AB = 70'32', AM

ou l’octaèdre l'égulier correspondant an ras 9 = 4i r = 3; on a alors AB = go", AM = S4“44' >

ou le dodécaèdre régulier correspondant au cas 9 = 3, r := 5; alors AB = 4i”4g', AM = 37 ” 23';

ou l'icosaèdre régulier correspondant au cas 9 = 5, /• = 3 ; alors AB = 63“ 26 ', AM = 37 " 23'.

Soit maintenant M le nombre des sommets du [>olyèdre régulier ainsi obtenu ; chaque sommet ayant son homologue, qui lui est diamétralement opposé, on voit que le nombre total Q des axes d’ordre 9 sera au moins

égal à 4 M. Je dis, de plus, qu’on ne peut avoii' Q > 4 M. Car, si l’on avait

Q > 4 M, l'un des «xes d’ordre 9 viendrait percer la sphère en un point X

situe à l’intérieur de l’un des polygones sphériques ABCDE; l’une des distances angulaires de X aux sommets A, B, C, D serait nécessairement inférieure à AM, e; h fortiori à AB (d’après le tableau synoptique des valeurs corrélatives de AB et AM), ce qui est contraire à l’hypothèse d’inclinaison minimum des deux axes OA, OB. Donc on ne peut avoir

donc on aura

Les arcs AB, AM sont donnt’s |tar les formules connues,

rr>s- AB cnscc- cos— ■» rosAM = (xji-cot-*

MEMOIRE

Théorème XLII. — Un polyèdre splUroédrique ne peut avoir que des oses ternaires, quaternaires ou quinaires , les axes binaires non compris.

Cela résulte tle l’énoiicé du théorème [irécédcnt; L’étant l’un des axes du polyèdre, le nombre q ne peut être que le nombre d'angles plans susceptibles de s’associer pour former l’angle solide d’un polyèdre régulier : donc on doit avoir

q = ’i, ou 4) ou 5.

Théorème XLllI. — Il existe deux groupes distincts de polyèdres spliéroédriques, ceux qui possèdent quatre ares ternaires et ceux qui possèdent dix axes ternaires.

Kxaminons successivement les quatre cas auxquels conduit la répétition des Q axes L’ les uns par les autres, et soit toujours M le nombre des sommets du polyèdre régulier inscrit auquel conduit ce mode de répétition.

Üa ns le cas du cube, on a (théorème Xld),

y = 3, M = 8, Q = lM = 4.

Dans le cas de l'octaèdre, on a

Les trois axes quaternaires ainsi obtenus sont rectangulaires ; donc il existe alois quatre axes tcinaires (théorème XIV), et il ne peut en exister un plus grand nombre; car les nouveaux axes ternaires forceraient les axes (juaternaires à se répéter, de sorte que l’on aurait Q > 3, ce qui est impossible.

Dans le cas du dodécaèdre, on a

r/ = 3, M = 20 , Q=iiM = io.

Dans le cas de l’icosaèdre, on a

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMÉTRIQUE. LI

Soient alors M, M,, M,, Jig. la, troLs sommets voisins d'un icosaèdre inscrit : la normale abaissée du centre de la sphère sur la Ëice MM,M, sera évidemment un axe ternaire, et comme l’icosaèdre a vingt faces (>arallèles deux à deux, il y aura dix axes ternaires ; mais il ne peut y en avoir un plus grand nombre; car, pour ^ = 3 , on ne trouve que les deux valeurs Q= 4, Q= lo (théorème XLl). Donc, etc.

Corollaire. — Nous pouvons donc diviser les polyètires spheroédriques en deux groupes : les rjuaterternaires qui ont quatre axes ternaires assemblés comme le sont les quatre grandes diagonales d’un cube, et les décemternaires qui possèdent dix axes ternaires assemblés comme le sont les dix grandes diagonales d'un dodécaèdre régulier.

Cas des potredres fjuaterlernaû-es .

