TROISIÈME PARTIE O

DES MACLES ET DES IlÉMITHOI’IES.

tÀ I . — Des cristaux maclcs par hcmitropic moléculaire.

( loncfvons que <Ies molécules fie même espèce viennent à se groupei' réj'ulièreinent et à cristalliser flans un système déterminé; construisons l’Assemlilage géométrique fies lignes qui réunissent hs centres de gravité de ces molécules, et par un de ses Sommets que je nommerai menons les axes et plans de symétrie de rAssemblage, formant un système |)rovisoirement fixe, et fjue je représenterai par A.

La molécule dont le centre vient se fixer en 2 possède certains éléments de symétrie S,, qui lui sont communs avec l’Assemblage; mais, si le cristal est mériédrique, il existe d’autres éléments, dénotés par le symbole S„, et (pii appartiennent uniquement à l’Assemblage.

Lue fois le centre de la molécule fixé en 2, elle tournera autour de ce point jusqu’à ce que ses éléments de symétrie S,, viennent coïncider avec les éléments homologues dans l’ Assemblage cristallin. Demandons-nons si cette superposition ne peut s'efTectuer que d'une seule manière, ou s’il existe deux ou plusieurs modes de coïncidence réellement distincts, c’est-à-dire tels cpie les lieux des sommets du polyèdre moléculaire autour du centre 2 soient diflérents.

Pour le dé’couvrir, fixons ce j)olyèdrc dans une première position que je nommerai p, et qui réalise les conditions de coineidenee que nous venons d'indiquer. Puis, laissant ce polyèdre immobile, faisons tourner l’Assemblage autour de 2, en lui donnant successivement toutes les rotations qui le ramènent en coïncidence avec lui-même, et soit A' l’une des nouvelles positions ainsi obtenues. Dans ce passage de A en A', les molécules sont rt*stées invariables dans leurs positions, et ainsi l'équilibre moléculaire subsiste après comme avant, llamenons maintenant l’Assemblage à sa j)remière position par une rotation inverse autour de 2, rotation à laquelle participeront, cette fois, tous les

(*) Communiqiipc à la Socii'ic Philomathique , le 8 juin i8C>u.

ÉTUDKs cbihtallograi>hiqi:e.s. 249

(xdvvdres moléculaires supposés maintenant liés avec l’Assemblage. Après que cette rotation aura été efiectuée, l'équilibre moléculaire n’aura pas cessé d’exister, les centres des molécules recoincideront avec les Sommets de l'Assemblage qui aura repris sa position initiale A ; mais chaque polyèdre moléculaire, et, en particulier, celui dont le centre <?st en 2 aura, par rapport à l’espace absolu, une nouvelle position p' : il s’agit de savoir si elle est distincte de la position p.

I/axe L’ autour duquel ont eu lieu les deux rotations successives et inverses de l’Assemblage appartient nécessairement à la symétrie de cet Assemblage, qui se dénote au moyen du symbole ( S^, S,J.

Si cet axe est un des éléments de la symétrie S^, cela veut dire qu’il est aussi un axe d’ordre q pour le polyèdre moléculaire ; donc une rota-

tion égale à ou à l’un des multiples de cet arc ramènera les sommets du

polyèdre à leurs mêmes lieux apparents; donc alors les deux polyèdres p et />' se superposeront, et l’on n’aura point obtenu un nouveau mode de coïncidence du polyèdre relativement aux axes et plans de l’Assemblage fixe.

Si au contraire l’axe est un des éléments de la symétrie S„, un de ces axes que nous avons nommés 0 axes déficients» de l’Assemblage, il n’appartiendra plus à la symétrie du polyèdre moléculaire; d’où il résulte que, lorsqu'on ramènera l’Assemblage dans sa première position, de A' en A, le polyèdre, ayant tourné autour d’une droite étrangère à sa symétrie, n’occupera plus le même lieu dans l’espace. De là résulte ce tbéorème :j

l'our obtenir les diverses manières dont le polyèdre moléculaire peut venir se ranger par rapport aux axes de l' Assemblage, on doit, en partant de l’une des positions possibles de ce polyèdre, le faire tourner successivement autour des axes déficients de V Assemblage.

