sentir de l’une à l’autre, et supposons qu’il existe un axe d’ordre q dans leurs polyèdres. Si ces deux molécules se placent Imut à bout dans le prolongement de leurs axes Ij*, et s’orientent de la inéiiie manière par rapport à l’espace extérieur, la résultante qui sollicite chacun des deux centres .M, M' sera nécessairement dirigée suivant leur ligne de jonction ; car toute action oblique se répéterait q — i fois autour de MM' qui est un axe de symétrie d’ordre q pour le groupe de ces deux molécules, et la résultante de ces q forces serait dirigée suivant MM'. Il en sera de meme dans le cas d’une file rectiligne et illimitée de molécules M, M', M",... semblablement orientées, si cette file est un axe de symétrie de ces molécules, et l'on conçoit qu’en faisant varier le commun intervalle r qui sépare ces molécules entre elles, on puisse trouver une disposition telle que la file se maintienne en équilibre. La stabilité de cet équilibre résultera de ce que, si l’une des molécules s’écarte de l’axe de la file, il se développera des composantes latérales tendant à l’y ramener.

De meme que nous avons, en partant de la molécule M, et suivant la direction de l’axe L’, ordonne une première Rangée de molécules, nous pourrons, suivant les directions d’autres axes, former d’autres séries

M U U (/ , .M /lA , U, , etc .

Les molécules ,u, (jl , u",..,, u,, m, , u',... deviendront à leur tour les tètes de

ÉTUDES CRlSTALLOCnAPHIQUES. 2o3

colonne d'autant de Rangées parallèles à MM’M".... Il est clair que ces nouvelles Rangées tendront a se disposer syniétri(}uenieiit autour de M.M', attendu que les forces contenues dans un plan mobile passant |^ir la droite MM' et tournant autour d'elle redeviennent les mêmes, chaque Ibis que l'angle de rota-

tion de ce plan augmente de — ^ > ce qui tend à faire de MM' un axe de symétrie pour tout le système : ainsi la présence de ces nouvelles Rangées ne pourra exercer sur le centre de gravité de M aucune action oblique par rap|K)rt à MM', puisque toute résultante de ce genre se répéterait <y — i fois autour de cet axe, et donnerait lieu à une composante parallèle à sa direction.

On conçoit ainsi la possibilité de la stabilité d’un tel système, pour des espaces internioléculaires convenablement choisis, et l'on voitqu'il y a plus de chances de rencontrer l'équilibre dans une telle disposition que dans toute autre, par suite de la réduction à zéro des composantes normales à l'axe considéré.

D'où il résulte, comn>e nous l'avions annoncé, qu’un axe de symétrie du polyèdre moléculaire tend à se transmettre, comme axe de symétrie de même ordre et semblablement placé, à l’Assemblage suivant lequel la cristallisation s’effectue.

Il en est de meme pour les plans de symétrie de la molécule. Car, soit .MP {Jig. y) un plan de symétrie supposé horizontal, et coupé suivant la droite MP par le plan vertical de la figure. Il est clair que les molécules très-voisines de ce plan tendent à y prendre leur position d’écpiilibre après avoir adopté une orientation commune; car alors elles ne peuvent produire les unes sur les autres aucune aetioii normale à ce plan. De plus, si l'on considère une file MM'.M'"... déjà en état d’équilibre stable, sa syniétrit|ue MM^.M"..., si elle existe, se trouvera pareillement en équilibre; d’où l’on voit que, si une molécule encore flottante est très-voisine du lieu M” qu’occuperait la symétrique de M"" par rapport au plan MP, elle devra tendre à venir prendre en M” sa position d’équilibre délinitive ; et telle est la cause de la tendance du plan MP à devenir un plan de symétrie pour l’Assemblage.

On conçoit, d'après ce qui précède, comment la structure du polyèdre moléculaire réagit sur celle du cristal et détermine le choix du système. Si l'on rejetait cette explication, et si l’on voulait continuer à considérer les molécules comme des points ou des sphères, un tel choix, nous l'avous déjà

uoj ÉirDES r.RISTAI.I.OOnAl'HIQITES.

(lit à la page i g 5 , nous paraîti-ait comme étant un efl’et sans cause : ajoutons quelques dévelop|}ements à ce sujet.

On sait que tout Assemblage cristallin est caractérisé par les (limeiisions de son pandlélipipède générateur, savoir, par trois paramètres linéaires a, h, d représentant les arèt(?s, et par trois paramètres angulaires a , ,j, J représentant les angles plans. Cependant, dans la supposition des molécules sphériques, une combinaison quelconque de paramètres suffirait à l’équilibre des molécu'es centrales, puisque cliacune d’elles est un centre de symétrie pour le système des molécules qui l'environnent, dans la sphère très-limitée des actions moléculaires. Par suite de cette indiflërence de l'éfpiilibre interne, la combinaison ado[)t('-c dépendrait unicjuement des conditions d'é(juilibre des molécules de la .surface, et serait ainsi sous l’influence des actions e.xtérieures, de manière, par exemple, à produire l’échange des paramètres entre eux, lors- (ju’on échangerait entre elles les forces extérieures parallèles à ces paramètres, ce qui mène à des consé(juences évidemment contredites par l'observation.

Kn outre, et sauf le cas très-rare des cristaux du système asymétrique, certaines combinaisons d'égalité ou de perpendicularité des arêtes sont les seules que la nature réalise. Par exemple, dans le cas où l'on a a = l> = d, on ne rencontre que les deux combinaisons suivantes :

i”. a = go", P = 90°, S = go”, qui correspond .111 cube;

a", a = fi = ^, qui corre.spond au rhomboèdre.

Ce choix que fait la nature, et la préférence qu’elle accorde à certaines formes de parallélipipèdes générateurs, resteraient donc inexplùpiés et troubleraient l'enseignement rationnel delà cristallographie, tant que l’on s’abstiendrait d'y reconnaître l’influence de la symétrie moléculaire.

En nous résumant, nous admettrons que le polyèdre moléculaire est symétrique, et (pie les éléments de sa symétrie, tendant à passer à l’Assemblage correspondant, en déterminent la structure.

A la vérité, on peut objecter (jue la difficulté d’expliquer l’état symétrique des Assemblages cristallins est simplement reculée, et qu’il reste à faire voir pourquoi le polyèdre moléculaire est symétrique. La théorie atomique fournit une réjjonse toute prête à cette dernière demande, en nous montrant chaque molécule d’un corps comme composée d’un nombre fini d’atomes de diffé-

ÉTUDES CnlSTAI.I.OGHAPHIQirF,S.

rentes espèces. Déjà, par des considérations d’un tout autre ordre, Ampère était arrive, en 1814, à ce résultat, que le polyèdre moléculaire devait être formé d'atomes dispost's symétriquement autour de son centre de gravité; l’équilibre interne de la molécule est facile à baser sur cette donnée.

Ici se j)résente une autre objection relative à la cristallisation des coips simples. Lorsque le carbone, le .soufre, le bismuth cristallisent, devons-nous admettre que leur molécule est polyédrale.’ ,Ie n’hésite pas à répondre par l’aflirmative, et je pense qu’avant de cristalliser, les atomes de ces corps se trouvent déjà groupés de manière à former un polyèdre de forme déterminée.

Après avoir établi la loi de la symétrie du polyèdre moléculaire, nous avons maintenant ; i® à déduire de la symétrie donnée d’un tel polyèdre le système dans lequel il doit cristalliser; 2” à signaler les divers cas de mériédrie (hémiédric, tétartoédrie) que pourra produire l’état incomplet de la symétrie de ce polyèdre '; 3 “ à comparer les résultats théoriques ainsi obtenus avec les diveis exemples de mériédrie observés par les minéralogistes.

Dans la dernière partie de ces Ktudes, je rattacherai à la même théorie les phénomènes d’hémitropie et de pénétration de deux cristaux.

§ Il . — Du système cristallin suivant lequel doivent se grouper des molécules

de symétrie connue.

J’ai donné, dans le tome XIV du Journal de Mathématiques pures et appliquées, publié par M. Liouville, une classification complète des polyèdres au point de vue de leur symétrie. Elle se trouve résumée dans le l'ableau n” Vil que l’on trouvera à la lin de ce Mémoire.

Les symboles A, L, I/, G, n, P, P' qui y figurent sont ceux déjà employés dans mon travail sur les polyèdres de forme symétrique, ainsi que dans mon Mémoire sur les Systèmes de points, aux pages g 3 et suivantes. Iæs lettres P, P' dépourvues d’indice exponentiel désignent des plans de symétrie qui ne sont normaux à aucun des axes du polyèdre; les signes oL, oL’, oG, O P indiquent que le polyèdre est privé d’axes, ou d’axes binaires, ou de centre de symétrie, ou de plans de symétrie.

Un axe est dit principal lorsque les autres axes lui sont normaux, et que de plus tout plan de symétrie lui est normal ou le renfenne.

ao6 ÉTUDES CRISTALLOüRAPHIQUES.

Dans les polyèdres des 4 ', 5 ',... classes, jusqu’à la i(>' inclusivement, ou peut donner à (j toutes les s’aleurs entières possibles, depuis (j = i jusqu’à (J = 00 . Le luiinéro d’ordre de l’axe principal désigne alors l’ordre de la classe. Les 4 'i 5 ', b', 7', 8' et q' classes sont toutes d’ordre pair; les 10', 11*, ta', iS', 14', iS'et ifr sont, au contraire, toutes d’ordre imjjair.

Iæs polyèdres spliéroédri«]ues sont ceux qui possèdent plusieurs axes dont aucun n’est un axe principal; ils se divisent en deux groupes, les quaterternaires et les déceniternaires, selon que le nondjre de leurs axes ternaires est égal à 4 ou à i o.

