IX.U GRISTAL GONSID^RE COMME UN SIMPLE ASSEMBLAGE DE POINTS

§ I. — De la structure interne des corps cristallisés.

Il est admis aujourd'hui, par tous les physiciens, que les corps por^dé^ râbles sont des agrégations de molécules de même espèce, tenues à distance par des forces attractives ou répulsives dont la résultante est nulle, pour chacune de ces molécules, dès que ces corps sont parvenus à leur état d'équilibre interne. Par le terme de a molécules de même espèce », on sous-entend non-seulement que la composition chimique doit être identique, mais encore que la disposition géométrique des atomes constituants est la même autour du centre de gravité de chaque molécule. Cette dernière hypothèse est nécessaire à l'explication des phénomènes de Visomérie; car c'est en faisant varier le mode de groupement des mêmes atomes que l'on parvient à concevoir deux corps isomères, c'est-à-dire possédant, malgré leur identité de composition, des propriétés physiques et chimiques complètement distinctes, n paraît même que le moindre défaut de superposabilité dans les polyèdres moléculaires de deux substances, par exemple la circonstance que ces polyèdres sont simplement symétriques l'un de l'autre, mais non superposables, peut suffire pour produire au dehors certaines différences plus ou moins appréciables.

(*} Présentée à TAcadémie des Sciences, le 26 février 1849*

I02 ETUDES GRISTALLOGRAPHIQUES.

Dans ies corps solides non cristallisés, l'aiTangeinent relatif des centres des molécules ne paraît soumis à aucune règle fixe, et les lignes homologues des polyèdres moléculaires sont indistinctement dirigées vers toutes les régions de l'espace. Si Ton Isole un cylindre d'une telle substance pour déterminer ses constantes spécifiques, ses coefficients de traction ou de flexion, la valeur de sa dilatation thermométrique, sa manière d'agir sur la lumière ou la chaleur, on trouve des résultats constants et indépendants de la direction qu'occupait dans l'intérieur de la masse générale l'axe du cylindre ainsi séparé. Dans les corps cristallisés, au contraire, les résultats obtenus varient, en général, suivant la direction de cet axe; une sorte àe polarité moléculaire se manifeste, et l'on est ainsi conduit à admettre que les polyèdres moléculaires sont semblablement tournes, leurs lignes homologues étant parallèles.

Non-seulement les molécules d'un cristal sont semblables et semblablement orientées; mais elles sont, de plus, disposées en files recti lignes, et séparées Tune de l'autre, sur chaque file, par des intervalles égaux. La disposition rectiligne est indiquée par la rectitude des arêtes, et, mieux encore, par les résultats du clivage : toutes les fois qu'il existe deux plans distincts suivant lesquels le cristal peut se débiter en lames, les prismes de clivage peuvent être amenés à avoir leur section aussi petite qu'on puisse le désirer; la disposition rectiligne des molécules est la conséquence forcée d'un tel mode de subdivision (*).

L'égalité des intervalles ne résulte pas moins clairement du fait suivant, dont j'emprunte l'énoncé à M. Biot, savoir que <c si, dans un cristal constitué <c continûment, on isole un solide de dimensions sensibles et de configuraa tion quelconque, tous les solides pareils et parallèles à celui-là, que l'on (c pourra extraire de la masse du cristal, seront identiques physiquement et ce chimiquement. »

Dans la première partie de ce Mémoire, nous nous bornerons à tenir compte des positions occupées par les centres de gravité de chaque molécule, et nous réserverons pour la deuxième partie les questions relatives à la forme et à la symétrie des polyèdres moléculaires considérés en euxmêmes.

{*) T'oyez à ce sujet M. Delafosse. Savants étrangers ^ tome VUI, page 649*

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. lo3

Le cristal, ainsi réduit par la pensée, n'est plus qu'un système de points mathématiques distribués, suivant la loi de Féquidistance, sur des files rectilignes parallèles entre elles. Cette définition est précisément celle que nous avons donnée des Assemblages ou Systèmes réticulaires de points^ dans un précédent travail (*).

Les arêtes du cristal, ainsi que les intersections des faces et plans de clivage, correspondent à nos Rangées de Sommets; les faces limites du cristal sont des plans contenant ces Rangées, elles coïncident avec nos plans réticulaires : sur chacun de ces plans, il existe un Réseau de centres moléculaires, trop délicat pour que notre œil puisse le percevoir, mais dont les déductions précédentes nous démontrent clairement l'existence.

Dans l'exposé de la théorie générale des Assemblages, j'ai montré que deux plans réticulaires ne se coupent pas nécessairement suivant une Rangée; ainsi l'arête d'un cristal peut ne pas être une Rangée, mathématiquement parlant. Cependant on devra remarquer que, si, par un centre moléculaire très-rapproché de l'intersection de deux faces, on imagine menés deux plans parallèles à ces faces, ces nouveaux plans, qui, pour nos organes, coïncident avec les plans précédents, vu l'excessive petitesse des espaces intermoléculaires des corps, doivent se couper suivant une des Rangées de l'Assemblage. Il n'y a donc aucun inconvénient réel à considérer les arêtes des cristaux comme étant des Rangées de molécules.

De même le point d'intersection de trois faces d'un cristal peut être pris pour un centre moléculaire, quoique, par suite du mode d'apposition des strates parallèles à ces trois faces, ce sommet puisse se trouver remplacé par une troncature, dont les dimensions infiniment petites seront d'ailleurs complètement insensibles pour nos organes.

Dans ce qui va suivre, toute face d'un cristal sera considérée comme un plan mathématique, chargé sur sa surface d'un système de centres molécuculaires disposés en forme de Réseau. Toute arête sera prise pour une file rectiligne de tels centres, et chaque sommet sera censé être occupé par l'un d'eux.

(*} Sur les Systèmes de points distribués régulièrement, Journal de l'École Pofylechnique , XXXUP cahier, page i .

Io4 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

§ IL — Des sept systèmes cristallins.

Le degré de symétrie d'un Assemblage est caractérisé par le noml)re. d'axes de symétrie qu'il possède, l'ordre de la symétrie de ces axes et leur situation relative. Sous ce point de vue, nous avons, dans le Mémoire déjà cité, distribué les Assemblages en sept classes distinctes. En admettant que les sept modes de symétrie correspondants se rencontrent tous dans la nature, nous aurons sept classes distinctes de substances cristallisées, c'està-dire sept systèmes cristallins. C'est, en effet, ce qui a lieu.

A la vérité, les minéralogistes n'en admettent ordinairement que six; mais si l'on coupe en deux le système rhomboédrique, en séparant, comme l'avait déjà fait Haûy, les cristaux qui paraissent dériver du prisme hexaèdre régulier, de ceux dont le noyau parait être un rhomboèdre, on verra facilement que nos sept classes correspondent, terme pour terme, aux divers systèmes cristallins des minéralogistes. Le système diclinoidrique de M. Naumann n'est qu'un cas particulier du système asymétrique, comme l'a très-bien fait remarquer M. Dufrénoy {Traité de Minéralogie, tomel, page i49)-

Cela posé, il est évident que nos Assemblages terquaternaires (*) répondent au système régulier, ou système cubique, des cristallographes ;

Que l'Assemblage sénaire fait partie du système dit rhomboédrique;

Que l'Assemblage quaternaire répond au système pyramidal, ou du prisme droit à base carrée;

Que l'Assemblage ternaire forme une classe qui, comme la classe correspondante à la symétrie sénaire, dépend du système rhomboédrique;

Que l'Assemblage terbinaire correspond au système du prisme droit à base rectangle;

Que l'Assemblage binaire forme le système dit monoclinoidrique , ou prisme oblique rhomboîdal d'Haiiy;

Enfin que l'Assemblage asymétrique se rapporte au système du prisme oblique non symétrique.

La même division de nos Assemblages en modes divers, hexaédral, octa-

/) Mémoire cite, Journal de l'École Polytechnique , XXXin* cahier, page 88.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. Io5

édral, etc., est évidemment applicable à la division des cristaux appartenant à un même système cristallin.

On verra, dans l'un des paragraphes suivants, comment, au moyen de la loi dite « loi de symétrie », qui exige que les pians réticulaires, ou faces, de même espèce existent simultanément sur le contour du cristal, on peut retrouver les axes et plans de symétrie de l'Assemblage cristallin, et, par conséquent, dire à quel système il appartient.

La détermination du n^ode cristallin offre plus de difficultés; car il résulte du théorème LXXXII de mon Mémoire sur les Systèmes de points que les mêmes plans réticulaires, avec les mêmes angles d'inclinaison mutuelle, peuvent exister, comme faces du cristal, quel que soit le mode auquel on rapporte ce dernier. Ainsi l'inspection des arêtes et faces d'un échantillon unique d'une espèce minérale, dont le système cristallin est donné, ne suffit pas pour faire discerner le mode cristallin propre à cette espèce.

Nous verrons plus tard que cette indécision peut être levée, dans un grand nombre de cas, par l'examen d'un nombre un peu considérable d'échantillons de la même espèce, ou par la considération des inégales résistances au clivage parallèlement aux diverses faces.

De plus, en vertu du scolie du théorème LXXXII, il existe, entre les classes sénaire et ternaire, une indétermination analogue à celle que présentent deux modes appartenant à un système cristallin à plusieurs modes, et l'inspection d'un seul échantillon pourra bien ne pas suffire à la détermination du système. Cependant les lois générales de la symétrie extérieure, lois dont nous aurons à parler bientôt, pourront, dans le plus grand nombre de cas, faire disparaître cette incertitude.

§ III. — Des formes cristallines et de la loi de sy^métrie.

L'illustre Haiiy a remarqué que les faces d'une espèce minérale s'associaient suivant certaines règles, et il a désigné sous le nom de /aces identiques celles qui, ainsi associées, paraissent ou disparaissent à la fois dans l'enveloppe polyédrique du cristal. Haiiy a cherché la condition de coexistence de ces faces dans la similitude de leur mode de génération sur toutes les parties identiques d'un noyau central qu'il appelle la forme primitiA^e

XXXIV Cahier. i4

lo6 ÉTUDES CRISTALLOGRàPHIQUES.

de la substance : il reconnaît Videntité, pour les arêtes, à Tégalité de longueur et à l'égale inclinaison de leurs angles dièdres; pour les angles solides, à Tégalité de leurs parties élémentaires et à Fégale longueur de leurs côtés.

Les géomètres qui ont suivi les méthodes allemandes déterminent les faces coexistantes en supposant qu'un, deux, ou trois des segments interceptés par Tune de ces faces sur trois axes cristallographiques changent de direction en restant sur le même axe, ou en passant sur un autre axe de même paramètre, sous la condition, toutefois, que le nouvel angle trièdre compris entre les segments soit égal ou géométriquement symétrique à Tangle trièdre primitif.

Ces règles résultent d'une étude très -approfondie d'un nombre immense d'espèces minérales; mais elles sont empiriques, et la cause physique de la coexistence n'en ressort pas d'une manière bien nette. Il en est résulté que, dans la pratique, ces règles ne se sont pas toujours trouvées d'accord ; ainsi, les douze faces d'un birhomboèdre formé sur les arêtes des bases d'un prisme hexaèdre régulier sont coexistantes, d'après la théorie de Haiiy; mais, suivant les méthodes cristallographiques de M. Miller, ces douze faces appartiennent à deux associations distinctes qui peuvent exister séparément.

D'autre part, M. Delafosse a parfaitement fait voir (Mémoire cité, p. 654) que la condition d'identité géométrique, dans les diverses parties de la forme primitive, pouvait ne pas être suffisante, et qu'ainsi on ne pouvait rationnellement baser la loi de coexistence sur cette identité géométrique.

Ces difficultés disparaissent lorsqu'on assimile les cristaux à des Assemblages de molécules.

Nous distinguerons sous le nom de faces de même espèce, comme nous l'avons fait dans la théorie des Assemblages, celles qui peuvent être amenées à superposition. Réseau sur Réseau, par une rotation ou translation convenable, la superposition des faces entraînant avec elle celle des Assemblages. Si, de plus, cette superposition entraîne aussi celle des polyèdres moléculaires que l'on peut supposer liés aux plans de ces faces et participant à leurs mouvements, nous dirons que ces faces sont de même espèce, et, de plus, identiques.

£TUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. IO7

La loi de coexistence des faces, généralement désignée sous le nom de loi de symétrie^ consistera dans la nécessité de la formation simultanée de toutes les faces de même espèce avec une face donnée. Appliquée au cas du clivage, cette Joi exigera que le cristal, pouvant se cliver parallèlement à un certain plan réticulaire, se clive aussi, et avec la même facilité, parallèlement à tous les plans réticulaires de même espèce que le précédent.

La raison physique de la loi précédente est que, dans l'acte de la cristallisation, deux faces de même espèce se présentant, en général, de la même manière au milieu générateur, et leur tissu sous-jacent étant le même, les forces moléculaires qui décident l'apposition successive des strates parallèles à Tune d'elles se retrouvent les mêmes dans la formation des strates pamllèles à la deuxième. Mais la nature de cet énoncé fait concevoir que, même indépendamment des causes étrangères qui peuvent agir inégalement sur les flancs de la masse cristalline en voie de formation et y déterminer des avortements accidentels, les forces productrices des Êices de même espèce ne peuvent être complètement pareilles des deux parts, que si les &ces sont, non-seulement de même espèce, mais identiques.

Il convient, toutefois, pour procéder du simple au composé, d'admettre provisoirement la loi de la coexistence des Êices de même espèce, sans tenir compte de la forme du polyèdre moléculaire. Nous verrons ensuite comment la prise en considération de la forme de ces polyèdres oblige à réduire dans un certain rapport le nombre des faces qui doivent théoriquement coexister.

On a désigné sous le nom déforme cristalline l'ensemble de toutes les faces qui doivent coexister à une face donnée. IJne/orme sera donc la réunion de toutes les faces de même espèce que la face donnée. Une forme peut suffire à clore le cristal, et elle est dite ûovs forme fermée; elle est dite ouverte dans le cas contraire.

Le nombre des faces d'une forme dépend du nombre des axes du système, et l'on pourra toujours le déterminer de la manière suivante. Soit N^ le nombre d'axes de symétrie d'ordre q que possède le cristal. Une première face étant donnée, la symétrie propre à chacun de ces axes donnera naissance à y — I autres faces dérivant de la Êice donnée par des rotations répétées,

lo8 ÉTUDES CRISTALLOGRAPUIQUES.

de -^ autour de cet axe (*) ; le nombre total des faces ainsi obtenues, non

compris la face initiale, sera donc {q — i) N^ . Pour se rendre compte de leur mode de distribution, on élèvera des normales sur le côté externe de chaque face, et on les prolongera, ainsi que les axes de symétrie, jusqu'à la surface d'une sphère de très-grand rayon dont le cristal occupe le centre ; puis, de chaque extrémité d'axe, comme pôle, on décrira des petits cercles passant par le pôle de la face donnée, et sur lesquels viendront se ranger les pôles de toutes les faces de même espèce, homologues par rapport à cet axe, La représentation graphique des positions de ces points sur la sphère de projection est fort utile en cristallographie.

En répétant la précédente opération sur les axes d'ordre q\ d'ordre q'\ on obtiendra le nombre total des faces ainsi associées, puisque deux plans réticulaires de même espèce sont toujours homologues par rapport à un axe de symétrie (théorème LXXXVII); ce nombre total sera donc

Mais la forme n'est point encore complète; car, à chacune de ces faces en correspond une autre qui lui est parallèle, mais qui est située sur le côté opposé du cristal ; cette face doit aussi appartenir à la même forme. Donc on devra multiplier par 2 le nombre ainsi obtenu, et comme d'ailleurs ^, y', q'^ ne peuvent être égaux qu'à 6, 3 , 4 ou 2 , on pourra énoncer le théorème suivant : ^ TniéoRÈME I. — Le nombre N des fouces d* une forme complète, dans un système cristallin contenant N^ ojces sénaires, N^ aa:es quaternaires, N, axes ternaires, N^ axes binaires, sera donné par la formule (i) N = 2 (1 -f- 5 N,+ 3 N,-f- 2 N3-h N,).

En appliquant cette formule, et employant les valeurs de N^, N^, N3, N^, fournies par le tableau de la page 91 de mon précédent Mémoire, on trouvera :

i" système cristallin, N= 48 ; 2* système cristallin, N=24; 3* système cristallin, N= 16; 4® système cristallin, N= 12;

5® système cristallin, N= 8; 6® système cristallin, N= 4; 7* système cristallin, N= 2.

(*) Théorème LXXXVHI de mon précédent Mémoire.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. I09

Lorsqu'il s'agit de corps cristallisés, la figure du corps étant celle d'un polyèdre terminé et convexe, la limitation de l'Assemblage introduit un élément nouveau, la bilatér alité des faces, et il est nécessaire d'en tenir compte. En effet, chaque face d'un cristal a un côté interne et un côté externe, et l'on peut concevoir que la même distinction de sens soit appliquée aux parties de la face que l'on prolonge par la pensée au delà de l'aire polygonale par laquelle elle s'applique sur le cristal.

Nous dirons désormais que « deux faces de même espèce sont directement semblables » , lorsque la rotation qui établit la coïncidence de leurs Réseaux amène le côté interne de l'une sur le côté interne de l'autre : il est fecile de voir que les polygones par lesquels ces faces sont en contact avec le cristal se projettent alors sur l'axe qui a servi à effectuer cette rotation, dans l intérieur même de la masse cristalline. Au contraire, ces deux faces seront dites inversement semblables^ si le mouvement qui fait coïncider les deux Réseaux prolongés au besoin, amène le côté interne de l'une des faces sur le coté externe de l'autre; dans ce cas, l'axe de la rotation est situé en dehors du cristal.

Cette définition montre que deux faces homologues par rapport à un plan de symétrie sont toujours inversement semblables : car alors la masse du cristal est toujours comprise entre les parties homologues des deux faces, le biseau de l'angle dièdre formé par ces faces est extérieur au cristal, ou du moins placé à sa limite ; l'axe binaire autour duquel une rotation de 1 80 degrés doit avoir lieu pour produire la superposition de ces faces, étant normal à ce plan de symétrie et s' appuyant sur l'un des points de ce biseau, sera nécessairement extérieur au cristal.

