I -t- cos [/Lc] = I — cos oc

donc

ga' — ildy donc enfin

(89) 'Jf^W,

relation qui exprime la condition pour que deux rhomboèdres soient semblables, chacun d'eux au polaire de l'autre.

Pour l'égalité des deux volumes, on a, en outre, la condition

(90) W = \^a'd = \^3[aY[d].

{ * ) C'est ce rhomboèdre que le professeur Weiss a appelé le rhomboèdre par iaversioo , «*. ïnvertirungs-Rhomboëder «. (Mémoires de l'Académie de Rerlin , t. XV, p. g3.)

On en conclura les valeurs de [a] et [rf], savoir:

Problème XXXV. — Trouver V Assemblage polaire d'un Assemblage a symétrie quaternaire.

Soient a, a les deux paramètres des côtés de la base carrée; soit d le paramètre de l'axe des z, axe de symétrie quaternaire. S'il s'agit d'un prisme à base carrée, non centré, l'on aura

le polaire sera aussi un prisme à base carrée.

S'il s'agit d'un prisme centré à base carrée, le polaire sera un prisme centré à base carrée dont les éléments peuvent se déduire de la solution du deuxième cas du problème XXXIII . Dans les formules relatives à ce cas, faites b = a\ vous trouverez un prisme droit centré à base carrée déterminé par les formules

(92) E'=iR%

H = v/^E«i, [rf] = aE'^.

Problème XXXVI. — Trouver t Assemblage pokdre d' un Assemblage à symétrie sénaire.

Le générateur de l'Assemblage est un prisme droit à base rhombe, dont les côtés sont a^a^ l'angle compris ^ égal à 1 20 degrés^ la hauteur égale à d.

On trouve alors {voyez la solution du problème XXXIII, quatrième cas) que le générateur du polaire est un prisme droit à base rhombe, l'angle du rhombe étant 180** — J" ou 60 degrés, c'est-à-dire un prisme à symétrie sénaire, comme on devait s'y attendre (théorème CIX ).

Soient [a], [a] les côtés du rhombe dans le prisme pdaire, et \^d\ la

hauteur: on aura, en appliquant les formules (87), (93) E'=iv'3«V,

On a, entre a, d, [a] et [d], les relations

qui sont les analogues de (89) et (90).

Le Réseau du plan normal à Taxe sénaire tourne de 90 degrés dans son plan, et se modifie quant à son paramètre minimum.

Problème XXXVII. — Tromper l' Assemblage polaire d'un Assemblage à symétrie ter quaternaire.

Si le générateur de l'Assemblage est un cube, son pc^ire aura pour générateur le même cube.

Si le générateur de T Assemblage est un cube centré, décote a, son polaire sera un cube à faces centrées (théorème GX), dont le côté [a] sera donné par la formule

Réciproquement, si le générateur était un cube à Êices centrées de

côté a (ou octaèdre régulier de côté «V^)? son polaire serait un cube centré (théorème CXI) de côté [a], donné par Téquation

Ainsi les deux derniers modes sont réciproquement polaires Fun de Tautre.

On pourrait aussi démontrer ces derniers résultats en considérant les rhomboèdres générateurs. Le rhomboèdre de 90 degrés a un angle plan de 90 degrés; il aura donc pour polaire un rhomboèdre de 90 dégrés (solution du problème XXXIV).

SUE LBS SYSTÈMES D£ POINTS DISTRIBUlés RiGOLlÈREKÈNr. I27

Le rhomboèdre de 70" 3 1 ' 44^^ a un angle plan de 60 degrés ; il aura donc pour polaire le rhomboèdre de 120 degrés.

Le rhomboèdre de 120 degrés a un angle plan de 109** 28' 16"; il aura donc pour polaire le rhomboèdre de 70*^3 1' 44' •

Quoique le Mémoire qui précède puisse être considéré comme étant une pure spéculation géométrique , et que les relations qui y sont démontrées soient indépendantes des propriétés physiques des corps, cependant ce travail a été exécuté, par l'auteur, avec la pensée de s'en servir ultérieurement pour l'explication des faits fondamentaux de la cristallographie, et c'est vers ce but que sa rédaction a été spécialement dirigée.

Il a toujours été admis, depuis Haiiy, soit implicitement, soit explicitement, que les centres des molécules des corps cristallisés sont distribués, à des intervalles égaux, suivant des séries rectilignes, parallèles aux intersections des plans de clivage. Le système géométrique formé par ces centres n'est donc rien autre chose que ce que nous avons nommé un « Assemblage de points » , et toutes les considérations développées dans ce Mémoire lui sont applicables.

Si maintenant Ton admet qu'une cause quelconque intervienne pour disposer l'Assemblage qui se constitue, au moment de la cristallisation, à une structure symétrique plutôt qu'à une structure non symétrique, il est clair que l'Assemblage définitivement formé appartiendra à l'une de nos sept classes (page 88), et de préférence à l'une des six premières, qui possèdent seules des axes ou plans de symétrie. L'observation des corps cristallisés, naturels ou artificiels, prouve a posteriori qu'il en est ainsi; aussi la division géométrique des Assemblages correspond-elle fidèlement à celle qu'une étude patiente et attentive a porté à établir entre les différents systèmes cristallins.

Mais quelle est la cause de cette tendance des Assemblages, que forment les dentres des molécules des cristaux, vers la régularité symétrique.^ C'est ce que j'essayerai d'expliquer dans un autre Mémoire dont la rédaction est aujourd'hui tenninée, et qui, je l'espère, pourra être imprimé prochainement. Les principaux résultats de ce nouveau travail ont été commu-

1 28 MEMOIRB SUR LBS SYSTEMES DE POIITTS DISTRIBUjés REGULIEREMENT.

nk]ués à la Société Philomathique, dans les séances des 17 et a4 mars^ 19 mai, 7 juillet et 17 novembre 1849 {voyez le Journal Y Institut, année 1849 9 aux comptes rendus de ces séances). Le Mémoire que Von vient de lire, ainsi que celui <( Sur les Polyèdres de forme symétrique », imprimé dans le tome XIV du Journal de MathemcUiques de M. Liouville, forment, en quelque sorte, les Prolégomènes de la théorie cristallographique qui s'y trouvera développée.

Je me borne à signaler dès à présent la forme polyédrale, ou, si Ton veut, polyatomique, de la molécule du corps cristallisé, comme déterminant le genre de symétrie de T Assemblage cristallin correspondant; la même cause, suivie dans ses conséquences ultérieures, explique d'une manière simple l'ensemble des phénomènes de Thémiédrie, de Thémitropie et de l'isomorphisme. Si elle ne résout pas complètement le problème encore si difficile du dimorphisme, du moins elle indique comment l'on doit chercher à distinguer le dimorphisme de l'isomérie, et elle fait voir que, dans certains cas, le dimorphisme proprement dit, c'est-à-dire la cristallisation de molécules identiques dans deux systèmes cristallographiques distincts, suivant l'état du milieu ambiant, est un fait admissible, bien que contraire aux idées qui sont aujourd'hui le plus généralement adoptées en minéralogie.

Un Rapport sur le Mémoire actuel a été lu par M. Cauchy, à l'Académie des Sciences, le 6 août 1849 [*] ["^oyez les Comptes rendus, tome XXIX, page i33).

Qu'il me soit permis, en terminant, de remercier l'illustre rapporteur, de là bienveillance avec laquelle il a apprécié mon travail!

[*] Commissaires, MM. Biot. Beudant, Dufrénoy, Regnault, Lamé, Cauchy rapporteur.

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