Théorème XLIV. — Si l'on construit un cube ayant pour diagonales les (juatre axes ternaires d’un polyèdre quaterternaire donné, les trois normales abaissées du centre de figure sur les faces de ce cube sont trois axes de meme espèce pour le pidyèdre, et de symétrie bi/uiire ou quaternaire

En prenant pour centre le centre de figure du polyèdre, |)oint de rencontre de ses quatre axes ternaires, et en prenant pour rayon l’unité, décrivons une sphère qui coupera les extrémités supérieures de nos quatre axes ternaires en A, A,, A,, Jig. ii. (J'ai projeté stéréograpliiquement la surface de cette sphère sur le plan du grand cercle dont A est le pôle; mais le lecteur est prié de suivre la démonstration comme si elle était faite sur la sphère : le centre O de celle-ci n’a point été marqué sur la ligure.) r.c cube inscrit dont A, .A,, A, sont les quatre sommets supérieurs, aura en B,, B,, B, les sommets diamétralement opposés à A,, A,, A,; AA, B, B,, AA, B, A,, .A.\,B,A, sont trois polygones sphérkptes carrés dont les centres M,, iM,, M, sont les extrémités des trois normales abaissées du centre sur les faces du cube inscrit.

Une double rotation de I 30 degrés, savoir : premièrement autour de A, comme [)ôle, <le A vers B,, et secondement autour de B, comme pôle, de A,

ut MEMOIRE

vers A,, amène A en B, et A, en A,, sans troubler le lieu des sommets : cette double rotation équivaut à une rotation de i8o degrés autour du pôle M,. Donc OM, est un axe dont la symétrie est a ou un multiple de a. D'ailleurs, la symétrie de OM, ne peut être d'ordre supérieur à 4 ; sans cela, le nombre des axes ternaires situés autour du pôle M, surpasserait ce qui est contraire aux conditions initiales: donc les trois axes rectangulaires OM,, OM,, OM, sont binaires ou quaternaires. .

Th ÉORÈME XLV. — Les polyèdres ijuaterternaires à a,ves binaires rectangulaires ne peuvent posséder aucun antre axe binaire.

S'il existait un autre axe binaire, il ne pourrait percer la partie supérieure de la surface de La sphère, Jig. 1 1 , qu'en un des trois points qui sont les milieux soit des arcs AA,, AA,, AA,, soit des arcs homologues A, B,, A,B,, A, B,, A,B„ A,B„ A,B, ; car, pour toute autre position, cet axe forcerait les axes ternaires à se répéter, ce qui en doublerait le nombre. Supposons que G,, milieu de AA,, soit l'extrémité du nouvel axe binaire; alors une double rotation du polyèdre, premièrement de i8o degrés autour du pôle (»,, «leuxièmement de lao degrés autour du jtôle A,, dans le sens A vers B,, amènera

A en A,, puis en A,.

A, eu .A, puis en B,,

B, en A,, puis en A,,

A, en B,, puis en A.

Ce double mouvement, qui ne trouble pas les lieux des sommets du polyèdre, équivaut à une rotation simple de 90 degrés autour de M, dans le sens A vers A, ; donc alors le pôle M, seiait l'extrémité d'un axe quaternaire, ce qui est contraire aux conditions initiales. Donc il ne peut alois exister aucun autre axe binaire.

Scolie. — Soit S,Jig. 1 i , un sommet du polyèdre donné ; il est pennis de supposer que ce sommet est sur la surface de la sphère, en prenant pour unité sa distance OS au centre de figure du polyèdre; ses deux homologues par rajiport au pôle ternaire A sont S' et f,e système SS'S’ se repro-

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMÉTRIQUE. LUI

doit en S,S„S’„, S,S',S' , S,S'jS' , en vertu de la binarité des pôles M„, M,, M,. Le système complet des homologues d’un même sommet sera donc, dans le cas actuel, un polyèdre inseriptible à la sphère.

