S'^CS'=2PC/?, CS'' = GS

Si donc de G, avec un rayon GS, on décrit la circonférence SS'S'^, et si l'on porte un certain nombre de fois l'arc SS' sur cette circonférence, les points S, S', S", etc., formant un système nécessairement limité, seront les sommets d'un polygone régulier inscrit à ce cejrcle. Si </ est le nombre de ces sommets, on voit qu'à chaque point S correspondent g — i autres points homologues de S par rapport à la normale au plan : cette normale sera donc un axe de symétrie dont le numéro d'ordre </ dépendra de la valeur de l'angle PC/?.

Corollaire. — L'angle SCS' est nécessairement de la forme

/?, q étant des nombres entiers premiers entre eux, et, dans le cas où S, S' sont deux homologues aussi voisins que possible, on a

SGS'=— ,

d'après le corollaire du théorème II.

Théorème VI. — Les polyèdres Sf métriques dépourvus daxes n'ont que deux modes distincts de symétrie, selon qu ils possèdent un centre ou un plan de symétrie.

Car iU ne peuyent pc^s^er à la foi» un. centra et un plian de symétiîe, en vertu du théorème IV, ni deux plans de symétrie, en vertu du théorème V. Ties symboles de ces deux modes de symétrie seront donc

[oL, C, oP], [oL, oG, P].

§ III. — Polyèdres symétriques a axe principal.

Théorème VIL — Lorsqu'un polyèdre possède deux plans de symétrie P, p, non perpendiculaires entre eux, il en possède un troisième P' qui est l'homologue de P^par rapport au plan p, et de même espèce que P.

Soient GP, ^p^^fig* 3, les traces des deux plans P, p sur un plan normal à leur commune intersection, et soit / un sommet situé sur ce dernier plan. Soit, de plus, GP^ la trace du plan F homologue de P par rapport au plan intermédiaire G/?. Le sommet / aiura un homologue en S par rapport à G/?, et S un homologue en s de l'autre côté de GP : de même, s siura un homo« Ungtiie en S^ par rappoit au plan G/? ; il est facile, de voir que S' sera Thomo- U>gt:ie de / par rapport au plan GF : ainsi à chaque sommet correspond un autre sommet qui est son homologue par rapport à ee dernier plan; donc P^ est aussi un plan de symétrie, et Ton voit qu'il est de même espèce que P.

Théorème VIIL — lorsqu'un polyèdre possède un plan de symétrie P, et un a^e de symétrie \a oblique à ce plan^ la droite L', homologue de h par rapport au plan, est aussi un axe de symétrie.

Gar soit ^^fig 4> un sommet quelconque, ayant un homologue en s par rapport au plan P, et soient y, /, s'' ^ etc., le système des homologues de s par rapport à Taxe L ; soient S, S', S'', etc, , les homologues de ^, /, /, etc. , par rapport au plan P. La configuration de S, S', S'^, etc., autour de L' sera la même que celle de s^ /, /, etc., autour dç L; donc \J est aussi un axe de symétrie, et de même espèce que L.

Corollaire. — Tout; plan de symétrie wtraîne la reproduction sm* le côte opposé de ce plan, non-seulement de chaque sommet, mais aussi de chaque

SUR LES POLYÈDRES ttfe FORME SYMETRIQUE. XXîi

plan ou axe de symétrie du polyèdhe. Les pkns et axte ainsi reproduits Sont de même espèce que les primitifs, et inversement semblables à ces derniers.

Théorèjwe IX. — Dans tout polyèdre possédant un axe L d'ordre 9, a tout plan de symétrie oblique a l'a^ve correspondent q — i autres plans de symétrie de même espèce.

Ce théorème se démontrerait comme les théorèmes VII et VIII.

On peut aussi se borner à remarquer que, pendant la rotation du polyèdre autour de Taxe L^, le plan de symétrie peut être considéré comme participant à cette rotation ; or, pendant qu'elle s'eftectue, ce plan ne cesse pas d'être un plan de symétrie par rapport au polyèdre qui participe à son mouvemeiit ; il en sera donc encore de même lorsque la rotation aura atteint une valeur

angulaire de

Théorème X. — Dans tout polyèdre possédant uYi axe L d'ordre q, à tout axe de symétrie L' oblique sur le précédent correspondent q — i autres axes de même ordre et de même espèce que l'axe U.

Ce théorème se démontre tH>mme le précédent ; loi^que le polyèdre tourne

de autour de L^, Taxe L' ne cesse pas d'être un axe de symétrie du

polyèdre mobile.

Corollaire. — Tout axe de symétrie d'ordre q nécessite la coexistence de tous les axes ou plans de symétrie qui sont les homologues d'un axe ou d'un plan donné, par rapport à l'axe d'ordre q. Les plans ou axes homologues ainsi obtenus sont de même espèce et directement semblables entre eux.

Théorème XI. — Lorsqu'il existe un nvmère total q de plans de symétrie se coupant suivant une même droite^ cette droite est un axe de symétrie* dont le numéro d'ordre est q ou un de ses multiples.

Les angles dièdres de ces plans sont nécessairement é^ux entre «ux ; sons cela ces plans se reproduiraient symétriquement l'un par rap[>ort à l'autre (théorème VII) ^ et leur nombre total serait supérieur à q.

Soient donc CPA et C/7A, fig. 5, deux plans de symétrie voisins : on aura évidemment