Toutefois il importe de remarquer que plusieurs des solutions ainsi obtenues peuvent rentrer les unes dans les autres. Pour découvrir celles qui sont essentiellement distinctes, nous raisonnerons de la manièi’e suivante :

Soit s un sommet quelconque du polyèdre molt^ulaire, et soient ses homologues par rapport aux éléments de symétrie S, : on peut toujours considérer ces sommets comme étant les pôles d’une certaine forme mériédrique ,u jg’W j correspondant au polyèdre donné; les caractéristiques g, h, k étant XXXjy Cahier. 3î

u'io l^TUDES CRI.STAI.LOCjRAPHIQÜES.

(•hoisies de manière que le pôle de (ghf!) coïncide avec s, les pôles des autres laces identiques à (g/ik) coïncideront avec s', s",..., le mode de dérivation étant le mémo de part et d’autre. Or tontes les fois que l’on fait tourner de i8o déférés la forme f4.\gh/!\ autour de l’un des axes binaires déficients de l’Assemblage, on obtient l’une des formes conjuguées de u\gM'\ {voyez cidessus, page aao) : les pôles de cette forme représentent les positions prises dans l’espace par le système des sommets s, s', s",... après la demi-révolution du polyèdre f) autour de l’axe binaire. Ce qui vient d’être dit relativement à un seul système de sommets homologues dans le polyèdre/? s’appliquerait de même à tous les autres systèmes de sommets homologues que pourrait posséder le polyèdre />. D’où l’on voit qu’à chaque forme conjuguée correspond une position distincte du polyèdre p, et, par suite, l'on peut énoncer le théorème suivant :

/>’ mmibre de positions essentiellement distinctes <pie peut prendre le polyèdre moléculaire par rapport à l'y/ssemblage, sans en troubler la structure et férpiilibre, est égala l'unité augmentée du nombre des formes conjuguées que possède une forme oblique quelconque ,u | glib j correspondant à la symétrie de ce polyèdre.

Si le polyèdre est lioloaxe, il ne pourra prendre que la position unique/?.

•Si le polyèdre est hémiaxe, il sera susceptible de deux positions distinctes p,p'.

Enfin les polyèdres tétartoaxes pourront se ranger, par rapport à l’Assemblage, de quatre manières différentes, suivant les positions/?, /?',/?", /?*.

Ce dernier cas ne peut d’ailleurs se présenter que pour le polyèdre moléculaire de la forme [A*, oL’, oC, oP ou fl ou 3P] cristallisant dans le système sénaire.

En faisant tourner un tel polyèdre de 1 8 o degrés autour de l’axe principal de l’Assemblage, on l’amènera dans la position p' .

En le faisant tourner de i8o degn'-s autour de l’un des axes 3L’ de l’Assemblage, on le fera passer à la position p" .

Enfin en le faisant tourner de t8o degrés autour de l’un des axes 3L'*, il viendra prendre la position /?*.

Je mentionne ces résultats à un point de vue purement théorique; car aucune cristallisation tétartoaxe n’a encore été observée dans la nature, à

ETUDES CKISTAI.LOUHAPHIQUES. ‘l'H

moins qtie l'on ne veuille supposer que la tourmaline ou la craitonite a[)partiennent au système sénaire. Ainsi, je me bornerai à examiner le eas des polyèdres hémiaxes, lesquels peuvent s'orienter de deux manières distinctes par rapport aux Sommets fixes de l’Assemblage.

Concevons que, dans toute la partie droite d’un cristal hémiaxe, les molécules aient pris la position p : dans toute cette étendue, les lignes homologues des molécules sont |)arallèles entre elles. Concevons de plus que, dans toute la partie gauche, les molécules aient adopté la position p' ■. les lignes homologues des molécules, dans cette partie du cristal, auront cessé d’être (Mrallèles aux lignes homologues des molécules situées dans l’autre partie ; en d’autres termes, une molécule du système p transportée parallèlement à elle-même, et centre sur centre, sur une molécule du système p' , ne coïncidera point avec elle, sommets sur sommets : les conditions de constitution générale des corps l'égulièrement cristallisés se trouveront donc ici en dédaut, et l’on devra regarder cette association des deux sj'stèmes de molécules p et p' comme formant deux cristaux distincts qui se sont pénétrés mutuellement.