Toute face parallèle à une face donnée lui est inversement semblable ; car leur superposition, par simple translation, amène le côté interne de l'une sur le côté externe de l'autre. De même, toute face A directement semblable à une face B, sera inversement semblable à la face parallèle à la face B. Plus généralement, on peut énoncer le théorème suivant :

Thi^orème il — Deux faces directement semblables ou inversement semblables à une troisième sont directement semblables entre elles; et deux faces sont inversement semblables, si F une d! elles est directement semblable à une troisième y et si Vautre lui est inversement semblable.

110 léTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

En résumé, toute forme cristalline se décompose en

Une face A primitivement donnée, et que je nommerai la face dèter-minante de la forme;

5N^ -h 3N^ + ^Nj -h Nj, faces directement semblables à A;

Une face A^ parallèle à A et qui lui est inyersementsemUable;

5N^ H- 3N^ -4- liN, H- Nj faces directement semblables à A' et inversement semblables à A .

Ainsi toute forme se décompose en deux demi-formes:

Une demlforme directe, composée de 1 4- 5 N^ -+- 3N^ -+- aN, -h N, fiices toutes directement semblables entre elles ;

Une demiforme inverse, composée d'un pareil nombre de faces, toutes directement semblables entre elles, mais inversement semblables aux faces de la demi*forme directe, et parallèles deux par deux à ces dernières.

Dans le cas où là forme se compose de plans de clivage, il n'y a plus lieu de distinguer les côtés interne ou externe des &ces, et le nombre des plans qui constituent la forme de clivage est simplement égal ài + 5N.H-3N,-h2N3-f-N,.

La valeur du nombre N indiquée par l'équation (1) se rapporte au cas général où la face déterminante A, qui sert de départ à la forme eristaltine, n'offre aucune particularité de position, relativement aux axes de symétrie; alors la forme sera dite ^orm^ oblique.

Dans le cas contraire, il pourra arriver que sur les N faces qui eoi»* posent la forme oblique, deux ou plusieurs se confcHident en une seule* Le nombre N se réduisant alors à l'un de ses sousnnultiples, il se produit une forme restreinte, moins riche en faces que la forme oblique, mais dont la symétrie est néanmoins tout aussi complète. Je reviendrai sur ce sujet dans le § VL

§ IV. — De la dér libation desfaees et du choix des axes coordonnés.

La surface extérieure d'un cristal appartient quelquefois à une seule forme cristalline^ mais, le plus souvent, à deux ou plusieurs formes difiereirtes. Une face d'une forme étant donnée, toutes les autres Êices de la forme en résultent ; mais cela ne nous apprend pas quelles sont les autres formes

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUË!;. ^ t I

qui ont pu s'associer à la précédente, pour contribuer avec elle à clore le cristal.

Il existe, à cet égard, certaines règles auxquelles la nature se plie, et qui permettent de faire dériver toutes les faces et formes possibles du cristal, luie fois que l'observation a feit connaître, pour chaque espèce minérale, certaines constantes qui lui sont propres.

Cette dérivation des feces a été jusqu'ici obtenue, soit par la méthode des décroissements ou méthode moléculaire, soit par la méthode des troncatures rationnelles ou méthode géométrique.

Dans la première méthode, due à Bergmann et Haiiy, on choisît un certain parallélipipède comme noyau du cristal, et l'on assemble face à face ces parallélipipèdes de manière à produire des lames qui se superposent, chaque lame reculant sans cesse de la même quantité sur les bords de son contour, par rapport à celle qui la précède. Dans chaque lame, l'apposition des parallélipipèdes produit des files parallèles qui sont également placées en retrait l'une par rapport à l'autre. Les dimensions du noyau sont les constantes qu'il s'agit de déterminer une fois pour toutes, et il ne reste plus qu'à faire varier les lois d'apposition de ces parallélipipèdes que Haiiy avait désignés sous le nom de molécules soustractwes, pour obtenir toutes les faces possibles du cristal. On démontre que, dans ce cas, tout plan parallèle à la face qui passe par les sommets restés exempts d'appositions latérales, tronque les trois arêtes de l'un des angles du noyau suivant des segments proportion^ nels à certains sous-multiples simples des longueurs primitives des arêtes. C'est en faisant varier les rapports de cçs sous-multiples entre eux que l'on obtient toutes les faces possibles.

Dans la méthode des troncatures rationnelles, on choisit trois droites se coupant au même point, dans l'intérieur du cristal, et sur ces droites on * porte trois longueurs a, è, d nommées ptzramètres. Les grandeurs a, 6, rf et les angles qui fixent leur position relative sont les constantes spécifiques que l'cdïservation doit faire connaître; elles restent les mêmes pour tous les échantillons d'une même espèce minérale, mais varient d'une espèce à une autre espèce : ces droites, désignées en général sous le nom d'axes cristallographiques, sont le plus souvent des axes de symétrie du cristal. Alors la loi de dérivation des faces peut être énoncée de la manière suivante : ce Prenez

1 I 2 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

<( sur les axes des longueurs respectivement égales à

-«, jà, jd,

a g^h^k étant des nombres entiers susceptibles de devenir négatifs dans le « cas où le segment devrait être compté en sens inverse du paramètre; le « plan mené par les trois extrémités de ces segments sera Tune des faces « possibles du cristal. »

Si l'un des nombres g^ A, k devenait nul, le segment correspondant deviendrait infini, et le plan de la face serait parallèle à l'un des trois axes.

La face est alors désignée par la notation symbolique [ghk). Ainsi la loi de dérivation des faces consiste dans la variation illimitée des nombres entiers g^ A, k qui sont appelés les caractéristiques de la face.

Non-seulement ces deux modes de dérivation coïncident quant aux résultats; mais, en outre, ils sont évidemment identiques avec le mode de dérivation de nos plans réticulaires . En effet, un Assemblage étant rapporté à trois Rangées conjuguées comme axes, et a, è, d étant les paramètres de ces Rangées, l'équation générale des plans réticulaires est, en coordonnées linéaires,

g-, A, k étant les trois caractéristiques du plan réticulaire (ghk). Si donc nous faisons coïncider les axes coordonnés de notre Assemblage, avec les axes cristallographiques des minéralogistes allemands, si de part et d'autre nous prenons les mêmes paramètres, et si nous assignons a g, h, k les mêmes valeurs, le plan de l'équation (2) qui coupe les axes aux distances *~ ^> t ^> -r ^

de l'origine, coïncidera, quant à sa direction, avec la face qui a pour symbole (ghk) dans le système des troncatures rationnelles.

Ainsi nos plans réticulaires de symbole (ghk) sont précisément les plans sécants à troncatures rationnelles de la cristallographie allemande, plans auxquels MM. Frankenheim, Whewel et Miller ont assigné la même notation symbolique (ghk); ce sont aussi les faces de décroissement de la théorie d'Haiiy. M. Miller a représenté, en outre, par le symbole \ghk\ l'ensemble de toutes les faces qui s'associent à la Êice (ghk) pour constituer une forme

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 1 I 3

complète dans un système cristallin désigné d'avance. Nous conserverons cette notation, qui sera l'expression abrégée des symboles des N faces qui composent la forme {voyez ci-dessus, page io8).

Je représenterai aussi avec M. Miller par k [ffhk] la demi-forme directe correspondant à {ghk)y et par k \ghk} sa demi-forme inverse.

Il convient maintenant de faire, dans chacun de nos sept systèmes cristallins, un choix convenable des axes coordonnés auxquels nous devrons rapporter les faces des cristaux. Nous adopterons, autant que cela sera possible, trois des axes de symétrie du système. Toutefois cela n'est pas indispensable, et M. Miller a décrit le système ternaire (système rhomboédrique), en prenant pour axes coordonnés les arêtes du rhomboèdre générateur, lignes qui ne sont point des axes de symétrie du cristal.

Dans tous les systèmes cristallins, sauf le premier et le dernier, il existe au moins un axe de symétrie principal {voyez le tableau de la page 98 du Mémoire sur les Systèmes de points).

Je supposerai toujours cet axe placé verticalement y et je le prendrai pour axe des ordonnées linéaires ^, et des ordonnées numériques z qui leur correspondent. Dans le système terquaternaire, où il existe trois axes quaternaires, l'un d'eux, arbitrairement choisi, sera considéré comme étant l'axe des z.

Lorsqu'il se présentera plusieurs modes «cristallins dans un même système, on se guidera, pour le choix des axes, sur la convenance du mode hexaédral, dont tous les autres modes dérivent ensuite avec facilité par des centrages convenables, et qui offre, de plus, cette circonstance remarquable, que les trois arêtes de son hexaèdre générateur sont des Rangées conjuguées de l'Assemblage.

Dans le cinquième système, qui renferme deux modes hexaédraux, l'un à base rectangle, l'autre à base rhombe, c'est le mode à base rectangle qui devra servir de point de départ.

Système ter quaternaire. — On prendra pour axes coordonnés les trois arêtes du cube servant de noyau au mode hexaédral. Les axes des x^y^z sont alors rectangulaires entre eux; les trois paramètres sont égaux et représentés \^T a, a, a. Les axes coordonnés sont les axes quaternaires de l'Assemblage.

Nooft verrons bientôt qu'on peut substituer aux axes quaternaires les quatre

XXXIF' Cahier. i5

Il4 ETUDES GRISTàLLOGRAPHIQUES.

axes ternaires de l'Assemblage; mais cette substitution ne devra se faire qu'exceptionnellement, attendu qu'elle mène en général à des résultats moins simples.

Système sénaire. — Les mêmes axes que pour le système ternaire qui en dérive par le procédé indiqué à la page 78 de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

Système quaternaire, — Les trois arêtes du prisme droit à base carrée, qui forme le solide générateur du mode hexaédral, seront prises pour axes coordonnés. On prendra, pour axe des z, Taxe quaternaire; pour axes des X et desjK*, les deux axes binaires de première espèce; les paramètres sont a, a, rf, sur ces axes. Le paramètre des axes de seconde espèce est a y/a.

Système ternaire. — On peut, avec M. Miller, prendre pour axes coordonnés les trois arêtes du rhomboèdre générateur.

On peut appliquer ce même système d'axes au système sénaire qui en dérive, puisque les plans réticulaires sont les mêmes de part et d'autre.

Toutefois, il faut remarquer que les douze faces, qui, réunies, constituent hjbrme la plus générale du système ternaire (voyez Cristallographie, de Miller, trad. française, page 77) , ne représentent pas la forme complète du système sénaire : pour obtenir les douze autres faces, on doit faire tourner de 180 degrés les faces de la forme \ghk\ autour de l'axe sénaire.

Dans le système de M. Miller, les axes coordonnés étant parallèles aux arêtes du rhomboèdre générateur, on trouve facilement que le plan {ghk)^ tournant de 180 degrés autour de Taxe de symétrie ternaire, vient coïncider avec un plan réticulaire de notation {g' h'k')^ g^ ^hl ^k' étant des nombres entiers déterminés par les formules suivantes {Cristallographie, § i33) :

I—g^^h-^r ^k = g\ ig — h -^ !àk = h', 2 g -h 9^ h — k = k';

ainsi les formes à douze faces \ghk\y \g'h'k'\ s'associeront entre elles pour constituer la forme la plus générale du système sénaire.

Mais il est préférable, comme nous le dirons bientôt, de prendre pour axe des 2, dans les systèmes sénaire et ternaire, l'axe principal du système, et

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUBS. I I ^

pour axes des x et des j, deux des trois axes binaires de première espèce qui se croisent à son pied dans le plan qui lui est normal: le paramètre de Taxe des z est alors égal à d; celui des axes des x et des j est égal à a.

Système terbinaire. — On prendra pour axes les trois arêtes du parallélipipède rectangulaire qui forme le solide générateur du mode hexaédral rectangle. Les axes coordonnés coïncident alors avec les trois axes de symétrie, et sont, en même temps, des Rangées conjugées de ce mode cristallin. Les paramètres sont inégaux, et représentés par a^b^d: Taxe des z est supposé vertical, et considéré comme étant l'axe principal du système.

Système binaire. — On prendra pour axe des z Taxe binaire, et on le placera verticalement. Cet axe est une des arêtes du prisme droit qui, dans le mode hexaédral, forme le solide générateur de l'Assemblage ; il est donc normal au plan Ae^xy\ son paramètre sera représenté par d. Les axes des x et des y sont deux Rangées conjuguées quelconques du Réseau tracé siu* ce plan; elles font entre elles un angle égal à (T, et leurs paramètres sont égaux à a et à 6.

Système asymétrique. — Trois Rangées conjuguées quelconques se coupant en un même Sommet peuvent être prises pour axes coordonnés. Les paramètres, sur les axes des a:, des j et des z, continueront à être représentés par a^b^ d\\^% angles plans formés par ces mêmes axes entre eux, sur les plans des yz^ des xz et des xy^ par a, p et J; enfin les angles dièdres opposés à ces angles plans par /^, ir, fm.

Quoique nous adoptions en général les axes coordonnés dont s'est servi M. Miller, on verra, dans le paragraphe suivant, que nous nous écartons de la méthode du savant professeur pour les systèmes sénaire, ternaire et binaire.

§ V. — Des notations cristaUo graphiques .

Nous avons vu que le symbole {ghk) représentait la série des plans réticulaires parallèles, dont l'équation est

ou, plus simplement, en coordonnées numériques,

(6) gx-^hy -\-kz = C

Il6 l^TUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Pour pouvoir distinguer Tune de l'autre la face {ghk) et la parallèle située de l'autre côté du cristal, M. Miller représente cette dernière par ( — g, — h, — Â*), ou, mieux encore, par le symbole {gàk)] cela revient à supposer que l'origine des coordonnées est située dans Tintérieur du cristal, et que le nombre G est essentiellement j^^ositif. Cette convention sera admise dans tout ce qui va suivre.

Le système de notations imaginé par M. Weiss, et adopté par la plupart des cristallographes allemands, consiste à écrire, sous forme de progression géométrique, les trois distances auxquelles la face considérée, ou une de ses parallèles, coupe les trois axes, à partir de l'origine. Ainsi, a, 6, d étant les trois paramètres, si le segment intercepté sur l'axe des œ est ma, si celui relatif à l'axe des j est nb, si celui relatif à l'axe des z estpd, la notation de la face sera

ma : nb : pd.

En vertu du principe des troncatures rationnelles, m, /i, p sont des nombres entiers ou fractionnaires, susceptibles de devenir infinis, mais jamais égaux à zéro.

L'expression symbolique ci-dessus équivaut à l'équation

Si Ton réduit les trois facteurs — ? -> - au même plus petit dénomina-

teur commun C, et si l'on pose

^^^ m=C' n=Tl' p=C'

g*, A, k étant des nombres entiers dépourvus de commun diviseur, on aura

ce qui nous ramène à la face de symbole {ghk). Ainsi les trois formules

ma\nb \pd, - a: Ji: Jrf, {ghk), sont équivalentes. Mais, quoique la notation de M. Weiss ait été un progrès

ETUDES CRISTALÎ.OGRAPHIQUES. I I 7

réel sur celle d'Haùy, la nouvelle notation est encore préférable, attendu que les caractéristiques g, A, k s'introduisent plus facilement dans les calculs que

leurs inverses - ? â' T' ^^ même qu'en trigonométrie, il est plus facile d'opérer sur des sinus et sur des cosinus que sur des cosécantes ou des sécantes.

Je ne parlerai pas des autres notations cristallographiques adoptées par divers auteurs. M. Miller a traité d'une manière complète de ces transformations de notations, dans l'un des chapitres de sa Cristallographie, et je ne puis mieux faire que d'y renvoyer mes lecteurs.

Mais je ne puis passer sous silence les notations à quatre caractéristiques dont l'emploi généralisé peut rendre de grands services au cristallographe. Imaginées d'abord par M. Weiss, dans le but d'appliquer ses symboles aux cristaux rhomboédriques, elles ont été employées par M. Frankenheim, dans un intéressant Mémoire publié par le journal l'Isis, en 1826.

Dans ce nouveau système, le premier axe ou axe principal des cristaux rhomboédriques est l'axe ternaire de paramètre d ; les trois autres axes sont trois droites situées dans le plan normal à l'axe principal et inclinées l'une sur l'autre sous des angles de 60 degrés ; les paramètres de ces axes sont a^ a^Uy de sorte que la notation d'une face quelconque est alors

ma \na\qa : pd^

m^ n^ </,/? étant des nombres entiers ou fractionnaires.

Mais avant d'appliquer ce mode de notation aux systèmes cristallins, il convient de généraliser la définition des caractéristiques donnée à la page 89 de mon Mémoire sur les Systèmes de points. La caractéristique d'un plan ighk) par rapport à un axe quelconque, ou Rangée, de paramètre d sera désormais « le nombre par lequel doit être divisé le paramètre d pour obtenir (c le segment intercepté sur cet axe par deux plans limitrophes appartenant « à la série {ghk). »

A ce point de vue, la caractéristique g* relative à l'axe des a; est le nombre par lequel doit être divisé le paramètre a pour obtenir le segment qu'intercepte sur cet axe, à partir de l'origine, le plan

gx^hy -^kz= i\ et il en est de même pour les caractéristiques h et /\

1 I 8 ETUDES GRISFALLOGRAPHIQUES.

Soit en général G la caractéristique du plan réticulaire {ghk) par rapport à Taxe qui joint l'origine au Sommet dont les coordonnées numériques sont (m, n, p) : û résulte de la solution du problème XX Vil (Mémoire sur les Systèmes de points) que Ton aura

(9) G = gm-i- hn-h kp.

Si le plan (ghk) est parallèle à la Rangée mnpy on aura

gm -hhn-^kp = o^

et la caractéristique du plan, par rapport à la Rangée prise pour axe coordonné, sera égale à zéro.

Aux trois axes coordonnés nécessaires pour fixer la position des points, lignes ou plans de l'Assemblage, rien n'empêche de joindre un quatrième axe coordonné que je nommerai Vaxe auxiliaire, et qui ira de l'origine au Sommet dont les cordonnées sont ( — i , — i , — i). Je nommerai e le paramètre de ce nouvel axe ; la caractéristique des plans réticulaires par rapport à ce même axe sera en général représentée par la lettre /, l'ordonnée numérique des Sommets rapportés à cet axe sera désignée par s. Il conviendra de remplacer le symbole {ghk) par le nouveau symbole (ghkl), et l'équation du plan réticulaire limitrophe à celui qui contient l'origine pourra s'écrire indifféremment

gx-i-hx-hkz^^i,

gx-hkz-h Is = I, Ar -h ^z -t- b= I ,

attendu que les axes des a;, des j, des z et des s sont conjugués trois à trois. Enfin on devra se rappeler que g, h, ky l sont liées entre elles par la relation

(i i) g-H-A-hA^-+-/ = o,

qui est la formule (59) de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

ETUDES CRlStALLOG^APHIQUES. II9

Au lieu de prendre pour axe auxiliaire celui qui aboutit au point ( — I, — I, — i), on peut choisir la Rangée allant de l'origine au point ( — I , — 1,0), nommer c le paramètre de ce nouvel axe, t les coordonnées des Sommets mesurées parallèlement à cet axe, et i les caractéristiques des plans réticulaires par rapport à ce même axe. Alors il conviendra de remplacer le symbole {ghk) par le nouveau symbole {ghik)^ et l'équation du plan réticulaire limitrophe à celui qui contient l'origine pourra s'écrire sous l'une des trois formes suivantes :

t gx-^hy-+-kz = i, (12) . j gx-+- it-^kz = i,

\ ky -i- à -hkz^i.

