I : v^7 ^'^^^ V Assemblage polaire de A
Soit îî' le noyau de l'Assemblage A'; le volume de ce noyau sera égal évidemment à la moitié du volume de l'ancien noyau, de sorte que l'on aura
Soient E et E' les intervalles moyens des Assemblages A et A'; Ton aura
D'autre part, on a, dans le polaire de A', en distinguant par des accents les grandeurs qui se rapportent à l'Assemblage A' et à son polaire [ A' |,
PM I S'(lOO) ,^/r I S'foio) n/ r i S'(oOl)
[l00j = -^g7^, P[oioJ=-ig^, P'[ooiJ = -^.
Mais, comme les Réseaux sur les plans des yz, des xz et des xy ne sont pas troublés par le centrage, il vient
S'(ioo) = S(ioo)=EP[ioo], S'(oio) = S(oio)=EP[oio], S'(ooi) = S(ooi)=EP[ooi].
Donc, substituant, l'on aura
P'[ioo] = ^2.P[ioo], (77) jP'[oio]=(/2.P[oio],
P'[ooi] = ^.P[ooi],
P[iooJ , P [oio] , P [ooi] représentent en grandeur et en direction les arêtes des trois faces contiguësdu parallélipipède générateur de l'Assemblage polaire [A]. Si, au contraire, on considère les plans diagonaux (no), ( 1 o I ) , (o 1 1 ) , et spécialement ceux qui ont pour équation, dans l'Assemblage primitif,
on voit facilement que ces plans passent par le centre du parallélipipède générateur : ainsi, les parallélogrammes des Réseaux de ces plans deviennent tous centrés, et l'aire de leur maille devient moitié moindre. On a donc
S'(iio)=iS(iio),
S'(ioi)=iS(ioi),
S'(oii) = |S(ou).
Donc
P'[i,o| = ^=|.i.^^ = ^..iP[i.«j, et de même
P'[lOl]=^2~iP[lOlJ,
P'[oiiJ = (/^.{P[oiiJ.
P[iioJ, P[ioiJ, p [oii] représentent en grandeur et en direction les diagonales des trois faces contiguës du parallélipipède générateur de l'Assemblage polaire [AJ.
Des équations (77) et (78) on conclut qu'il faut, pour obtenir l'Assemblage [A'], multiplier par y2 les dimensions du parallélipipède générateur du polaire [A], puis diminuer de moitié les paramètres des diagonales de ses six faces, ce qui s'obtiendra en centrant ces faces.
La première de ces deux opérations change le noyau ù du polaire [A] en 12 ( y/^ )'= 2 fl. Par la seconde opération, le parallélipipède générateur prend des bases et des hauteurs deux fois plus petites ; son noyau â ù devient donc égal à
c'est-à-dire égal au noyau de l'Assemblage A'. Le centrage de TAssemblage jA'l ainsi obtenu est donc complet; im centrage ultérieur, s'il pouvait
avoir lieu, rendrait la densité de [A'] supérieure à celle de A', ce qui n'est pas possible (théorème CV, scolie). Donc [A'] est le polaire de T Assemblage centré A'.
Théorème CXI. — Si l'on centre les faces des parallélipipèdes générateurs qui composent un Assemblage donné A dont le polaire [A] est connu, pour former par ce centrage un nous^el Assemblage A', on obtiendra le polaire [A' J d£ l'Assemblage A', en centrant les parallélipipèdes polaires qui composent l'AssembUige [A], et diminuant toutes ses dimensions dans
le rapport y/2 : i .
En général, soient M et N deux Assemblages qui soient le polaire l'un de Tautre; soit M^ ce que devient l'Assemblage M quand on centre tous ses parallélipipèdes ; soit N^ ce que devient N lorsqu'on centre les faces de ses parallélipipèdes, polaires de ceux de M : il résulte du théorème précédent que M^ et N^ réunissent les conditions de dimensions relatives nécessaires pour être polaires l'un de l'autre ; seulement, au lieu d'avoir
noyau M^ = noyau N^ , on aura
( 79) noyau M^ = 2 noyau N^. .
Alors, si Ton augmente les dimensions de N^ dans le rapport y 2 à l'unité, les noyaux deviennent égaux et les Assemblages sont réciproque^ ment polaires (théorème précédent).
On peut obtenir le même résultat , en diminuant les dimensions de M^
dans le rapport y2 : i; les noyaux deviennent égaux, et les Assemblages, réciproquement polaires.