Cette propriété, qui se reproduit dans tous les polyèdres sphéroédriques, sert de justification au nom que nous leur avons donné ; nom qui figure d’ailleni-s, avec un sens analogue, dans la terminologie cristallograpliique du célèbre professeur Weiss.

Corollaire. — D’après la disposition des douze sommets de ce polyèdre, il est facile de voir qu’il ne possède point de plans ni de centre de symétrie, du moins dans le cas général où le sommet S ii'ofire aucune particularité de position dans l'intérieur du triangle sphérique A, A, A { voyez la démonstration des deux théorèmes suivants).

Théobème XL VI. — Les polyèdres (pialerternaires à axes binaires rectangulaires peuvent posséder, soit sût pla/is de symétrie coïncidant avec les six plans qui joignent deux à deux les axes tenuùres, soit trois plans de symétrie coïncidant avec les trois plans qui joignent deu,v à deux les axes binaires; tout autre plan de symétrie ne saurait leur appartenir.

Toute disposition d'un plan de symétrie autre que celles indiquées dans l’énoncé, obligerait les quati'c axes ternaires à se répéter, et doit, par conséquent, être rejetée.

Si A, A.M,, Jig. 1 1 , représente un des plans de symétrie, la ternarité du pôle A exige qu’il en soit de même de A^AM,, A, AM,; la ternarité du pôle A, foive d’étendre cette conclusion aux plans B, A,M,, B,A,M,; il en sera de même de A,M, A,, en vertu de la binarité de l’axe O.M, (théorème XXIII).

Dans ce cas, chacun des triangles SS'S*, S,S',S',, S,S', S', , S,S',S",, est remplacé par un hexagone; on s’est borné à figurer celui qui entoure le sommet B,. Les vingt-quatre sommets du polyèdre peuvent se réduire à douze, si le sommet S, qui est censé le régulateur des positions de tons les autres, tombe sur l'un des trois arcs de grand cerele .^„AM,, A, AM,, .A, AM, ; ces sommets peuvent se réduire à quatre, si S coïncide avec A, etc.

Supposons maintenant que M,G,M, représente un plan de symétrie;

MEMOIRB

alors M,G,M,, M,G,M, seront aussi des plans de symétrie, en vertu de la ternarité du pôle Â. Dans ce cas, le triangle SS'S^se répète autour des pôles A,, A,, A, : 011 s'est borné à 6gurcr ce mode de répétition autour du sommet A, ; le triangle atr'a" est alors l’homologue du triangle SS'S" jjar rapport au plan de symétrie M,G,M,.

D'ailleurs ces deux systèmes de plans de symétrie ne peuvent exister simultanément; car il y aurait alors quatre plans de symétrie sc coupant au pôle M,, et l'axe OM, serait au moins quaternaire (théorème XI), ce qui est contraire aux conditions de l’énoncé.

Théorème XLVIl. — Les />olyèdres (juaterternaires à axes binaires rectangulaires ne peuvent avoir un centre de symétrie qu'à la condition de posséder trois plans de symétrie joignant deux à deux les axes binaires, et réciproquement la présence de ces plans entraîne celle du centre de symétrie.

C’est une conséquence des théorèmes XXI et XXII.

Théorème XL VIII. — Les polyèdres quaterternaires à axes binaires rectangulaires ne peuvent avoir que trois modes' distincts de symétrie, selon qu'ils sont dépourvus de plans de symétrie, ou qu'ils possèdent soit sic plans de symétrie passant par les axes ternaires, soit trois plans de symétrie passant par les axes binaires.

C’est une conséquence du corollaire du théorème XLV, ainsi que du théorème XLVI. Si l’on tient compte en outre du théorème XLVIl et des conventions faites à la page xxv, on aura les trois symboles

(4L>, 3L>, oC, oPJ,

|4D*. 3L% C, 3P‘], f/jL*, 3L’, oG, 6 P].