On devra se rappeler que g^ h, i sont liées entre elles par la condition (i3) gr-hA-h/=o,

qui est la formule (2 1) de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

Les axes des x^ des y et des t forment alors trois Rangées conjuguées deux à deux sur le plan des xy.

Notation à quatre caractéristiques dans le système ter quaternaire. — Lorsqu'on veut appliquer cette notation à ce système, il faut supposer l'Assemblage construit d'après le mode hexaédral, et le rapporter à ses quatre axes ternaires.

Prenons donc pour axés coordonnés quatre Rangées allant de l'origine aux points (1, i, i), (x, i, i), (i, i, i), (1,1, i). D'après les formules générales de la transformation des symboles ( problème XXVII ) , le plan [ghk) devient, dans le nouveau système d'axes,

{g-^h-k,g-h-hk,-g-^h^k, gr/,^) = (GHKL)-

La demi-forme directe correspondant à la face (GHKL) se compose alors des vingt-quatre permutations obtenues en échangeant entre elles les caractéristiques. En changeant les signes de toutes les caractéristiques à la fois, on aura la demi-fonne inverse correspondante.

lâO ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Ijes six faces du cube sont alors représentées par { i i i i },

Les huit faces de Toctaèdre régulier par {i 1 1 3},

liCs douze faces du dodécaèdre rhomboidal par { i oo 1 1 ,

Les vingt-quatre faces du tétrakishexaèdre par | GHGH |, etc.

Notation à quatre caractéristiques dans le système sénaire. — Prenons raxesénaireOz(^g'. i) pour axe des z, et supposons-le placé verticalement. Parmi les six Sommets de l'hexagone régulier GFHG'IH' qui enveloppe l'origine O sur le plan horizontal, choisissons les trois Sommets alternants G, H, I; prenons OG pour axe des x positives, OU pour axe des }• positives, et 01 pour axe auxiliaire, ou axe des coordonnées t : ces lignes sont les axes binaires de première espèce de l'Assemblage, et leur paramètre sera désigné par a.

Le svmbole d'un plan réticulaire quelconque sera {ghik) dans ce système d'axes, les caractéristiques g", A, i étant liées par l'équation de condition (i 3).

Pour trouver toutes les faces appartenant à la même forme que la face déterminante [ghik)y on remarquera qu'en faisant tourner {ghik) de 6o degrés

autour de Oz, en allant de Ox vers Oj? les segments ^ ? ^> t passent deOG, OH, 01 sur les droites OF, OG', OH' ; d'où l'on voit que l'on obtient ainsi la face {7ii gk)y et de celle-là on déduira toutes les faces homologues de (ghik) relativement à l'axe sénaire, en faisant passer la première caractéristique au troisième rang, et changeant en même temps les trois premiers signes.

Si l'on fait ensuite tourner {ghik) de i8o degrés autour de l'axe des cf, on obtiendra la face igihk) , et l'on obtiendrait de même {ihgk) , {hgik) en faisant tourner la même face de i8o degrés autour de l'axe des y et autour de l'axe des z ; on obtient ainsi le système des homologues de {ghik ) par rapport aux axes binaires de première espèce.

On obtiendra de même les homologues par rapport aux axes binaires de deuxième espèce.

Après avoir obtenu les douze faces delà djemi-forme directe, on aura, par un changement simultané de tous les signes, les douze faces de la demi-forme inverse. Le diagramme complet des vingt-quatre faces de la forme la plus

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 1:21

générale du système sénaire sera donc

ghik higk g'hk hgik 7L\ghik\ =^ighk ghlk îhgk gihk^ higk Ighk hgik ihgk

ghik higk gihk hgik K{ghik\ = lghk ghik ihgk gihk.

h^g^ ^S^^^ h^'ik ihgk

Je reviendrai sur ce sujet, en traitant de l'influence qu'exerce le polyèdre moléculaire sur la figure des formes cristallines.

Notation à quatre carax^téristiques dans le système ternaire. — On devra, dans le diagramme précédent, conserver parmi les faces directement semblables à (ghik), celles-là seulement qui proviennent de rotations de 1 20 degrés autour de Taxe principal, c'est-à-dire {ighk) et (higk) y et celles qui résultent de rotations de 180 degrés autour des droites OG, OH, 01 de la fig. I , droites qui, dans le système ternaire, continuent à être des axes binaires de l'Assemblage.

Il en résulte que, prenant toujours ces droites pour axes des x, des j et des ty on aura, pour le diagramme de la forme qui comprend toutes les faces de même espèce que {ghik)^

ghik

gihk

ghik

gihk

K\gh.ik\

= ighk

ihgk,

^x\ghik\ — tghk

ihgk.

high

hgik

higk

hgik

Ici la forme [ghik] est essentiellement distincte de la forme \ghik\. En permutant entre elles les trois premières caractéristiques, il faut remarquer que, si l'on veut rester dans la même forme cristalline, « toute permutation non a circulaire (*) des trois premières caractéristiques doit être accompagnée du ic changement de signe de ces caractéristiques ou de la dernière » , et récipro-

(*) Une permutation entre n lettres abcde.. .kl est dite circulaire , si, les lettres étant écriles aux sommets d'un polygone de n côtés, on les compte dans leur ordre naturel, à partir de l'une d'elles prise arbitrairement; les permutations circulaires de ahçd...kl sont donc bcd,..kla^ cd, . . klab y etc.

XXXir^ Cahier, i6

122 ÉTUDES CRISTàLLOORàPHIQUES.

« quement, que « tout changement de signe, soit des trois premières carac- <c téristiques à la fois, soit de la dernière seule, doit être accompagné d'une « permutation non circulaire des trois premières caractéristiques. » Il est facile d'en conclure que toute forme du système ternaire peut être représentée par l'expression symbolique \gj à, g -^- h, k\, dans laquelle g", A, A- sont des nombres positifs ou au moins égaux à zéro. La face {g, h^ g -+- h^ X) sera dite alors la^àce détermùumte de la forme.

La forme {//, g-, g- -h A, A*} pourra être appelée la forme liémitropique de la forme \gjij g -^ h^k]^ puisqu'on passe de l'une à l'autre par une rotation de i8o degrés autour de l'axe principal, et {h^ gjg-h h^k) sera sa face déterminante.

Une face étant donnée, et son symbole étant (gf^k) dans le système d'axes coordonnés adoptés par M. Miller pour les cristaux rhomboédriques, on peut demander ce que deviendra ce symbole dans le système des notations à quatre caractéristiques.

Soient {Jig. 2) O l'origine, OGo:, OHj, 01^ les trois axes coordonnés des x, des jet des*, axes binaires de l'Assemblage, et XYZle triangle élémentaire, dans le plan réticulaire le plus voisin du plan GHI. Les droites inclinées OX, OY, OZ sont les axes des a?, des j et des z dans le système de M. Miller : je prends Oa?, Oj, O*, normales respectivementàOX,OY,OZ. Soient (w, n, /?) les coordonnées de G, dans le système de M. Miller, {m\ n\ p') celles de H, {m^/^^/) celles de I,

{ni'\ n!"^p"') celles de l'extrémité de l'axe ternaire normal au plan. En joignant ZG, et remarquant que OYZG est un parallélogramme, on trouve facilement

et de même

on a d'ailleurs

Donc, d'après les formules générales de transformation, équations (58) de

ëtudës CRISTALLOGRAPHIQUES. 123

mon Mémoire sur les Systèmes de points, le nouveau symbole sera

{k — h,g — k,h—g,g-\-h^k), ce que l'on peut indiquer par

(i6) [ghk) = {k-h,g-k,h-g,g-i-h-i-k).

Si l'on eût pris OG', OH', 01' pour axes des coordonnées positives, on aurait eu

(17) (ghk) = {h — k, k — g, g — h, g ^ h -^ k).

Réciproquement, on trouvera facilement qu'à la notation {ghik)^ dans le système formé par Ox^ Oj, O^ et Taxe ternaire, correspond, dans le système d'axes de M. Miller, le symbole équivalent

(18) (k±{h- i), k± {i- g),k±{g - h)) = [ghik),

les signes supérieurs se rapportant au cas où les nouveaux axes coordonnés se dirigeraient, en s'élevant au-dessus du plan de la figure, suivant OX, OY, OZ, et les signes inférieurs au cas où les nouveaux axes se dirigeraient suivant OX',OY', OZ'.

Il importe de remarquer que les axes des x et des y ne forment plus ici un système d'axes qui soient conjugués avec Taxe des z ; mais on pourra néanmoins les regarder comme tels, si l'on supprime par la pensée tous les Sommets contenus dans les plans réticulaires parallèles au plan de» ocy^ et dont le numéro d'ordre n'est pas un multiple de 3 : j'ai démontré (théorème LXII de mon Mémoire sur les Systèmes de points) que cette suppression ne trouble pas la direction des plans réticulaiies de l'Assemblage.

Notation à quatre caractéristiques dans le système binaire. — On continuera à supposer que l'Assemblage est construit d'après le mode hexaédral. L'axe binaire, placé verticalement, sera pris pour axe des z. Dans le plan réticulaire normal à cet axe, on construira un triangle élémentaire OGl' (fig- i)^ ayant l'un de ses Sommets à l'origine O. L'un des deux côtés qui embrassent

124 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

l'angle O, le côté OG par exemple, étant pris pour axe des x^ OH parallèle à GF sera pris pour axe des j, et 01 prolongement de OV pour l'axe auxiliaire. Les trois angles GOH, GOI, HOI seront les suppléments de OGI', GOr, or G; enfin l'on aura

OG = a, OH = or =6, oi = or = c.

La nfotation de la face {ghk) prendra la forme [ghik)^ à cause de l'axe auxiliaire situé sur le plan des ocy.

La forme complète correspondant à cette face sera donnée par les foiTiiules

(19) ^^gh;k\=:Sj'l\ K[ghU\='^~^''t ^ ^^ '^ ' ghih ^^ ' ghik

Il sera toujours permis de supposer que OGF est le triangle principal du Réseau; alors les angles GOH, GOI, HOI seront obtus. De plus, nous admettrons que l'on a

ce qui revient à prendre pour axe des x la Rangée de paramètre minimum du Réseau, et pour axe des y celle dont le paramètre est le plus petit, après la précédente.

Lorsqu'on passe de OG à OH et de OH à 01 par une rotation allant de l'est à l'ouest par le sud, je dis que le cristal est droit. Lorsque la même rotation s'effectue de l'est à l'ouest par le nord, je dis que le cristal est rem^ersé : dans ce cas, il suffira, pour le rendre droit, de le faire tourner de 180 degrés autour d'une droite quelconque située dans le plan des xy.

Ainsi on peut toujours supposer que le cristal est placé dans sa station droite, devant l'observateur qui l'examine : par là, la distinction entre la partie supérieure et la partie inférieure du cristal deviendra facile à établir.

J'admettrai encore que le cristal est ainsi tourné autour de son axe O z vertical , que la ligne OGo; soit dirigée vers l'est, c'est-à-dire de la gauche à la droite du spectateur supposé regardant vers le nord (*) : le plan vertical mené suivant Hl' aura alors pour symbole (01 10), et fera face au spectateur;

(*) C'est la supposition cjue l'on adopte dans l'orientation des cartes de géographie.

lÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 125

ii y aura presque toujours dans le cristal une face bien développée, dirigée parallèlement à ce plan.

L'axe des y positives sera alors renfermé dans le quadrant sud-ouest, et l'axe auxiliaire dans le quadrant nord-ouest.

Ces conventions facilitent l'étude des cristaux du système binaire.

Elles sont pareillement applicables aux cristaux des systèmes sénaire et ternaire, et je supposerai toujours que la face (oi lo) fait face au spectateur dans les cristaux de ces systèmes : toutes les faces de la forme (oi i A) regarderont pareillement le spectateur, quoique n'étant pas verticales.

§ VI. — Des formes restreintes et du nombre de leurs faces.

Je nommerai ybrme paraUèle une réunion de faces de même espèce assujetties à être chacune parallèle, soit à un même axe de symétrie du système, soit à des axes différents, mais de même espèce; il suffit que Tune des faces de la forme soit parallèle à un axe de symétrie pour que la forme soit parallèle. Dans le cas où l'axe auquel la face est parallèle serait d'ordre pair, celle-ci sera en même temps perpendiculaire sur le plan de symétrie qui est normal à cet axe dans l'Assemblage ; la forme sera dite alors forme orthoparallèle.

Je nommerai forme normale une forme dont chaque face est assujettie à être normale à l'un des axes d'une même espèce : une forme normale peut être en même temps parallèle à un axe, soît d'ordre impair, soit d'ordre pair; dans ce dernier cas, elle sera désignée sous le nom de forme normale orthoparallèle.

Formes parallèles. — Si l'axe auquel la forme est parallèle est un axe d'ordre impair, la forme conserve toutes ses faces. La forme { ghio] dans le système ternaire, la forme \g^ A, g±h\ dans le système terquaternaire, offrent cette circonstance. Si donc on nomme y le coefficient de réduction du nombre des &ces, on a, dans ce cas particulier,

Si Taxe auquel la forme est parallèle est un axe d'ordre pair, c'est-à-dire si la forme est orthoparallèle, en faisant tourner [ghk) de i8o degrés autour de cet axe, la face [g'h'k') ainsi obtenue est à la fois directement sem-

126 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

blable à {ghk) par rapport à cet axe, et inversement semblable à {ghk)j comme lui étant parallèle. Ainsi la demi-forme directe x\ghk\ et la demiforme inverse x \ghk\ coïncident, le nombre des feces devient moitié moindre et Ton a, pour les formes orthoparallèles,

Gela résulte d'ailleurs du théorème LXXXIX de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

Voici la liste des formes orthoparallèles dans les différents systèmes cristallins.

Système terqiiaternaire : deux espèces d'axes d'ordre pair ; deux espèces de formes orthoparallèles.

Forme parallèle aux axes quaternaires; son symbole général est {g'Aoj; tétrakishexaèdre des minéralogistes.

Forme parallèle aux axes binaires; son symbole général est \ghk\ ou lé'é'^i' triakisoctaèdre des minéralogistes, comprenant, comme simple variété, le trapézoèdre.

Ces deux formes sont à vingt-quatre faces.

La forme { g", A, g^ ± A } est parallèle aux axes ternaires ; le polyèdre terminé par toutes les faces de la forme est alors un solide à quarante-huit Êices.

Système sénaire : trois espèces d'axes d'ordre pair ; trois espèces de formes orthoparallèles.

Forme parallèle à l'axe sénaire; son symbole général est \ghio\; prisme dodécaèdre indéfini.

Forme parallèle aux axes binaires de première espèce ; son symbole est \gogk\; birhomboèdre de première espèce des minéralogistes.

Forme parallèle aux axes binaires de deuxième espèce ; son symbole est j gg igk \ ; birhomboèdre de deuxième espèce des minéralogistes.

Ces trois formes sont à douze faces.

Système quaternaire : comme dans le système précédent.

Forme parallèle a Taxt; quaternaire; son symbole général estjg'Ao}; prisme octaèdre indéfini.

JÉTUDBS CRISTALLOGRÀt>HIQtJËS. t'I'y

Forme parallèle aux axes binaires de première espèce ; son symbole est I g^oA I ; quadratoctaèdre de première espèce des minéralogistes.

Forme parallèle aux axes binaires de deuxième espèce ; son symbole est { ggk I ; quadratoctaèdre de deuxième espèce.

Ces trois formes sont à huit faces.

Système ternaire : une seule espèce d'axe d'ordre pair; une seule espèce de forme orthoparallèle.

Forme parallèle aux axes binaires ; son symbole est { gogk \ ; rhomboèdre des minéralogistes.

Cette forme est à six faces, tandis que la forme générale en a douze.

La forme ( ghio \ est parallèle à Taxe ternaire; elle doit donc avoir douze faces ; c'est le prisme dodécaèdre des minéralogistes. Mais le solide résultant se distingue du scalénoèdre, qui est la forme oblique la plus générale, en ce que ses douze faces sont toutes parallèles à l'axe ternaire.

Le scalénoèdre comprend aussi comme cas particulier la forme birhomboédrique [gg'^g^]^ qui n'est pas une forme parallèle, dans le système ternaire, et qui d'ailleurs embrasse douze faces.

Système terhinaire : trois espèces d'axes d'ordre pair; trois sortes de formes orthoparallèles.

La forme parallèle à l'axe des x a pour symbole {oM}; celle parallèle à l'axe des j a pour symbole {gro^} ; celle parallèle à l'axe des z a pour symbole {^Àoj : prismes rhombes indéfinis.

Système binaire: un seul axe d'ordre pair ; une seule forme orthoparallèle.

Forme parallèle, de symbole [ghio]^ consistant en deux faces parallèles entre elles et à l'axe de symétrie du système.

Lorsqu'une face orthoparallèle est en même temps parallèle à un axe d'ordre impair, cette dernière particularité ne modifie pas le nombre des faces de la forme.

Lorsqu'une face orthoparallèle est en même temps parallèle à un autre axe d'ordre pair, alors en vertu du théorème XII de mon Mémoire sur les Polyèdres de forme symétrique (*), la droite normale au plan des deux

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées y tome XIV.

Iâ8 ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

axes d'ordre pair sera nécessairement un axe de symétrie de TAssemblage, et la forme, étant perpendiculaire à cette droite, sera une forme normale.

Formes normales. — Soit L^ Taxe auquel la forme est normale, et soitQ le nombre des axes de son espèce, dans l'Assemblagç.

Je supposerai d'abord qu'il ne passe aucun plan de symétrie par cet axe.