Dans les polyèdres des 17*, iS' et ly* classes, les axes 4 L’ sont parallèles aux quatre diagonales d’un cube, les axes 3 L’ aux arêtes de ce cube, les plans 6 P aux plans qui joignent deux à deux les milieux des arêtes opposées.

Dans les polyèdres des ao' et 21' classes, les axes 4 L’ sont parallèles aux quatre diagoatlcs d'un cube, les axes 31 / aux arêtes de ce cube, les axes 6 L’ aux lignes qui joignent deux à deux les milieux des arêtes opposées.

Dans les polyèdres des 22' et aS* classes, les axes 6L’ sont parallèles aux lignes qui joignent deux à deux les centres des faces opposées d’un dodécaèdre régulier, les axes loL’ aux dix grandes diagonales de ce polyèdre, et les axes i 5 L’ aux lignes qui joignent deux à deux les milieux des arêtes opposées.

Pour de plus amples détails, on peut consulter mon Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique (*).

Nous avons vu (Jiage 2o3) que, lorseju’une sub.stance dont les polyèdres moléculaires sont doués d’une certaine symétrie vient à cristalliser, les axes et plans de la symétrie molécidaire tendent à passer dans l’Assemblage crisUdlin, en conservant leurs situations relatives. En consé<|uence, et pour déterminer la nature du système cristallograpbique, j’admettrai la règle suivante :

Parmi les sept systèmes cristallins, les molécules d’une substance doruiée (jui vient à cristalliser adopteront celui dont la symétrie offre le plus grand nombre d'éléments communs avec la symétrie propre à leur polyèdre ntolécu^ laire.

(*) Journat tic \Jathcmattqucs purci et appliquées^ tomp XIV« i4t*

^TÜDES CRISTALLORRAPIIIQUES. 20 ~

Croire que cette règle ne souffre jamais d’exception serait peut-être üllcr trop loin; mais elle doit évidemment s’appliquer à l’iinmense majorité des cas qui peuvent se présenter, et cela suffit pour l’usage que nous avons à en faire.

Avant de chercher à l’appliquer, je ferai remarquer que la considération du centre de symétrie est étrangère à la question actuelle, puis<|ue ce centre figure également dans les symboles de symétrie de nos sept systènies cristallins, et qu’il est l’une des conditions essentielles de tout Assemblage. 11 nous reste donc seulement à tenir compte des axes et des plans de symétrie.

Les axes de symétrie d’un Assemblage sont nécessairement binaires, ternaires, quaternaires ou sénaires ; ainsi les autres axes que pourrait posséder le polyèdre peuvent être regardés comme des lignes asymétriques, ou ne pouvant influer sur la symétrie de l’Assemblage, à moins cependant que le numéro d’ordre de leur symétrie ne soit un multiple des nombres a, 3,4 ou fi, auquel cas l’axe de symétrie du polyt-dre, transporté dans l’Assemblage, y jouera le rôle d’un axe de l’un de ces ordres.

Notations et définitions. — Je désignerai par S, l’ensemble des éléments de symétrie communs à la fois au |Jolyèdre moléculaire et à son Assemblage cristallin; par S^, l'ensemble des éléments <ie symétrie appartenant en propre au polyèdre, et par l’ensemble des éléments de symétrie de l’Assemblage qui ne se retrouvent pas dans le polyèdie. De la sorte, la symétrie complète du polyèdre pourra être représentée par le symbole

et 1a symétrie complète de l’Assemblage sera figurée par

[S. SJ.

Je désignerai sous le nom de polyèdre éijnivalent au polyèdre donné, celui dont la symétrie com|)lètc serait [S^j ; d'où l’on voit que le polyèdre équivalent n’est autre chose que le polyèdre primitif débarrass»* de toutes ses conditions superflues de symétrie, c’est-à-dire de tous les éléments qui ne sont pas de nature à se transmettre à l'Assemblage dans lequel ils doivent cristalliser.

Il pourra arriver que plusieurs de nos sept systèmes cristallins possèdent à la

ETUDES CHISTALI.OGBAPIIIQUES.

fois la même partie S, de In symétrie totale du polyèdre; dans ce cas, la règle de la page 20G ne sufiit plus pour déterminer le système cristallin. Je prendrai comme exemple le polyèdre moléculaire [A’, aL% oG, 2 P] caractérisé par un axe principal binaire A’, deux axes binaires de même espèce L’ perpendiculaires l’un sur l’autre et sur l’axe principal, deux plans de symétrie passant par l'axe A’ et inclinés de 45 degrés sur les axes L’. La symétrie commune à ce polyèdre et au système quaternaire est [A*, 2L’, 2P]; la •syniétrie coinmtme à ce polyèdre et au système terquatemaire est aussi I a’, 2L’, 2PJ. (Comment choisir entre ces deux systèmesi*

Dans ce cas, et dans tons les autres cas pareils, je remarque que nos deux systèmes cristallins diffèrent par le nombre des paramètres qu’ils laissent indéterminés dans le parallélipipède générateur. Sur les six quantités a, a, jS, J' (voyez page 204), le nombre des quantités déterminées est de

5 pour le système terquatemaire,

4 pour les systèmes sénaire, quaternaire et ternaire,

3 jjour le système terbinaire,

2 pour le système binaire,

O pour le système asymétrique.

Or, supposons que deux systèmes cristallins possèdent également la symétrie S,, du polyèdre moléculaire, mais que le nombre des paramètres détenninés soit égal à j pour l'un de ces systèmes et à j' > j pour l’autre. Puisqu’il existe des Assemblages à / paramètres déterminés possédant la symétrie S, du polyèdre, quelle que soit la valeur des 6 — j autres paramètres, il est clair qu’il n’existe aucune raison suffisante pour pouvoir assigner d’avance la valeur de y' — j autres paramètres, et qu’il faut laisser aux forces moléculaires développées dans la cristallisation le soin d'en fixer la véritable valeur.

D’où l’on déduit cette deuxième règle que :

Dans le cas où plusieurs systèmes cristallins présenteraient les me'nies éléments fie symétrie communs à leurs  ssemblages et au polyèdre moléculaire donné, la cristallisation se fera suivant le système de moindre symétrie, c’est-ci-dire suivant le système qui laisse le plus grand nombre de termes

I?TII>ES CHlSTALLOORAl'HtQrES. 2<»9

iniirlertni/ws parmi U’s sLv eWments constitutifs de son parnUclipipede "cncrateur .

r/apj>lication ele cette deuxième règle lève l’indécision que nous avions signalée, excepté pour quelques polyèdres, à axe principal ternaire, qui {Ktraissent pouvoir cristalliser aussi bien dans le système sénaire que dans le système ternaire, et sur lesquels iu>us aurons jdus tard l'occasion de revenir.

On peut énoncer simplement les deux règles que nous venons d'établir, en prescrivant de choisir le système cristallin de telle sorte, \° <pie ü,. soit le plus grand possible, a“ (jitc S„ .voi'f ensuite rendu le plus petit possible.

(ies règles vont nous servir de guide dans l'examen succe.ssif des vingt- Irois classes de polyèdres que présente le Tableau n" VII.

Polyèdres des et 7.' classes. — Ces polyèdres doivent cristalliser dans le système asymétrique. Ou voit bien d'ailleurs qu’il n'existe aucune raison suflisantc pour <|ue des axes ou des plans de symétrie se produi.sent dans leui' Assemblage.

Polyèdres de la 3' classe. — Ces |>olyèdres possèdent un [ilan de symétrie (pii devra se transmettre à l'.Assemblage. Celui-ci possédera de plus uii centre de symétrie et un axe binaire normal à ce plan, et appartiendra au système binaire, l.es équations suivantes donneront les symétries comparées du polyc'dre et de l'Assemblage ; on aura,

pour le polyèdre. S,, = [P], S^ = o,

pour l'Assemblage, = | n | , S„ = ( A’, C J .

Polyèdres des 5', 6', 7', d' et 9' classes. — Tous ces polyèdres possèdent un axe principal d’ordre Kj. II convient d’examiner séparément les

trois cas,

7 tj 1 2 y ± 3 ,

/ étant un nombre entier quelconcpie, pouvant être égal à zéro.

Premier cas, où 27 = 1 2 y ± 2.

la* polyèdre oI,’, oG, oP| possède un axe qui se comportera

comme un axe binaire; il cristallisera donc dans le système binaire [ A’,C,n |,

XXXIV Cahier.

■>.to

thi'DKS CRISTALl.OC.HAPHIQtiES.

et l’on aura

I,e ijolyêdre ( oli’, C, fl J est dans le inènie cas que le précédent ;

il cristallise dans le système binaire: la cotnnnine symétrie est [ A’, C, 11 J. I.e cristal formé sera lioloédriqtio, puisque le polyèdre moléculaire jwssède tous les éléments de symétrie de son Assemblage.

Dans le polyèdre | ,V' (6y ± i) I.’, (6y ± i) lé’, o(î, o PJ, à chaque axe binaire L’ corresjiond un axe binaire I/’ d’une autre espèce, et qui lui est pcrpendicnlaire (*) ; la cristidiisntion se fera dans le système terbinaire: on aura donc

Dans le polyèdre | A”'*’, ol.’, oC, (f> j rfc i) P, (by ± t) l’’J, à chaque plan de symétrie P passant par l’axe principal, correspond un antre plan de symétrie K qui lui est nonual (**) ; la cristallisation se fera dans le système terbinaire, et l’on aura

Dans le polyèdre

I A'’^"’,(fiy ± ,) L’, (6y li: ,) I/’, G, H, (by ± i) P’, (by ± . ) P” j,

à chaque axe 1,’ correspondent un axe I/’ qui lui est normal, et des plaiLs P’, P'* normaux àcesaxra. .\insi le polyèdre contient tous les éléments de la symétrie terbinaire ( A’, G’, 1/’, C, 11, !’% P’’ | ; le crisUd sera hoioédrique.