Théorème XLIX. — Tout polyèdre quaierterna'we à axes quaterruures possède six axes binaires joignant deux à deux les côtés opposés d'un cube qui aurait les quatre axes ternaires du polyèdre pour diagonales.

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. LV

Je dis que, si l’on joint le centre 0 de la sphère de la fig. 1 1 avec le point G, milieu de AA„ cette droite sera un axe binaire du polyèdre.

Donnons au polyèdre une rotation de 90 degrés autour de O.M,, de A vers A et une seconde rotation de lao degrés autour de OA,, de B, vers A; ce double mouvement, qui ne troublera pas les lieux apparents des sommets, amènera

A en A,, puis en A,,

A, en B, , puis en A,

B, en A,, puis en A,,

A, en A, puis en B,.

Le résultat de ces deux rotations est le même que si l’on avait fait tourner le polyèdre de 180 degrés autour de G,; donc OG, est un axe d’ordre pair, qui évidemment ne peut être que binaire, et il en serait de même pour les cinq autres droites homologues de OG,. Trois des six axes binaires sont situés dans le plan du grand cercle de projection de la sphère.

On prouverait, de meme que cela a été déjii fait dans la démonstration du théorème XLV, que toute autre droite serait impropre à être un axe binaire du système.

'rHÉOHÈME L. — Ixs polyèdres quaterternaires à axes quaternaires, s'ils possèdent des plans de symétrie, en ont nécessairement sic passant par les axes ternaires, et trois passant par les axes quaternaires ; ils ont en meme temps un centre de symétrie.

Je désignerai par P* les plans passant par les axes quaternaires, par P’ ceux qui passent par les axes ternaires. On a déjà vu (démonstration du théorème XLVl) que ce sont les seuls plans de symétrie possibles.

Admettons l'existence des plans P‘; M,G,M, et M, G, M,, /tg'. 1 1 , seront deux plans de symétrie se coupant suivant un axe quaternaire; donc AM, B,, A,M,A, seront aussi des plans de symétrie (théorème XXV) : le système P’ s'associe donc au système P*. On démontrerait de même que le système des plans P* s'associe toujours au système des plans P°.

Les trois plans du système P* sont normaux chacun à l'un des trois axes

LTI

MÉMOIRB

qu&ternaifes. six plans du système P’ sont normaux chacun à l’un des six axes binaires; car, si dans un cube à quatre arêtes verticales on joint deux à deux les milieux de deux de ces quatre arêtes opposées entre elles, chacune de ces droites sera normale au plan qui passe par les deux autres arêtes. L’existence des pians de symétrie entraînera d'ailleurs celle du centre de symétrie (théorème X\1I).

THÉoatME Ll. — Lf s polyèdres qualerternavres à axes quaternaires ne sont susceptibles que de deux modes de symétrie, selon qu'ils possèdent ou ne possèdent pas de plans de s^-mélric.

Cela résulte du théorème précédent.

Dans le cas où le polyèdre ne possède aucun plan de symétrie, il ne peut avoir de centre de symétrie, par suite du théorème XXI. sy.stème complet des homologues du sommet S, Jig. 1 1 , forme alors un polyèdre inscrit, à vingt-quatre sommets se groupant trois j>ar trois autour de chacun des huit pôles A, A,, A,, A,, B,, etc. On s’est borné, dans la figure, à représenter le triangle qui enveloppe, dans ce cas, le pôle A,.

liorsque le polyèdre a ses neuf plans de symétrie, les huit triangles SS'S", etc., sont remplacés par huit hexagones, et le système des hon>ologues comprend quarante-huit sommets.

Les syml)oles de ces deux modes de symétrie seront

[3L‘, 41/, 61/, oC, oP],

Cas des polyèdres décettUernaires .