Au moment où la face {ghk) devient normale à L^, ses qr — i homologues par rapport à cet axe se confondent avec elle (théorème XG de mon Mémoire sur les Systèmes de points) : d'où l'on voit que le nombre total des

N faces se réduit de N à — On a donc, pour les formes normales,

Les demi-formes directe et inverse restent distinctes ; le nombre des faces

de chacune de ces demi-formes est écal à

Avant de passer outre, remarquons que le nombre des faces de la forme normale peut aussi s'exprimer par aQ; car, à chaque axe L^ correspondent une face telle que {ghk) et une autre face qui est son inverse et qui lui est parallèle : d'où l'on déduit l'équation

et, par suite, le théorème suivant :

Théorisme III. — Le numéro d'ordre d'un axe qui n'est contenu dans aucun d£S plans de symétrie d'un Assemblage donné, étant multiplié par le nombre des a^es de son espèce, donne un produit constant égala la moitié du nombre des faces d'une forme oblique.

Lorsqu'un plan de symétrie P passe par l'axe L^, la normale à P est un axe d'ordre pair faisant un angle de 90 degrés avec L^ ; donc alors la forme normale à L^ est en même temps parallèle à un axe d'ordre pair, c'est-à-dire orthoparallèle.

Dans ce cas, non-seulement le nombre \ N des faces de chacune des demi-

formes directe et inverse devient égal à 7 —; mais, de plus, ces deux demiformes viennent se superposer, de sorte que le nombre total des faces

est •

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 1 29

On a donc, pour les formes normales orthoparallèles,

Comme le nombre des faces de la forme est encore ici égal à i>.Q, on en déduit ce nouveau théorème :

Théorème IV. — Si Von multiplie le numéro d ordre dun axe contenu dans un plan de symétrie de V Assemblage pai* le nombre des axes de son espèce y on obtient un produit constant ^ égal au quart du nombre des faces dune forme oblicjue du système.

Les équations (21), (22), (28) et (24) résçl vent complètement le problème de la réduction qu'une forme restreinte peut éprouver dans le nombre de ses faces.

Voici rénumération des formes normales, dans les différents systèmes cristallins. A l'exception de la forme normale aux axes binaires dans les systèmes ternaire et binaire, elles sont toutes orthoparallèles.

Système terquaternaire : trois espèces d'axes ; trois formes normales.

Forme normale aux axes quaternaires, de symbole { 1 ooj-; cube.

Forme normale aux axes ternaires, de symbole { 1 1 1 } ; octaèdre régulier.

Fonne normale aux axes binaires, de symbole { 1 10 } ; dodécaèdre rhomboidal.

Système sénaire : trois espèces d'axes ; trois formes normales.

Forme normale à l'axe sénaire, de symbole {0001 } ; deux faces parallèles, ou bases.

Forme normale aux axes binaires de première espèce, de symbole { 1 1 20} ; prisme hexaèdre de deuxième espèce.

Forme normale aux axes binaires de deuxième espèce, de symbole {1010}; prisme hexaèdre de première espèce.

Système quaternaire : trois espèces d'axes; trois formes normales.

Forme normale à l'axe quaternaire, de symbole {001}; deux faces parallèles, ou bases.

Forme normale aux axes binaires de première espèce, de symbole { 100} ; prisme carré de première espèce.

Forme normale aux axes binaires de deuxième espèce, de symbole { 1 1 o j ; prisme carré de deuxième espèce.

XXXIF' Cahier, 17

l3o l^TUDES cristàllographiques.

Système ternaire : deux espèces d'axes; deux formes normales.

Forme normale à Taxe ternaire, de symbole {oooi } ; deux faces parallèles, ou bases.

Forme normale aux axes binaires, de symbole { 1 1 20} ; prisme hexaèdre de deuxième espèce.

La forme {loioj n'est pas une forme normale, mais simplement un cas particulier de la forme parallèle \gogk\^ qui est un rhomboèdre; c'est le prisme hexaèdre de première espèce.

Système ter binaire: trois espèces d'axes; trois formés normales.

Formes normales aux axes de première, de deuxième et de troisième espèces, ayant pour symboles {100}, {oioj, {001 }, suivant l'axe auquel elles sont normales ; la forme est à deux faces parallèles.

Système binaire : une seule espèce d'axe ; une seule forme nonnale.

Forme normale à l'axe binaire, de symbole {0001 } ; elle consiste en deux faces parallèles, bases du cristal.

§ VIL — Application de la théorie des Assemblages polaù^es à la méthode

des zones.

Définitions. — Les cristallographes entendent par zone un système de faces parallèles à une même droite, que l'on désigne sous le nom à'a^e de zone : en d'autres termes, une zone est l'ensemble des plans réticulaires passant par une Rangée déterminée de l'Assemblage.

Le plan qui contient les normales abaissées, à partir d'un point pris arbitrairement dans l'intérieur du cristal, sur les faces composantes de la zone, se nomme le plan du cercle de zone : il est nonnal à l'axe de zone. Prolongé jusqu'à la surface de la sphère de projection dont le cristal est censé occuper le centre, ce plan la coupe suivant un grand cercle qui a reçu le nom de cercle de zone y et qui contient les pôles des grands cercles de toutes les faces composantes. Chacun de ces pôles est le point d'intersection de la sphère avec la norfiiale abaissée du centre du cristal sur la face, et prolongée indéfiniment : on le nomme le pôle de la /ace.

Nous supposerons que le centre de la sphère de projection est un des Sommets de l'Assemblage. Ce Sommet sera pris pour origine des coordon-

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l3i

nées; il sera aussi l'origine des coordonnées de l'Assemblage polaire qui correspond à r Assemblage donné.

On imagina:*a construit cet Assemblage polaire dont les propriétés principales ont été exposées dans le § VI de mon Mémoire sur les Systèmes de points. On devra se rappeler que tout plan normal à la Rangée mnp a pour symbole [(/w/y?)]? et que toute droite normale au plan réticulaire {gf^k) a pour symbole [g'A^]-

On démontre alors facilement les théorèmes suivants :

Théorème V. — Tout axe de zone est une Rangée de l* Assemblage qui constitue le cristal.

C'est une conséquence des corollaires du théorème XXXI de mon Mémoire sur les Systèmes de points. Ordinairement les axes de zone sont en même temps des arêtes du cristal.

Théorème VI. — Tout cercle de zone est un plan réticulaire de ï Assemblage polaire^ et réciproquement.

Car le cercle de zone est normal à l'axe de zone; donc il appartient à l'Assemblage polaire dont il est l'un des plans réticulaires. (Théorème CVIl, Mémoire sur les Systèmes de points.)

Théorème VIL — Si un axe de zone a pour symbole ghk, son cercle de zone aura pour symbole [ ( ghk) ] .

C'est encore une conséquence du théorème CVII. On voit que les deux symboles de l'axe de zone et du cercle de zone sont formés des mêmes caractéristiques.

Une zone est déterminée, lorsqu'on connaît le symbole de son axe de zone, ou, ce qui revient au même, celui de son cercle de zone.

Problème I. — Déterminer une zone dont on connaît deux Jaces {ghk)^

C'est trouver son axe de zone mnp^ ou son cercle de zone [ ( mnp ) ] . Puisque le point (m, n^p) doit appartenir aux deux faces {ghk)^ {g^ k' k')^ on a

gm -^ hn -^ kp =o^

g' m + h'n H- k'p = o, d'où l'on déduit

iSa ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

D est le plus grand diviseur commun des trois numérateurs. Ainsi le symbole du cercle de zone sera \^{kk' — kh\ kg' — gk\ gh' — Ag^')]» ^* ^'^^ ^ rappellera que Ton doit supprimer les facteurs communs aux trois caractéristiques.

Problème II. — Déterminer une face ^ sachant quelle appartient ci deux zones dont les ojces de zone sont mnp, m'n'p'.

Soit (ghk) le symbole de la face; on aura> pour la déterminer, les deux

équations

gm -h hn -i- kp == o ,

gm' -+- hn' -\- kp' = o; d'oùl'on déduit

ce sont les équations (35) de mon Mémoire sur les Systèmes de points. Le symbole de la face pourra s'écrire {np' — pn\ pm' — nip' ^ mn' — nm')^ pourvu qu'on ait le soin de supprimer les facteurs communs aux trois caractéristiques.

Problème III. — Une face étant dans la même zone que les faces {ghk)^ {g'h'k')^ et dans la même zone que les faces {g"h"k")^ {g*"h"'k'"), on demande de déterminer ses caractéristiques.

L'axe de la première zone aura pour symbole

hk'-kh\kg'-gk',gk'-hg'; Faxe de la deuxième zone aura pour symbole

et, en prenant les différences entre les produits croisés, on aura le symbole de la face.

Théorème VIII. — Le plan réticulaire {gàk) qui, passant par l'origine^ contient les Rangées mnp, m'n'p', contient aussi toutes les Rangées dont le symbole est de la forme jm-f-j'm', jn-f-j'n', jp -+- j'pS j et j' étant deux nombres entiers quelconques.

Car, puisque le plan {ghk) contient les Sommets (m, n, /?), (m', n'^ p')j

ÉTUDES GRISTALLOGRAPHIQUES. I 33

on a

gm -+- hn -\- kp =o,

gm' H- hn^ H- kp^ = o ; donc aussi

g {jm +-fm') + h {jn -t-y V) -+- k {jp -i-jY) = o;

donc ce plan contient le Sommet dont les coordonnées sont jm -{- j^ m\ jn'\'j'n\ jp-^fp'.

Théorème IX. — Réciproquement, le symbole de toute Rangée MNP située dans le plan réticulaire qui contient les Rangées mnp, m' n' p', peut être mis sous la forme mj H- m' j', nj H- n' j', pj -+- p'^j', j et j' étant deux nombres entiers convenablement clioisis.

En eflFet, soit pris arbitrairement une Rangée quelconque m!'n" p" extérieure au plan donné, et posons, pour abréger,

mn' p" — mp' n" + pm' n" — nm' p^' -h np m" — pn' m" ^=-{jnri p")^ mn' — nm'= [mn'), [nm'' — mn^') = {nm")^ {m! n" — n' m") = [m'n")^ pw!—mp'={pm'), mp" — pm' = {mp'), {p'm'—m!p')={p'm"), np'-pn'=[np'), [pn" - nf) = {pn\ {n' f - p' n") = (n! p").

On a identiquement

^ m (n'p") 4- m' (pn") + m" jnp') ^^ {mn'p")

m{p'm")-hm',{mp") + m"{pm') j^ {mn'p")

, m{m'n")-hm'(nm'')^m"{mn') j^ ~^ (mn'p") ^^

Développons, par rapport à m, m\ m", en remarquant que l'on a

M {np') H- N {pm') + P {mn') = o,

attendu que la Rangée MNP est située dans le plan donné, et posons en outre

M {pn") H- N {mp") + P {nm") =/;

l34 ETUDES GRISTALLOGRAPHIQUES.

il viendra

(mn p")

En opérant de même sur les caractéristiques N et P, on trouvera

il — —/ ; — ïrr >

(mn p")

donc la Rangée qui a pour symbole mj + m'y', nj H- n'j\ pj -\- p f ne diflFérera pas de la Rangée MNP, et Ton passera de ce dernier symbole au précédent par l'introduction du facteur commun [mn' p'^).

Problème IV. — Trouver toutes les Rangées contenues dans le plan {ghk). Soit MNP une telle Rangée ; on aura l'équation de condition

^M ■+- AN H- *P = o,

qui exprime que le Sommet (M, N, P) appartient au plan.

Si Ton a deux solutions distinctes (m, n, /?), {m\ n\ p') de l'équation ci-dessus, toutes les autres solutions seront, en vertu du théorème précédent, contenues dans les formules

IM=ym-Hy'm', N=y/i+//i',

/ et y étant deux nombres entiers arbitrairement choisis.

Problème V. — Trouver toutes les faces contenues dans la zone mnp.

C'est trouver dans l'Assemblage polaire toutes les Rangées contenues dans le cercle de zone [(mn/?)].

Soit [GHK] une telle Rangée; on doit avoir la relation

Gm -h Hn H- K/? = o.

Si Ton a deux solutions de l'équation ci-dessus, c'est-à-dire deux faces [ghk)^ {g'h'k') appartenant à la zone mnp y toutes les autres solutions seront

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l35

données par les formules

(28) JH=yAH-/A',

j et y étant deux nombres entiers convenablement choisis.

Théorème X. — Toute Rangée MNP satisfaisant à t inégalité

peut être considérée comme fournie par t intersection de deux plans réticulaires distincts, dont l'un contient les Rangées mnp, m'n'p', tautre les Rangées m'^n'^p'^ m'"n'''p"', ces quatre Rangées étant telles que les sommes de carrés, m' H- n' H- p% m'* + n'" + p'% m"* + n'^* H- p''\ m''' a ^. n'^'* -h p'''^, soient toutes les quatre inférieures à la somme

Premier cas. — Aucune des caractéristiques n'est égale à zéro.

Alors la Rangée MNP est située dans le plan contenant les Rangées MN o et 001 : car, en faisant y = i , y' = P (solution du problème IV), on trouve le symbole MNP-

De même la Rangée MNP est située dans le plan qui contient MoP, 010, et aussi dans le plan qui contient oNP, 100; ces deux plans, ainsi que le précédent, sont essentiellement distincts. De plus, les sommes des carrés des caractéristiques sont évidemment moindres que M^ + N^ -h P^

Deuxième cas. — Une des caractéristiques est égale à zéro ; les autres surpassent l'unité en valeur absolue.

Je supposerai que la troisième caractéristique soit nulle, et que le symbole de la Rangée donnée soit MNo. La solution qui convient au cas précédent devient alors illusoire, et l'on devra opérer de la manière suivante :

On prendra pour premier plan réticulaire contenant la Rangée donnée MNo, le plan des xf^ lequel contient les Rangées 010 et 100.

On prendra pour second plan réticulaire celui qui contient les Rangées Moi et oN I ; en ajoutant deux à deux les caractéristiques, on retombe sur MN o, ce qui suffit à prouver que cette Rangée est contenue dans ce plan (théorème VIII). Les sommes M^ + i, N* •+- 1 sont d'ailleurs inférieures

l36 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

à M^ H- N% sauf dans le cas où Tune des caractéristiques serait égale à ± i , cas que nous allons examiner en dernier lieu.

Troisième cas. — Une des caractéristiques est égale à zéro, une autre à ± i .

Supposons que l'on ait N = ± i ; on pourra, si M est négatif, changer les signes des trois caractéristiques, ce qui est toujours permis : ainsi, dans

M lo, M pourra toujours être réputé positif, sans nuire à la généralité de la démonstration. En outre, on posera M = 1+ M', M' étant un nombre entier positif et nécessairement plus grand que zéro.

On continuera à prendre pour premier plan réticulaire le plan des jt; on prendra ensuite pour deuxième plan réticulaire, distinct du précédent,

celui qui passe par M' 11 et par loi. Ce plan contient la Rangée M 10: on le voit en ajoutant deux à deux les caractéristiques de même rang. Or, puisque M' H- i =M, on a

M'-^ H- I 4-, <M^-hi.

Donc les quatre sommes des carrés des caractéristiques seront inférieures àM^+i.

En6n, lorsque M^ + N* 4- P* est égal à 2, ce qui arrive lorsque Tune des caractéristiques est nulle, et les deux autres de valeur absolue égale à i , la somme des carrés des caractéristiques n'est plus susceptible d'un abaissement ultérieur.

Corollaire. — De même que l'on peut faire dériver la Rangée MNP de quatre Rangées à caractéristiques plus simples, par les intersections des plans qui contiennent ces dernières Rangées, de même on peut faire dériver ces dernières d'autres plus simples encore, jusqu'à ce qu'on arrive à celles dont la somme des carrés des caractéristiques est égale à i ou à 2, c'est-à* dire aux Rangées 100, 010, 001 qui sont les trois arêtes du parallélipipède générateur de l'Assemblage, ou aux Rangées 1 10, iio, loi, 101,011,011, qui représentent les diagonales de ses faces.

Théorème XI. — Toute face [GWYi) satisfaisant h l* inégalité

peut être déterminée par V intersection de deux zones distinctes^ dont tune contient les faces {ghk), {g'h'h'), l'autre les faces {g'h'k"). {g'"h"'k"),

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l3j

telles que les sommes g^ 4- h^ + k% g'^+h'^H-k'% g'^^-^l/^ + ^S g'"^ -h h"'^ + k'^'^ soienty toutes les quatre, moindres que G^ H- H* + R'^ .

C'est une conséquence du théorème X. La normale à la face (GHK) est la Rangée de symbole [GHK] dans l'Assemblage polaire; on peut lui substituer deux plans réticulaires contenant tous les deux [GHK], et, de plus, passantl'unpar [ghk], [///A'], l'autre par [^'h'k'], [f}i!"k"'], les quatre sommes des carrés des caractéristiques de ces Rangées étant moindres que celle relative à la Rangée [GHK]. Ces plans réticulaires représentent les deux cercles de zone qui contiennent, l'un les normales aux faces (GHK), {ghk), [g'iik'), l'autre les normales aux faces (GHK), (///'F), {fl^k'") : donc (GHK) appartient à la fois à ces deux zones, et peut être déterminé par leur intersection.

Corollaire. — De même que Ton peut déduire la face (GHK) de quatre autres faces à caractéristiques plus simples, par l'intersection de deux zones, de même on déduira celles-ci d'autres plus simples encore, jusqu'à ce que l'on arrive aux faces (loo), (oio), (ooi) qui sont les faces du parallélipipède élémentaire, et aux faces (iio),(iio), (loi), (ioi),(oii), (oii) qui sont parallèles aux six plans diagonaux de ce parallélipipède. hafig. 3 représente, en projection sur le plan normal à l'axe des z, les lieux qu'occupent les pôles de ces neuf faces sur la sphère de projection.

Théorème XH (*). — Le paie d'une Jace quelconque {g/ik) peut être déterminé y sur la splvère de projection y par les intersections successives de cercles de zone obtenus en j oignant deucc à deux d'autres pôles préalablement connus de position, pourvu que Von assigne d'avance les lieux des pôles des quatre faces (loo), (oio), (ooi), (i 1 1).

D'après le corollaire précédent, on peut toujours déduire la position d'un pôle quelconque de celle des pôles dont les carrés des caractéristiques forment une somme inférieure à 3. Il reste à faire voir commentées derniers peuvent se déduire des quatre pôles (loo), (oio), (ooi), (i 1 1).

Le pôle (on) {fig* 3) est placé à la rencontre du cercle de zone passant par (ooi) et (oio) avec le cercle de zone passant par (loo) et (i 1 1).

