tome XIV, page iSg

lOO MEMOIRE

Théorème [jXXXIV. — Dans tout Assemblage possédant un plan de symétrie^ deux plans réticulaires, symétriques {dans le sens géométrique) par rapport à ce plan, sont de même espèce.

En faisant tourner l'un de ces deux plans, considéré comme faisant partie de l'Assemblage mobile, autour de la droite, intersection de ces plans, on amènera leurs Réseaux en coïncidence, et l'Assemblage mobile deviendra symétrique (dans le sens géométrique) de l'Assemblage fixe par rapport au plan des Réseaux superposés; donc, en vertu du théorème précédent, ces plans seront de même espèce.

On peut aussi établir directement que les deux plans donnés sont de même espèce, en les faisant passer tous les deux par un Sommet pris arbitrairement S, et menant par S une normale au plan de symétrie. Cette normale sera un axe d'ordre pair (théorème LU); si donc on fait tourner

l'Assemblage mobile d'un angle égal à q fois l'angle > iq étant le numéro d'ordre de la symétrie de l'axe, il y aura restitution des lieux des Sommets , et il est facile de voir que les deux plans réticulaires donnés viendront à superposition. Sommet sur Sommet.

Théorème LXXXV. — Deux plans réticulaires parallèles sont de même espèce.

n suffît de transporter le Réseau mobile parallèlement à lui-même pour obtenir la coïncidence des Sommets.

Théorème LXXXVI. — S'il existe dans un Assemblage deiuv plans réticulaires de même espèce, mais non parallèles, cet Assemblage possède au moins un ax:e de symétrie.

Les deux plans réticulaires, que je nommerai F et M, peuvent toujours être considérés comme ayant un Sommet commun S qui ne participe pas aux mouvements de l'Assemblage mobile. Supposons que des rotations convenables de cet Assemblage aient fini par amener le Réseau mobile M sur le Réseau fixe F. La coïncidence pourra toujours (d'après la théorie bien connue de la composition des rotations en mécanique) être considérée comme produite par une seule rotation de l'Assemblage mobile autour d'un axe de rotation passant par le Sommet S. Il importe de remarquer que cette droite, ainsi que l'angle de rotation unique qui amène M en coînci-

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES RÉGULIÈREMENT. lOl

dence avec F, se trouvent complètement déterminés, à la condition cependant que l'angle de rotation ne surpasse pas i8o degrés. Cette droite, jouissant ainsi de la propriété de produire, après rotation convenable, la restitution des lieux des Sommets, sera un axe de symétrie de l'Assemblage.

Corollaire. — Il ne peut y avoir de plans réticulaires de même espèce , et non parallèles, dans les Assemblages asymétriques.

Définition. — Deux plans réticulaires de même espèce et non parallèles , sont dits homologues par rapport à un axe de symétrie de l'Assemblage, lorsque la rotation uni(iue qui amène leurs Réseaux en coïncidence, l'Assemblage mobile se superposant à l'Assemblage fixe, a lieu autour de cet axe; l'on déduit de là le théorème suivant :

Théorème LXXXVII. — Deux plans réticulaires de même espèce y non parallèles y sont toujours homologues par rapport à un are de symétrie.

Corollaire. — On obtient tous les systèmes de plans réticulaires qui sont de la même espèce qu'un plan réticulaire donné, en cherchant les homologues de ce plan par rapport à tous les axes de symétrie de l'Assemblage.

Théorème LXXXVIIL — Le nombre des plans réticulaires de même espèce, homologues par rapport à un aooe de symétrie d'ordre q, est égal à q, si ces plans réticulaires rîojfrent aucune particularité de position par rapport à l'a^xe, cest-à-dire si ces plans ne sont ni normaux ni parallèles à cet axe.

En faisant tourner le plan de > 2 ? • • • ? (a — i ) ? on ob-

tiendra ses ^ — i homologues ; il est évident que leur nombre total est égal à q\ ces plans sont tous distincts les uns des autres, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent être parallèles entre eux.

