SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. XLI

Dans ce tableau, on peut donner à q toutes les valeurs possibles, depuis q = I inclusivement, jusqu'à q =100 .

Cas des polyèdres à axe principal d'ordre impair.

Théorème XXXI. — Un polyèdre possédant un axe principal d' ordre impair ne peut posséder en même temps un plan de symétrie normal à cet axe et un centre de symétrie

C'est une conséquence du théorème IV.

Thièorème XXXII. — Dans tout polyèdre possédant un a^e principal A'^"^*, s'il existe d'autres axes, ces axes sont binaires, leur nombre total est égal à 2q -h i, et ils sont tous de même espèce.

Un quelconque des nouveaux axes, nécessairement binaire et situé dans le plan normal à A^^"*^* (théorème XV), sera répété 2q fois, en vertu du corollaire du théorème X; d'ailleurs ces 2,q-\- i axes seront distincts entre eux, et ne se superposeront pas (comme cela arrive pour le cas des axes principaux d'ordre pair). En effet, si on les numérote o, i, 2, etc., dans

Tordre où des rotations successives, escales chacune à > les font naître,

on trouve que les inclinaisons de o, 1 , 2, 3, etc. , sur Taxe o sont

^ 27-hl 2<7-f-l 29-I-I 2^-1-1 2^-hI

et correspondent à des droites distinctes, puisque deux de ces angles ne peuvent jamais différer de 180 degrés.

Il ne peut exister, dans le plan normal k l'axe principal, d'autres axes binaires que ceux dont nous venons de constater la présence. Car, soit Q leur nombre total : si l'on avait Q > 2 5r + i , le numéro d'ordre de la symétrie de l'axe principal serait Q ou mQ (théorème XIII), ce qui est contraire à la supposition d'un axe principal d'ordre 2^ -h i .

Corollaire. — Le nombre des axes binaires normaux à A*^"^* sera toujours o ou 2^ + I.

XLIl MÉMOIRE

ThiJorème XXXIII. — Dans tout polyèdre possédant Va^e principal A*^*, s'il existe des plans de symétrie passant par Vaxe principal^ leur nombre total est 2y + i , et ils sont tous de même espèce.

On démontrera, comme dans le théorème précédent : i° que les ay H- i

plans provenant de rotations successives, toutes égales à ^ — — -> autour de

Taxe principal, sont distincts, de même espèce, et directement semblables entre eux ; 2° que leur nombre ne peut surpasser 2(7 -f- 1 , à cause du théorème XI.

Corollaire. — Le nombre des plans de symétrie passant par Taxe principal A^'^* sera toujours égal à o ou à 2^ -h i .

Théorème XXXIV. — Les polyèdres à axe principal A*^"*"*, qui' ne possèdent ni plans de symétrie passant par cet axe, ni axes binaires, offrent trois modes distincts de symétrie, selon quils ont ou nont pas un plan de symétrie normal h Vaxe, et, dans ce dernier ca^, selon qu'ils ont ou nont pas un centre de symétrie.

Si le polyèdre possède un plan de symétrie normal a l'axe j)rincipal, il ne peut avoir de centre de symétrie (théorème XXXI) ; dès lors, l'axe étant un axe principal, la symétrie du polyèdre est complètement fixée.

Si le plan normal à l'axe principal n'est point un plan de symétrie, la même impossibilité n'existe plus. Ainsi, avec nos précédentes notations, nous aurons les trois symboles distincts

[A^^"*, oL% oC, oP], [A^-^-, oh\ C, oP], [A^^"*, oL% oG, n].

Théorème XXXV. — Les polyèdres à axe principal jS.''^ ' , quiposst isolément^ soit les 2// 4- i plans de symétrie, soit les 2q -^ i axes bim compatibles avec cet axe principal, ne peuvent avoir ni plan de sy normal h A^^"^*, ni centre de symétrie.