{*) Ce théorème a déjà été démontré par M. Miller dans son Trafté de Cristallographie, XXXIV Cahier. i8

l38 ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

De même, le pôle ( i o i) est à la rencontre des deux cercles de zone passant Tun par (ooi), (loo), l'autre par (oio) et (i 1 1).

Le pôle (i lo), ainsi que (no) sont à la rencontre des cercles de zone passant T un par (loo), (oio), l'autre par (ooi) et (m).

Ces trois pôles étant fixés, on obtiendra:

Le pôle (on), par la rencontre du cercle de zone passant par (oo i ) , ( o i o ) avec le cercle de zone passant par (loi), (no) ;

Le pôle ( I o I ) , par la rencontre du cercle de zone passant par ( oo i ) , ( i oo ) avec le cercle de zone passant par (on), (no) ;

Enfin les pôles (no), (no), par la rencontre du cercle de zone passant par (oio), (loo) avec le cercle de zone passant par (oi i), (loi).

Ces différents modes de dérivation sont indiqués parles lignes de la fig. 3.

Il ne faut pas oublier qu'à tout pôle, sur la sphère de projection, en correspond un autre diamétralement opposé, et dont les caractéristiques offrent des signes précisément contraires.

Donc, au moyen des quatre pôles primitivement donnés, on peut, de proche en proche et par des intersections successives, obtenir tous les autres pôles.

Scolie. — Ce théorème a une certaine importance en cristallographie, lorsqu'on emploie la méthode des zones pour la détermination des caractéristiques des faces ; il importe en effet de savoir d'avance qu'aucune face du cristal n'échappera à l'emploi de cette méthode.

Problème VL — Connaissant les positions relatives des arêtes et un cristaly trouver son parallélipipède générateur.

La solution du problème offre un exemple de la réciprocité remarquable qui existe entre un Assemblage et son polaire.

Menez tangentiellement à la sphère de rayon i des plans normaux aux arêtes données ; vous aurez un polyèdre clos de toutes parts, et qui pourra être considéré comme taillé dans l'Assemblage polaire de l'Assemblage des molécules du cristal. Déterminez son système cristallin et la forme de son parallélipipède générateur, par les procédés ordinaires de la cristallographie, et enfin l'Assemblage polaire correspondant, par les méthodes exposées dans les solutions des problèmes XXXII et suivants de mon Mémoire sur les Systèmes de points.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 1^9

§ VIII. — Calcul des angles d'un cristal.

On peut demander de déterminer soit l'angle que font deux arêtes entre elles, 6oit r inclinaison d'une arête sur une face, soit l'angle dièdre de deux faces : la détermination des angles dièdres a beaucoup occupé les cristallographes, à cause de l'intérêt pratique qu'elle présente.

Il ne sera pas sans intérêt de montrer que toutes les formules proposées peuvent se ramener à une formule unique qui, une fois ses constantes déterminées, donne, au moyen de trois logarithmes, la valeur d'un angle dièdre quelconque du cristal.

Nous continuerons à nommer a, 6, rf, les paramètres des axes des .r, des y et des z, a, |3, S \es angles plans, ^t, y, 'zy les angles dièdres de ces axes, E l'intervalle moyen des Sommets ou molécules, enfin- [a], [è], \d^ les paramètres des axes des [a?], des [j] et des [z] dans l'Assemblage polaire correspondant. Je rappellerai que l'on a, par le mode même de construction de cet Assemblage,

/ X r ^ bd sin a r , -i odûnB r 7^ ab sin à

( 3o) E^ = abd sin a sin|3 sin^ = abdsina sin^sinv = abd sinjS sin J^ sin /u.

Problème VII. — Trouver l* angle de deux Rangées dont les symboles sontïùxv^^ m'n'p'.

Soient OT, OT' [fig. 4) les deux Rangées données.

L'équation du plan OTT' est (équation 34, Mémoire sur les Systèmes de points)

{np' — pji!) X H- [pm' — ^p')y + {^^^ — ^^) ^ = o.

Nommons D le diviseur commun de ces trois binômes, représentons-les par (a^'), {pm')^ {mn')j et désignons par g-, A, A les quotients de ces binômes par D ; nous aurons

{np') =g\i, {pm') =AD, (/w/i') = AD;

{ghk) sera le symbole du plan OTT' ; S {ghk) sera Taire du parallélogramme élémentaire du Réseau de ce plan, et, si nous achevons le parallé-

l4o ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

logramme OTT'T'^ nous aurons, en vertu de l'équation (45) du Mémoire sur les Systèmes de points,

aireOTrr'=DS(^AA);

mais, d'autre part, en désignant par (P, F) l'angle TOT', et par Pmnpy Vrririp' les paramètres OT, OT', on a

aireOTrr=PmAi^ Vnirip' sin(P^);

d'où l'on déduit la valeur suivante de sin (P, F) ,

On pourrait conclure de cette formule l'angle (P, P) ; mais elle offre l'inconvénient de fournir deux valeurs supplémentaires.

On lèvera cette difficulté, en remarquant que les triangles OTT', OTT' donnent

TT'^ = OT» H- or» — 2OT . or. cos (O') ;

d'où

cos^r,*-; ____,

et, comme l'on a d'ailleurs,

or' = Pm -h m',/î H- ri,p h-// ,

TT' = Pm — ni ^n — ri ^p — p\ il vient enfin

(Sa) cos (pTp') = T(P'^4-m^n + /^^p-h;?^— P'm — mSn-/t^,j^— ;;^)

et, en divisant (3i ) par (Sa) ,

(33) ta.g(rP')^ ,„,„^,,„^„,^J^y;^l,„,„„,^^., ,

valeurs qui ne sont sujettes à aucune ambiguïté.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l4l

La formule (33) est la plus convenable dans la pratique, parce qu'elle n'exige que trois logarithmes au lieu de quatre, et parce que le facteur S {ghk) est constant pour toutes les arêtes appartenant à la même face.

Si maintenant Ton met l'équation (73) de mon Mémoire sur les Systèmes de points, sous la forme

et, si l'on se rappelle que l'on a

(35) V^ mnp=z /»' a\-\- /i' b^ -hp^ d^-h 7.mnab cos^ 4- a/w/?ûAcos^-f- ^npbdcosoLy

on aura, en développant le dénominateur de (33), et remplaçant au numérateur Dg", DA, Dk par (w/?'), {p^)j {^^)'>

jg, ^ ,f^^,.^ ^^{np'Y{a]*-^[pm'y[h]W{mn'y{d]^-^^{np'){pm')[a][^^^ ' oV > ; mm'a«-+-rtrt'&»H-/?/?'<i*H-(mn'H-nm')a6c08^-4-(wi;»'-+-^m')aJcoSy3-+-(n^'-+-;»n') Wcosa

Jjorsque les douze coefficients

E*[a]% E»[i]% E*[rf]% 2E*[a][i]cosny, 2E*[a] [rfjcosv, aE»[i] [rf] cos^, a*, &*, d^^ abcosd^ o^/cosjS, bdcosa^

auront été calculés une fois pour toutes, en les multipliant par des nombres

entiers toujours assez simples, on aura l'angle (P, P') au moyen de trois logarithmes.

Problème VIII. — Trouifer l'angle des deux faces {ghk), {g^h'k').

Cet angle est le supplément de l'angle des deux normales aux faces : or ces normales ont pour symboles [gfik] , [g^'A'^'j dans l'Assemblage polaire. On pourra donc se servir delà formule (36), en y remplaçant

m, n,p, ni, ri, p', par g, h, k, g^, h', h', a, h,d, [a], [^>], [rf], par[a], [b], [d],a,b,dy a, ]3, (T, par i8o°— j«, i8o°— V, i8o°— ^ar, /«,v,<Br, par 180° — a, i8o° — p, i8o° — 7,

(P>) pari8o°-(F>'); on aura alors

^^ ' ^ éy'[flr-i-W[6]«-f-AA'[dr-(^'-f.A^)[altfc]co»cr-(é;^-+-A^)[aJ[rfJco8y-(W'-+-A/i')[Aj[d}

hd CO8 oc

COS/Ul

l42 ETUDES CRISTALLOGRAPUIQUES.

La quantité sous le radical divisée par le carré du commun diviseur des binômes {gh!)y {hk'), (%'), représente le carré du paramètre de Taxe de la zone qui contient les faces (ghk), {g'h'k) ; ce quotient reste donc constant dans toute l'étendue de la zone.

Lorsque les douze coefficients

E'a% Wb\Wd\ aE'a^^cos^, iWadco^^, ^E'bdœsa, [a]% [è]% [rf]% [a][è]cos^, [a][rf]cosv, [è] [c^Jcosyu, auront été calculés une fois pour toutes, on aura facilement Tangle dièdre

(F, F') au moyen de trois logarithmes.

Il est utile de remarquer que l'équation (87) peut se mettre sous la forme

,.p>v -EP(A^-),(/g-),(g-/0

unfc^r, r ) -^^j-^j,^^^.j^p^ ^^.[-^y^ (^/#'-hV)[al[61coscr — (^/'-4-/fr^)[fl][r/]co9v-(A^'4-^A')[*][</]cosî

OÙ le terme P (M'), {kg')j {gfi) est le paramètre de l'axe de la zone qui contient les faces F et F', ou l'un des multiples de ce paramètre.

Nous allons maintenant chercher ce que devient la formule (Sy), dans le système binaire, lorsque la notation des faces comprend quatre caractéristiques.

Problème IX. — Trouver C angle des deux faces {ghik)^ [gh'i^k'), dans le système binaire.

Si l'on se borne à considérer les trois axes des x^ des j et des z, dont le dernier est normal au plan des deux autres, les caractéristiques / et i' disparaissent, et, en faisant

^= ^, on trouve

nS^ t-mr^FFM -'^sl{gh'yd^+(hk'Ya*-^[kg'Yb^+^(hW){hg')abco.l

Soit mnp l'axe de la zone des faces F et F', de sorte que l'on ait

la quantité sous le signe \J aura pour valeur D' P* mnp.

l^TUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. î43

Or, si l'on projette le Sommet (m, /^, p) sur le plan des xy en (m, /^, o), on aura évidemment

(39) T?^mnp=p^d' -t-P'm/^o.

Rétablissons maintenant l'axe auxiliaire de paramètre c, satisfaisant aux conditions de position énoncées à la page 1 28, et faisons reparaître les caractéristiques i et i\

ha Rangée mno peut être considérée comme appartenant au Réseau du plan des xy-y envisagé indépendamment de l'Assemblage : elle est susceptible, les axes des x et des / restant les mêmes, de recevoir un symbole de la forme {gh) (Mémoire sur les Systèmes de points, page 1 1 ), et en ne tenant pas compte du facteur commun qui peut exister entre m et n, ce symbole sera ( — rij m) y puisque la Rangée va de l'origine au point (m, n) ; l'on peut aussi lui assigner un symbole de la forme (g'/w) (même Mémoire, page 1 8), et alors le nouveau symbole sera ( — /i, m, — m-h /i), puisque la somme des trois caractéristiques doit être égale à zéro. Alors, en vertu de la formule ( 22) du Mémoire cité, on aura

P^ mno = — m { — m + /^) a^ -h /i ( — m -h n) è^ -h mnc Or, on a d'autre part

m-f- n— p jj ,

en tenant compte de ce que les sommes g + h -\' i^ g' -{' h' -^^ i' sont égales à zéro.

Si l'on substitue cette valeur et celles de m et /i dans P* mno, il vient

Pm/io = - {^^') i^i') ^' - ih') m &' - (hs') (m c'

Substituant de nouveau dans l'équation (89), multipliant par D^, et remarquant que Hp est égal à {gh') , on trouve

( 4o) D^ P» mnp = {gh') » rf* — {W) {ki') a^ — {kg') {ki') b' — {kg') {kh') c' ;

telle est la valeur de la quantité contenue sous le radical de l'expression de

l44 ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

tang (F, F') : on peut y remplacer {gh'Y par les quantités équivalentes [gi'Y', ou {hty.

On peut eflëctuer sur le dénominateur une transformation analogue. En effet, d'après les formules de la page 1 21 de mon Mémoire sur les Systèmes de points, on a

or le triangle GO V de la^ïg*. 1 , dans lequel on a

OG = a, or = b, or = c, OCjV = i 8o« — S,

fournit la relation

2 ah cos (T = c^ — a^ — b^\ donc

[a] [6]cos^=-Ç.(c^-a^-6^).

Si l'on substitue dans le dénominateur de tang (F, F') ces valeurs de \a\^ [6], [a] [è] cos <î, il prend la forme

kh' \dY + ^.[-^S^b^ H- 2/.//a^ - {gh'-^hg') (c'- a» - b^)\ ; développant, et remplaçant g -h h par — /, g-' + A' par — i\ il devient

D'où l'on voit que la formule (38), après avoir multiplié haut et bas par E% se change en

(^1) tanr (fI'^) - - ^' v^(g^'r^-(^>^') (*'0 ^'- (*-g') (fa') ^■- (Ag')WF'

^^ ^^ '^~AAWE.-('ii:±ii')a.^-(€i:±^^

On peut substituer maintenant aux paramètres a, b, c^ d des lignes trigonométriques dépendant d angles immédiatement observables sur le cristal.

ETUDES CBISTALLOGRAPHIQUES. l45

Divisons haut et bas par [c^]' Ë', et posons

puis, à cause de [rf] = -^ (Mémoire sur les Systèmes de points, page 121),

e[rf] = Ç (Mén posons encore

nous changerons (4i) en

formule qui n'exige que le calcul préliminaire de quatre coefficients, $^ a% «>'*% <I>'c' et $'rf^

Représentons maintenant Tangle GOH {Jig. 1) par (:r, ^), Tangle GOI

par (x, ^), Tangle HOI par ( r, ^), et prenons pour unité de longueur le diamètre du cercle circonscrit au triangle GOI'; OG, GV = OH, Or = 01 étant les trois paramètres a, è, c, nous aurons

(/lA) I ^ = *^"(.^^' b=sm{x,t), c = sm(x,x)y

E^ = ab sin [x, y) d= abcd.

Soit U l'angle dièdre compris entre la face (oui) parallèle à l'axe des x^ et le plan des xy ou (0001); soit V l'angle dièdre compris de même entre (loi i) parallèle à l'axe des j et (0001) ; soit enfin W l'angle dièdre

compris entre (noi) parallèle à l'axe auxiliaire et (0001); on trouvera facilement

Itang U = — $a, tangV = — $6, tangW= — $c.

On en déduira la valeur de l'auxiliaire * par l'une des trois équations

sin (j, t) sin (x/ï) sin (x,^)

XXXIF' Cahier. 19

l46 ÉTUDES CRISTALLOGRAPUIQUBS.

Les angles (j, ^), (j?, <), {oo^jr) doivent avoir été mesurés au goniomètre, ainsi que l'un au moins des trois angles U, V, W. On connaîtra donc 0, et par suite

,^^) 4.rf. = ï<Diî<l!:2S:Z = ta„g>Uta„g-Vsi„'(0); donc enfin

a« \ t,n„ r p'^^ - - V(gA')'tg'Utg^ VsinVx, j) - jkh') (ii') tg'U -(ig'){ii') tg'\-(kg') {Ah') tg'W

formule qui donne l'angle des faces en fonction des angles immédiatement observés : c'est celle qui me paraît la plus commode dans la pratique. On

peut y remplacer tang^ U tang* Vsin* {x^y) par tang^ U tang^ W sin' {x, t)

ou par tang* Vtang^Wsin^ (j?^)-

Les paramètres linéaires a, t, c sont donnés par les formules (44)? et r/ par l'équation suivante :

Je prendrai comme exemple le nitrate neutre de mercure dont les angles ont été mesurés par M. Marignac, et que je reproduis ici, /ig. 5. Les six faces désignées par les lettres t, tj T, L, M, / dans le Mémoire de M. Marignac (*) peuvent être représentées par les symboles suivants à quatre caractéristiques :

T = (01 10), face parallèle à l'axe des a? et à l'axe des z;

t = ( loio), face parallèle à l'axe des / et à l'axe des z; T = (i 100), face parallèle à l'axe des ^ et à l'axe des z; L = (0001), face normale à l'axe des z;

M=(iroi); /= (i 121).

(•) Annales de Chimie et Physique, 3* série, tome XXVII, page 323. On a retourné le cristal de lay^'* 3 du Mémoire de M. Marignac, afin de rendre son axe de symétrie vertical.

£TUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l47

li' observation goniométrique a donné

(x^X) = [(oiio), (loio)] = Tsur t = io8^4o',

i^t) = [(ono^TTi^oo)] = TSurT = 1 16^ 35',

(y^t) = [(loioyTT' î^oo)] = ^ surT = i34^45',

W = [(lîoiyTtoooi)] =MsurL = i38^ lo'.

Des formules (44) et (49) on déduit, pour les principaux éléments du prisme élémentaire de l'Assemblage, les valeurs suivantes :

' c = 0,9474, on a ensuite, pour les constantes de Téquation (48),

tang^ U = o,45o3, U (calculé) = i46^8', tang* V = 0,7140, V (calculé) = 139M8', tang^W= 0,8010,

tang^U tang* V sin^ {x^y) = 0,2886.

Avec ces éléments, on demande l'inclinaison de L sur /. La formule générale devient, puisque [g' h' i'k')=:- (0001),

(Lr/) = i28^59',6.

On trouverait de même

(LTït)=ia6-3i',4,

yu étant la face de symbole (0221), laquelle se développe quelquefois sur l'arête qui sépare L de t.

L'une quelconque des formules (4i)) (43) ou (48) résout complètement le problème IX; si Ton emploie la formule (43), on devra se rappeler que l'on a

l48 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

La formule générale (87) se simplifie beaucoup, lorsque les axes sont rectangulaires, ce quia lieu dans le système terbinaire; il en est de même de la formule (41)9 lorsque les angles que forment les trois demi-axes positifs des x^ des j et des t deviennent égaux à 1 20 degrés, ce qui arrive dans le cas du système sénaire. Nous allons successivement examiner ces deux cas.

Problème X. — Trouver V angle de deux faces {ghk)^ {s'^'^')^ ^^^^ ^

système terbinaire et dans le système quaternaire.

On a alors

a= /S = iJ'=90**, ^ = y=/w = 9o'',

Si Ton divise haut et bas par a^ b^ rf% cette équation devient

..^(F>) = -^/^ + ^Vi^:?^ + f-^'

forme sous laquelle elle a déjà été donnée par M. Neumann {*).