Théorème LXXXIX. — Le nombre des plans réticulaires de même espèce, homologues par rapport à un axe d'ordre q, et parallèles a cet axe, est égal à q, ^/ q est impair, et à \ q^ si q est pair.

Le nombre total des plans est encore ici égal à q; mais, dans le cas particulier oiï q serait un nombre pair, les plans deviennent parallèles, deux à deux; le nombre total des plans de direction distincte se réduit donc alors à I ^.

I oa MiMOIRE

TnéoRÈME XG. — Le nombre des pUms de même espèce, homologues par rapport à Va^e d'ordre q, se réduit à l^ unité, dans le cas où le plan primi" twement donné est normal à l'axe.

Cette proposition est évidente.

Au moyen de ces principes, on résoudra facilement la question de la détermination des plans réticulaires de même espèce, quant à leur nombre, et quant à leur situation relative, pour un Assemblage donné, soit dans le cas où ces plans n'offriraient aucune particularité de position relativement aux axes de symétrie, soit dans le cas où ils seraient parallèles ou normaux à un certain nombre de ces axes. Cette question est d'une grande importance en cristallographie.

On peut établir pour les Rangées de même espèce des théorèmes tout à fait semblables à ceux qui se rapportent aux plans réticulaires de même espèce.

Définitions. — La définition des Rangées de même espèce est la même que celle des axes ou plans réticulaires de même espèce; celle des Rangées homologues est pareille à celle des plans réticulaires homologues.

Théorème XCI. — Si, en faisant coïncider le paramètre de la Rangée M de V Assemblage mobile as^ec celui de la Rangée F de l Assemblage fixe, tes deux Assemblages, au lieu de coïncider, devenaient symétriques l'un de l'autre ( dans le sens géométrique de ce terme) par rapport à un plan passant par la Rangée F, les deux Rangées seraient de même espèce.

Car, si l'on fait alors tourner l'Assemblage mobile, de 180 degrés, autour d'une droite passant par l'un des Sommets de la Rangée F et normale au plan de symétrie, on amènera l'Assemblage mobile en coïncidence avec l'inverse de l'Assemblage fixe, c'est-à-dire avec l'Assemblage fixe lui-même.

Théorème XCII. — Dans tout Assemblage possédant un plan de symétrie, deux Rangées, symétriques {dans le sens géométrique) par rapport à ce plan^ sont de même espèce.

Thiêoreme XCIII. — Deux Rangées parallèles sont de même espèce.

Théorème XCIV. — S'il existe dans un Assemblage deux Rangées de même espèce, non parallèles, cet Assemblage possède au moins un axe de symétrie.

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUl^S Rl^GULlèREMENT. lo3

Théorème XCV. — Deux Rangées de même espèce, non parallèles, sont toujours homologues par rapport à un axe de symétrie.

Corollaire. — On obtient tous les systèmes de Rangées de même espèce que celle d'une Rangée donnée , en cherchant les homologues de celle-ci par rapport à tous les axes de symétrie de l'Assemblage.

Théorème XCVI. — Le nombre des Rangées de même espèce, liomjohgues par rapport à un axe d'ordre q, est égal à q, si ces Rangées ne sont ni parallèles ni normales à cet axe. t

Théorème XCVII. — Le nombre des Rangées de même espèce, homohgues par rapport h un axe d'ordre q et normales h cet axe, est égal à q, si q est impair, et à\q^y si q est pair.

Théorème XGVIII. — Le nombre des Rangées, homologues par rapport à l'axe d 'ordre q, se réduit à V unité, dans le cas du parallélisme de la Rangée a^ec l'axe.