Kniin le polyèdre | A”-'^’, (i uy d; a) L’, oC, (i ay ±: a) P | oifre, pour chaque axe I,’, un axe de même espèce qui lui est normal, cl deux ]>lans de symétrie P qui forment avec lui des angles de45 degrés. Car, si l'on no'mine

(!<’, Ij’) l’angle de deux axes binaires, et (Id, P) l’angle d'imaxe binaire et d’un plan de symétrie, on a

(L’, !.’)=( O, I, a..., lay’zc a — i) ^

1 îi / d: a I — T

a a a a / la/

(*) Journal de Afathèmatiqurs ^ tome XIV, page i56. (*• ) Ibid., tonw XIV, page i56.

I>!tLI>ES CKIi>rALLO<>RAFHlQtl-:S. ’J.l i

Kn dtoîsi&sant pour facteur dans le second membre de la première Ibr-

mule le tioinbi-e 6y ± i , on trouve (I/, L’) = go".

Kii choisissant pour facteur dans le second mcmhre de la deuxième formule le nombre 3y ± on trouve (L’, 1’) = 45°.

D'où l’on voit qu’entre notre polyèdre et les .\ssemblages quaternaires nous avons lu portion de symétrie coinmum*

I.a portion de symétrie commune à notre polyèdre et au système terbinaire serait seulement [A*, L’, L“|, symétrie moins étendue que la précédente. [ai cristallisation se lêra donc suivant le système quaternaire.

Dcu.viènif cas, où a </ = i ay ± 4-

Dans ce cas, la cristallisation s’efrectue suivant le système quaternaire.

Lorsque les termes (liy rî: a) L’, (Gy ± a) L'’ figurent dans le symbole de la symétrie du polyèdre, on voit facilement qu'il existe deux axes L’ jjer- |>endiculaires entre eux, et deux axes L'“ qui sont les bissecteurs des angles droits formés jiar les axes précédents; alors aL’, al/’ sont des éléments de symétrie communs au polyèdre et à son Assemblage.

I.ors(|ue le polyèdre contient les plans de symétrie (Gy ± a) P, (Gy li; a)P', on y découvrira de même le système a P, a 1*' consistant en deux plans normaux de meme espèce, |>assant par l’axe quaternaire, et croisés sous l'inclinaison de 45 degrés avec deux plans normaux d’une autre espèce, système qui appartient à la symétrie des Assemblages quaternaires.

[-oi-sque le polyèdre aura pour symbole

(A”^*‘,(iay ±4)Iv’,oC, (lay ± 4)P|,

il appartiendra encore au .système quaternaire; mais la disposition relative des axes L’ et des plans P ne permettra pas que ces deux éléments entrent en même temps dans l'expression de la symétrie commune au polyèdre et à l'Assemblage. On aura donc, ou bien

S, = |A’,aL’,aL’l,

c’est-à-dire l’axe quaternaire avec cpiati e axes binaires se croisant à son p:ed

trUDES CRISTAU.OGRAPHIQI'ES.

SOUS des angles de 45 degrt^, ou bien

S^= |A% aP, aP],

c’est-à-dire l'axe quaternaire avec quatre plans de symélrie {lassant jiar eet axe, et faisant entre eux des angles de 45 degrés.

Les axes aL’, a L’ sont de même csjièce dans le {lolyèdre, niais d’es{ièee différente dans l’Assemblage. Il en est de même pour les {ilans a P, a P.

On a ainsi tieux solutions distinctes, paraissant à priori également possibles, entre lesquelles la substance donnée optera, suivant les autres conditions de son équilibre.

Troisième cas, où a ly = 6y .

La cristallisation s’effectuera suivant le système sénairc. La discussion de ce cas serait pareille à celle du cas {irécédent. Les éléments de symétrie 'I y L’, 3 yi/’ se réduisent à 3 L’, 3 L'’ dans l’Assemblage sénaire; de même 3 y P, 3 y P' se réduisent à 3 P, 3 P.

Le polyèdre [ A”-', 6 j L’, oG, G j P j est par rajiport au système sénaire ce qu’était [a”^*‘, (lay’ ± 4) G% «G, (lay’ ± 4) P] jiar rapport au système quaternaire. : il conduit aux deux solutions

S,= [A*,3L%3LVJ,

Dans le cas où j est |iair, l’ordre de .symétrie de l'axe princi|ial est à la fois divisible parles nombres 3, 4 et b; niais comme le système sénaire offre une commune symétrie plus élevée ({ue celle qu’olfriraienl les systèmes quaternaire ou ternaire, on devra, d’après la règle de la page aoG, se décider {Miur le système .sénaire.

Polyèdres des lo", i G, la', i3', i4’'i >3' i G' classes. — Tous ces {Milyèdrcs jiossèdent un axe princi{ial d’ordre a y -(- i . Nous examinerons sé{iarément les trois cas

a y -f- I = Gy ± 1 ,

a y -f - 1 = 3, a y -I- I = Gy -f- 3,

J étant un nombre entier quelconque, plus grand que 7,éro.

ÉTUDES CBISTAM.Or.RAl’HIQUES. 2 I 3

Premier cas, où 2 f/ -(- i = (>y ± i .

L’axe A*''*’ ne pouvant se transmettre à l’Assemblage , il est inutile d’y avoir égard.

Le polyèdre [A*-'*', oL’, oC, oP| se comportera donc comme un polyèdre de la 1 ” classe.

Le polyèdre f A*-'*' , oL’, G, oP] se comportera comme un polyèdre de la 2 ' classe.

lx'|)oIyèdre [a*''’*', {Ctj -àzx) I,’, oC, oP] ne pourra transmettre à l’Asscniblage qu’un seul de ses axes binaires; car, si deux axes binaires, faisant

entre eux l’angle p » P étant un nombre entier, venaient à passer dans

l'Assemblage, la droite normale au plan de ces deux axes serait un axe comniun dont le numéro d’ordre {*) serait (iy ± 1 ou l’un des sous-inultij)les de tiy ± I , et par conséquent premier avec les nombres a, 3, 4> b, ce qui est impossible.

I<e polyèdre cristallisera donc dans le système binaire.

De même le polyèdre [A*-'"'" , ol.’, oC, (Oy ± 1 ) 1’] ne pouriTi transmettre à son Assemblage que l’un de ses plans de symétrie et se comportera comme un polyèdre île la '3' classe.

Il eu sera encore de même pour le polyèdre [A*''*', oL’, oC, [l], qui transmettra à l'Assemblage le plan de symétrie II.

Dans le polyèdre [A*''"’", (6y ± i) Ii’,G, (by ± 1 ) P’|, les éléments de symétrie communs avec le système binaire seront 1 1,’, G, P^ J, et deviendront ( A’, G, II ] dans l’Assemblage. La cristallisation sera binaire et lioioédrique.

Le polyèdre [A*-'"’", (by ± 1 ) L’, oG, II, (by ± 1 ) P] pourra transmettre à l’Assemblage qui en dérive l’un de ses axes binaires L’, le plan de .symétrie P qui passe par cet axe L’, et le plan II normal à ce plan P et passant aussi par L’. On aura donc,

dans le polyèdre, S, = [L’, n, P |, dans l'Assemblage, S, = [A*, P, P'], attendu que L’ devient dans l’Assemblage l’axe principal du système; la

(*) En vertu dos théorèmes XXIV et XXXII de mon Mémoire sur les polyèdres de figure syrwé (rtqite [Journal tie Mnthématiquet, tome XIV},

ai 4 I?TL'I)F.S CRISTAU.OCIlAl’Hlyl'ES.

rristallisatioii se fera dans le système terbinaire dont le symbole est

|AM,M/*,C,n,l», FV|.

Deuxième cu.t, où a r/ -h- i =3.

1 ,es |jolyèdres ' | A % o I , o(> , o P ] ,

\A\ oL\ C, oP|,

I A", 3L% oC, oP],

|A*,ol,% oC, 3P|, jA‘, 31/, C, 3P|,

ont leui-s éléments de symétrie compris dans l’expression }»énérale de la symétrie des Assemblages ternaires, et aussi dans l’expression générale de la symétrie des Assemblages sénaires. Or les fieux systèmes tei-naire et sénaire ont dans lenis parallélipipèdes générateurs le même nombre de [laramètres indéterminés, de sorte que la règle <le la page ao8 ne peut siiflire à lever cette indétermination. La substance cristallisante elioisini entre ces deux systèmes, d’après les autres conditions de l’écjuilibre.

Du reste, l’indétermination aetnelle qui se présente dans la cristallisation d'nn {Kilyèdre tel <pie [A’, o 1.’, oC, o PJ, lorsque l’on veut savoir si ee [Kilyèdre aura pour noyau un rhomboèdre on un prisme hexagonal régulier, est tout à fait du même ordre, au point de vue mécanique, que celle <jni se présente pour le polyèdre [a‘, oI^’, oL, fi PJ, lorsqu’on veut décider si ee polyèdre cristallisera dans le mode quaternaire octaédral, avec un octaèdre à base carrée pour noyau, on dans le mode (juaternaire hexaédral avec un prisme à base carrée pour parallélipipède générateur.

fia même indécision ne subsiste plus jiour les polyèdres ternaires des i a' et iti' classes. t;ar les polyèdres

I A’,ol/,oL, 11 j, fA>, 3I/,«C,1I, ’fP|.

eontiennent le plan de .symétrie II, lequel appartient aux Assemblages sénaires, mais non aux ternaires. La cristallisation se lèra donc suivant le

ETUDES CRlSTAU.Or.BAl-HIQl ES. « I •">

systùine sénaire, et l’on aura

pour le premier de ces polyèdres, S,, = [A*, Il J,

pour le deuxième, S, = [A’, 3 L’, II, 3 P|.