Ce qu’il importe de remarquer, c'est que, dans une telle niacle, tous les axes et plaïus de symétrie de l’Assemblage, et en général toutes les lignes cristallographiques courent sans interruption d’une extrémité du cristal à l’autre.

Je désigne un tel phénomène sous le nom de nutclc par hémitropie moléculaire, qui n’est que la traduction exacte des faits qui se sont produits dans l’intérieur du cristal ; le terme ô.' hémitropie est justifié par cette circonstance, que le polyèdre de position p' peut toujours être considéré comme provenant d'une rotation de i8o degrés du polyèdre p autour d’un axe convenablement choisi de l’Assemblage : cela résulte de cette remarque générale, déjà faite dans la note de la page a 1 9, qu’il existe toujours des axes binaires dans la symétrie déficiente d’un polyèdre moléculaire non holoaxe.

On reconnaîtra aux signes suivants le genre de pénétration mutuelle que nous venons d’indiquer. Soit u \ghl<\ une forme mériédrique qui se montre dans la partie du cristal où se trouvent les polyèdres moléculaires de position^: sa forme conjuguée u jg/iA‘| devra se produire dans la partie opposée du cristal, puisque cette forme dérive de m jg'/iA) par la même rofcition de 180 degrés qui amène p dans la position p'. Les deux formes hémiaxes conjuguées u\ghk\, u\gltk\ qui recouvrent, l’une le flanc droit,

■ ÀÔ-i Mtudes cristah.ogbaphiques.

l’autre le flanc gauche du cristal, seront parallèles aux faces alternatives de la forme holoaxc \gkk\, comme si la partie gauche du cristal avait été dérivée de sa partie droite par une rotation de 180 degrés autour de l’un des axes binaires délicients du système.

Voyons maintenant si les observations consignées dans les Traités ou Mémoires de cristallographie mentionnent de telles pénétrations de cristaux.

Polyèdre [ 3 1 / , 4 f.'’ » C , 3 P’ | . — I.a symétrie déficiente de ce polyèdre est exprimée par [ 3 L* ", 6L'’, fi P]; d’où l’on voit que le polyèdre primitif p donne le polyèdre p' ,

Soit par une rotation de 90 degrés autour de l’im des trois axes quaternaires de l’Assemblage ;

Soit par une rotation de 180 degrés autour de l’un de ses six axes binaires;

Soit enfin en se reproduisant symétriquement par rapport à l’un des plans (IP. De ces trois modes de dérivation, nous nous bornerons à conserver le mode de dérivation par héinitro|)ie, qui suffit à l’explication du phénomène.

Lors(jue deux cristaux de cette nature se maclent ainsi par hémitropie moléculaire, les deux hémitétrakishexaèdres de même espèce qui caractérisent l'hémiédrie des deux cristaux emboîtés sont parallèles aux faces alternatives de la forme holoédrique j g'/to ). Ce cas se présente quelquefois dans la pyrite de fer (voyez Cristallographie de Miller, n° u 4 o), et j’en ai eu moimême des exemples sous les yeux.

Polyèdre \ 3 L’ , 4 D’ > o C, fi P ] . — La symétrie déficiente est exprimée par le symbole | 3 L’ ’, fiL’,C, 3 P’]; d’où l’on voit que le polyèdre de position p' peut dériver du polyèdre de position p.

Soit par une rotation de 90 degrés autour de l’un des axes quaternaires de l’Assemblage;

Soit par une rotation de 1 80 degrés autour de l’un de scs six axes binaires ;

Soit en se reproduisant iuveisement par rapport au centre C ;

Soit enfin par reproduction symétrique relativement à l'un des trois plans 3 P’. Nous nous bornerons au mode de génération hémitropique.

Lorsqu’un tel cristal éprouve l’hémitropie moléculaire, les formes hémiaxes dichosymétriques (tétraèdre, triakistétraedre, etc. ) se juxtajjosent de manière à offrir des faces parallèles deux à deux.