THéoHÉME LU. — Si l’on construit un dodécaèdre régulier ayant pour diagonales les dix axes ternaires d'un polyèdre décemternaire donné, les six normales abaissées du centre de figure sur les faces de ce dodécaèdre sont des axes de symétrie quinaire pour le polyèdre.

En prenant l’unité pour rayon, et pour centre le point de mutuelle rencontre des dix axes ternaires, décrive/, une sphère qui coupera en A„, A,,

SDR LES POLYÈDRES DB FORME SYMÉTRIQUE. LV1

A,, A,, A,, B,, B,, B,, B,, la, les moitiés supérieures des dix axes

ternaires. (J’ai projeté stéréographiqiiemeot la surface de oette sphère sur le plan du grand cercle parallèle à lu face A, A, A, A, A, du dodécaèdre régulier inscrit dont ces extrémités A,, A,,..., B,, B,, eto., sont les sommets; le lecteur est prié de se représenter les points et lignes de la ligure sur la surface même de la sphère ; le centre () de la sphère n'est |>as marqué sur le dessin.) En joignant deux à deux les intersections, il en résulte des pentagones réguliei's sphériques dont les douze centres M, M,, M,,... N„, N,, etc., sont les extrémités de rayons menés du centre de la sphère normalement aux douze faces du dodécaèdre.

Deux rotations de tao degrés, l'une autour de OA,, de A, vers B,, et l’autre autour de OB„, de A, vers G,, amèneront A, en B, et A, en C,. Ces deux rotations, qui n’altèrent pas les lieux des sommets du polyèdre, équivalent à une rotation unique de i 44 degrés autour de OM,, de A, vers B„; celle-ci répétée trois fois équivaudra à une rotation de 7a degrés; donc l’axe OM, est un axe quinaire, et il en serait de même pour OM, OM,, OM,, etc. Les points M,, M, , etc. , sont les sommets d’un icosaèdre régulier inscrit à la sphère.

Théorème LUI. — Les polyèdres dccemternaires [wssèdent toujours quinze axes binaires.

Faites tourner le polyèdre donné de 72 degrw autour de OM, Jig. la, de A, vers A,, puis de lao degrés autour de OA,, de A, vers A,; par suite de ces deux mouvements, le |)ôle A, vient eu A,, et vient en A, ; le résultat final est le meme que si le polyèdre avait tourné de 1 80 degrés autour du rayon (X>, aboutissant au milieu de l’arc A, A , . Or, les lieux apparents des sommets n'ont pas été altérés; donc G est l’extrémité d’un axe d'ordre pair, qui est évidemment un axe binaire. I .e dodécaèdre régulier ayant trente côtés opposés deux à deux, le nombre total des axes binaires sera égal .à quinze.

Aucun autre diamètre de la sphère ne saurait être un axe binaire; car, quelle que fût sa position, il forcerait les axes ternaires à sc répéter, et l’on aurait plus de dix axes ternaires, ce que nous savons être impossible (théorème XLIII).

MÉMOIRE

On pourrait aussi obtenir les quinze axes binaires, en joignant deux à deux les milieux des arêtes opposées de l’icosaèdre inscrit MM,M

Théorème LIV. — Les polyèdres décemternaires peuvent avoti- pour plans de symétrie les quinze plans passant par les six axes quinaires combinés deux à deux; dans le cas contraire, ces polyèdres n'ont aucun plan de symétrie.

Considérons en particulier un plan passant par le centre de la sphère et par les sommets M et \I,, fig. i 2; ce plan sera un jilan de sjiiiétrie jxnir le système des points (A,, A,), (A,, A,),..., (M,, M,), (M,, MJ, etc. : il n’entraîne donc pas la duplication du nombre des axes; ainsi rien ne s’oppose à l’existence d’un tel plan de symétrie.

