NOMBRE TOTAL

des plans

de symétrie.

première espèce.

deuxième espèce.

troisième espèce.

Terquaternaires

Séoaires

Quaternaires

Ternaires

Terbinaires

Binaires

Dans la deuxième classe (Assemblages sénaires), le paramètre des axes binaires de première espèce étant i , celui des axes de deuxième espèce est toujours égal à y/S.

Dans la troisième classe (Assemblages quaternaires), le paramètre des axes binaires de première espèce étant i , celui des axes de deuxième espèce est toujours égal à y/a .

Dans la cinquième classe (Assemblages terbinaires), les rapports sont indéterminés.

Notations symboliques de la symétrie des Assemblages.

Si, par Tun des Sommets d'un Assemblage, on fait passer tous les axes et plans de symétrie qui lui sont propres, on pourra considérer l'Assemblage comme un polyèdre dont le centre est au Sommet que Ton a choisi.

On nomme centre de symétrie dans un polyèdre un point central ainsi situé, qu'en le joignant à un sommet quelconque du polyèdre, et prolongeant la droite de jonction , au delà de ce centre, d'une quantité égale à elle-même, le point ainsi obtenu soit aussi un sommet du polyèdre, lequel sera dit Vtiomologue du sommet primitif, par rapport à ce centre de symétrie.

Tous les polyèdres ne sont point pourvus d'un tel centre de symétrie ; lorsqu'il existe, sa présence y introduit un élément particulier de symétrie dont il est important de tenir compte.

Dans un Assemblage quelconque, tous les Sommets sont évidemment des

centres de symétrie ; cette multiplicité de centres est en rapport avec la multiplicité que Ton observe dans le système des axes de symétrie parallèles à un axe donné.

On peut appliquer aux Assemblages les mêmes notations symboliques qui m'ont servi à représenter la symétrie des polyèdres ordinaires (Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique, Journal de Mathématiques y tome XIV ) .

Dans les symboles que j'ai adoptés, la lettre G indique un polyèdre pourvu d'un centre de symétrie ; ce symbole devra évidemment se présenter dans toutes les expressions de la symétrie des Assemblages.

Les lettres A, L, L' désignent des axes de symétrie; A*, L% L'% des axes binaires; A% L\..., des axes ternaires, et ainsi de suite, l'indice supérieur indiquant le numéro d'ordre de la symétrie de l'axe.

Ija lettre A s'applique toujours à l'axe principal, seul de son espèce.

Le nombre des axes de même espèce est indiqué par le coefficient qui précède la lettre symbole de ces axes; ainsi la notation (A*, 3L^, 3L'') indique un axe principal sénaire combiné avec trois axes binaires d'une certaine espèce, et avec trois autres axes binaires d'une autre espèce.

I^es plans de symétrie sont désignés par les lettres n, P, P'; on afFectera la lettre II au plan de symétrie normal à l'axe principal A ; les symboles P^, F^, P^', aux plans de symétrie normaux aux axes L^, L'^, L^'; le nombre de ces plans sera placé, sous forme de coefficient, en avant de la lettre P: ainsi (n, 3P% 3P'^) signifiera un plan de symétrie normal à l'axe principal, trois plans de symétrie de même espèce normaux aux axes 3L^, et trois plans de symétrie d'une autre espèce normaux aux axes 3L'*.

Ceci posé, les symboles de nos sept classes d'Assemblages seront les suivants :

ASSKMBUGES.

SYMBOLE DB LEDS STMÉTRIB.

Terquaternaires. ... Scnaires

3L%4L«,6LSC,3P%6P«.

AS 3L«, SL'SC, n, 3P«,3P".

A%aLS aL",C,n,aP«,aP".

oL, C,oP.

Quaternaires

Ternaires

Terbinaires

Binaires

Asymétriques

94 JM^MOIRE

Il importe de remarquer qu'ici les lettres C, A, L, n, P,.-., représentent non pas un seul point, ou une seule ligne, ou un seul plan, comme cela a lieu dans les polyèdres à nombre limité de sommets, mais bien un système de points, ou un système d'axes tous parallèles, ou un système de plans pareillement tous parallèles entre eux.