On peut la simplifier en posant, comme dans le problème précédent,

(5^) U = [(oiiMooi)],

¥=[(1007(001)]; on trouve alors facilement

iTT à. d*

tangU = — ^ = — gya, d d*

tangV = --=-gj6.

Si Ton divise, haut et bas, le troisième membre de la formule (5o) par a^b^^ en tenant compte des équations (5â), on aura

formule qui n'exige que le calcul de trois coefficients, au lieu de six.

(*) Beitrœgc zur Krystallonomie ^ Berlin, i8^3.

JÊTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l49

Dans le système quaternaire, on a U = V, et si Ton divise haut e^ bas par tang^ U, la formule précédente devient

(54) tang(F,F) = gg^+hh'+kh'coi^V

Problème XI. — Trouver t angle de deux faces (ghik), {g'h^ i'A'), dans les systèmes senaire et ternaire.

On a, dans ce cas,

Si Ton élève au carré la formule

{kg') -+- {kh') -h {ki') = o, on trouve

- (A/0 {ki') - {kg') {ki') - {kg ) {kh') = 1 { (%7 + (MT + {ki')*] ;

d'autre part on a

- {hi' -h ih') - {gV -h ig') - {gh' + hg') = gg'+ hh'-^ii';

si Ton substitue ces valeurs dans la formule (43), elle devient

mais l'on a d'ailleurs

<D'a'=tang*U,

4»* rf' = tang* U sin' (x^) — | tang* U ; et, si l'on multiplie haut et bas, dans (55), par 2 cot' U, il viendra

(56) ^.».(f>)- -V3(g^0'+{(%T+(^^0--^(^Thcot'u

\ } '«» o V^ » ^ ; — g^/^ ^^/ ^ ii'^],],', 2 cot»U '

formule dans laquelle on peut remplacer 2 cot^U par -^«

Cette équation donnera, au moyen de la constante unique acot^ U, cal-

l5o ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

culée une fois pour toutes, les valeurs des angles dièdres des faces, dans les Assemblages sénâire et ternaire.

J'ai traité avec détail la question de Tangle des faces dans les différents systèmes cristallins, à cause de son importance pratique. On peut traiter de même celle de l'angle que forment entre elles les arêtes ; c'est le but des problèmes suivants.

Problème XII. — Trouver l angle de deux Rangées mnp, m'n'p', dans le système binaire.

Soient toujours a, b^ d les paramètres et ^ l'angle compris entre a et b. On aura à considérer, dans le polaire, les paramètres [ei],[^],[û?]et l'angle [<r] = i8o° — J'qui est compris entre [a] et [6].

Dans cet Assemblage, les plans normaux à mrq)^ m'n' p' ont pour symboles [(m/y?)], [(m'/i'/?')], et, si l'on ajoute les caractéristiques auxiliaires

0,0', telles que l'on ait

nt -h n 4-0 =0,

on aura à déterminer l'angle des faces [(mnop)], [(m'w'o'/?')Jet à en prendre le supplément.

On remplacera donc, dans la formule (4i), les lettres gj A, ij k par /w, n,

o,p ; a, b, c, d, [fi?], par [a], [6], [c], [d], d; (O') par iSo^- (P>): le paramètre auxiliaire [c] sera donné par la formule

(57) '2 [a] \b] cos (180° — S) = [cf — [aY — [b\\ 11 vient alors

(58) tang f P^PM = F-W(^/»^n^y-(/>^0(;^^^) [^?~(/>^' ) (/>^^) [M^- (/>m-)(;>n-)[rp ^

pp'd'i?^ y — - — j[«?['^P-^ — - — ^{b\'{d]'-y — - — j [cp[^p

formule que l'on pourrait facilement modifier de manière à lui donner la forme des équations (43) ou (48). Les valeurs de[a],[6],[r^] sont données par les équations

et [r] par l'équation (57).

lÊTUDBS CRISTALLOGRAPHIQUÈS. l5l

Problème XIII. — Trouver t angle de deux Rangées mnp, m'n^p', dans le système terbinaire.

Soit (P, P') Tangle des deux Rangées; cet angle sera le supplément de l'angle que forment entre eux les plans [(m/i/?)], [(m'/i'/?')] du polaire. Si donc on remplace dans la formule (5o) les lettres g^ A, k par m, /i, /?, et si l'on échange a et [a], b et [è], d et [rf], on aura

1^9^ wngV*'»*' ;— mm'a^ + nn'b'+pp'd^ "" mm' a^ -^^ nn' b^ -\- pp' d^

formule dont les constantes se réduisent à trois, si Ton divise haut et bas par d^ .

Problème XIV. — Trouver F angle de deux Rangées mnp^ m'n'p', dans le système sénaire.

Pour pouvoir adapter les formules (55) et (56) à la solution de ce problème, il convient de supposer que les demi-axes des x et des y positifs font entre eux un angle de 6o degrés et non de 1 2o degrés. Si l'on avait dénoté les Rangées dans le système d'axes correspondant à l'angle de 1 20 degrés, il suffirait, pour revenir au système des axes se coupant sous l'angle de 60 degrés, de remplacer mnp par m — /i, w, /?, ou par m, /i — /n, p.

Ce remplacement ayant été fait, il est clair que [mn/;] , [m'n^p^] seront des plans réticulaires de l'Assemblage polaire, et que ce dernier aura quatre axes, dont les trois inférieurs, horizontaux, se sépareront les uns des autres sous des inclinaisons de 1 20 degrés.

Ainsi, en introduisant les auxiliaires o, o' telles que l'on ait

/^ V ( m + Aï + o = o,

et remplaçant 2 cot^ U par 2 cot^ [U], gj A, ï, k par m, n^ o, /?, on aura

(bl) tang(F,F> mm' -^nn'-^- 00' -h pp'. 2 COI* [{]} *

[U] représente la valeur de l'angle auxiliaire U dans l'Assemblage polaire; on aura, pour le déterminer, la relation

.cof[u]=îiî];,

iSa ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

et, en vertu de Tëquation (94) de mon Mémoire sur les Systèmes de points,

(62) 2COt^[U]=2j.-

Gomme exemple, proposons-nous de déterminer Tangle de mnp avec 00 1 . c'est-à-dire avec Taxe des z. On a alors m' = /i' = o' = o, /?' = i ; d*où

ung (P, axe des z) = ^

v/(.'H-»-+o.),j .v/^ïp2 y„.+„.

formule facile à vérifier directement.

Les formules (60), (61) et (62) donnent la solution complète de la question.

Problème XV. — Trouver le plan réticulaire normal à la Rangée mnp.

Soit m'n' p' une Rangée quelconque normale à la Rangée mnp\ la formule (36) montre que les caractéristiques m', n\ p' devront satisfaire à l'équation de condition

mm' a* -f- nn' b^ -hpp* d^ -+- (/w/i'4- nm!) ab cos ^ 4- (/w/?' 4- pm') ad cos p -h [np' -^pn' )bdcosoLz=o,

Si Ton pose, pour abréger,

Ima^ H- nab cos S -+- paxl cos |3 = g^, mab cos S -+- nb^ -h /?6û? cos a = A, m«rf cos /3 -h nhd cos a -|- pd^ = A-,

cette équation devient

gm^ -4- /m' 4- kp' = o;

ainsi la Rangée m' n' p' est contenue dans le plan {ghh) ; on peut donc considérer g^, A, A comme étant les caractéristiques du plan normal, pourvu que Ton choisisse une unité de longueur qui rende numériques a^h çXd\ car il Êiut que g-^h^k puissent être considérés comme des nombres.

Les quantités g^h^ À* ne seront pas en général des nombres simples; mais on peut néanmoins les considérer comme étant entiers, parce qu'il est toujours permis de multiplier g-, A, A par un même facteur égal à l'unité suivie

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. I 53

d'un nombre assez grand de zéros pour pouvoir négliger la partie décimale de leur développement.

Problème XVI. — Trouver la Rangée normale au plan {ghk).

En égalant à zéro le dénominateur du second membre de Téquation (37), on aura la condition pour qu'un plan tel que {g'h'Ji) soit normal au plan donné ; puis posant

Ig [a]^ — h [a] [6] cos fw — ^ [^] [^] cos v =m, — g [a] [b] cos^ -h A [bY — ^'[^] [c^]cos^ = /i, — g [a] [rf] cos V — h [6] \^(l] cos/tcH- k\^dY = P^

on verra facilement que la Rangée normale cherchée a pour symbole mnp ; on remarquera en outre que [a], [6], [rf] doivent être considérés comme étant des quantités numériques.

Les nombres m, w, /? peuvent être fractionnaires, ou même incommensurables; mais il ne saurait y avoir aucun inconvénient à leur conserver la valeur que leur assignent les formules (64).

Problème XVII. — Trouver V angle que fait la Rangée mnp avec le plan reticulaire {ghk).

Imaginons que, sur le parallélogramme générateur du Réseau du plan donné, on construise un parallélipipède dont la base aura pour aire S {ghk) et dont les arêtes latérales coïncideront en grandeur et en direction avec des paramètres du système de Rangées /w/*/?.

Le nombre de strates parallèles à {ghk) et interceptées dans ce parallélipipède sera égal (Mémoire sur les Systèmes de points, problème XX) à

± {rng + nh -h pk),

le signe étant choisi de manière que cette expression soit positive. Donc le volume de ce parallélipipède sera égal à

± {mg -h nh-hpk) E'.

Mais, d'autre part, en nommant (P, F) l'angle compris entre la Rangée mnp et la face {ghk)^ l'expression de ce volume est aussi

V mnp S {ghk) syn{V^):

XXXIV Cahier. 20

l54 l^TUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

on déduit de là

<«5) sin (pO) = " 'pCs (:4' " = " 'ZXn7'l " •

OÙ il ne reste plus qu'à mettre à la place de Vmnp, S{ghk)^ leurs valeurs tirées des équations (34) et (35).

Deuxième solution. — Posez

fi (g*[ clY — /* [«] [*] cos ^ — k [a] [d] cos v) = m\

gi ( — 5" W [*] cos 'or H- A [6]^ — k [b] [d] cos fjt) = /i',

^ (— g^ [a] [rf] cos V — A [b] [d] cos yu H- A- [rf]*) = /?';

m! n' p' sera le symbole de la Rangée normale au plan {ghk). Substituez ces valeurs de m', n\ p\ dans la formule (36); vous aurez, après réduction des termes du dénominateur, ^

/fi/î^ , / t.^P N ^^"^y [^r-^(/>m^ ) W-^{jnn' )' [<f )'-a (n;>0 ( jm' ) \a\ [6] C08 p-a (w^^ ) (mn^ ) \a\ [ci] coi y - a (|>m^ ) (mnQ [frj [iQ coi'^ .

(bb) coUng(f,ir} (^^^„;i^.^it)E

On aurait pu de même écrire

g5 [ma^ H- /laè cos ^ H- /^orf cos j3) = g\

gî (maè cos ^ H- nè^ -H /^èrf cos a) = A',

gï {mad cos ^ H- nbdcosoc -\- pd^) = A';

[g'h'k') eût été le symbole du plan réticulaire normal à la Rangée mnp : alors, substituant ces valeurs de g^', A', A', dans la formule (37), Ton aurait eu, après réduction du dénominateur,

' (mg-i-nh-¥-pk)E

Ces dernières équations peuvent être utiles dans le cas où (P,F) différerait peu de 90 degrés ; car alors non-seulement l'angle serait mal déterminé par son sinus (formule 65), mais même il pourrait y avoir incertitude entre les

ETUDES CRISTALLOGHAPHIQUES. 1^^

deux valeurs supplémentaires données par cette formule. La considération des valeurs de g^', h\ k\ qui alors différent peu de celles de g-, A, A-, est très-propre à lever l'ambiguïté qui en résulte.

Concevons, comme exemple, que, dans le système sénaire où Ton a

a = b, a = ^ = 90'*, <r=i!îo'*,

on demande Tangle que l'arête allant du Sommet (i, i, o) au Sommet (o, o, 1) fait avec le plan passant par les Sommets (o, o, i), (o, i, o), (i , o, o), cet angle devant être mesuré dans l'intérieur du tétraèdre formé par ces quatre points. On aura alors

a = fe, a = |3 = go'*, ^=120*', m/^ = iii, (g^M) = (i 1 1) ; d'où

le symbole des plans normaux à la Rangée 1 1 1 pourra donc s'écrire

celui de ces plans qui passe parle Sommet (0,0, i) coupera les axes des x et des y à une distance de Torigine égale à a divisé par —r^ 5 et ainsi l'angle cherché sera aigu, si ^ < i ; il sera obtus, si-^, > i . On a ensuite

F[iii] = 3[a]^-hH^

donc, en ayant égard aux équations (98) du Mémoire sur les Systèmes de points,

tang[iii,(iii)] = ^^^,

formules qu'il serait d'ailleurs facile d'obtenir directement.

sm

l56 lÈTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

^ IX. — Métliodes pour calculer la densité réticulaire des faces d'un

cristal.

Je nomme densité réticulaire (*) d'une face {ghk) le nombre moyen des Sommets contenus dans l'unité de surface : cet élément physique exerce une grande influence sur le mode de limitation du cristal, ainsi que dans les phé- .nomènes du clivage. Il importe donc de le déterminer en fonction des para-, mètres linéaires ou angulaires de l'Assemblage et des caractéristiques g*, A, A-; tel est le but du paragraphe actuel.

Si l'on continue à désigner par S {ghk) la surface de l'aire du parallélogramme générateur du plan {ghk), la densité p du Réseau de ce plan aura pour valeur (Mémoire sur les Systèmes de points, page 21),

Le problème, ramené à la mesure de S {ghk), se trouve résolu par la formule générale que je reproduis ici (Mémoire cité, pages 49 et 111),

S*(^Aft) = ^*S«(ioo)-+.A'S*(oio)-hA*S'(ooi) — a^AS(ioo)S(oio)coscr — ag^AS(ioo)S(ooi)cosv — 2//ArS(oio) S(ooi)cosjut.

11 nous reste à examiner comment cette formule se modifie dans les différentes classes d'Assemblages, et suivant les divers modes (hexaédral, octaédral, etc.) de ces classes.

Système asymétrique. — La formule n'offre aucune simplification.

Système binaire, mode hexaédral. — On a

fjt = go**, V = 90**, ^=zS, S'{ghk)=g'S'{ioo)^h'S^oio)+k'S{ooi)—2ghS{ioo)S{oïo)cosS.

Dans le système des notations à quatre caractéristiques g,h,i,k, cette formule prend une autre forme. Soit en effet c le paramètre du nouvel axe : on aura d'abord

S'(gr/i*)=sf«S*(ioi"o)-f.A«S*(oiro) +A*S«(oooi) — 2^/iS(ioî'o)S(oiro)co8cï; (*) Cet élément a déjà été défini, Mémoire sur les Systèmes de points y page 20.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 1^7

ensuite

S(oi lo) =^ad^ S(ioio) = bd^ S(i loo) = ccl,

:kS(ioio)S(oiio)cosâz=2abd*cosd=d*[c* — a* — 6')=S*(iioo) — S*(ioio) — S*(oiio).

Substituant, et tenant compte de g -h h -^ i = o^ on trouve

(70) S^ffhik)= — ghS'{i~ioo)—giS'{io~io)—hiS'{oi'io)-hk'S^oooi).

On peut introduire dans cette formule les constantes angulaires U, V, W de la page i45. En effet, on déduit facilement des équations (42) et (4^>)?

tnnrIT— S(oiTo) ^ y S(io7o) tanffW— — ^("'''^• tangU— — g^jj;^, tangv— s(oooi)' ^^"^8^— — s(^-j,

donc

(71) S'(g^M-)==(— Aaang'U — g^/tang^V— g^Atang'W+F)S'{oooi).

Remarquons, en passant, que la formule (48) donne

tang [{ghik), (0001)}= 2 à^ § 5 — .

on a donc

(72) S'{ghik) = k'séc'\{ghikÇ{oooi)}S'{oooi),

formule très-simple qui donne l'une des deux quantités

S(g-/"A'), \{ghik), (0001)},

lorsque l'autre est connue. Cette relation a également lieu pour tous les systèmes suivants, qui ne sont que des cas particuliers du système binaire.

Système terhinaire, mode hexaédral rectangle. — On a évidemment, dans ce cas,

^ = g^^^y V = 90^, rar = 90**,

(73) S^ (ghk) = g' S' (100) -h k'S'lioio) + ^^S^ (001).

On peut introduire dans cette formule les constantes angulaires U et V de la

i58 jStudes cristallographiques.

page i48. En effet, on a (formules Sa),

taneU— — ^1^, tane V - — ^ii^^- ^^S^— S(ooi)' ^"8 ^ — S(ooi)'

donc

(74) S^ {ghk) = {g' tang^ V-H h' tang^ U -h *^) S» (oo i).

Système quaternaire, mode Iiexaédral. — La formule (78) devient

(75) S» {ghk) = {g' -h h') S' (100) + k' S' (001).

Pour introduire la constante angulaire U, on posera

*on^TT S (010) S(ioo) , tang U — g^^ — — g^^^ ,

donc

(76) S^ {ghk) = {g'^ h'-hk' cot^ U) S^ (100).

Système sénaire. — On posera, dans la formule (70),

S (i 100) = S(ïoio) = S(oiio); on aura

l S' {ghik) = — {gh -h gi-hhi) S' (01 To) + A-^S' (0001)

I = ( ^ ^-^— - j S^(oiio) -H k^S^ (0001).

Pour introduire la constante U, on écrira

. TT S(OIIO)

tang U = — ^-) ( 7

et alors

(7«) S' {ghik) = (êL±^l±î! + k' cot^ u ) S^ (01 fo).

Système ter quaternaire, mode ïiexaédral. — La formule (75) devient (79) S' {ghk) = {g'^h--^k') S'(ooi).

Dans les cas non examinés du système ternaire et des divers modes octa-

lÊTUDES CRISTALLOGRÀPHIQUES. ï og

ëdraux, dodécaédral , ou hexaédral rhombique , qui dérivent des précédents par des centrages convenablement faits (*), les valeurs de S {ghk), S {ghik) se déduiront des formules précédentes, au moyen des théorèmes que nous allons actuellement démontrer.

Théorème XIIL — Si Ion centre tous les paralléUpipèdes générateurs d'un Assemblage, la face {ghk) conservera l'aire de son parallélogramme générateur si la somme algébrique g + h -h k est impaire; mais cette aire deviendra moitié moindre, si cette somme est paire.