Dans le cas actuel, posons N = A, M = [AJ, N^== A'; M^ sera l'Assemblage [A] dont on a centré les parallélipipèdes, et M^ réduit dans ses dimensions suivant le rapport y2 : i sera le polaire de A'.
Théorème GXII. — Si l'on centre, dans les plans z = o, z = i , fe^ bases des parallélipipèdes générateurs qui composent un Assemblage A dont le polaire [A] est connu, on obtiendra le polaire de l'Assemblage à bases
IJtO MJ^MOIRE
centrées A', en centrant, sur les plans [z]=o, [z]=i5fe^ bases ûfe [ A], multipliant les paramètres, sur les axes des [x^ et des [/], par le rapport
y lA : I , et celui de l'axe des [z] par le rapport yâ : 2.
En appliquant la méthode employée pour la démonstration du théorème ex, on trouve
S' (100) =S(ioo)=EP[ioo], S' (010) = S(oio) = EP[oio], S'(ooi)=iS(ooi) = iEP[ooi],
!P'[iooJ = v/^.P[iooJ, P'[oio] =v^.P[oio], F[ooi] = iv^.P[ooi],
S'(iio)=iS(iio), S'(ioi)=S(ioi), S'(oii) = S(oii),
/P'[lI0j = iV^2.P[lI0], (81) P'[lOlJ = V^2.P[lOl],
[P'[01l]= V^2.P[0Il].
Des équations (80) et (81) on conclut qu'il faut multiplier par \/2 toutes les dimensions de l'Assemblage [A], puis diminuer de moitié le paramètre relatif à Taxe des [z], ainsi que le paramètre de la diagonale [i 10]; cette dernière opération équivaut à centrer les parallélogrammes sur le plan des \^y]-
La première opération change le noyau iî de l'Assemblage [A] en 2îî; la deuxième le divise par 2, et le ramène à la valeur il; la troisième le divise par 2, et le rend égal à | fî : or telle est aussi la valeur du noyau de l'Assemblage A'. Donc l'Assemblage ainsi obtenu sera le polaire de A'.
Problème XXXII. — Trouver V assemblage polaire d'un Assemblage a symétrie binaire.
Soient Oz l'axe binaire {fig- 4^), et c^ son paramètre: soient Or = a, 0>* = b et xOy = S.
Supposons d'abord le prisme non centré, et posons (82) aArfsin<r=R»;
E étant l'intervalle moyen, nous aurons
L'axe des [z] coïncidera avec Oz; les axes des [x] et des [ j] seront situés dans le plan des xy^ et Ton aura
[rf] = E-i = ^rf.
Les axes des x^ y, z étant conjugués, puisque le prisme droit n'est pas centré, les axes des [jj], [j] et [z] le seront pareillement, et le générateur de l'Assemblage polaire sera un prisme droit à base parallélogrammique. Le Réseau du plan des [x] [y] sera le polaire du Réseau des xy^ agrandi ou diminué, dans le rapport d : E.
Si le prisme générateur était centré {voyez le théorème LV), il faudrait centrer les faces du prisme polaire obtenu en ne tenant d'abord pas compte du centrage (théorème CX), et agrandir ensuite ses dimensions dans le rapport i ly's. On aurait ainsi pour générateur un octaèdre droit à base parallélogrammique, ou, ce qui revient au même, un prisme droit centré à base parallélogrammique. On trouve alors, pour les arêtes de ce dernier prisme,
et, pour l'angle compris entre [a] et [6] ,
arc(^tang = -^^— p-j.
XXXIII' Cahier.
Problème XXXIII. — Trouver V assemblage polaire d'un Assemblage à symétrie terbinaire.
Prenons pour axes coordonnés les trois axes de symétrie binaire. Soient a, h, d les paramètres des axes des x^ des/ et des z; [a], [6], [rf] ceux des axes des [a:], des [jj et des [z]. L'axe des [a:] coïncidera avec Taxe des .r, Taxe des [y] avec celui des j, et l'axe des [z] avec celui des s.
(iCci posé, il peut se présenter quatre cas différents.
Si le prisme droit, à arêtes a, 6, rf, n'est pas centré, l'Assemblage polaire aura pour générateur un prisme droit à base rectangulaire.
Faisons, pour abréger,
(83) abd=Vi'\
nous aurons évidemment
[aJ = E'i, [6] = E'i, [rfJ=E'^.