Troisiènif cas, où a<ji 4- i = (ly -i - 3 .

Ce cas ne dilïèrc réelleinent pas du cas precedent, dont il n'a été séparé que pour en faciliter la discussion, l/axe principal A*'” se comportera comme s’il était simplement ternaire.

Kn outre, il est facile de s’assurer t|ue, sur les (6y 4 - 3 ) axes binaires du symbole (fi j 4- 3 ) L’, il en existera toujours trois inclinés à fio degrés l’un sur l’autre, et par conséquent placés dans les mêmes conditions de situation relative que les trois axes binaires 31 ,’ du polyèdre à axe ternaire et de même classe. Il en sera de même pour les plans de symétrie (6 j 4- 3 ) 1 ’.

Tous CCS polyèdres se comporteront donc comme le feraient des polyèdres d’ordre ternaire et de même classe.

Dans les 10', 1 1', 13 ', i 4 ' et i 5 ' classes, on aura la double solution de la cristallisation indifféremment sénaire ou ternaire.

Dans les la' et ifi' classes, la cristallisation se fera siiiyant le système sénaire.

Polyèdres des 17', 18', 19', ao' et 21' classes. — Tous ces polyèdres possèdent quatre axes ternaires, et trois autres axes, rectangulaires entre eux, dont la symétrie est tantôt binaire, tantôt quaternaire. Ces éléments de symétrie se retrouyent dans l’Assemblage terquaternaire ; c’est donc dans ce système que leur cristallisation deyra .s’opérer. Les polyèdres de la a Celasse donneront lieu à des cristaux holoédriqiies ; ceux des autres classes seront inériédriques.

Polyèdres des aa' et a 3 " classes. — .l'ai montré dans mon Mémoire sur les polyèdres de forme symétrique (théorème LVIII) que les polyèdres j fi L’, 1 oL’, 1 5 L’, O C, O P I possédaient les axes de symétrie des polyèdres de la 17'’ classe, et que les polyèdres [fiL’, loL’, i 5 L’, C, i 5 P’| possédaient la symétrie complète des polyèdres de la 1 8' clas.se ; ces polyèdres cristalliseront donc dans le système terquaternaire, et l’on aura,

pour les polyèdres de la 22' classe, S,.= 3 L’, oC, oPj,

pour les polyèdres de la a 3 ' classe. S, = [4 L’, 3 L’, (i, 3 P’ |.

^|(! ÉTUDES CRISÏAI.I.OGBAPHIQUES.

Si maintenant nous faisons le relevé méthodique des différents c.ts que nous venons de passer en revue, et si nous distrilnions nos divei-s groupes de polyèdres parmi les sept systèmes cristallins, en rangeant sous l’cn-tête de chaque système toutes les formes polyédrales qui s’y rapportent, nous obtiendrons une nouvelle classification des polyèdres moléculaires distribués suivant le mode de structure de leurs Assemblages crLslallins. Ijc Tableau n“ VIII offre le résultat de ce travail.

t)n a rapproché les uns des autres tous les genres «le polyèdres dont le polyèdre équivalent offre la même symétrie. La deuxième colonne du Tableau exprime les éléments de symétrie du polyèdre équivalent, c’est-à-direceux «le ces éléments qui se trouvent à la fois dans le polyèdre et «lans l'Assemblage.

f)ii r«;marquera «jue, si l’on compare le symbole de l’A.ssemblage et celui du poly«'‘«lre l'quivalent, les mêmes letti'es y désignent toujours les nu'mes «dtanents ; mais, si l'on «‘ompare le symbole du poly<‘*dre équivalent avec celui «lu |)oly«'dre moléculaire, cette correspondance n’a pas toujours lieu. C’«'st ainsi que le polyèdre (Gydzi) L*, oC, fl, (<i y ± i) 1’] a poiii-

polyèdre équivalent [a’, oI.’, oO, P, P'J; les éléments f.’, il, P du |)olyèdre ilonné, en se transmettant à l’Assemblage, s’y changent en P, P' et figurent, sous cette nouvelle forme, dans le deuxième symbole.

Toutes les fois qu’on a dû faire figurer dans la première eolonne un polyèdre ayant un axe principal «l'«)rdre indéterminé, mais ap|>artenant à l’une des formes

<iy, (>y±i,..., i«y±2, layrt.'i,

où j est un nombre entier quelconque, on a ajouté immédiatement après, «lans la même «•olonne, le symbole du polyèdre le plus simple de toute la série, «;’est-à-dire «lu poly«'-dre correspondant à la valeur minimum du nombre y.

On remarquera «|uc, «lans l«*s systèmes «piaternaire et séiiaire, la colonne intitulée « Symbole de la symétrie du polyèdre équivalent » contient quelques cas de doublt^ solutions. En voici l’cxplictition.

On se rappelle «|ue, dans le système quaternaire, il existe des axes binaires L’ de première espèce, de paramètre égal à «, et des axes binairt^ 1 ,’’ «le «leuxième espèce, de paramètre égal à a I.es plans de symétrie P% P'*

ÉTUDES CUISTALLUliRAl'HIQUKS. «I"

normaux à ces axes sont aussi de deux espèces diflerentes. Lorsque le polyèdre moléculaire ne possi'de qu’une seule de ces deux espèces d’axes, rien n’indique d’avance si ceux-ci en se transmettant à l'Assemblage y deviendront des axes de première es|)èce et de paramètre «, ou des axes de deuxième «■spèce et de paramètre a \J-i. La symétrie S. du polyèdre équivalent sera dénotée différemmeiit, suivant l’un ou l’autre de ces deux cas. Ainsi le polyèdre moléculaire f A’, al,’, oC, il’] peut se placer par rapport à son Assemblage quaternaire de manière à ce que ses axes % F,’ .se couclient, soit sur les deux axes binaires de première espèce, soit sur les deux axes binaires lie deuxième espèce de l'Assemblage. Dans le premier cas, on aura

S, = [A*, uL’, oC, al’"], et, dans le second cas,

S,= |A% iL'%oC, il>=|.

Dans tout Assemblage sc'maii-e, il existe des axes binaires 31/ (jui sont de |)rcmière espèce et de paramètre égal à «, et des axes binaires 3 1/’ qui sont de deuxième espèce et de paramètre égal à a ^3. 11 en est de même pour les |>lans de symétrie normaux à ces axes. I.ors donc que le polyèdre moléculaire ne possédera qu’une seule de ces deux espèces d’axes, ou une seule de ces deux espèces de plans, il y aura lieu à des doubles solutions, provenant de ce <pie les axes ou plans de symétrie de la molécule pourront coinciiler tantôt avec les éléments de première espèce, tantôt avec les éléments de deuxième espèw de l’Assemblage.

(iesdilFérences, qui tiennent à la nature d«*s cliosr's, doivent d'autant moins être passé-es sous silence, qu’elles peuvent se traduire au dehors par la prédominance de telles ou de telles formes cristallines.

Définitions . — Nous désignerons dorénavant sous le nom d’rt.re.f communs, plans de symétrie communs dans un Assemblage ceux qui appartiennent aussi au polyèdre moléculaire, et sous le nom d’nj'CA dcjicients, plans de symétrie déficients d' un Assemblage ceux qui n’existent pas dans ce polyèdre.

Les doubles solutions que nous venons d’indiquer consisteront donc en ce que les axes ou plans de symétrie communs pourront être tantôt ceux de piemière espèce, et tantôt ceux de deuxième espèce.

XXX If ’ Cahier.

ai8

}J III. — De l'influence qu'exerce la symétrie du polyèdre moléculaire sur la figure des formes cristallines obliques.

lorsque le polyèdre moléculaire possède tous les éléments de symétrie de l’Assemblage, toutes les faces de même espèce sont identiques; par conséquent, le nombre des faces des formes cristallines n’éprouve aucune réduction, et le cristal est boloédrique.

Il n’en est pas de même dans le cas contraire. Je supposerai que le symbole de la symétrie de l’Assemblage soit

[QL»,Q'L^Q'’I/,C,/;P,//P',// P"],

tandis que la symétrie commune à l'.Asscmblage et au polyèdre moléculaire sera représentée par

IQ. I-’S Q'. I/. , Q-. , cC. P, P, P, P', p\ P"].

Je me bornerai dans ce paragraphe à considérer la réduction numérique qu’éprouve le système des faces homologues d'une face donnée (gbk), dans le cas oii cette face sera oblique, c’est-à-dire n’ofi’rira aucune particularité de position, n’étant ni parallèle ni normale à aucun des axes de symétrie du systi'me. La forme complète ou boloédrique continuera à être désignée par \ghk ]. I.Æ forme mériédrique le sera par le nouveau symbole u. \ghk\.

Je vais examiner l’effet qu'exercera la symétrie déliciente du polyèdre moléculaire sur ces formes obliques, dans les cristaux mériédriques, et je discuterai le cas des formes restreintes dans le paragraphe suivant.

Puisque [Q, IJ-, Q'^ L^' , Q' L^’ ] représente, par hypothèse, le système des axes communs de l’Assemblage et du polyèdre, il est clair qu’à chaque face (glik) correspondront {q, — i) faces directement semblables et identiques à (glik), distribuées autour de chacun des axes de symétrie L’", et par conséipient

{q, — i) Q, faces homologues, par rapport aux axes Q, L*',

(y, — i) Q’, faces homologues, par rapport aux axes Q', L’'. ,

(y, — i) Q’ faces homologues, par rapport aux axes ;

ainsi Ion déterminera le nombre total des faces directement semblables et

identiques, par la formule

• qui est l’analogue <Ie celle déjà obtenue à la page io8 de ce Mémoire.