éTi:DES CBISTAI.I.OGRAPHIQIÎES. »53

M. Miller cite un tel exemple emprunte à un cristal de diamant (voyez ('rislal/ographie, ii” 239). On peut voir aussi de tels cristaux de cuivre gris figurés par M. Dufrénoy (Atlas de Minéralogie, PI. CXXIV',^’^. 44 a).

Polyèdre |a*, 3I/,oC, oPJ. — I-es axes déficients de ce polyèdre sont représentés par le symbole [a* 31/’ |; d’où l’on voit que l’on peut faire

dériver le polyèdre p' du polyèdre p.

Soit par une rotation de 60 ou de 1 80 degrés autour de l’axe principal ;

Soit par une rotation de 180 degrés autour de l’im des axes L'*. De ces trois modes de dérivation, le plus simple est la demi-rotation autour de l’axe ternaire du polyèdre moléculaire.

Ce genre d'héiuitropie est assez fréquent dans le quartz, et notamment sur les quartz maclés de .léricLsau (*), où l’une des moitiés du cristal parait en effet avoir tourné de 180 degrés autour de l’axe principal pour venir coïncider avec l’autre moitié.

Pour mieux faire comprendre la nature d’tine telle liémitropie, j’ai construit le dessin {/ig. 19) qui représente un plan réticulaire de l’.Assemblage des molécules du quartz, mené normalement à son axe principal. A droite de la ligne brisée toutes les molécules sont censées placées dans la posi-

tion p ; des six atomes de la molécule supposée hexatomiqiic (voyez ci-dessus, f)agea42), les trois situés au-dessous du plan du dessin sont figurés par les pointes des flèches, les trois autres situés au-dessus du même plan sont censés placés aux extrémités opposées. Dans toute la partie située a gauche de a^y^, les molécules sont tournées dans la position p'. Les Rangées qui forment comme les fils du Réseau sont représentées par trois systèmes de droites se coupant sous l'angle de 60 degrés en chacun des Sommets du Réseau. Dans toute la partie p du système, ces lignes sont figurées pleines; au delà, dans la partie p', elles deviennent pointillées; il importe de remarquer que ces Rangées n’éprouvent d'ailleurs aucune interruption, malgré l’hémitropie des molécules situées au delà de a^yS. Il est facile de voir qu’il en est de même pour les Rangées non situées dans le plan de la figure, et qui traversent obliquement ce plan dans une direction ascendante ou descendante. On remarquera aussi que la ligne a^y ^ peut être quelconque; cependant, si

(*) Gustavi Rost, dans les Poggendorff's Annalcn^ lome LXII, |>age 333.

ÉTUDES CRISTALLOGRAFHIQUES.

l’on tient compte de cette circonstance, que l’accroissement du cristal se fait surtout par séries parallèles aux trois côtés de la niaille triangulaire du Réseau, il y aura lieu de penser que le plus souvent cette droite se décomposera en tronçons successifs jjarallèles à ces côtés.

J'ai suj>posé, dans ce qui précède, que la molécule du quartz cristallisait dans le système sénaire; l'opinion contraire, savoir, que le noyau du quart/, est un rhomljoèdre, ayant prévalu en général auprès des physiciens, voyons si la même explication peut s'appliquer à l'hyjjothèse d’une cristallisation ternaire. Suivant cette manière de voir, le quartz devient un cristal holoaxe, et rhémitropie moléculaire ne peut plus avoir lieu sans amener la discontinuité des Rangées de l’Assemblage, à partir de la surface de séjraration (|ui laisse d'un côté les molécules de position p, de l’autre celles de ]>osition p' ; à la vérité, cette discontinuité ne porterait pas sur les Rangées situées dans le plan normal à l’axe principal, mais elle aurait lieu pour toutes les Rangées obliques à ce plan.