Les coordonnées numériques des Sommets introduits par le centrage sont des nombres fractionnaires de la forme,

m^ n, p étant des nombres entiers.

La condition pour que le plan réticulaire {ghk)^ mené par l'origine des coordonnées, contienne un quelconque des nouveaux Sommets sera donc

(80) gm -{- hn-hkp -h ^"^, "^ = o.

Dans le csis ou g -h h-hk est impair, le plan {ghk) ne pourra contenir aucun de ces Sommets. Si donc on nomme S^ {ghk) la valeur qu'obtient S {ghk) après le centrage, on aura

(81) SAg,h,k = tij-[-i-g-h) = s{ghk).

Dans le cas où g' -h A -H /: est pair, l'équation (80) pourra toujours être satisfeiite par des valeurs entières de m, /i, /?, puisqu'elle représentera Fun des plans réticulaires du système {ghk), que ce plan passe ou non par F origine. Par un quelconque des nouveaux Sommets satisfaisant à Féquation (80), menons un plan parallèle au plan des xz; le plan {ghk) coupera ce plan y=: n-h\ suivant une Rangée des nouveaux Sommets, à égale distance entre deux Rangées parallèles d'anciens Sonunets situées à la rencontre de

(*) On trouvera, aux pages gS et suivantes du Mémoire sur les Systèmes de points, les détails qui se rapportent à la manière dont on peut , par le centrage , faire dériver les différents mode» cristallins les uns des autres.

l6o ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

ce inêiïie plan {ghk) avec les plans j = o, j = 2 /i -h i . Ainsi le nombre des Rangées parallèles à l'intersection de {ghk) avec le plan des xz sera doublé par le centrage; la densité du Réseau deviendra donc deux fois plus considérable, et Ton aura

(82) s, {g,h,k = ^j-g-h)=.{^ {ghk).

Dans les formules (81) et (82), g", A, h sont trois nombres dépourvus de tout facteur commun, et y est un nombre entier quelconque.

Théorème XIV. — Si Von centre^ dans les plans z = o, z = 1 , etc., les bases des parallélipipcdes générateurs d'un Assemblage, la face {ghk) conservera Vaire de son parallélogramme générateur, si Ici somme algébrique g H- h est impaire; mais cette aire deviendra moitié moindre, si g + b est un nombre pair.

Les coordonnées numériques des Sommets introduits par le centrage

sont ici,

m, /^, p étant des entiers.

Alors, si Ton raisonne comme dans le cas précédent, en recourant à la considération du plan auxiliaire j = /i + |, et si Ton désigne par S^^ {ghk) ce que devient S {ghk) après le centrage, on trouvera

(83) S,, {g, h = 2j4- i-g,k) = S {ghk),

(84) S,, {g, h = ay g-, À-) = i S {g/ek).

Scolie. — Dans ce dernier cas, le paramètre de la Rangée, trace de {ghk) sur le plan des .r r j devient deux fois moindre par l'effet du centrage.

Corollaire. — Si l'on avait centré les parallélogrammes générateurs des faces parallèles au plan des xz^ l'on aurait eu de même

(86) S.Ag.fhk = 2j-g) = {S{ghk).

Si le centrage avait porté sur les faces parallèles au plan des jz, l'on aurait eu

(87) S^, {g, h,k = 2J-i-l-h)=S {ghk),

(88) S,, {g,h,k = y-h)={S{ghk).

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l6l

Théorème XV. — Si l'on centre les six faces des paralléUpipèdes générateurs d'un Assemblage^ taire du parallélogramme générateur de la face {ghk) deviendra moitié moindre, si le produit ghk est pair, et quatre fois moindre, si le produit ghk est impair.

La condition pour que le plan [glik) mené par l'origine des coordonnées renferme des Sommets provenant du centrage des faces parallèles au plan des xy est évidemment, comme dans le précédent théorème,

La condition pour que le même plan renferme des Sommets provenant du centrage des faces parallèles aux xz est

La condition pour que ce plan renferme des Sommets provenant du centrage des faces parallèles aux yz est

Or, on ne peut avoir en même temps

(g-^h=!ij -hi,

donc Tune au moins des équations (89), (90) et (91 ) sera toujours satisfaite, et il est permis de supposer, dans ce qui va suivre, que c'est l'équation (89) qui se vérifie. Il peut alors se présenter deux cas.

Premier cas, caractérisé par g* -h A: = ay' -h 1 . — L'une des deux caractéristiques g^ k sera paire, et l'on aura, en ajoutant l'équation (89) à la deuxième des équations (92),

-h A -h A- = 2j H- ay 'h- i ;

alors les équations (90) et (91) manquent à la fois, et l'on retombe sur le cas du théorème XIV et sur l'équation (84) ; S{ghk) devient moitié moindre après le centrage.

J^XXIF' Cahier. 21

l()2 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Deuxième cas , caractérisé par g^ h- Âr = ay'. — Les équations (89), (90) et (91 ) sont satisfaites toutes les trois. Ainsi, si Tune des caractéristiques est paire, les deux autres sont pareillement paires, et si Tune est impaire, les deux autres le sont aussi. Mais les trois caractéristiques ne peuvent être paires à la fois; elles seront donc toutes les trois impaires, et l'on aura

ghk = 2y + I .

Dans ce cas, en vertu du scolie du théorème XIV, le paramètre de la trace de {ghk) sur le plan des xy est rendu deux fois moindre par l'effet du centrage; en outre, il est évident que {glik) contient des nouveaux Sommets dont les coordonnées sont de la forme

fn, /^, p étant convenablement choisis : sa trace sur le plan z =/> 4- 1 sera donc une Rangée comprise entre les deux Rangées déterminées par l'intersection du même plan (ghk) avec les plans z = o, z = 2p -f- 1 ; le nombre de ces Rangées sera donc deux fois plus considérable après le centrage. La densité du Réseau devient ainsi quatre fois plus grande, et l'aire du parallélogramme générateur quatre fois moindre.

Si l'on représente par Sy>{ghk) la nouvelle valeur de S{ghk)^ après l'opération du centrage, on aura, dans le premier cas,

dans le deuxième cas,

(94) S,[g,h,k=^J+l)=!^S{ghk).

Théorème XVL — Lorsque, dans un Assemblage sénaire rapporté à son OnVe principal pris pour axe des Zj et à deux de ses axes binaires de première espèce pris pour axes des x et des y, on ajoute, sur les plans dont l'équation est z = p ± ^ ^ les Sommets nécessaires pour changer l'Assemblage en un Assemblage ternaire dont le Sommet à coordonnées (|, |, j) fasse partie, le parallélogramme générateur de la /ace (ghk) conservera son aire, si l'on a g — h -h k = 3j ± i ^ et cette aire deviendra trois fois moindre^ si l'on a g — h -h- k = 3j. Mais, si le nouvel Assemblage con-

ÉTUDES GRISTALLOGRAPHIQUES. l6S

tient le Sommet (|, {,{,), la condition pour que S{ghk) devienne trois fois moindre sera — g- + A + ^ = 3y .

Soit XYZ {fig. 2) le triangle formé sur le planz = |^ par les trois Sommets les plus rapprochés de l'origine des coordonnées O. Dans la figure, ce triangle est vu se projetant orthogonalement sur le plan z = o ; Ox^ Oy sont deux des trois axes binaires de première espèce de l'Assemblage. Les coordonnées du sommet X seront évidemment

les coordonnées des Sommets additionnels introduits sur le plan 2; = | seront donc

celles des Sommets introduits sur le plan ^ = | seront de même

^ = m'-hf, r = /^' — I, z = \.

Les conditions pour que le plan {ghk) mené par Torigine contienne une partie de ces nouveaux Sommets seront donc

U;^^ + An + l^— |±*l = o, (q5)

Si donc g — /i -h A- est de la forme Sy d= i , le plan {ghk) mené par l'origine ne pourra contenir aucun de ces Sommets, et, si Ton désigne par S^ {ghk) la valeur de l'aire S {ghk) après le triplement des Sommets de l'Assemblage, on aura

(96) ^,{g,h,k = ij±i-g^h)=S{ghk)',

mais, si g^ — h-^k est divisible par 3, les traces du plan {glik) sur les plans ^=|, ^ = 1 seront des Rangées de nouveaux Sommets dans le nouvel Assemblage, la densité du Réseau deviendra trois fois plus considérable, et, par conséquent, l'on aura

(97) S, {g, h,k=:3j-g-^ h) = i S {ghk).

l64 lÈTUDES CRISTALLOGRAPHÏQUES.

Si l'on avait adopté la forme rhomboédrique inverse (Mémoire sur les Systèmes de points, page y 3) correspondant au triangle X'Y'Z' {fig. 2), le nouvel Assemblage aurait contenu le Sommet Y' dont les coordonnées sont (|, |, {). Les coordonnées des nouveaux Sommets auraient été comprises dans les deux systèmes de formules

^ = m+|, j=n-+-{, z=p ^{, a: = /w' + f, j = ,ï' + |, z = p'-hh

et les équations (96), (97) se seraient changées en

{98) s,, {g,k,k = 3j±:i-\-g- h) = S (gkk),

(99) S„ {g, h,k = 3j-\-g-h)=\S ighk).

Théorème XVII. — Lorsque , dans un assemblage sénaire rapporté à son axe principal comme axe des 1^ et a deux de sçs axes binaires de première espèce comme axes des x et des y, on centre tous les triangles équilatéraux des plans réticulaires parallèles aux xy, la face {ghk) consente Vaire de son parallélogramme générateur, si g — h nest pas divisible par 3 , et cette aire devient trois fois moindre dans le ca^ contraire.

Soient X, Y', Z, X',... [fig- 2) les nouveaux Sommets introduits par ce mode de centrage, et situés sur le plan z = o. Ces Sommets se partagent en deux groupes, l'un dont les coordonnées sont exprimées par

l'autre dont les coordonnées sont

La condition pour que le plan [ghk) mené par l'origine contienne une partie de ces Sommets sera

(100) gm-^hnzt: ^-= = o.

Si donc Ton a g — A = Sy it i , le plan {ghk) ne pourra contenir aucun de ces Sommets, et si Ton nomme S^ {ghk) ce que devient S {ghk) après le

JÉTUDES CRÏSTALLOGRAPHÏQUES. l65

centrage, on aura

(loi) S,{g,k = Sj ±:i-g,k) = S{ghk).

Mais si g — h est divisible par 3, la trace de {ghk) sur le plan z = o contiendra des Sommets provenant des deux nouveaux groupes ; il est facile de voir que le paramètre de cette Rangée sera devenu trois fois moindre, et que Taire S {ghk) aura diminué dans le même rapport. Ainsi Ton aura

(102) S,{g,h = 3j-g,k)=\S{ghk).

§ X. — De la détermination du mode cristallin et de la forme primitive

d'une espèce minérale.

Lorsque Ton connaît le système cristallin auquel se rapporte une espèce minérale, il reste à déterminer le mode particulier auquel elle appartient, et les paramètres linéaires qui achèvent de fixer la forme du solide générateur de son Assemblage.

On peut conserver à ce solide le nom de forme primitive, ses faces étant toujours parallèles à celles d'une ou de plusieurs des formes cristallines de la substance. Une molécule est supposée placée à chacun des sonunets de ce polyèdre, quelquefois aussi en son centre de figure, ou même sur chacun des centres de ses faces.

Deux formes primitives, ou, ce qui revient au même, deux solides générateurs de l'Assemblage, sont équivalents lorsqu'ils donnent naissance au même Assemblage : on a alors une seule solution du problème de la détermination de la forme primitive, mais présentée de deux manières différentes.

Pour les cristaux appartenant au système régulier ou terquatemaire, la question doit être considérée comme résolue, dès que Ton sait si l'Assemblage terquatemaire est constitué suivant le mode hexaédral, octaédral ou dodécaédral.

Dans les systèmes sénaire, quaternaire et ternaire, il n'existe que deux paramètres distincts, dont l'un peut être pris pour unité; l'autre paramètre forme ainsi la seule inconnue de la question.

Dans le système terbinaire, le minéralogiste devra d'abord fixer son choix sur l'un des quatre modes qui dépendent de ce système; ensuite il devra

l6G ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

déterminer deux des trois paramètres linéaires a, b,d; le troisième pourra toujours être supposé égal à Tunité.

Le système binaire présente quatre paramètres linéaires a, ô, c, d; si Ton suppose d=i, il restera à calculer a, b et c, c'est-à-dire les trois côtés du triangle principal du Réseau normal à l'axe binaire du système; il faudra pareillement opter entre les deux modes cristallins qui dépendent de ce système, et si l'on adopte le mode octaédral, on devra, suivant la remarque faite dans mon Mémoire sur les Systèmes de points (note de la page 97), déterminer sur lequel des trois côtés du triangle principal du Réseau normal à l'axe se projette le Sommet, centre du prisme générateur.

Enfin, dans le système asymétrique, le nombre des indéterminées réellement distinctes est égal à cinq : ce sont, par exemple, les cinq arêtes du tétraèdre principal, la sixième étant prise pour unité de longueur.

Pour obtenir la valeur des paramètres, nous avons à notre disposition la connaissance des inclinaisons des faces qui limitent le cristal, et les indices tirés de la disposition des plans de clivage. Il en résulte qu'après avoir déterminé un système de trois paramètres linéaires a, ô, rf, satisfaisant aux conditions tirées de ces indices, nous pouvons, sans cesser pour cela de rendre compte de la structure extérieure, remplacer a, &, rf par trois autres paramètres ma, nb, pd de même direction relative, mais dont les rapports de grandeur ne sont plus les mêmes ; w, n, p sont ici des nombres entiers qui peuvent être quelconques, sauf dans le cas oii la symétrie exigerait l'égalité de deux ou de trois de ces paramètres.

Pour lever, autant que possible, l'indétennination relative aux facteurs numériques m, n,/?, la règle suivie jusqu'ici par Haiiy et ses successeurs a été d'adopter entre les paramètres des rapports de grandeur qui rendent les notations symboliques des faces les plus habituelles du cristal aussi simples que possible. Par exemple, Haiiy, en parlant de ses recherches sur l'euclase, s'exprime ainsi : « Je cherchai le rapport que devaient avoir entre elles les « trois dimensions du prisme pour que l'ensemble des lois de décroissement ce qui en dériveraient s'écartât le moins qu'il serait possible de la simplicité « des lois ordinaires (*). » Or, l'application d'une telle règle laisse évidem-

(*) Haut, Cristallographie , s*' édition, tome H, page i55.

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 167

ment une large part à l'arbitraire, puisque les cristallographes ne sont même pas d'accord entre eux sur les symboles des faces, et que la même face, de notation simple pour un auteur, offre souvent une notation beaucoup plus complexe dans le système d'un autre auteur. Aussi les minéralogistes ont-ils coutume d'abandonner la question, lorsqu'elle a été poussée jusqu'à ce point qu'un, deux ou trois systèmes de valeurs de m, /i, p rendent un compte suffisamment simple de la structure extérieure; cependant des deux ou trois solutions qui ont pu être ainsi obtenues, une seule est celle de la nature.

Pour lever autant que possible cette indétermination, je vais employer une hypothèse qui n'offrira point, il est vrai, le degré de rigueur des résultats auxquels nous avons été conduits jusqu'ici, mais qui aura sur les méthodes anciennes l'avantage d'avoir un point d'appui théorique, celui de ne laisser qu'une faible part à l'arbitraire du calculateur, et enfin, d'offrir les vérifications les plus variées.

J'admettrai que , dans un Assemblage cristallin , les plans réticulaires les plus faciles à séparer de leurs limitrophes par l'opération du cHvage sont, en général y ceux qui servent de limites aux strates de plus grande épaisseur.

Voici les considérations théoriques qui militent en faveur de cette manière de voir.

Lorsque le clivage sépare l'un de l'autre deux plans réticulaires voisins, on a à considérer, d'une part, la force avec laquelle les molécules d'un même plan se retiennent l'une l'autre, force qui est la collusion tangentielle auplwfiy ou la résistance à la rupture suivant des lignes menées dans ce plan ; on a à considérer, d'autre part, la force avec laquelle les molécules du plan retiennent à proximité les molécules du plan limitrophe, force que l'on peut nommer la cohésion normale au plan, ou la résistance à la rupture suivant la direction parallèle à ce plan. Or on sait qu'en général la cohésion des corps est d'autant plus grande que les intervalles moyens des molécules sont plus petits. D'après cela, il est permis de penser que, toutes choses d'ailleurs égales, la cohésion tangentielle sera d'autant plus grande que le Réseau du plan sera plus dense, et que la cohésion normale sera d'autant plus faible que récartement des deux plans limitrophes sera plus considérable.

Lorsque l'on examine l'un après l'autre les divers systèmes de plans réticulaires du cristal, la densité du Réseau et Técartement des deux plans limi-

l68 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

trophes pour chacun de ces systèmes sont deux quantités qui croissent et décroissent ensemble, restant toujours proportionnelles Tune à l'autre. On a, en effet, d'après l'équation (5i) du Mémoire sur les Systèmes de points,

A S {ghk) = 12 = constante,

et, par conséquent (équation 68 du Mémoire actuel),

A = iîp.

Ainsi, à mesure que l'on considérera des faces dont la densité réticulaire sera de plus en plus grande, on verra la cohésion tangentielle augmenter et la cohésion normale diminuer; par conséquent, la tendance au clivage suivant ces faces deviendra de plus en plus évidente, puisque la cohésion tangentielle le favorise, tandis que la cohésion normale tend à le prévenir. Donc le clivage le plus facile devra se faire parallèlement au plan réticulaire de densité maximum, et, si le cristal est clivable parallèlement à deux ou à trois formes cristallines, l'ordre de facilité de ces clivages devra correspondre à l'ordre des densités décroissantes des tissus réticulaires correspondants.

On démontrera, à peu près de même, que les faces les plus aptes à se produire dans l'acte de la cristallisation, ou, en d'autres termes, les plans réticulaires les plus aptes à limiter le cristal, sont aussi, en général, ceux dont la densité réticulaire est la plus considérable; car les mouvements internes qui agissent incessamment sur la superficie de la masse cristalline en voie de formation jouent, jusqu'à un certain point, le rôle des forces extérieures qui s'emploient à cliver un cristal; ils ont dû, par conséquent, respecter de préférence les séries moléculaires qui se trouvent disposées suivant des plans réticulaires dont les Réseaux ont les tissus les plus serrés. A ce point de vue, la faculté de limitation effective que possède chaque face possible du cristal doit être, au moins en partie, proportionnelle à la densité de son tissu. Toutefois, ce critérium parait devoir être moins certain que celui que l'on déduit de la considération du clivage ; car la formation des faces naturelles s'est trouvée soumise, pendant la cristallisation, à une multitude de forces étrangères, difficiles à analyser, et qui ont pu favoriser la production de telle ou telle forme cristalline, ou même ne pas agir également sur les différents côtés du cristal. Au contraire, lorsque le cristal définitivement consti-

ETUDES GRISTALLOGRAPHIQUES. I 69

tué est soumis ultérieurement aux épreuves du clivage, il se trouve soustrait à tonte trace de Taction des forces qui ont modifié primordialement sa structure extérieure (*), et peut fournir aux observateurs des indices indépendants de son état initial.