Ces théorèmes se démontreraient exactement comme les théorèmes LXXXIV à XG : ils sont, du reste, une conséquence nécessaire de la réciprocité qui existe entre les Rangées et les plans réticulaires dans les Assemblages dits a Assemblages polaires l'un de l'autre, » réciprocité dont il sera question dans le paragraphe suivant.

Théorème XGIX. — Des axes de symétrie de mente espèce sont en même temps des Rangées de même espèce.

Ge théorème est la conséquence des définitions des axes de même espèce (page 58) et des Rangées de même espèce (page loa).

§ VL — Des Assemblages polaires.

Définitions, notations. — Un Assemblage étant donné, menons par l'un de ses Sommets, pris arbitrairement pour origine, des normales à trois plans conjugués de cet Assemblage, et sur chacune de ces trois normales, portons des longueurs égales aux aires des parallélogrammes élémentaires des Réseaux tracés sur chacun de ces plans, divisées par Vinten^alle moyen des Sommets. Si^ avec ces trois nouveaux axes, et ces longueurs pour paramètres, on

Io4 MEMOIRE

construit un Assemblage, il sera dit V Assemblage polaire du primitif] et jouira de propriétés importantes, que nous allons faire connaître.

Le symbole ghk représentant une Rangée allant de Torigine au Sommet dont les coordonnées numériques sont g", A, k dans l'Assemblage primitif, le symbole \^ghk^ représentera une Rangée allant de l'origine au point dont les coordonnées numériques sont g-, A, /• dans son Assemblage polaire.

Le symbole {ghk) représentant le plan réticulaire dont l'équation est

gx + hx + kz = o,

le symbole [(g"/^^')] représentera un plan réticulaire dont l'équation est de même forme dans l'Assemblage polaire.

Je continuerai à désigner par Vghk le paramètre d'une Rangée allant de l'origine au Sommet dont les coordonnées numériques sont g", A, /•, c'està-dire le paramètre de la Rangée ghk.

Je désignerai par P[g"AX] le paramètre d'une Rangée allant de l'origine au point dont les coordonnées numériques sont g^ A, k dans l'Assemblage polaire, c'est-à-dire le paramètre de la Rangée polaire [g'AA].

Je continuerai à désigner par ^[ghk) Taire du parallélogramme générateur du Réseau tracé sur le plan réticulaire (ghk) y dans l'Assemblage primitif.

De même S[(g^AA)] sera Taire du parallélogramme élémentaire du Réseau tracé sur le plan réticulaire dont la notation est [(g'/^A)], dans l'Assemblage polaire.

Continuant à nommer E l'intervalle moyen, et remarquant i° que loo, oio, ooi sont les notations symboliques des axes des x^ des y et des z; 2"* que (loo), (oio), (ooi) sont les notations symboliques des plans des jz, des xz et des xy^ on aura , d'après les conventions précédentes,

(63) P[,oo]=^, P[oio]=^ipl, P[ooi] = ^).

Je continuerai à désigner par a, ^, (î" les angles plans sur les plans des yz, des xz et des xy; par ^, v, ^j les angles dièdres ayant pour arêtes les axes

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUlÉS RIÊGULIEREMENT. Io5

des x^ des j et des z. Ceci posé, on aura évidemment

IS(ioo) = Poio.Pooi .sina, S(oio) = Pioo.Pooi .sin|3, S(ooi) = Pioo.Poio.sin<î.

Dans l'Assemblage polaire, nous prendrons pour axe des [a;J la normale au plan des/z, pour axe des [/] la normale au plan des xz^ pour axe des [z] la normale au plan des xy. Les trois demi-axes positifs doivent être dirigés du même côté que le demi-axe positif de même désignation dans l'Assemblage primitif, par rapport au plan auquel chacun de ces nouveaux axes est perpendiculaire. Les trois angles plans de ces axes seront représentés par [a], [p], [J"]; leurs trois angles dièdres, par [^t], [v], [^j.

