SUR LES POLYEDRES DE FORME SYMETRIQUE. LI

Soient alors M, M^,, M^, fig, 12, trois sommets voisins d'un icosaèdre inscrit : la normale abaissée du centre de la sphère sur la &ce MM^M, sera évidemment un axe ternaire, et comme T icosaèdre a vingt faces parallèles deux à deux, il y aura dix axes ternaires ; mais il ne peut y en avoir un plus grand nombre; car, pour y = 3, on ne trouve que les deux valeurs Q = 4, Q = 10 (théorème XLI). Donc, etc.

Corollaire. — Nous pouvons donc diviser les polyèdres sphéroédriques en deux groupes : les quaterternaires qui ont quatre axes ternaires assemblés comme le sont les quatre grandes diagonales d'un cube, et les décemternaires qui possèdent dix axes ternaires assemblés comme le sont les dix grandes diagonales d un dodécaèdre régulier.

Cas des polyèdres quaterternaires.

Théorème XLIV. — Si Von construit un cube ayant pour diagonales les quatre axes ternaires d'un polyèdre quaterternaire donné, les trois normales abaissées du centre de figure sur les fiices de ce cube sont trois axes de même espèce pour le polyèdre, et de symétrie binaire ou quaternaire

En prenant pour centre le centre de figure du polyèdre, point de rencontre de ses quatre axes ternaires, et en prenant pour rayon l'unité, décrivons une sphère qui coupera les extrémités supérieures de nos quatre axes ternaires en A, A^,, A,, A^, fig. 11. (J'ai projeté stéréographiquement la surface de cette sphère sur le plan du grand cercle dont A est le pôle; mais le lecteur est prié de suivre la démonstration comme si elle était faite sur la sphère : le centre O de celle-ci n'a point été marqué sur la figure.) Le cube inscrit dont A, A^,, A,, A^ sont les quatre sommets supérieurs, aura en B^, B,, B^ les sommets diamétralement opposés à A^, A^, A^; AA^B.B^, AA^Bj A,, AA^B^^Aj, sont trois polygones sphériques carrés dont les centres M^, M,, Mj, sont les extrémités des trois normales abaissées du centre sur les faces du cube inscrit.

Une double rotation de 120 degrés, savoir : premièrement autour de A^ comme pôle, de A vers B^, et secondement autour de B^, comme pôle, de Aj,

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