Si le prisme droit est centré en son centre de volume (cas où l'Assemblage peut être considéré comme dérivant de l'octaèdre droit à base rectangulaire), le polaire est un prisme droit, centré sur ses six faces, et l'on trouve facilement (théorème GX)
H=R'(/ri=.E^^
le prisme construit sur [a], [6], [r/] doit ensuite être centré sur ses six taées, et alors il équivaudra à un octaèdre droit à base rhombe.
Si le prisme droit est centré sur ses six faces (cas où l'Assemblage peut être considéré comme dérivant d'un octaèdre droit à base rhombe) , en vertu du théorème CXI , on retombe sur le prisme droit centré , lequel équivaut à l'octaèdre droit à base rectangulaire. Soient toujours a, 6, il les arêtes
SUR LES SYSTÈMES DE POINTâ DISTRIBUES RÉGULIÈREMENT. I a3
du prisme droit à faces centrées. On aura, d'après le théorème CXI,
[a], [b]y [€;{] seront les arêtes du prisme droit rectangulaire, lequel, étant centré, deviendra le générateui* du polaire cherché.
Enfin, si le prisme était centré sur deux de ses faces, par exemple sur ses deux bases (cas où l'Assemblage peut être considéré comme dérivant d'un prisme droit à base rhombe), on trouverait, en se conformant aux prescriptions du théorème GXII, et par des calculs analogues aux précédents,
[a] = 2E'i, [è] = 2ri, K1 = E«-^;
puis l'on centrerait le rectangle construit sur [a] et [^] : on aurait ainsi un nouveau prisme droit à base rhombe.
On peut aussi, pour ce dernier cas, s'appuyer sur la solution du problème XXXII. Faites, dans les calculs relatifs à ce problème,
ce qui revient à prendre pour axes des a: et des / les deux diagonales de la base rectangulaire centrée. Alors
(87) E'» = a"<^sin^,
et l'angle du rhombe de la base du polaire sera i So"" — «T.
CoroUaire I. — Le polaire du prisme droit à base rectangulaire est un prisme droit à base rectangulaire ; celui du prisme droit à base rhombe est
132 MlbfOIRE
Problème XXXIII. — Trouver l'assemblage polaire d'un y^sse^nbl
à symétrie terbinaire.
Prenons pour axes coordonnés les trois axes de symétrie binaire. Soi a, b, d les paramètres des axes des x^ des y et des z; [a], [fc], [rf] a des axes des [or], des [j] et des [z]. L'axe des [x] coïncidera avec V des a:, Taxe des [>•] avec celui des j^, et l'axe des [z] avec celui des z.
Ceci posé, il peut se présenter quatre cas différents.
Si le prisme droit, à arêtes a, b^ d, n'est pas centré, l'Assemblage j laire aura pour générateur un prisme droit à base rectangulaire.
Faisons, pour abréger,
(83) abd = K';
nous aurons évidemment
[aJ = E'i, [è] = E'J. [rf]=E'i.
Si le prisme droit est centré en son centre de volume (cas où Y blage peut être considéré comme dérivant de l'octaèdre droit à ba^ gulaire), le polaire est un prisme droit, centré sur ses six fae^ trouve facilement (théorème CX)
1 24 mi£moire
un prisme droit à base rhombe : les deux rectangles, ou les deux rhombes,
sont semblables.
Corollaire IL — L'octaèdre droit à base rectangulaire et F octaèdre droit à base rhombe sont réciproquement polaires l'un de Tautre.
Problème XXXIV. — Trouver l'Assemblage polaire d'un Assemblage ternaire, ou rhomboédrique.
Le polaire d'un Assemblage construit sur un rhomboèdre dont Tangle plan est égal à a, et l'angle dièdre égal à /u, est un autre rhomboèdre dont l'angle plan [a] (théorème G) est égal à i8o** — /u, et l'angle dièdre \ju] à i8o^— a (*).
Le rhomboèdre primitif sera complètement défini, si l'on donne le paramètre a du Réseau à maille triéquiangle normal à Taxe ternaire, et le paramètre d de cet axe ternaire. On trouve alors, par des propriétés connues du rhomboèdre,
ri' 1
/og\ ,2(1— cosa) 9 a* 3
Soient [a] et [d] les paramètres de même signification dans le rhomboèdre polaire; on aura
2(i^cos[ii]) — 4[dy '^ V or