Il faut ajouter encore qu'il existe dans les Assemblages des centres de symétrie qui ne coïncident pas avec les Sommets de l'Assemblage ; ces centres de symétrie sont les analogues des axes intermédiaires et des plans de symétrie intermédiaires dont nous avons parlé, pages 60 et 62. Ainsi, dans la classe asymétrique, il existe huit systèmes distincts de centres de symétrie de l'Assemblage, savoir : i"* les Sommets de l'Assemblage; 2® les centres des parallélipipèdes générateurs ; 3*^ les centres des faces de ces parallélipipèdes, centres qui se groupent en trois catégories distinctes ; 4** les milieux des arêtes, qui constituent aussi trois systèmes distincts de centres. On peut consulter, à ce sujet, le Mémoire de M. Philippe Breton {Journal de Mathématiques de M. Liouville, tome X, page 43o).

Il est entendu que nous nous bornons à considérer les centres qui coïncident avec des Sommets, de même que, parmi les axes de symétrie, nous n'avons tenu compte que de ceux qui passaient par des Sommets.

Des différents modes d'arrangement des Sommets dans la même caisse

d'Assemblages.

On a déjà pu remarquer que, dans une même classe d'Assemblages, venaient se grouper des Assemblages à modes d'agencement des Sommets complètement distincts, quoique les axes et plans de symétrie fussent les mêmes de part et d'autre. Je les nommerai les divers modes de la classe. M. Frankenheim, qui a été conduit, dans ses belles recherches sur la cristallographie (*), à une subdivision du même genre, a désigné ces modes sous le nom d'ordres; mais le terme « modes » me parait ici préférable , comme exprimant le feiit géométrique auquel ils correspondent. Par la même raison, je rejette la désignation de types sous laquelle je les avais d'abord décrits, dans une communication faite à la Société Philomathique le 1 7 mars 1849.

(*) Acta Naturœ curiosorum, t. XIX, 2* partie, p. 483.

Deux Assemblages de la même classe appartiennent à des modes distincts de symétrie, lorsqu'en faisant varier d'une manière continue les espacements des Sommets de l'un des Assemblages, sans quU perde un seul instant ses a^jces de symétrie, on ne peut , malgré cela , le rendre que partiellement superposable avec l'autre Assemblage. Tels sont, par exemple, T Assemblage dérivant du cube, et celui dérivant du cube centré. En faisant varier dans ce dernier le côté du cube, on peut foire coïncider la moitié de ses Sommets avec ceux du premier Assemblage; mais l'autre moitié, qui occupe les centres de figure des cubes, reste en dehors de la superposition.

Deux Assemblages appartiendront au même mode, lorsqu'une variation continue de leurs paramètres pourra les rendre coïncidents.

Lorsque les trois axes dont on fait varier les paramètres sont des Rangées conjuguées de chacun des deux Assemblages, ceux-ci appartiennent toujours au même mode d'arrangement ; car la superposition de Rangées conjuguées homologues, Sommets à Sommets, entraîne avec elle celle des Assemblages.

Tous les modes distincts d'une même classe peuvent toujours dériver de l'un des modes de la classe, par l'addition de nouveaux Sommets, soit au centre de figure du solide générateur, soit sur les centres de ses faces ; nous disons alors qu'on centre ce solide en son centre de figure, ou sur ses faces.

Je vais ajouter quelques nouveaux détails à ce qui a été déjà dit sur la division en modes de nos classes, ou systèmes.

Système terquaternaire. Il comprend trois modes distincts :

I**. Le mode hexaédral : le solide générateur est un cube portant une molécule à chacun de ses sommets [voyez la remarque de la page 3, ligne a4);

2®. Le mode octaédral : le solide dont il dérive est un octaèdre régulier portant une molécule à chacun de ses sommets ; on peut le remplacer par un tétraèdre régulier, qui en est une forme équivalente, ou bien encore par le rhomboèdre de 70® 3i'44'^- Ce mode dérive du cube par le centrage des six faces de ce solide; alors le nouveau cube (cube à faces centrées), outre les molécules de ses sommets , en porte une au centre de chacune de ses faces. La symétrie du solide ainsi obtenu est plus immédiatement évidente que celle de toutes ses autres formes équivalentes ;

3*". Le mode dodécaédral : le solide dont il dérive est un dodécaèdre

qG mémoire

rhomboidal portant une molécule en chacun de ses quatorze sommets et de plus une molécule centrale.

On peut le faire dériver du cube, par l'addition d'une molécule dans le centre de figure du solide. Si l'on joint par des droites les huit sommets d'un tel cube avec les six centres des cubes voisins, apposés sur chacune de ses six faces, on retombe sur le dodécaèdre rhomboidal centré.