Si l'on compare ce nombre avec celui des faces directement semblables dans la forme holoédrique, représenté par

ou trouvera que leur rapport est celui de i à a ou de i à 4 (*)> sauf dans le cas où l'on aurait

car alors ce rapport serait égal à l’unité.

Si donc l’on pose

• + (Vi — >1 Qi -I- (?‘, — ') Q' -t- (7*. — *10, '

■y' étant le rapport de ces nombres de faces, rapport susceptible des trois valeurs i > 7 » et si l’on continue à appeler N le nombre des faces de la

fonue oblique holoédrique donné par l’équation connue

N = a 1 1 -H (y — i) Q -H (y' — i) Q' -(- (y" i) Q" j, le nombre des faces directement semblables contenues dans la forme inérié-

(*) La comparaison de U deuxième colonne du Tableau n* VIII avec les symboles de symétrie des sept systèmes cristallins montre facilement que • tout polyèdre qui possède tous les axes binaires d'un .Assemblage en posst'dc aussi nécessairement les autres axes j » il en résulte que , (>arroi les axes dèb> cients, se trouvent toujours compris des axes binaires. O’ia étant ailmis, soit .r le nombre des faces directement soinbUbtcs de la forme menèdrtqtte; si l'on fait tourner le système de ces faces autour de Kun des axes binaires de S«, on obtient, en réunissant les nouvelles positions des faces aux anciennes, un système de ax faces directement semblables, et qui seront identiques, relativemeutâ un polyèdre moléculaire qui, outre les axes L^', L*'<, L^i, posaederait Taxe de rotation comme axe de symétrie binaire. Si ce nouveau polyèdre ne contient pas encore tous les axes binaires de l'Assemblafie , soit sa nouvelle symétrie déficiente, et faisons-îe tourner autour de l'un des axes binaires de on obtiendra un système de 4-x' faces, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on arrive à un polyèdre qui possède tous les axes de symétrie du polyèdre holoédrique, et alors le nombre total des faces homolu* ^les ainsi obteoiies sera \ N donc on doit avoir

ou x = |N,

. ou ax = {N,

ou 4 = T ^ *

«ao

ÉTUDES f.RISTAU.OCRAPHIQUES.

(Irique ju \gfik } sera

Définitwns. — Lorsque l’on aura ■)-' = i , le polyèdre sera dit hohmxc; il posst'dera tous les axes de symétrie de l’Assemblage.

fjoraque l’on aura y' = j, le polyèdre sera dit hémkure; un polyèdre lioloaxe pourvu d’un axe principal devient bémiaxe, lorsqu’il perd ses axes non principaux , ou lompie le numéro d'ordre de son axe principal devient moitié moindre; un polyèdre sphéroédrique holoaxe devient bémiaxe, lorsque les numéros d’ordre de ses axes pairs deviennent moitié moindres. Il peut arriver ([lie l’hémiaxie fasse disparaître les axes de symétrie; c’est ainsi que le polyèdre I oL, oC, P I peut être considéré comme un polyèdre bémiaxe du système binaire fA’, G, Il J.

Loisque l’on aura y' — -j, le polyèdre sera dit tétartoa,ce ; un polyèdre à axe principal et boloaxe devient tétartoaxe par la suppression de ses axes binaires et la réduction à moitié du numéro d’ordre de son axe principal. Ainsi [a*, oL’, oC, oP| est tétartoaxe par rapport au jmlyèdre l A‘, 3L% 3L'% oC, O P].

Lorsque l’ou fait tourner la forme mériédriqiie u\ghk\ de i8o degré-s autour de l’un des axes binaires déficients de l’As-semblage, on obtient une nouvelle forme | ghk j que nous nommerons forme conjuguée de u \gkk |.

Dans les polyèdres holoaxes, les formes cristallines ne pos-sèdent pas de formes conjuguées.

Dans les polyèdres hémiaxes, à chaque forme cristilline correspond sa forme conjuguée (]ui,étantréunie à laformeprimitive, conslituera une forme holoaxe.

Rntin, dans les polyèdres tétartoaxes, à chaque forme cristalline corresjwndent trois formes conjuguées distinctes, et la réunion des quatre formes conjuguées reproduira la forme holoaxe.

Voyons maintenant s’il existe des faces inversement semblables tians la forme mériédrique u\ghkl.

Si l’on n c = — = o, il est clair qu’il ne peut exister de face

inversement semblable, identique à {gfik) (*). Donc alors le nombre total des faces de la forme ,« \gkk \ .sera égal à ^ Ny'.

Si au contraire on a c = i , ou /?, , ou p\, ou p\ > o, c’est-à-dire s’il

( * ) Sauf cependant dan& un caa relatif au système quaternaire , ras qui sera eaaiiiinè à la page 379.

ÉTUDES r.niSTAU.OGRAPHIQIJES. aa I

existe un centre de symétrie, ou un ou plusieurs plans de symétrie dans le |>olyèdre, la face aura au moins une face inversement scmhlable qui

lui sera identique: or, à cette dernière face correspondront ^ Ny' — i homologues qui lui seront identiques et directement semblables; donc alors il existera 5N7' faces identiques, toutes inversement semblables à et

le nombre total des faces de /u. (gftk) sera égal à Ny'.

D'où l’on voit que le nombre des faces de fi \ghk \ peut être représenté j)ar Ny'y", y" étant un coefîicient égal à 1 , si l’on a c, ou p,, ou //, , ou //, > O, et égal à si l’on a c = p,= = o.

Tout polyèdre moléculaire qui ne possi-de ni centre ni plans de symétrie, mais seulement un ou plusieurs axes, sera appelé polyèdre hémisymètrique ; les formes cristallines auxquelles donnera lieu un tel polyèdre ne renfermeront jamais que des fac«s directement semblables entre elles.

Tout |)olyèdre moléculaire qui possède un centre de sytnétrie sera dit polyètlre rentré. I,e centre de symétrie sera toujours accompagné de jjlans de symétrie, s’il existe <les axes d’ordre pair dans le polyèdre.

Knlin, tout polyèdre moléculaire dépourvu de centre, mais possédant un ou plusieurs plans de symétrie, sera appelé polyèdre dichosymc'trique. Les fonnes cristallines auxquelles donnent nais-sance les polyèdres centrés on rlicliosymétriques se composeront toujours de faces directement semblables et d’un nombre égal de faces inversenjcnt semblables.

De là résulte la classillcation suivante des [)olyèdres moléculaires :

1". tloloaxes centrés ou boioédriques, a". Holoaxes liémisymétriqnes,

'1°. Hémiaxes centré-s,

4". Hémiaxes dichosymétriques.

Hémiaxes béinisymétriques,

G”. Tétartoaxes centrés,

Tétartoaxes dichosymétriques,

8°. Tétartoaxes hémisymétriques.

IjCS mêmes dé-signations peuvent s’appliquer aux cristaux auxquels ces polyèdres donnent naissance.

Dans les cristaux a®, 3” et 4°) toute forme oblique fi est hémiédrique, et n’a que la moitié de ses faces.

222 tTCDES CRISTALLOGBAPHIQI’ES.

Dans les cristaux 5 ", 6” et 7°, toute forme oblique « | ! est tétartoédri-

quc, et ne conserve que le quart de ses faces.

Enfin, dans les cristaux 8°, toute forme oblique j g’/tA | est hémitetartocdrique, et ne conserve que le huitième de ses faces.

1.1a classification que nous venons de faire a pour but de réunir sous un titre collectif des cristaux mériédriques jouissant de propriétés géométriques ou physiques qui leur sont communes. Ainsi nous verrons, dans la troisième imrtie de ce Mémoire, les cristaux hémiaxes donner lieu à des phénomènes d'emboîtement que l’on n’observe pas sur les cristaux holoaxes. Tous les cristaux connus jusqu’à ce jour comme doués de pouvoirs rotatoires optiques appartiennent à la catégorie des cristaux hémisymétriques. Tous les cristaux connus jusqu’à ce jour comme jouissant de propriétés pyroélectriques (sauf le rnésotyj)e et la prehnite, qui n’ont été que peu étudiés) sont des cristaux hémiaxes dichosyniétriques.

Ij’héniiédrie à faces parallèles des cristallographes allemands correspond au cas des polyèdres centrés, et l'hémiédrie à faces inclinées, au cas des polyèdres dichosyniétriques ou hémisymétriques.

Nous allons maintenant passer en revue les effets de la mériédrie sur les formes cristallines obliques, dans les différents systèmes cristallins. Cette analyse nous conduira à une classification des cristaux mériédriques identirpie au fond à celle proposée par M. Frankenheim, dans les /feta Academiœ miturœ Curiosonun, t. XIX, 2' partie.

Pour obtenir tous les cas de mériédrie possibles, on désassociera les N faces de la forme holoédrique, en rangeant sous le même en-tête celles de ces faces cpii restent toujours associées entre elles, quelle que soit la symétrie déficiente du polyèdre moléculaire. Dans les tableaux suivants, en tête de la première colonne figurent les éléments de symétrie qui servent à faire dériver les faces de cette première colonne de la face déterminante de la forme, face (ghk) ou [ghik). En tête de chacune des autres colonnes figurent les éléments de symétrie qui servent à faire déi-iver les faces de cette colonne des faces de la jiremière colonne. Ce mode de distribution des faces est tout à fait analogue à celui qu’ont employé M. Miller, dans son Traité de cristallographie, et plus tard M. Frankenheim, dans son System der Krystalle.

ÉTUDES CRISTALLOGBAPUIQIES. iSu3

Tableau des 48 Jaces de \gbk\, dans le Système terquatemaire.