D’ailleurs le plan MM, est pcr|>endiculaire à la droite KK.', qui est un axe binaire du système. I.es homologues île ce plan sont, en tout, an nombre de quinze, savoir: MM,, MM,, .M.M,, MM,, M.M,; M„M,, .M,M,, M,M,, M,M,, M,M,; M,.M|, M,Mj, M,M,, M,M„ M,M,. Ce sont évidemment les seuls plans de symétrie que puisse posséder le polyèdre ; pour toute autre position, le nombre des axes ternaires deviendrait supérieur à 1 o, ce qui ne peut être (théorème XLlll).

\a fig. 12 oUre la disposition des soixante sommets homologues de S autour des pôles A,, A,, etc., dans le cas où le polyèdre ne possède aucun plan de symétrie.

Mais lorsque les quinze plans de symétrie ci-dessus indiqués existent dans le polyèdre, le triangle SS'S" est remplacé par un hexagone; pour iie p.as surchar"er la figure, on s’ est borné à représenter l’un de ces hexagones, celui qui environnerait le pôle B,. F,e système des homologues de S comprend alors cent vingt sommets; pour certaines positions particulières de S, ce nombre peut se réduire à soixante, à vingt, et même à douze sommets. O dernier cas se réalise, si le sommet S est situé à l’extrémité de l’un des axes quinaires du système.

Théorème CV. — lAirsqu'un polyèdre décemteruaire possède les quinze plans de symétrie indiqués dans l'énoncé du théorème précédent, ces plans

MX

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE

sont norrnau.r aux (juinze axes binaires, et le polyèdre possède un centre de symétrie; il en est dépourvu dans le cas contraire.

II rwiilte (le la démonstration du théorème précédent (jue l’axe binaire KOK', //g’. la, est normal an plan M,GMA,. Or ce plan est l’un des quinze plans de symétrie du jxilyèdre; donc chacun de ces plans est normal à l’un des (jiiinze axes binaires : donc le polyèdre possède alors un centre de symétrie (théorème WIl). Mais si le polyi’dre était déiiourvu de plans de sym('trie, il ne pourrait avoir de centre de symétrie, à cause de ses axes binaires (théorème XXI).

Théorème I .VI . — Les polyèdres décemternaires ont deux modes distincts de symétrie, selon fjuüs ont ou non un centre de symétrie.

C’est une conséquence des théorèmes LIV et LN',

l-es symboles de ces deux modes seront

[GI,S loL', i5l,’, oC, oPJ,

[61, S loI.S G, i5p>].

Théorème I,VII. — Les axes ipti caractérisent la symétrie des polyèdres f/uaterter/utires à axes binaires rectangulaires entrent aussi dans la symétrie des polyèdres décemternaires.

Choisissons arbitrairement un sommet d’axe ternaire tel que \^,Jig. ta; le milieu G de l’un des deux cotés .•V, A,, A, A, adjacents au côté A, A,, qui est l’opposé du sommet Aj dans le pentagone A,A,A,A,A,, sera l’extrémité d’un axcliinaire (théorème 1,111) : il en sera de même des points H, k. qui sont les homologues de G par rapport à l’axe ternaire OA,. Dans le triangle sphérique HGR, les trois angles H, G, K sont droits; donc les trois côtés HG, KG, HK sont égaux à <jo degrés.

I,es trois axes OG, ÜH, OK sont donc trois ax(?s binaires rectangulaires, et le trihngle sphérique GHK est trirectangle. l,e sommet .A, est le centre de ce triangle. De même A, sera le centre du triangle trirectangle GHK', B, edui

• MÈMOinE

(lii triangle trirectaiigle GK'H', H' étant l’extrémité iiiférieine de l’axe OII, et R, celui du triangle trirectangle KGII'.

Les fjuatre axes ternaires OA,, OA,, OR,, OR, se eonihinent donc avec trois axes binaires rectangulaires, dans les conditions de situation relative (lui raraetérisent les polyèdres f|naterternaires à axes binaires rectangulaires.

Scolie. — A la conihinaison OA„ OA,, OR^, OR, on pourrait substituer l'une «juelconque des quatre combinaisons suivantes