Théorème G. — Les angles a, /3, ^ étant les angles plans du par allé- Upipède générateur de V Assemblage primitif y et jUL^y^ f^D ses angles dièdres, les angles plans de son polaire seront 180*^ — ytt, 180® — v, 180** — ^m^ et ses angles dièdres 1 80*" — a, 1 80"* — ^,1 80"* — ^.

C'est une conséquence bien connue des propriétés des triangles sphériques polaires.

On aura donc

(65) [a] = 180^— fjL, [^] = 180^— f, [S] = 180^ — ^,

(66) [ytc] = i8o^ — a, [v] = i8o^— /3, [^] = i8o^— (T.

Théorème CL — Si, du sommet O d'un tétraèdre Ox\BD (fig. 38), on élève sur les trois faces latérales OBD, OAD, OAB les normales Oa, 06, Orf, situées, par rapport à chaque face, du même côté que le sommet opposé h la face, et égales respectivement aux aires triangulaires de ces trois faces, la diagonale du parallélipipède construit sur les arêtes Oa, 06, Od sera normale à la base ABD et égale à l'aire de cette base. . On a , par construction ,

Oa = aire OBD, Ob = aire OAD, Od = aire OAB.

De même que Oa, 06, Od sont perpendiculaires aux plans OBD, OAD,

XXXUV Cahier. i4

I o6 MEMOIRE

OAB, de même OA, OB, OD seront perpendiculaires aux plans Obd, Oadj Oab.

Abaissons de O sur la base ABD la normale OP, et par a menons le plan a A'/? parallèle au plan bOd^et, par conséquent, normal à l'arête OA. Ce plan coupera OA en A' et OP en p. Projetons les triangles OBD, ABD sur le plan aA'p ; O et A auront une même projection en A' : ainsi les deux aires projetées coïncideront. La première des deux aires projetées a pour valeur

aire OBD cos ( plan ODB, plan a A'/?) ,

et, en remplaçant les plans par leurs normales,

aire OBD cos (Oa, OA) = aire OBD ^ = OA'.

L'autre aire projetée sera de même

aire ABD cos (O/?, OA) = aire ABD g^.

Donc, en égalant ces deux expressions, il viendra

OA' = aire ABD S^, Op

d'où

(67) 0/? = aire ABD.

Menons maintenant par b un plan parallèle à aOd; on démontrera de même que ce plan coupe OP à une distance de O égale précisément à Taire ABD, c'est-à-dire au point/? déjà obtenu.

n en sera de même, en menant par d un plan parallèle kaOb. Ces trois plans, avec leurs plans parallèles bOd, aOd, aOb, forment im parallélipipède dont Oa, Oè, Orf sont les arêtes, et dont Op est la diagonale ; cette diagonale est donc égale et normale au triangle ABD.

Corollaire. — Si les arêtes Oa, Oè, Oc?, sans être égales aux aires des faces, leur étaient proportionnelles dans le rapport i :B, la diagonale O/? serait aussi, avec l'aire ABD, dans le même rapport 1 :B; elle continuerait à être normale au plan ABD.

Thi^orème cil — Si (ghk) est le symbole d' un plan réticulaire apparte-nant à un Assemblage donné ^ et si, dans son Assemblage polaire, l'on construit la droite menée de V origine au point dont les coordonnées numériques sont gj hy^k, cette droite, de symbole [ghk]^ sera normaJe au plan

Soient Oor, Oj, Oz {fig> 89) les trois Rangées conjuguées prises pour axes coordonnés dans l'Assemblage primitif, et soient a^ b, d\es paramètres de ces Rangées . faisons

OA = hka, OB = gkb, OD = ghd,

L'équation du plan ABD en coordonnées numériques sera

gx -{- hy -h kz := ghk.

On aura de plus

IaireOBD = {g^hk bdsina = {g^hk S(ioo), aireOAD={g^A^^arfsin^ = |g^A'AS(oio), aireOAB = {g^A^^ ab sm^= {ghk^ S(ooi).