Col. I

Coi. 11.

Col. 111.

Col. IV .

ghk

gkH

girk

~g~kh

ghk

gk h

ghk

gkh

ghk

ghk

gkh

ghk

gkh

ghk

gkh

hk g

hgk

hgk

hkg

hgk

hkg

hgk

h kg

hgk

hkg

hgk

hJg

hgk

hk}

hgk

kg h

kgh

~khg

kgh

kh g

kgh

khg

k gh

kh g

kgh

k gh

khg

kgh

khg

Pour dresser ce tableau, on a d'abord séparé en ses deux demi-

formes directe et inverse, puis on a réuni dans la colonne I les douze faces directement semblables entre elles par rapport aux axes 3L’, /fi', qui constituent la symétrie minin)uin du polyèdre moléculaire susceptible de cristalliser dans ce système.

Les faces {ghk), {ghk), (gïtk) sont les homologues de {ghk) par rapport aux axes 3L“, qui sont les trois axes coordonni^i de l’As-seniblage, rectangulaires entre eux. Si l'on prend les homologues de ces quatre premières faces par rapport aux axes ternaires, au moyen des permutations circulaires des caractéristiques, on achèvera de former la colonne I. Cette colonne |>orte en tête le symbole [3L’, 4L'J qui indique comment les faces qu'elle contient dérivent les unes des autres.

La colonne II dérive de la colonne I eti permutant entre elles les deux dernières caractéristiqiies, et changeant ensuite le signe de la dernière; géométriquement, cela revient à faire tourner de 90 degrés la face autour de l'axe coordonné auquel se rapporte la première caractéristique.

Cette colonne porte en tète le symbole 3 L’ % 6L'*, qui indique que les

KTLWES CRISTAU.OGlUPHlgl KS.

axes 31 sont devenus quaternaires, et que le polyèdre moléculaire a gagné les six axes binaires G I/’.

I «i colonne III dérive de la colonne I en changeant les signes de toutes les caractéristiques; on obtient ainsi les faces parallèles et opposées à celles de la colonne 1, ce qui indique que le polyèdre moléculaire est maintenant pourvu d’un centre de symétrie; comme les plans 3 P’ accompagnent toujours ce centre, l’en-tète de la colonne sera G, 3 P’.

De même la colonne IV dérive de la colonne II par le changement de signe des caractéristiques; mais, comme on peut aussi faire dériver les faces <li‘ la colonne IV de celles de la colonne 1 au moyen des plans de symétrie G P, on a écrit ce dernier symbole en tète de la colonne IV.

(ies dilTérents modes de dérivation géométrirpie peuvent se suivre facilement sur la /ig. lo qui représente, en projection orthogonale, la distribution des pôles des faces (c'est-à-dire des [loints de tangence de ces faces avec la sphère inscrite à la forme) sur l’hémisphère supérieur d’une sphère que i-oupc en deux un plan normal à l'un des trois axes quaternaires de l’.^ssemblage. Cet axe est pris pour axe des z et se projette orthogonalement sur le point O; OX, OV sont les moitiés positives des deux autres axes quaternaires. Le plan XOY étant un plan de symétrie du système, les pôles des laces <le l’hémisphère inférieur ont les mêmes projections que ceux des faces de l’hémisphère supérieur; on passe de ceux-ci à ceux-là en changeant le signe de la troisième caractéristique. Les pôles 1 1 i , i i i , i 1 1 , 1 1 1 sont les extrémités supérieures des (juati-e axes ternaires du système.

Lu polyèdre moléculaire de symétrie connue étant donné, pour obtenir les laces de sa Ibrme méricdriqiie u\ghk\ il suffira de réunir entre elles les colonnes dont les en-tête forment, étant rapprocliés, le symbole complet de sa symétrie. C’est ce que nous allons faire voir, en |)assant successivement en revue les différentes espèces de polyèdres qui cristallisent dans le système terquaternaire.

Polyèdre [3L’, .\h’, oC, oPJ; la forme terminée par les faces de la colonne I sera sa Ibrme mériédrique. Elle comprend douze faces; elle est d.'uic tétartoédrifpie; on pourrait ra[)pelei yô/7A(e hcmiasc hcmisymétrUfiic

Polyèdre |3L“, 41'*» f', 3P^J; la forme est terminée par les faces des colonnes I et III r on peut la désigner sous le nom de forme hemmxc cetüréc.

ÉTUDES CRISTALLOCRAI'IIIQUES. 2a5

Polyèdi'C [3fj“, oC, GP]; la forme correspondante est terminée par toutes les faces des colonnes I et IV : on pourrait l’appeler forme hémiaxe dichos > métrique .

Polyèdre |3L*, 41'*» 6L’, oC, oPj; la forme sjt.\ghJ<\ est terminée par toutes les faces des colonnes I et 11, et peut être désignée sons le nom de forme lutloaxe hémisy métrique. En réunissant les en-tête des colonnes pour reconstituer le symbole, il faut avoir soin de changer 3 L*'* en 3 L*.

Ces trois dernières formes sont hémiédriques.

Polyèdre [31/, 4^-'’» 6L’, C, 3P', GP^j; la forme est hoioédriqne et comprend les (piarante-hnit faces du tableau : en réunissant les symboles des en-tête, on devra changer 31” en 3 P* et GP en Gl”.

I>es formes liémiaxe bémisymétrique, hémiaxe dicliosymétrique, holoaxe bémisymétrique sont les formes hémiédriques à faces inclinées des cristallograplies allemands. La forme hémiaxe centrée est la forme hémiédriqiie à faces parallèles.

Tableau tics focei de j, dans le Système sénaire.

Cul. 1.

Ul |[.

Col. 111.

Col. IV.

Col. V-

Col. VI.

CoL. Vit.

coi. vin

ghii

ghik

gihk

gikk

ghik

ghik

g ih k

gihk

higA

hi g k

ihgk

ihgk

hi g k

higk

ihgk

ihgk

ighk

igk h

hgik

hgik

ighk

ighk

hgik

hgik

Pour dresser ce tableau, on a d’abord séparé \ghU{ \ en ses deux demiformes directe et inverse, puis on a réuni, dans la colonne 1, la face déterminante (ghik) avec les deux faces directement semblables, que l’on obtient par des rotations de i ao degi«-s de (ghik) autour de l’axe principal considéré comme simplement ternaire; pour cela, il siiflit de permuter circulairement les caractéristiques g", /« et i. L’on a écrit le symbole A’ en tête de cette colonne.

I.ia colonne II comprend les trois nouvelles faces directement semblables à (ghik) que l’on déduit des précédentes en considérant l’axe A* comme un axe à la fois ternaire et binaire, c’est-à-dire en changeant A’ en A*. xxxir- Caktcr. 19

aa 6 ÉTUDES cristalloghaphiques.

Les colonnes III et IV comprennent les faces homologues de {ghik) par rapport aux axes 3 L* et 3 L" de l'Assemblage.

I>a demi-forme directe étant épuisée, on obtiendra les colonnes V, VI, VII et Mil, en changeant tons les signes des caractéristiques dans les colonnes I, II, III et IV. Les en-tête de ces nouvelles colonnes rej)résentent les éléments de symétrie qui peuvent servir à faire dériver directement les faces de chacune de ces colonnes an moyen des faces de la colonne 1 .

On trouvera représentées, dans la Jig. 1 1 , les ])ositions des pôles des faces qui dépendent de l’hémisphère supérieur, la sphère étant censée coupée en deux par un plan normal à l’axe sénaire, et les projections étant supposées orthogonales. Le plan de projection contient les axes binaires de pieinière espèce OX, OV, OT; 1010,0110, 1100, 1010,0110, 1 1 00 sont les extrémités des axes binaires de deuxième espèce. Le plan XYT étant un plan de symétrie du système, les pôles des faces de l’hémisphère inférieur ont mêmes projections que ceux des faces de l’hémisphère supérieur; on peut jiasser des uns aux autres en changeant le signe de k.

Si maintenant on veut savoir (juelles sont les faces de la forme «jg/i/X ), pour l’un tpielconquc des polyi-dres moléculaires qui cristallisent dans le système sénaire, et dont le Tableau n” VUI nous donne la liste générale, il suffira de réunir entre elles les colonnes dont les en-tête embrassent les divers éléments de la symétrie du polyèdre. Voici le résultat de cette analyse.

Polyèdre [.V’, oL’, oC, oP] ; la forme est terminée par les trois faces de la colonne 1 ; on peut la nommer forme tctartomvc hémisfmclrifjite. Elle est hémitétartoédrique.

Polyèdre fA’, oL’, G, oP] ; forme terminée par les faces des colonnes I et V; on peut la nommer forme tétartotuve centrée.

Polyèdre | A’, oL’ , oG, II]; forme terminée par les faces des colonnes I et VI; on la nommera forme tétartoa.re dichosymetrique principale.

Polyèdre [ A’, oL’, oG, 3 PJ ; forme terminée par les faces des colonnes I et VII ; on la nommera forme tétartoa.ve dichosymetrique de première espece.

Polyèdre [a* , o L’ , oC , 3 P* ] ; forme terminée par les faces des colonnes I et VUI; on la nommera forme tétartoa.re dichosymetrique de deuxième espèce.

KTtlDES CRISTALLOGRAPHIQUES, 237

Polyèdre [a*, oL’, o(>, oP]; forme terminée par les six faces des colonnes 1 et II ; on la nonunera forme hémiaxe Itémisymclri^ue principale.

Polyèdre [A*, 3L’, oC, oP J ; forme terminée jwr les faces des coloimes I et 111; on peut la nommer forme hémia.ve hémisjmétrûpte de première espèce.