On peut aussi prendre pour solide générateur le rhomboèdre de 1 20 degrés ; mais la symétrie de l'Assemblage est alors moins évidente que dans le cas où l'on considère le cube centré.

Système sénaire. — Un seul mode {voyez page 89). Système quaternaire. — Il comprend deux modes distincts : 1**. Le mode hexaédral, dont le solide générateur est un prisme droit à base carrée;

2°. Le mode octaédral, qui dérive d'un octaèdre droit à base carrée. On obtient cet octaèdre en centrant le prisme droit à base carrée, joignant ce centre avec les quatre sommets de la base, et ceux-ci avec le centre du prisme sous-jacent.

Système ternaire. — Un seul mode {voyez page 89). Système ter binaire. — Quatre modes distincts :

I °. Le mode hexaédral rectangle : le solide générateur est un prisme droit à base rectangulaire, portant des molécules en chacun de ses huit sommets; les Réseaux des trois plans de symétrie du système ont alors des mailles rectangulaires ;

2*". Le mode hexaédral rhombique : le solide générateur est un prisme droit à base rhombe. Ce mode dérive du précédent, au moyen du centrage de deux faces opposées, par exemple des deux bases du prisme générateur. On sait, en effet, qu'en centrant les mailles d'un Réseau rectangulaire, celui-ci se change en un Réseau à maille rhombe. Dans ce cas, les Réseaux des deux plans de symétrie verticaux sont à maille rectangulaire ; mais la maille est rhombe sur le troisième plan : l'axe normal à ce dernier plan peut être, suivant les cas, de première, de deuxième ou de troisième espèce;

3". Le mode octaédral rectangle: le solide dont il dérive est un octaèdre droit à base rectangle. On pourra le feiire dériver du prisme droit de même base et de même hauteur, en centrant ce dernier en son centre de figure, et

joignant ce nouveau Sommet aux quatre Sommets du rectangle de la base, ceux-ci avec le centre du prisme sous-jacent. Les Réseaux des trois plans de symétrie ont alors des mailles rectangles ;

4**. Le mode octaédral rhombique, fourni par l'octaèdre droit à base rhombe. On le fera dériver du prisme hexaédral rectangle, en centrant les six faces de ce dernier prisme : ces six nouveaux Sommets, joints deux à deux, donneront Toctaèdre droit à base rhombe. Les Réseaux des trois plans de symétrie seront alors à maille rhombe.

On voit que ces quatre modes correspondent au prisme droit non centré, au prisme droit centré sur ses deux bases, au prisme droit centré en son centre de figure, et au prisme droit centré sur ses six faces.

Système binaire. — Ce système n'offre que deux modes distincts : 1*". Le mode hexaédral, dont le solide générateur est un prisme droit à base parallélogrammique ;

2°. Le mode octaédral, qui dérive du précédent en centrant les prismes de ce dernier en leur centre de figure, ou bien encore en centrant deux de leurs quatre faces verticales. Ces deux genres de dérivation correspondent à un seul et même mode (*) (théorème LV, scolie I).

Si, après le centrage de deux faces verticales, on fait tourner le prisme de 90 degrés, en rendant verticales les arêtes suivant lesquelles se coupent les quatre faces non centrées, on obtient pour solide générateur un prisme à base rhombe, non horizontale, qui est le prisme rhomboidal oblique des minéralogistes.

Système asymétrique. — Ce système n'offre qu'un seul mode.

(*) M. Frankenheim (Jeta Nai. cunosorum, t. XIX, 2* partie, p. 5'jo) admet dans les Assemblages binaires (système du pinsme oblique d'Haiiy) trois modes distincts:

I". Le prisme droit à base parallélogrammique;

2**. Le prisme oblique à base rhombe;

3**. L'octaèdre droit à base parallélogrammique.

Il est facile de voir que les modes 2? et 3*^ forment double emploi , et correspondent seulement à des positions différentes de Taxe binaire , qui est horizontal et transverse dans le prisme oblique à base rhombe d*E[aûj, tandis qu'il est vertical dans l'octaèdre droit à base parallélogrammique.

Les divisions rationnelles du mode octaédral dépendent de la manière dont le Sommet, centre du prisme, se projette sur sa base, relativement aux trois côtés du triangle principal du Réseau. JCXXIIP Cahier. i3

Outre la communauté de position des axes et plans de symétrie, les divers modes d'un même système sont reliés entre eux par la propriété énoncée dans le théorème suivant ;

Théorème LXXXII. — Tous les Assemblages appartenant aux dwers modes d'une même classe, et qui dérivent les uns des autres par des centrages convenablement faits, offrent les mêmes systèmes de Rangées, et les mêmes systèmes de plans réticulaires .

