SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. XXV

d'eux peut être choisi arbitrairement, et considéré comme axe principal du polyèdre.

Notations. — Pour représenter symboliquement les diverses sortes de symétrie que les polyèdres peuvent comporter, j'emploierai la lettre G comme désignant un centre de symétrie; oG indiquera que le polyèdre est [)rivé d'un tel centre.

Les lettres A, L, \J désigneront des axes de symétrie ; A% L% I/^ des axes binaires; A', L%... des axes ternaires, et ainsi de suite, l'indice supérieur indiquant le numéro d'ordre de la symétrie.

La lettre A s'appliquera toujours à l'axe principal.

Ges notations suffisent pour les axes, attendu qu'il ne peut jamais en exister plus de trois espèces différentes dans un polyèdre.

Le nombre des axes de même espèce sera indiqué par le coefficient qui précède la lettre symbole de ces axes : ainsi la notation [A®, 3L^, 3L'-] indiquera un axe principal sénaire combiné avec trois axes binaires d'une certaine espèce, et trois autres axes binaires d'une autre espèce.

Les plans de symétrie seront désignés par les lettres II, P, P'; on affectera la lettre n au plan de symétrie nonnal à l'axe principal A, les symboles P et P' aux plans de symétrie qui ne sont normaux à aucun axe du polyèdre, et les symboles P^, P'^, P^' aux plans de symétrie normaux aux axes F/, L'^, \J^ de ce polyèdre. Le nombre maximum d'espèces de ces plans ne dépasse jamais trois.

Le nombre des plans de symétrie de même espèce sera représenté, comme pour les axes, par le coefficient qui [)récède le symbole de ces plans : ainsi [n, 3P^, SP"*] signifiera un plan de symétrie normal à Taxe principal, trois plans de symétrie de même espèce normaux aux axes 3L^, et trois plans de symétrie d'une autre espèce normaux aux axes 3L'^

Définition IX et divisions. — Au point de vue de leur symétrie, les polyèdres peuvent se partager en quati'e grandes classes :

i"* Polyèdres asymétriques;

a"* Polyèdres symétriques dépourvus d'axes 5

XXVl MEMOIRE

S"* Polyèdres symétriques a axe principal; cette classe se divise en deux, polyèdres à axe principal d'ordre pair et polyèdres à a^e principal d'ordre impair;

4^ Polyèdres symétriques sphéroedriques, lesquels possèdent un ou plusieurs axes, dont aucun n'est un axe principal : ils se divisent en deux groupes, \es polyèdres quaterternaires et \e% polyèdres décemternaires ^ selon, le nombre des axes ternaires qui leur sont propres.

§ I. — Polyèdres asymétriques.

Puisque ces polyèdres n'ont ni axes, ni centre, ni plans de symétrie, ils peuvent, conformément aux conventions précédentes, être représentés par le symbole

[oL, oC, oPj.

§ II. — Polyèdres symétriques dépourvus d'axes.

Théorème IV. — Dans tout polyèdre possédant un pian de symétrie et un centre de symétrie, la droite menée par ce centre normalement au plan est un axe de symétrie d'ordre pair.

SoientVQyJig. 2, le plan de symétrie, décentre, S un sommet quelconque du polyèdre, Ca A la normale au plan. Par cette droite et S menez le plan ACS normal à PQ, et contenant le sommet s homologue de S par rapport au centre C, ainsi que le sommet S' homologue de s par rapport au plan PQ. Si l'on joint S et S', il est visible que la droite de jonction sera perpendiculaire sur GA, et que Ton aura aS^ = aS. Donc la condition pour que l'axe AC soit un axe binaire sera satisfaite. L^axe AC pourrait aussi être un axe quaternaire, sénaire, et, en général, un axe d'ordre 2,g. Donc, etc.

Thj^orème V. — Lorsqu'il existe -Jeux plans de symétrie dans un polyèdre, leur intersection est un axe de symétrie.

Soit Sjjig. 3, un sommet quelconque du polyèdre; prenez pour plan de la figure le plan mené par S normalement aux deux plans de symétrie donnés ; soient CP, Cp les traces de ces plans sur le plan de la figure. On obtiendra