Or il me parait bien probable que, dans les maeles du quartz, les Rangées se continuent sans interruption à travers les deux cristaux emboîtés ; leur soudure est tellement intime, il y a si peu de tendance au clivage ou au miroitement suivant le joint qui les réunit, l’analogie de structure avec les inacles des autres cristaux bémiaxes, et avec les maeles par inversion dont je parlerai bientôt est si grande, que je n'hésite pas à ranger le quartz parmi les cristaux hémiaxes du système sénaire (*).

I.es résultats des expériences de Savart sur le quartz s’expliquent d’ailleurs d'une manière très-satisfaisante, dans cette manière de voir, parla considération de l’Iiémiaxie de son polyèdre moléculaire.

Po/yc(/re [A‘, ol,’, C, flj. — I^es axes déficients d'un tel polyèdre sont représentés par le symbole 1 3 f/, 3 1/’ j ; d'où l’on voit que le polyèdre de position p' dérive du polyi’dre de position p.

Par ime rotation de 1 8 o degnis autour de l’un quelconque des six axes binaires de l’Assemblage. Lorsqu’un tel cristal se macle avec lui-même par hémitropie moléculaire, l’une des moitiés parait provenir de l’autre par une rotation de iHo degrés autour de l’un quelconque de ces axes binaires.

' *) L'ordre de prédominanre des faces est d’ailleurs conforinc à ce résultat.

ÉTUDES CRISTALI.or.nAl’HIQUES. lÔ'>

Je ne connais pas d’exemple d’une telle héniitropie, mais il est probable que l’on pourra l’observer, par exemple, sur des cristaux d'apatite.

Polyèdre [A*, oL’, G, II]. — Les axes déficients d’un tel polyèdre sont représentés par le symbole [iL’, aL'*]; d'où l’on voit que l’on peut faire dériver le polyèdre p' <lu polyèdre />,

Au moyen d’une rotation de i8o degrés efFectiiéc autour de l’un quelconque des quatre axes binaires de l’Assemblage quaternaire.

La seconde moitié du cristal paraît alors coïncider avec la position que prendrait la première moitié après avoir tourné de i8o degrés autour d’une droite normale à l’une des faces (loo), (oio), (i lo), (i lo). Ce genre d’héinitropie se rencontre quelquefois dans le schéelin calcaire {'voyez Miller, Cristallographie, n“ 248 )-

Polyèdre [a’, 2 L'*, oC, 2 P]. — Les axes déficients de ce polyèdre sont représentés par le symbole [A’ ’, 2L’] ; d’où l’on conclura que le polyèdre p' dérive du polyèdre p, de deux manières distinctes.

Soit par une rotation de 90 degrés dans un sens ou dans l’autre autour de l'axe principal ;

Soit par une rotation de 180 degrés autour de l’un des deux axes binaires de première espèce, c’est-à-dire autour de l’un des deux axes déficients de l’Assemblage.

Le cuivre pyriteux offre des exemples de ce genre d liéinitropie. l.a seconde moitié du cristal parait être identique avec la première moitié qui aurait tourné de 1 80 degi'és autour d'un axe normal aux faces de celui des deux prismes à base carrée qui est couronné par des pointements hémiédriques, c’est-à-dire autour d’un axe normal à la face ( 1 00) ou à la face (010) (voyez Cristallographie de Miller, n° a 45 ).

Polyèdres [A’, oL’, C, oPJ et [a*, oL’, oC, 3 PJ. — Ces polyèdres représentent les molécules de la craîtonite et de la tourmaline {voyez page 245). Comme nous avons admis que ces substances cristallisaient dans le système ternaire, leur symétrie déficiente, en ce qui concerne les axes, sera représentée par [ 3 L’J : d'où l’on voit que le polyèdre de position p passera à la position p', par une rotation de 180 degrés autour de l'un i]uelconque des trois axes binaires de l’Assemblage.

a’j(i KTUDES ciustai-lo<:raphiqi:es.

Je ne connais pas d’exemple d’une telle hémitropie; mais il est probable i|u’elle se rencontrera sur la touniialine.

Polyèdre [A*, oL“, oC, P, P']. — Les axes déficients de ce polyèdre oui pour symbole [L’, I/’j; d’où l’on voit que l’on fera passer le polyèdre p à la position p' , en le faisant tourner de i8o degrés autour de l’un des deux axes délicients de l’Assemblage.