Polyèdre [ A’, 3L'% oC, oP J ; forme' terminée par les faces des colonnes 1 et IV; on peut la nommer forme hémiaxe hémisymétrique de deuxième espèce.

Toutes ees formes sont tétartoédriques.

Polyèdre [ A*, oL’, C, n] ; forme terminée par les douze faces des colonnes 1,11, V' et VI; on peut la nommer forme hémia.ve centrée principale.

Polyèdre [A’, 3L’,C, 3P’]; forme terminée par les douze faces des colonnes I, III, et MI; on peut la nommer forme hémiaxe centrée de première espèce. C’est la forme lioioédrique du système ternaire.

Polyèilrc [A’, 31,'*, C, 3 P'* J; forme terminée par les douze faces des colonnes I, IV, V et VIII; on peut la nommer forme hémia.re centrée de deuxième e.ipèce.

Polyèdre [A*, oL’, oC, 3 P, 3 P' J ; forme terminée par les douze f.aees des colonnes I, II, VII et VIII ; on peut la nommer /orme hémia.ve dicho.iymétrique principale.

Polyèdre [A*, 31,’, o(i, II, 31’'] ; forme terminée par les douze faces des colonnes 1, 111, VI et Mil; on peut la nommer forme hémiaxe dichosymétrique de première espèce. '

Polyèdre [A’, 3L'’, oC, n, 3P]; forme terminée par les douze faces des colonnes I, IV, VI et\’Il; on peut la nommer forme kémia.re dichosymé- Irique de deiu'ième espèce.

Polyèdre [a‘, 31,’, 3L'*, pC, oPj ; fonné terminée |wr les douze laces des colonnes I, II, III et IV; on la nommera forme holon.ve hémisymétrique.

Toutes ces formes sont héniiédriques.

Polyèdre [a‘, 31,’, 3L’’, C, n, 3P’, 31’’’]; forme terminée par les vingt-quatre faces du tableau, ou forme lwloa.xe centrée, ("est la forme holficdrique du système sénaire.

Quelques-unes de ces formes reproduisent, soit la forme lioioédrique, soit les formes mériédriques du système ternaire : on ne peut alors reconnaitre

a-i8 ÉTUDES CRISTALLOtiBAPIlIQUES.

si la cristallisation s’est opérée dans le système ternaire ou dans le système sénaire, qu’en tenant compte du clivage et de la densité réticulaire des faces dominantes.

Tableau tlei i6 faces de ^gh k j, dans le Système quaternaire.

Col. Il

Cou ni.

Coi.. IV.

Coi. V.

Col. VI.

Coi. VII.

Col. V ai. 1

mm

g hk

hg'A

ghk

kg k

mm

mm

wÊ.

On a dressé ce tableau d’aprè-s les mêmes principes qui ont servi à dresser celui du système sénaire, avec cette différence que les faces se groupent, non plus de trois en trois, mais de deux en deux, et que le symbole du plan de symétrie n, qui accompagne toujours le centreC, a dû passer de la sixième à la cinquième colonne. Pour savoir dans quel cas les face» de la sixième colonne devront appartenir à la forme niériédriqtie /jL\ghk | d’un polyèdre moléculaire donné, il suflira de se rappeler (jue le nombre des faces étant toujours 4, 1^ ou ifi, le nombre des colonnes à réunir doit toujours être un nombre pair.

La Jig. 1 2 montre les projeetions orthogonales des pôles des faces de riiémisphère supérieur, la sphère étant coupée en deux par le plan normal H l’axe principal. Les droites OX, OY sont les axes binaires de première espèce de l'Assemblage; i lo, i lo, i lo, i lo sont les extrémités des axes <le deuxième espèce. Les pôles des faces de l’héniisphère inférieur ont mêmes projections que ceux de l'hémisphère supérieur : on passerait de ceux-ci à ceux-là en changeant le signe de la caractéristique k.

Les différents cas qui peuvent se présenter sont les suivants : l’olyèdre [A*, oL’, oC, oP] ; la forme est terminée par les quatre faces des colonnes I et II: en réunissant les en-tête de ces colonnes, onremplacera A* ’ par A* ; cette forme pourra être appelée forme hémiaxe kémisyméirujtie. Elle est tétartoédrique.

Polyèdre [A*, oL’, C, n]; forme terminée par les huit faces des colonnes 1, II, V et VI ; on la nommera forme hémiaxe centrée.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. UUIJ

l’oiyùcire [a‘, oI,’, oC, 2 P, aP' | ; forme terminée p:ir les huit faces des colonnes I, II, VII et VIII; on peut lu nommer forme héminxe dkliosyrnétrif/ue principale.

Polyèdre [A’, aL’, oC, aP'j; forme terminée par les huit faces des colonnes I, III, VI et VllI ; on peut la nommer forme hémUuve didutsymclrûpie de première e.tpèce.

Polyèdre [A% al/’, oC, a P); forme terminée p,ar les huit faees des colonnes 1 , IV, VI et VII; ce sera la forme hémiajce dichosymétrâjiie de deu.vicme espèce.

Polyèdre [A*, aL’, al/’, oC, oPJ; forme terminée par les huit fttees des colonnes I, II, III et IV'; on peut la nommer forme lioloa.re hémisymétrifptc .

Toutes ces formes sont hémiédriques.

Polyèdre [A*, aL’, al/’. G, n, a P’, 2 P'’J; forme terminée par les seize faces du tableau ; on peut la nommer forme holonxc centrée. C’est la forme hoioédrique du système quaternaire.

Il serait possible qu’il se rencontnit dans la nature un polyèdre moléculaire dont les sommets bomolognes seraient disposés quatre à quatre autour d’im axe binaire central, comme le sont dans la fig. 1 2 les pôles ghk, g hk, hgk, Il gk, autour de l'axe normal au plan de projection. Un tel polyèdre obéirait à des lois de symétrie dilférentes de celles que je me suis borné à considérer dans mon Mémoire sur les polyèdres de forme symétrique. Quoique ayant pour symbole de symétrie [A’, oC, oP j, il pourrait cristalliser dans le système quaternaire. La forme mériédrique correspondant à ce genre de symétrie moléculaire compremirait les quatre faces des colonnes I et \'I de notre tableau. Ces polyèdres oflriraient cette circonstance digne de remarque, que deux faces inversement semblables, telles que (ghk) et (h g k), pourraient être identiques, quoique le polyèdre moléculaire ne possédât ni plans, ni centre de symétrie ; rien de pareil n’a lieu pour les polyèdres moléculaires que nous nous .sommes bornés à considérer jusqu’ici, ou que nous considérerons par la suite.

.l’ai exclu les polyèdres qui offriraient ce singulier genre de symétrie de l’étude générale que j’ai faite des polyèdres symétriques, avec d'autant moins de scrupules qu’il ne parait pas que ce cas singulier se rencontre dans la nature.

uio ÉTL’DES CRISTAI.I.OT.BAPHIQUES.

Toutefois, je l’ai atiniis dans le tableau final (Tableau n“ IX) des différentes espèces d’bémiédrie : pour distinguer un tel polyèdre, on pourrait le représenter par le symbole [A“, oC, oP]‘, l’exposant f\ étant destiné à indiquer (jue la cristallisation s’opérera dans le système quaternaire.

Tableau des la faces de dans le ^stéme ternaire.

Col. 1.

Coi. II.

Col. m.

Col IV.

g hit

g h il

g il t

h igt

ihgi

h igt

i hg t

ight

h g ik

ight

h git

Ce tableau peut être dressé d’après les mêmes principes qui nous ont guidé eu dressant le tableau tles faces du système sénaire. Du reste, on j>eut se borner à réunir les colonnes I, TII, V et VU de ce dernier tableau, en conservant leurs en-tête.

I.a fig. 1 3 représente en projection orthogonale les pôles des douze faces de la forme complète; elle est la répétition de La fig, 1 1 , avec cette seule difféi'ence que l’on a changé le signe de k pour les pôles gikk, ighk, l/igk, ghik, hglk et higk\ les ronds noirs indiquent les pôles des faces de l'hémisphère inférieur.

Il peut se présenter les cinq cas suivants :

Polyi-dre | A’, oL’, oC, oPj; la forme est terminée jwr les trois faces de la colonne I ; on peut la nommer forme hémiaxe hémisrniétrûjue. Elle est tétartoédrique.

Polyèdre [A’, oL’, C, oPj; la forme comprend les six faces des colonnes I et III ; on peut la nommer forme hémiaxe centrée.

Polyèdre [.'V*, oL’, oC, 3 PJ; la forme comprend les six faces des colonnes I et IV; on peut la nommer forme hémiaxe tUchusymctriijuc.

Polyèdre [A% 3L’, oC, oP|; la forme correspondante embrasse les six laces des colonnes 1 et II ; on la nommera forme holoa.ee hémisymétrujtie.

Ces trois dernières formes sont bémiédriques.

ÉTUDES CaiSTAU.OGRAPHIQUES. I

l’olyùdre |a’, 'if-’, C, 3P“J; forme holoa-ve centrée, et par conséquent lioloé(lri(|iie, comprenant les douze faces de notre tableau.

rrf*s eiiif| cas que nous venons d’examiner se retrouvent aussi dans le système sénaire; la disposition des formes prédominantes et le sens des clivaj^es serviront à fixer le choix de l’observateur entre les deux manières différentes dont la cristallisation de la subsUince pourra être interprétée.

Tahlcau des 8 faces de la forme j^/iA j, dans le Système terliinaire.

roL. I .

Cot. U.

Col. IU.

Cot. IV.

gk k

gk ï

gki

ghi

gki

gki

gki

On a construit ce tableau d’après les mêmes principes qui ont servi pour les tableaux précédents. On peut l’obtenir en rapprochant l’une de l’autre les colounes I, III, V et V'II du tableau du système quaternaire, en cbangeant l’en-tète ai/ en L’, I/’, et l’en-tête a P’ en P, P'.

