XVI NOTE SUR LES POLYÈDRES SYMETRIQUES

Deux polyèdres inverses d'un polyèdre donne P sont toujours sembla blement tournés dans l'espace. Il n'en est pas de même de deux polyèdres symétriques de P, à moins que les deux plans de S5n[nétrie qui les déterminent ne soient parallèles entre eux.

Corollaire IL — Deux polyèdres symétriques de P par rapport à deux plans arbitrairement choisis peuvent toujours être superposés ; car ils peuvent tous les deux être superposés à un polyèdre inverse de P.

Théorème V. — Dans deux polyèdres symétriques, les faces homologues sont égales chacune h chacune, etc. (Le reste comme au théorème IL)

C'est la proposition II du livre 6 de Legendre; elle devient évidente, puisque le symétrique est toujours susceptible de coïncider avec l'inverse, et que l'inverse jouit, par rapport au polyèdre primitif, des propriétés ici énoncées, en vertu de notre théorème IL

Du reste, la démonstration de ce théorème est rendue inutile.

Théorème VL — Deux angles solides opposés par le sommet sont inverses Vun de Vautre.

En effet, le sommet commun est leur pôle de symétrie.

Théorème VIL — Le plan qui passe par deux arêtes opposées d'un parallélipipède le divise en deux prîmes inverses, et les angles solides opposés sont inverses l'un de l'autre.

On démontre d'abord que les diagonales se coupent au même point ; ce point est donc le centre de symétrie du parallélipipède.

Si l'on considère alors les deux prismes comme deux polyèdres distincts, le centre de symétrie devient un pôle de symétrie ; donc les angles solides opposés sont inverses ainsi que les deux prismes. (Propositions V et VI du livre 6 de la Géométrie de Legendre.)

Théorème VIIL — Sur laspfièrc^ chaque polygone spïiérique P a son inverse p, dont les sommets sont diamétralement opposés à ceux du polygone donné. Si l on fait tourner p de i8o degrés autour d'un diamètre de la

DE LA céOMÉTRlE. XVII

sphère, le nouveau polygone sera symétrique du polygone P par rapport au plan du grand cercle normal au diamètre choisi pour axe de rotation.

Cela résulte de ce que le centre de la sphère est pris pour pôle de symétrie.

Réciproquement, tout polygone symétrique du polygone sphérique P peut être amené à coïncider avec son inverse p^ par une demi-révolution autour du diamètre normal au plan de symétrie.