On peut alors considérer la seconde moitié du cristal inaclé comme dérivant de la première par une demi-révolution autour de l’un de ces deux axes. M. üufrénoy (*) cite un cristal maclé de calamine dont la symétrie est précisément celle que nous venons d'indiquer.

Les crLstaux ayant pour polyèdre moléculaire [A“, L', I/’, oC, oPJ ou [a’, oC, oP] sont lioloaxes, et ne peuvent offrir de macle par hémitropie moléculaire.

I..a théorie que nous venons de développer rend doue un compte satisfaisant de ces divers faits d'hémitropie, dont l’interprétalion était restée incertaine pour les minéralogistes.

§ II. — ■ Des eristau-x maclés par inversion moléculaire.

Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, comment on pouvait, sur le même .Vssemblage cristallin, disposer de deux manières différentes (lorsque .le polyèdre moléculaire est hémiaxe) les molécules de la substance cristallisante, sans altérer les conditions d’équilibre, mais en employant toujoui's dans ce but les memes molécules.

On peut encore, dans certains cas, obtenir une double solution pour l'équilibre moléculaire, en conservant le meme Assemblage, mais en prenant, cette fois, d'autres molécules non superposables aux premières et qui, cependant, pourront être regardées comme identicjues avec elles.

Soit p le polyèdre moléculaire, et soit tt son polyèdre inverse, obtenu en joignant chaque sommet ou atome de p avec le centre de gravité du [lolyèdre, et prolongeant la droite de jonction d’une quantité égale à ellemême ; tantôt on pourra passer de p a tt par des rotations convenablement

(*) Traite He Miaéralogir. ^ tome II, page 607.

ÉTIDES CRISTALLOGRAPHIQUES. a07

effcctuéi-s, et alore la molécule p et la molécule t ne seront que la même molécule différemment orientée ; tantôt au contraire on ne pourra transformer /> en T par aucune sorte de rotation, et alors les molécules et t seront essentiellement distinctes, quoique cependant la disposition des atomes soit identique de part et d'autre.

Le premier cas se réalisera toutes les fois que le polyèdre p sera du genre de ceux que nous avons appelés « centrés », ou « dichosymétriques » ; car alors il possédera soit un centre, soit un plan de symétrie, et par conséquent il sera toujours susceptible de coïncider avec son inverse.

Le second cas se réalisera toutes les fois que le polyèdre p sera hémisymétrique.

Dans les cristaux lioloaxes hémisymétriques, à la position p correspond évidemment une seule position de l'inverse tt.

Dans les cristaux hémiaxes héinisymétriques, aux positions /i, /^' correspondent les deux positions tt, tt' de la molécule inverse.

De même dans les cristaux tétartoaxes hémisyniétriques, aux positions p, p\ p", p" du polyèdre primitif ou direct correspondraient les positions t, t', tt", tt" du polyèdre inverse.

Concevons maintenant que toute la partie droite d’un cristal hémisyniétrique soit formée avec des molécules de forme p, et que toute la partie gauche soit formée avec des molécules inverses et de forme tt; concevons en outre que T dérive de p par une génération inverse, obtenue au moyen d’un centre C, ou d'un plan de symétrie P. Si l’on compare dans les deux demicristaux accolés les parties homologues relativement à ce centre ou à ce plan, on verra que les lignes homologues des deux moitiés de l’ Assemblage sont disposées inversement par rapport à ce centre ou à ce plan, attendu que ce centre ou ce plan font partie des éléments de symétrie de l’Assemblage ; les lignes homologues des molécules et t satisfont, par construction, à la même condition ; donc l’équilibre sera le même dans chaque moitié. D’où l’on conçoit la possibilité d’une juxtaposition de deux cristaux à molécules /i et à molécules tt, tellement intime que les Rangées de l’un des cristaux soient l’exacte continuation de celles de l’autre, tous les axes et plans de symétrie traversant le double cristal sans interruption, et l’Assemblage reparaissant unique dès qu’on réduit par la pensée toutes ses molécules à leurs centres.