La sphère qui contient les |iôles des faces étant supposée coupée par le plan ri en deux parties égales, la fig. i4 offre les pôles de l’hémisphère supérieur en |)roj'ection orthogonale sur ce plan. Les droites OX, OY sont les moitiés positives des axes binaires L’, L". En changeant â en ^ sur la figure, on aura les projections des |)ôles de l’hémisphère inférieur.

Trois sortes de polyèdres cristallisent dans le système terbiiiaire.

Polyèdre [A*, oL’, oC, P, P'|; la forme se compose des quatre faces contenues dans les colonnes I et IV ; on la nommera forme hémiaxe dichosynu'lritjue.

Polyèdre [aL L’, I/’, oC, oP]; la forme se compose des quatre faces contenues dans les colonnes 1 et II ; on la nommera forme holoaxc hémisymétrùjue. Cette forme est hémiédrique, comme la précédente.

Polyèdre [A“, L’, I/’, C, n, P’, P'* ]; la forme comprend les huit faces du tableau; elle est holoaxe centrée, et par conséquent holoédrique.

ETl'DES CRISTALl.OGBAPHIQfES.

a’ia

Tableau îles 4 faces de ta forme ^ghik j , dans le Système binaire.

Col. I.

Col. II.

coi. m.

Col IV.

TI

g Ai A

ghik

I.a loriiiatiun tic ce tableau n’ofirc aucune tlilTiculté, après que l'on a séparé la forme générale en ses deux deini-forines directe et inverse. I.a colonne 1 manque d’eii-téte; mais cette cireonstanee ne peut nous induire en erreur; car la face (ghik), étant là déterminante de la forme, sert de départ commun à toutes les formes boloédriques ou meriédriques.

La fig. 1 5 offre la projection des pôles sur le plan II ; OX, OY, OT sont les trois Rangées coordonnées situées dans ce plan ; les pôles supérieurs se projettent sur les projections des inférieurs, le pôle ghik recouvrant gkik , et le pôle ghik recouvrant ghik.

Ou peut avoir, dans ce système cristallin, à considérer les trois polyèdres suivants :

Polyèdre [olj, oG, II]; la forme comprend les deux faces des colonnes I et 1\ ; elle sera dite forme hémituve dichosymélrique.

Polyèdre |a’, oG, oPJ; la forme consiste dans les deux faces des colonnes I et II ; elle sera dite holorute hémisymélrit/ue. Gette forme et la précédente sont liémiédriques.

Polyèdre [A’, G, 11]; la forme (îompreud les quatre faces du tableau; elle est holoa.rc centrée, et par conséquent lioloédriquc.

Tableau des a faces de { g /i ^ ] , dans le Système asj mctrii/ue.

Ou. 1.

Col. II.

ghk

gkk

ÉTUDES CRISTALLODRAPlIlgllKS. 2.3'3

Il ne peut se présenter que deux cas, selon que le polyèdre moléculaire possède ou non un centre de symétrie.

Polyèdre [oL, oC, oPj; la forme est à une seule face; on peut l'appeler forme non centrée. Cette forme est liémiédrique et peut être considérée comme rentrant dans la catégorie générale des formes hémisymétriques.

Polyèdre [oL, C, oPj; la forme est à deux faces parallèles ; on peut l'appelcr forme centrée. C’est une Ibrme holoédrique.

Lorsque la position des axes d’un cristal aura été exaetement fixée , la détermination précise d'une seule forme oblique, du nombre et de la situation de ses différentes faces par rapport aux axes et plans de symétrie de l’Assemblage, conduira toujours à la connaissance de l’espèce d’hémiédrie propre au cristal, et, par conséquent, à celle de la symétrie du polyèdre moléculaire ou tout au moins du polyèdre qui lui est é(juivalent.

Mais comme la cristallisation produit beaucoup plus fréquemment des formes restreintes, parallèles ou normales aux axes, que des formes obliques, comme ces dernières se montrent même assez rarement dans les systèmes cristallins dont la symétrie est la plus élevée, il importe de rechercher quelles modifications la nature de la symétrie propre au polyèdre moléculaire peut exercer sur ces nouvelles formes.

Jj IV. — De l'influence qu’exerce la symétrie du polyèdre moléculaire sur la figure des formes parallèles ou normales.

Pour déterminer les modifications qu’éprouvent les fonnes parallèles ou normales dans les cristaux mériédriques, on [>eut employer deux méthodes différentes, la méthode des symimles et la méthode géométrique.

La première est d’un emploi facile ; un exemple suffira pour la faire comprendre.

On demande ce que devient la forme | g’og'A- j, dans le cas du polyèdre [a*, 3L'’, oG, II, 3 P] cristallisant dans le système sénaire.

Formez le tableau des faces pour la forme hémiaxe dichosymétrique de deuxième espèce. Pour cela, réunissez dans le petit tableau qui suit les

XXX/f’’ Cahier. 3o

l'i'f KTUDES CRISTALI.OGRAPHIQl’ES.

coloiinos I, IV, VI et Vil du tableau de la |)a^'C 2X>; vous aurez

ghik

gi h k

ghik

te i h k

higk

higk

i h gk

ighk

tigi k

ighl

h gi k

Change/, dans ce tableau h en o et i en g; il deviendra

ggo^

g°gh

g go h 1

gog*

oggi

gogt

egish

ogg^

ggt>*

ogg*

Kn comparant ces douze sjTnboles, vous verrez que les six dernières faces se confondent avec les six premières, et que la demi-forme inverse coïncide avec la demi-forme directe. Le noml)re des faces rtfellement distinctes sera donc réduit à six, et il sera facile de reconnaître que la figure de la forme sera un ditrièdre, ou hexaèdre à six triangles isocèles.

Cette méthode de l'identification des symboliîs a déjà été employée par M. Miller pour faire dériver le nombre des faces des formes restreintes du nombre des laces de la forme oblique, dans le cas de l'holoédrie; on voit que l'on peut l'appliquer avec le même succès aux cristaux mériédriques.

IjS seconde méthode est basée sur les deux tliéorèmcs suivants ;

1°. Toute forme oblique, en devenant orthoparaUèle, perd la moitié de ses faces, si le plan normal à l'axe parallèle à la forme est un plan de symétrie du polyèdre moléculaire; alors les deux demiformes directe et inverse se confondent. Dans le cas contraire, la forme conserve ses faces.

a®. Toute forme normale à un cure perd la moitié de scs faces, lorsque

le polyèdre moléculaire, cessant d’etre holoédrique, ne possède plus ni centre de .symétrie, ni plan de symétrie normal à l'axe L*, ni axe d’ordre pair normal à ce meme are; alors, de deux faces parallèles, l'une disparaît, cl la forme offre les caractères de l’hémiédrie a faces inclinées. Dans le cas contraire, la forme conserve ses faces.

l.a démonstration de ces théorèmes ne saurait offrir <le difficultés pour le

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. aS't

lecteur. Pour les appliquer, il suffira de se rappeler la position relative des axes et plans de symétrie de l’Assemblage.

Le Tableau n° IX a été dressé d’après ces principes. Il offre une classilication analogue à celle de ,M. Fraukenheini, ou du moins qui n’en diffî-re que dans des points d’un intérêt secondaire. La deuxième colonne renvoie, pour le détail des faces de chaque forme oblique, aux colonnes des tableaux du paragraphe précédent. Pour distinguer entre elles les formes d'un égal nombre de faces, mais de figures différentes, on a ajouté une grande lettre romaine à ce nombre. Voici la liste et le nom de toutes ces fonnes :

j 8 , hexakisoctaèdre, tétracontaoctaèdre (*);

^ 4 -^, trapé/.oidicositétraèdre ;

7411, hexakistétraèdre ; u 4 C, icositétraedre pentagonal ; x 4 D, triakisoctaèdre et trapézoèdre ; a 4 E, tétrakisbexaèdre ;

•a 4 F, didodécaèdre (**) ; i 6 , dioctaèdre (***) ;

fi A, de figure variable, non encore observée; laB, triakistétraèdre et deltoidododécaèdre ;

12C, dodécaèdre pentagonal, hémitétraki-shexaèdre ; laD, dodécaèdre rliomboïdal;

I a E, birhomboèdre ;

laF, scalénoèdre, métastatique;

I aG, forme ouverte consistant en un pointement à douze faces; on pourrait l’appeler monakisdodécaèdre ;

(*) Dans le cristal rc^ièrcnH'nt conforme, chaque face est la section plane tl*unc pyramide triangulaire k angles dièdres de 90 , 60 et ^5 degrés , dont les trois arêtes sont Tun des axes qunternairi^s, l'un des axes ternaires et l'un des axes binaires voisins.

(**) Chaque face est la section d'une pyramide triangulaire à angles dièdres de 90, 90 et 3 o degres , dont les trois arêtes sont Taxe sènaire et deux axes binaires voisiDS d'espèces différentes.

(***) La face composante résulte de la section plane d'une pyramide triangulaire ayant pour angles dièdres les angles 90 , 90 et 4 ^ degrés, et dont les trois arêtes représentent Taxe quaternaire, un axe binaire de première espèce , et un axe binaire voisin de deuxième espèce.

JiTL’DES CniSTAI.LOGRAPHIQlIES.

I a H , forme consistant en deux ditrièdres de même axe qui se pénètrent ; on pourrait l’appeler tétratriscalénoèdrc ;

I a I, forme consistant en deux puintements sextuples réguliers opposés l’uii à l’autre, mais qui ne se correspondent pas; on pourrait l’appelei' trapézoèdre liexagonal ;

la K, prisme dodécaèdre indéfini;