EJ = E

Théorème G VI. — En construisant Vy4ssemblage polaire d'un Assemblage polaire, on retombe sur V Assemblage primitif.

Déterminons l'aire élémentaire du Réseau du plan des [/z] dans l'Assemblage polaire. Les deux paramètres, côtés du parallélogramme générateur, sont

ad sin j3 ab sin

Tangle compris [aj est égal à i8o** — fjt, (théorème G). Donc on aura

or/ M a' irf sin jS sin J sin a Ea' ftrfsîn S sin Jsina

Or on a d'ailleurs

abd sin ^ sin J'sin ytt == abdi = iî; donc

S[(ioo)] = Ea = EPioo.

On démontrerait de même que Ton a

S [(010)] = E* = EPoio, S[(ooi)l = Erf=EPooi.

Si l'on construit, en direction, les axes de l'Assemblage qui est le polaire

de celui construit sur Oa, 06, Od {fig. Sg), on retombe sur OA, OB, OD;

si l'on construit, en grandeur, les paramètres de ces axes, par les formules

convenues (équations 63),

S[(ioo)J S[( oio)] S[(ooi)] [E] ' -[Ej ' -[ET'

SUR LES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBUjfs RI^GULlËREMENT. 1 1 5

à cause de [£] = £9 on retombera sur les paramètres a^ bj dj ou P 100, Poio, Pool. L'Assemblage ainsi obtenu coïncide donc avec TAssem^ blage primitif.

Théorème GVII. — Si ghk est le symbole (f une Hofigée, dans unAssembkbgey son plan normal sera un plan réticulaire de l'Assemblage polaire , et il aura \{ghk)\ pour symbole.

Car on peut, d'après le théorème précédent, considérer TAssemblage polaire comme étant l'Assemblage primitif, et le primitif comme étant le polaire de l'autre Assemblage: alors (théorème CIII), le symbole de la normale au plan {ghk) doit être [g^^]. Pour revenir à notre premier point de vue, il suffît de transporter les crochets [ ] d'un symbole à l'autre, et Ton voit que le symbole de la normale au plan ((g*^)] s^ra ghk : donc la Rangée ghk est normale au plan réticulaire [(g'AX:)]-

Corollaire. — Si \^gtik\ est le symbole d'une Rangée du polaire, {ghk) sera celui de son plan normal, qui sera un plan réticulaire de l'Assemblage primitif.

Définition. — Les propriétés des Assemblages polaires dans l'espace ont leurs analogues sur le plan. A chaque Réseau correspond un Réseau polaire, que l'on obtient de la manière suivante :

Soient Oa = a, Ob = b les deux paramètres, sur les axes Ojo;, O)' {fig. 40); soit ^l'angle JoOy; soit € l'intervalle moyen donné par la formule

f * = ab sin S.

Sur ce Réseau, et avec le paramètre e normal au plan xOy^ comme axe des z, que l'on construise un Assemblage, qui aura le Réseau du plan r Or pour base.

On aura

n = iab sin<r= g*;

ainsi e sera l'intervalle moyen des Sommets de cet Assemblage auxiliaire.

En construisant son Assemblage polaire, on voit que Taxe des \x] sera la normale 0[x] à l'axe Or, et que l'axe des [y] sera la normale 0\y] à l'axe Ox. Soient donc 0[a] = [a], 0[*) = [è] les paramètres relatifs à ce» axes; on aura

En construisant un Réseau sur ces paramètres, Ton obtiendra \t polaire du Réseau donné. Si, maintenant, sur le prolongement de la droite 0[j], vous prenez 0[6'] = 0[è], le Sommet [è'] appartiendra aussi au Réseau polaire ; et comme Ton aura

0\a\ = Ob, 0[6'] = 0a,

les triangles èOa, [û]0[è'J seront égaux. De là résulte le théorème suivant :

Théorème G VIII. — Un Réseau polaire dérive du Réseau primitif' pa^ une rotation de 90 degrés de celui-ci autour d'un des Sommets pris pour origine.

ScoUe. — Si , après cette rotation, Taxe des j)^ positives devient Taxe des I .ri positives du Réseau polaire. Taxe des x positives deviendra Taxe des [ j] négatives : T inverse aura lieu, si la rotation est effectuée en sens contraire.

Théorème GIX. — Tout Assemblage polaire possède les mêmes a^es de symétrie que V Assemblage primitif.

SoitO {fig- 40 '^ Sommet commun aux deux Assemblages, origine des coordonnées ; soient 00' un axe de symétrie de l'Assemblage primitif, et OP une des Rangées de l'Assemblage polaire, O et P étant deux Sommets voisins sur cette Rangée. Menons par O le plan RR' uoiinal à OP, et qui sera un plan réticulaire de l'Assemblage primitif (théorème G VII, corollaire).

Soit maintenant q le numéro d'ordre de la symétrie de Taxe 00'; faisons

tourner RR' autour de 00' de ? de -^ ? -^ » etc. : on obtiendra

autant de plans réticulaires de même espèce (théorème LXXXVIIT), dont les normales seront aussi des Rangées de l'Assemblage polaire (théorème GIII ) . Ges normales s'obtiendront en faisant tourner OP autour de OO'

d'angles égaux à » -^ , etc.: dans ce mouvement, le point P viendra

successivement en P', en P'^, etc.; d'où l'on voit qu'il aura q — 1 Sommets homologues par rapport à l'axe 00', et, comme P est un Sommet quelconque de l'Assemblage polaire, l'axe 00' sera un axe de symétrie d'ordre q dans ce dernier Assemblage.

Corollaire. — S'il existe des plans de symétrie dans l'Assemblage primi-

tif, ces plans seront aussi des plans de symétrie du polaire; car, à tout plan de symétrie correspond un axe de symétrie d'ordre pair, et cet axe devra se retrouver dans le polaire. Or, réciproquement, à tout axe de symétrie d'ordre pair correspond un plan de symétrie qui lui est normal ; ainsi , ce plan de symétrie se retrouvera dans l'Assemblage polaire.

Théorème CX. — Si l'on centre tous les parallelipipèdes dont la réunion compose un Assemblage donné A, dont le polaire [A] est conmi, et si l'on forme ainsi un nouvel Assemblage A', l'Assemblage obtenu, en centrant les six faces des parallelipipèdes polaires qui composent l'Assemblage [A], et agrandissant ensuite toutes ses dimensions dans le rapport