En effet, lorsqu'on centre des parallélipipèdes générateurs, cela revient à ajouter un Sommet sur le milieu de l'une des diagonales du parallélipipède, d'ailleurs arbitrairement choisie; or cette intercala tion, en vertu du théorème LUI, n'altère pas les systèmes de Rangées et plans réticulaires de TAssemblage, du moins quant à leur direction absolue.

Lorsqu'on centre deux faces opposées du parallélipipède générateur, cela revient à ajouter un Sommet sur le milieu de Tune des deux diagonales de la face, c'est-à-dire à doubler le nombre des Sommets du système des Rangées correspondantes; les systèmes de Rangées et plans réticulaires restent encore les mêmes, quant à leur direction. Donc, etc.

Scolie. — Le même théorème s'apphque aussi aux Assemblages sénaire et ternaire qui ont le même axe principal et le même Réseau sur le plan normal à cet axe. On peut même remarquer que la coexistence des mêmes systèmes de Rangées et plans réticulaires s'applique à la fois à TAssemblage sénaire et aux deux Assemblages ternaires direct et inverse qui en dérivent par l'intercalation de deux nouveaux Sommets sur chaque paramètre deç Rangées diagonales du prisme générateur à base rhombe ( théorème LXI, corollaire).

Des plans réticulaires de même espèce et des Rangées de même espèce dans les Assemblages symétriques.

Définition. — Deux plans réticulaires sont de même espèce dans un Assemblage, lorsque la configuration des Sommets relativement à l'un de ces plans est la même que la configuration des Sommets relativement à l'autre. Pour constater cette similitude de configuration, on lie par la pensée les Sommets de l'Assemblage à chacun des deux plans, et l'un des deux systèmes est supposé mobile. Alors, si l'on peut Êiire coïncider en même

SUR LES SYSTEMES DE POINTS DISTRIBUl^S Rl^GULlÈ REMENT. 99

temps le plan mobile avec le plan fixe, les Sommets mobiles avec les Sommets fixes, les plans réticulaires seront de même espèce.

Pour que deux plans réticulaires soient de même espèce, il faut que leurs Réseaux soient superposables; mais cette condition n'est pas toujours suffisante. Il faut, en outre, que la superposition des Réseaux entraîne celle des Sommets extérieurs aux plans.

J'ai fait voir (Journal de M. Liouville, tome XIV, page 187) : i** qu'on obtenait le polyèdre inverse d'un polyèdre donné, en prenant un point arbitrairement, joignant ce point, ou pôle de symétrie, avec les sommets du polyèdre donné et prolongeant ces droites en arrière de cpiantités égales à elles-mêmes; â^ qu'au moyen du polyèdre inverse, tournant de 180 degrés autour d'une droite quelconque menée par le pôle, on obtenait un polyèdre symétrique du polyèdre donné (dans le sens géométrique de ce terme) par rapport à un plan de symétrie normal à la droite.

L'Assemblage inverse d'un Assemblage donné est toujours susceptible de coïncider avec l'Assemblage primitif: il suffît de prendre pour pôle de symétrie l'un des Sommets. Il en résulte qu'il en est de même d'un Assemblage et de l'un de ses symétriques (dans le sens géométrique du mot), ou, en d'autres termes, que deux Assemblages, symétriques par rapport à un plan de symétrie quelconque, peuvent toujours être amenés à coïncidence.

Théorème LXXXIII. — Si, en faisant coïncider le Réseau du plan réticulaire M de l'Assemblage mobile avec le Réseau du plan réticulaire F de l'Assemblage fixe, les deux Assemblages, au lieu de coïncider, devenaient symétriques l'un de t autre {dans le sens géométrique) par rapport au plan des deux Réseaux coïncidents, les deux plans réticulaires seraient de même espèce.

En effet, si l'on fait alors tourner, de 180 degrés, l'Assemblage mobile autour d'une droite passant par l'un des Sommets des Réseaux coïncidents et normale au plan de ces Réseaux, on amènera l'Assemblage mobile en coïncidence avec l'inverse de l'Assemblage fixe (*), c'est-à-dire avec l'Assemblage fixe lui-même.

(*) Note sur les polyèdres symétriques de la géométrie, théorème IV {Journal fie Mathématiques,