Les symboles S(ioo),S(oio),S(ooi) représentent, d'après nos conventions, les aires des parallélogrammes générateurs sur le plan desjz, sur le plan des xz et sur le plan des xy.

Construisons maintenant les trois axes de l'Assemblage polaire, et soient pris, sur ces axes,

Oa = ^P[ioo] = ai22),

Orf = AP[ooi] = ^^),

E étant Tintervalle moyen des Sommets.

Soit Op la diagonale du parallélipipède construit sur Oa, Oè, Orf; les coordonnées numériques de/? seront gj h, k dans l'Assemblage polaire, et la notation de la Rangée Op sera [g*/**].

En comparant les valeurs de Oa, Oè, Od aux expressions des aires OBD,

Io8 MEMOIRE

OAD, OAB (équations 68), on voit qu'elles leur sont proportionnelles, dans le rapport

Donc, d'après le corollaire du théorème CI , la diagonale Op sera normale à la base ABD, c'est-à-dire au système des plans réticulaires dont le symbole est {ghk).

Deuxième démonstration. — Si l'on veut démontrer le théorème Cil par l'analyse géométrique à trois dimensions, on nommera t l'inclinaison de l'axe Oz sur le plan des xy {fig. Sg); ^^, w^, Ç^, les coordonnées linéaires du point «;?,,«,, Cl, celles du point b\ $a, «2, Ça, celles du point rf, et on posera

(69) I — cos^a — cos^^ — cos^eT-h 2Cosa cos^ cos^= J^

On aura alors

y Od Od sin d hab sin* i ^

^^ "" iî^ ~ J "" JE '

d'où l'on conclura facilement les valeurs de Ç^, «, par les équations connues de la normale au plan des xy^ dans les systèmes d'axes obliques.

On déterminerait de même ?«, if, , d , ?o» *»o » Co-

Les coordonnées Ç, «, Ç du point/? seront alors données par les formules

eJE=(^.-He.H-Ç.)JE = gbd^xïi^oc — had sin a sin |3 cos fc^ — kah sin a sin ^ cos v ;

«JE = («, + «,-+•«,) JE = — gbd sin a sinjS co%ns H- had sin* |3 — kah sin ^ sin ^ cos iia, ;

= — gbdsin^ sin^ cos/ul — had sin a sinJ" cos» H- kab sin^tJ". Si donc on pose, pour abréger.

I sin* a — |t sina sin ^ cos n^ — 5 ^^^^ ^^^ ^ ^^* v = ^,

— |8Înttsin^ cos^-l- Tsin*^ — jsia^sini^cos iul=^Sj

— ^sinp sin^cosybc — ysina sin^cosf -h ^sin* S^=^ty

les équations de la droite Op seront

Or il est connu que ces équations, après substitution des valeurs de r, j, f , représenteront la normale au plan dont F équation est

et dont la notation symbolique est [ghk).

Théorème GIII. — Si {ghk) est le symbole d'un plan réticulaire dans un Assemblage, sa normale sera une Rangée de r Assemblage polaire j et y aura \^ghk^ pour symbole.

C'est un corollaire du théorème précédent.

Théorème CIV. — Le paramètre de la Rangée \ghk\ est égal a l'aire du paraUélogramme générateur du Réseau tracé sur le plan (ghk), divisée par V intervalle nvoyen des Sommets.

Les conventions sont les mêmes que dans les théorèmes précédents. Soit ^P {fis* ^9) "^ paramètre de la Rangée [g'A*], g, A, k n'ayant pas d'autre diviseur commun que l'unité ; d'après le corollaire du théorème CI, on aura

0/?:aireABD::Oa:aireOBD;

or ce rapport est i : | ghk E : donc

r\ a aire ABD

Mais il a été démontré (théorème XXXVIII, équation 47) que l'on a

aire ABD = \ ghkcày

cû étant l'aire du parallélogramme générateur du Réseau, sur le plan ABD. Donc, en remplaçant cà par S (ghk), on aura

2 aire ABD = ghkS (ghk),

I f O MIÊMOIRE

d'où Ton déduit la formule générale

qui est la traduction algébrique de la proposition que nous avions à démontrer.

Scolie. — Ainsi les formules (63) ne sont que des cas particuliers de la formule (71).

Corollaire I. — Un Assemblage donné n'a qu'un seul Assemblage polaire, qui se trouve fixé, dès que l'on assigne le Sommet qui doit être commim aux deux Assemblages. Car l'Assemblage polaire construit sur trois Rangées conjuguées, prises au hasard, devra coïncider, d'après le théorème précédent, avec le polaire construit sur tout autre système de Rangées.

CoroUaire II. — Si trois plans sont conjugués dans un Assemblage, leui^ normales sont des Rangées conjuguées de son polaire.

Le parallélipipède construit sur ces trois Rangées sera le parallélipipède polaire de celui qui se construit avec les trois plans conjugués et leurs limitrophes, dans l'Assemblage primitif.

Corollaire III. — Réciproquement, si trois Rangées sont conjuguées dans un Assemblage, leurs plans normaux sont des plans conjugués dans son polaire.

(Corollaire IV. — La condition pour que trois plans réticulaires {ghk), [g'hlk')^ {g''h"k") soient conjugués, s'obtiendra en cherchant la condition pour que [g'AA:], [g^'/t'A'], {g''h^'k"\ soient trois Rangées conjuguées; elle sera donc (équation 43)

gh'k' - gk'h' -+- kg'h' - hg'k" + hk'g" - kh'g" = ±i I .

Problème XXXL — Trousser S{ghk)j ou l'aire de la maille du Réseau du plan réticulaire (ghk).

On a généralement (problème XVI) dans l'Assemblage primitif,

iV^ghA = g^F^ 100 -h A'P'oio -i- ^'P'ooi -h 2^A P 100. PoiO.COS^ + 2g'AP 100. Pool. C0SP+ 2 A^ PoiO .PoOI .COSCt .

En écrivant que la même relation doit avoir lieu dans l'Assemblage

polaire, et remplaçant ensuite

P[ghk] par iSighk),

P[ioo] par ^S(ioo),

P[oio] par ^S(oio),

P[ooi] par gS(ooi),

[a] par iSo"" — ^c,

[^] par i8o^— V,

[S] par i8o*— yu,

on aura

S'ighA) = g^ S'(ioo) -h h^ S»(oio) H- k' S*(ooi)

— 2g'/iS(ioo).S(oio).coss- — 2^^S(ioo).S(ooi).cosv — aMS(oio).S(ooi).cosu.

C'est la formule déjà obtenue (équation 5o) : mais il convenait de la rapprocher de la formule (72) pour montrer la loi remarquable de réciprocité qui les unit.

Rem(irque relatwe aux formules {72) ef (73). — Si, dans l'équation (72), on écrit

Pioo = Y/a^ Poio = \/a', Pooi=y/a'^ Pghk = ^j

cosa=-7=7==» cosâ= -7==? COSd=-7=7>

^a'a'^ ^ yjaa" S/aa'

cette équation deviendra

/= ag^-^ a'h^+ a"ïe+ ib^gh ^ %ygk+ihhk.

La quantité y a reçu, de M. Grauss, le nom de forme ternaire (Gauss, Disquisitiones Arithmeticœ^ p. 4^6), et l'illustre géomètre l'exprime par le symbole

La quantité

ab'-^a'y^-^a'b'^-aa'a'—f^bb'b'^H

a été appelée, par M. Gauss, le déterminant de la forme. En remplaçant

1 I 2 MJ^MOIRE

a, a\ a'\ b, b\ b^^ par leurs valeurs, et tenant compte des équations (62) et (54), on trouve

D = P' ioo.P*oio.P*ooi ( — I -h cos» a -h cos' j5 -j-cos'd — 2Cos acosp cos J) == — E*,

la lettre E continuant à représenter l'intervalle moyen des Sommets de TAssemblage.

On voit, d'après cela, que toute forme ternaire correspond à un Assemblage de points, réels ou imaginaires; que chaque valeur particulière de y, pour des valeurs déterminées et entières de g^ A, â:, exprime le carré de la distance de deux points ou Sommets de l'Assemblage; que le déterminant de la forme, pris avec le signe — , est le carré du volume du parallélipipède générateur, ou la sixième puissance de l'intervalle moyen des Sommets, etc.

Des résultats analogues ont lieu pour les formes binaires

ag^ + 2 bgh H- a'h^ ,

dont le déterminant b^ — aa\ pris avec un signe contraire, représente le carré de l'aire du parallélogramme génératetir, ou la quatrième puissance de l'intervalle moyen des Sommets sur le plan du Réseau qui dérive de cette forme binaire.

La forme ternaire

/ b^ — a'a\ b'^ — aa'\ b"^—aa!\ \ab — b'b\ a'b'—bb\ a^b^—bV)

a été appelée, par M. Gauss, la forme adjointe de la forme

elle est désignée dans les Disquisitiones par la lettre F.

Il résulte du mode de génération de a, a', a'', 6, b\ b^\ que Ton a

b^ — afa''= — P*oi G. P* 001 . sin* a = — S^ (100),

ab — A'ft"=P* 100. Poio. Pool (ces a — cosjScosc^) == S (00 1) .S (010). ces /x^ a'b' — bb' = S (001) .S(ioo) . ces v, a"^"— bb' =S(ioo).S(oio).cosct;

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUES REGULIEREMENT. Il3

On aura donc, après la substitution de ces valeurs dans la forme F,

— F = ^' S'(ioo) -i- A»S»(oio>-4- /»S'(ooi)

— 2^AS(ioo).S(oio).cosi!T — 2gr^S(ioo).S(ooi).cosv — 2^^ S(oio).S(ooi).cospi;

donc aussi

Ainsi la forme ternaire adjointe représente le carré de l'aire élémentaire du plan (ghk) pris avec le signe — . On voit aussi que, si la forme y se laisse représenter géométriquement par un Assemblage, sa forme adjointe F sera représentée de même par son Assemblage polaire, après toutefois que les paramètres du polaire auront tous été multipliés par T intervalle moyen E, c'est-à-dire par la racine sixième du déterminant D pris avec le signe — .

L'analogie singulière qui existe entre les propriétés des formes binaires et ternaires, et les propriétés géométriques dont jouissent les Réseaux et Assemblages, a été signalée par M. Seeber, dans ses « Recherches sur les formes ternaires » {voyez le Journal de Crelle, tome XX, page 3i8).

Théorème CV. — Le volume du paraUélipipède élémentaire est le même dans V Assemblage primitif et dans son polaire.

Soient iî le volume du paraUélipipède générateur de l'Assemblage donné, et [ft] celui de son Assemblage polaire. On aura évidemment

[ 1 ab sin d ad sin & hd sin a . . rs

îî J = — p p-^ — p — sm jUL sm V sm ^ ,

a, 6, d étant les paramètres de l'Assemblage primitif. Or on a, d'autre part,

.V 1 sin /3 sin ^ sin ytt = J,

I sin a sin o sin v = J,

J étant toujours donné par l'équation (69). Donc

XXXllV Cahier. î5

et comme d'ailleurs

abd J = iî (équation 40»

il vient enfin

E* — û (équation 54),

[ii] = a

Scolie. — L'Assemblage polaire a la même densité, c'est-à-dire la même richesse en Sommets, que l'Assemblage primitif; l'intervalle moyen E conserve la même valeur dans les deux Assemblages ; ainsi