Nous nous résumons en énonçant nettement la règle que nous substituons à la loi empirique des notations les moins complexes, et cette règle nous servira désormais à déterminer le mode cristallin d'une espèce minérale, ainsi que les rapports de ses paramètres. Nous devrons, dans chaque cas particulier, m choisir parmi le nombre infini de solutions que comporte la « détermination de la forme primitive, celle qui assigne aux diverses faces « possibles du cristal des densités réticulaires dont la série décroissante ce représente aussi exactement que possible la série décroissante des &cilités « de production, soit naturelle (par la cristallisation), soit artificielle (par le « clivage) de ces mêmes faces » : il est sous-entendu que la facilité de production naturelle des faces se constatera par l'examen attentif d'un trèsgrand nombre d'échantillons de la même espèce, recueillis dans des circonstances aussi variées que possible.

Dans le cas où les indices déduits du clivage ne seraient pas complètement d'accord avec ceux tirés de l'examen des formes extérieures dominantes, notre règle laissera quelque prise à l'arbitraire , jusqu'à ce qu'une application suivie de la méthode nous ait mis à même de juger du degré de confiance que méritent ces divers indices.

Cette concordance d'un certain genre de clivage avec les rapports de longueur des paramètres linéaires a déjà été remarquée par M. Frankenheim (**), qui fait observer notamment que, dans les cristaux quaternaires de l'apophyllite et de l'uranite, où a < c?, le clivage est parallèle à la base.

La densité réticnlaire de la face {ghk ) ayant pour valeur

S(ghk)

{*) Cette proposition ne doit pas être acceptée dans un sens trop rigoureux : la même espèce minérale n*a pas toujours les mêmes clivages également faciles; mais les variations sont beaucoup moins étendues que celles qui se manifestent dans le degré de prédominance des mêmes faces, entre divers échantillons de la même espèce.

(**) FEANK.Eif HEIM y dîc Lchrc von dtr Cohœsion, page 3o6.

XXXiy Cahier. 22

iyO létUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

au lieu d'ordonner les faces suivant les valeurs décroissantes de cette expression, nous pourrons les ranger suivant les valeurs croissantes de l'aire élémentaire S {ghk)^ ou plutôt du carré de cette aire, afin d'éviter les radicaux du second degré.

S'il existe dans S {ghk)^ ou dans S* {ghk)^ des facteurs indépendants de g^ hj k, nous pourrons les supprimer, sans troubler l'ordre suivant lequel se succèdent les formes cristallines. Nous désignerons donc par 1 {ghk) , 2* {ghk) ce que deviennent les valeurs de S {ghk), S^{ghk) débarrassées de semblables facteurs, et après avoir remplacé, dans les équations (69) à (102), S, S* par 2, 2", nous pourrons supprimer ou introduire dans leurs seconds membres un Êicteur quelconque, pourvu qu'il ne soit pas fonction des caractéristiques.

Nous allons maintenant appliquer les formules du § IX à chacun des quatorze modes cristallins.

Sjstème terquaternaire^ mode hexaédral.

Les trois axes quaternaires sont pris pour axes coordonnés; les paramètres sont a, a, a. On a (formule 79)

S^ [ghk) = {g' + A^ + k') S' (001),

et, si l'on change S* en 2%

(io3) 2.^ghk) = g'-^h'-\-k\

La deuxième colonne du Tableau n**I a été calculée sur cette formule.

Système terquaternaire, mode octaédral.

Ce mode dérive du précédent par le centrage des six faces du cube.

Elevez au carré les équations (98) et (94)5 changez-y S^ en 2^, remplacez 2* igàk) par sa valeur tirée de (io3), et multipliez les seconds membres par 16; vous aurez

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 171

On peut réunir ces deux formules en une seule et écrire

en sous-entendant que, dans le cas où les relations

n'auraient pas lieu, on les obtiendrait de force, en multipliant les trois caractéristiques g^ A, h par le nombre 2. Sous cette réserve, l'équation (io4) remplace, à elle seule, les deux précédentes : elle a servi à calculer la quatrième colonne du Tableau n® I.

Système terquaternaire^ mode dodécaédral.

Ce mode dérive du mode hexaédral, en centrant chacun des cubes de ce dernier en son centre de figure.

Elevez au carré les équations (81) et (82), changez-y S* en 2% remplacez 1^ ighk) par sa valeur tirée de (io3), et multipliez les seconds membres par 4; vous aurez

(io5) 2i{g,h,k = t,j-g-k)=g^^k'-^k\

La première de ces deux formules suffit, si Ton sous-entend que, dans le cas

où la relation

ne serait pas satisfaite, on la rétablirait en multipliant g^ h, k par 2. La sixième colonne du Tableau n® I a été calculée au moyen de cette équation.

Remarques sur le système ter quaternaire. — Dans le mode hexaédral, le cube doit être la forme dominante; après lui vient la forme |iioj qui représente le dodécaèdre rhomboîdal. Le sel gemme, le plomb sulfuré me paraissent appartenir au mode hexaédral.

Dans le mode octaédral, c'est l'octaèdre | 1 1 1 } qui domine; la forme cubique {100} doit aussi se présenter fréquemment. Le diamant, l'alun, le spinelle, plusieurs métaux natifs semblent dépendre du mode octaédral. Les piles de boulets offrent un exemple de ce genre d'arrangement.

172 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Dans le mode dodécaédral, la forme dominante est le dodécaèdre rhomboidal i 1 10 j; la forme octaédrique n'occupe plus que le cinquième rang. Les grenats, la tennantite doivent se rapporter au mode dodécaédral.

Quelquefois le cristal a des clivages octaédriques, et cependant sa forme dominante est le cube: exemples, le bismuth et le spath fluor; ces substances !ne paraissent devoir être rangées parmi les substances octaédrales.

Système sénaire.

li'axe sénaire est pris pour axe des z ; son paramètre est égal à d. Les axes binaires de première espèce OG, OH {fig> 2) sont pris pour axes des x et des y ; 01 est l'axe auxiliaire auquel se rapporte la caractéristique additionnelle : leurs paramètres sont a, a, a. La notation est à quatre caractéristiques. On a alors (formule 78),

S* {ghik) = {g' + h' + i' -h *^2 cot^ u) i 2^01 ïo).

Dans cette équation, changez S^ en 2*, supprimez le facteur {2^ (01 10), et posez, pour abréger,

(106) 2cot^U = A; vous aurez

(107) 2' {ghik)=g^-hh^'\- j»-|-A»A.

Le Tableau n° Il a été calculé sur cette formule. Pour les birhomboèdres de première espèce, on a

r{gogk) = !^g'-i-k'?.; pour les birhomboèdres de deuxième espèce, on a

Ainsi les formes parallèles de première espèce doivent F emporter sur celles de deuxième espèce, quant à leur aptitude à se produire dans Tacte de la cristallisation, et quant à leur tendance à résulter du clivage. On choisira donc les axes binaires de première espèce, de manière à ce qu'ils soient

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. I y'i

parallèles aux formes dominantes; cette remarque lèvera Tambiguité relative à la direction que l'on doit donner aux axes de première et de deuxième espèces, dans l'intérieur du cristal.

Parmi les formes obliquement placées par rapport à l'axe sénaire, la forme dominante sera le birhomboèdre de première espèce { i o 1 1 } .

On déterminera l'angle U, soit par une mesure directe, soit indirectement par la mesure de Tangle que forment entre elles deux faces de { i o 1 1 } .

On pourrait aussi déduire U, et par suite le rapport j» de la connaissance

de l'angle que fait une face oblique quelconque {ghik) avec le plan normal à l'axe sénaire ; car la formule (56), appliquée à ce cas, donne

tang[(g^Ai/r), (oooi)] = '^^^.,eot«U '

(io8) 2cot^U = §^^:t|^^

On adoptera d'une manière définitive le rapport -^> si l'ordre de prédominance théorique des diverses formes se trouve conforme à celui que l'observation directe d'un grand nombre d'échantillons aura fait découvrir.

Je citerai comme exemples :

i"*. L'apatite qui, d'après les observations de M. Descloizeaux , fournit les valeurs a = i, rf = 0,785, d'oîi A= 2,78.

Les formes dominantes sont :

Le prisme hexaèdrede première espèce | loio j (2* = 2,00) ; c'est parallèlement à ces faces qu'a lieu le principal clivage ;

Les troncatures terminales joooi j (2^ = 2,78) ; feibles signes de clivage dans ce sens ;

Le birhomboèdre de première espèce j loi i î (2* = 4,78) ;

Le prisme hexaèdre de deuxième espèce j 1 1 20} (2* = 6,00) ;

Le birhomboèdre de deuxième espèce {ii2i}(2*=:8,78);

Le birhomboèdre de première espèce j 202 1 j (2* = 10,78);

Le birhomboèdre de première espèce {ioi2}(2'*== i3,i2);

Le prisme dodécaèdre {2i3o| (2* = i4,oo) ; ordinairement hémiédrique;

174 lÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Le didodécaèdre {aiSij (2^ = 16,78); héraiédrique;

Rarement le birhomboèdre de deuxième espèce { 1 1 22} (2^ = 1 7 , 1 2) .

Si une nouvelle forme venait à se montrer, on peut présumer que cette forme serait le birhomboèdre de première espèce { 3o3i }.

2". L'émeraude, pour laquelle on admet généralement a=i,rf=i, d'oii A = i,5o. Ces valeurs expliquent le clivage qu'offre l'émeraude parallèlement à ses bases; mais la série des formes dominantes est plus exactement représentée par le système d'équations

a=i, rf=o,5o, A = 6,00;

les formes dominantes, rangées suivant les valeurs de 2*, sont alors j loio |, {0001}, iii2o}, {loiij, {1121}, |202i|, {2i3o}, série qui s'accorde^ assez exactement avec les rapports de fréquence qu'indique l'observation d'un grand nombre d'échantillons de cette espèce minérale.

Ici les indices tirés du clivage ne sont pas complètement d'accord avec c^ux déduits de la structure extérieure ; on peut toutefois espérer que l'ambiguïté qui en résulte pourra être levée, dans un état plus avancé de nos connaissances cristallographiques .

3*^. Le plomb phosphaté, le plomb arséniaté, la néphéline, la chlorite hexagonale.

4°. Le cuivre sulfuré, le cadmium sulfuré. Ces deux substances sont remarquables par la prédominance des formes de première espèce, d'oii résulte la coordination des faces en trois zones ayant pour axes les axes binaires de première espèce du système cristallin. Cette prédominance paraît devoir être attribuée à la petitesse des valeurs de A. En effet :

Dans le cadmium sulfuré, a = 1 , d= i ,63, A = o,565,

l''\ loTi i = 2,565, r\ ior2} = 4,260, 2Mior3}==7,o85,

et pour le premier birhomboèdre de deuxième espèce, 2^ { 1 121 j == 6,565. Dans le cuivre sulfuré, a = i , d= i ,708, A •= o,5i4*

2' I loï I } = 2,5i4, 2^ io~i2 1 = 4,o56, 1' { ior3 1 = 6,626,

et pour le premier birhomboèdre de deuxième espèce, 2^ î 1 1 21 j = 6,5i4-

ETUDES CRÏSTALLOGRAPHIQUES. I 75

')°. l^ quartz, l'un des minéraux dont la cristallisation offre le plus de particularités intéressantes, et que l'on a coutume de rapporter au système rhomboédrique. Malgré l'opinion dominante à cet égard, il me paraît probable que la symétrie de l'Assemblage moléculaire est sénaire. Je reviendrai sur ce sujet en traitant de l'hémiédrie du quartz et des hémitropies auxquelles elle donne lieu.

6*^. Et probablement plusieurs autres substances que Ton range dans le système rhomboédrique, mais qui ne paraissent rhomboédriques que par un effet d'hémiédrie.

Système quaternaite^ mode hexaédral.

L'axe quaternaire est pris pour axe des z\ son paramètre est égal à d. Les axes binaires de première espèce sont pris pour axes des x et des/; leurs paramètres sont a, a. Dans la formule (76), changez S^ en 2% divisez le second membre par 2^ (100), et posez, pour abréger,

(109) cot^U = A;

vous aurez !

(IIO) t'{{rhk)=g^ -^h'+k'T,.

I^a moitié supérieure du Tableau n® III a été calculée sur cette formule.

Les birhomboèdres du système sénaire sont ici remplacés par des octaèdres qui peuvent être de première espèce, si leurs faces sont parallèles aux axes binaires de première espèce, ou de deuxième espèce, si elles sont parallèles aux axes de deuxième espèce.

IjC symbole général des octaèdres de première espèce est { gok \ ; le prisme { 1 00 | en est un cas particulier.

Le symbole général des octaèdres de deuxième espèce est { ggk | ; le prisme j 1 10 1 en est un cas particulier.

Pour les octaèdres de première espèce, on aura donc

et pour les octaèdres de deuxième espèce,

J76 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Ainsi les formes de première espèce sont les formes dominantes ; cette circonstance servira à fixer la position des axes binaires de première espèce.

Parmi les formes obliquement placéeS| par rapport à l'axe quaternaire, la forme dominante sera l'octaèdre { i o i j.

On déterminera par une mesure directe, ou indirectement par la mesure de Tangle que forment entre elles deux faces de j loi 1, l'inclinaison U de la face (loi) sur la face (001).

Connaissant U, on aura facilement le rapport -•

L'idocrase, le mésotype, le plomb molybdaté me paraissent appartenir au mode hexaédral.

Sjrstème quaternaire^ mode octaédraL

Ce mode dérive du précédent par le centrage des prismes droits en leur centre de figure.

Élevez au carré les équations (81) et (82), changez-y S' en 2% remplacez 2^ {ghk) par sa valeur tirée de (i 10), et multipliez les seconds membres par 4; vous aurez

(m) Il {g,h,k = ^j - g - h) = g' ^ h' + k' h.

ll{g^h,k = 2j-^i-g-h) = /i {g' 4- A^ + F A).

La première de ces deux formules peut remplacer la seconde, si Ton sousentend que, dans le cas où la relation

n'aurait pas lieu , on l'établirait en doublant les trois caractéristiques gfhjk.

La moitié inférieure du Tableau n® III a été calculée sur la formule (m).

Dans les formes prismatiques parallèles à l'axe principal, c'est le prisme de deuxième espèce iiioj qui doit dominer: au contraire, parmi les formes inclinées à l'axe quaternaire, c'est l'octaèdre de première espèce j loi j qui sera la forme principale. On voit que dans le mode octaédral, la combinaison dominante sera le prisme j 1 1 o ! terminé par les pointements octaédriques j loi j qui alterneront avec les faces du prisme. Dans le mode hexaédral, au contraire, la combinaison dominante sera le prisme droit { looî

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. I77

muni de ses bases jooi j. Cette circonstance pourra servir à distinguer les deux modes l'un de l'autre.

Si l'on adopte le mode octaédral, les axes binaires de première espèce devront être placés parallèlement aux faces de l'octaèdre } loi j.

Si, le cristal étant rapporté à ses axes binaires de première espèce, on veut le rapporter à ses axes binaires de deuxième espèce, ou vice versa, si l'on veut passer des axes de deuxième espèce aux axes de première espèce, on changera les notations des faces en remplaçant {ghk) par (g* H- ^, g — h, k).

Dans le mode octaédral rapporté à ses axes binaires de première espèce, les formes à somme algébrique des caractéristiques divisible par 2 sont plus fréquentes que les formes à somme impaire ; c'est l'inverse dans le mode hexaédral.

L'apophyllite, le rutile, le zircon me paraissent devoir être rangés parmi les cristaux du mode quaternaire octaédral.

Système ternaire.

L'axe ternaire est pris pour axe des z; son paramètre est égal à d. Les axes binaires OG, OH, 01 {fig. 2) sont pris pour axe des ^, pour axe des r et pour axe auxiliaire ; leurs paramètres sont a.a^a. La notation est à quatre caractéristiques .

Dans le système ternaire, il ne peut y avoir aucun doute sur la position des trois axes coordonnés du plan des xy^ attendu qu'il n'y a point d'axes binaires de deuxième espèce : les intersections des trois plans de symétrie avec le plan desa:j les remplacent. La symétrie extérieure du cristal indiquera toujours sans ambiguïté comment sont placés les axes binaires, comment sont placés les plans de symétrie.

Un Assemblage ternaire peut être considéré comme dérivant d'un Assemblage sénaire trois fois moins riche en Sommets (Mémoire sur les Systèmes de points, page 7 3). De cet Assemblage sénaire faisons naître un Assemblage à forme rhomboédrique directe,' c'est-à-dire dont" le rhomboèdre générateur ait pour symbole joui j : alors, rétablissons dans les équations (96) et (97 ) la caractéristique i, élevons-les au carré, changeons-y S^ en 2% remplaçons l^{ghik) par sa valeur tirée de (107), et enfin multiplions les seconds

XXXIF* Cahier. 23

iy8 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

membres par 9 ; nous aurons

La première de ces équations comprend la seconde comme cas particulier , si l'on sous-entend que, dans le cas où la relation /r = Sy — g + h n'aurait pas lieu, on rétablirait en multipliant par 3 les quatre caractéristiques g^h^ /, k.

La moitié supérieure du Tableau n° IV a été calculée d'après l'équation (lia), qui suppose que la face (oui) appartient au rhomboèdre générateur de TAssemblage.

Mais si r Assemblage ternaire était de forme rhomboédrique inverse,

c'est-à-dire si la forme j loi i } représentait le rhomboèdre générateur, on aurait recours aux équations (98) et (99), d'où l'on déduirait facilement

(i 1 3) 1^. {g, h, i, k = 3j-hg — h) = g'-^h'-h P 4- k'h.

La moitié inférieure du Tableau n° IV est calculée sur cette formule.

Pour l'intelligence du Tableau n® IV, il convient de se rappeler la remarque déjà faite à la page 122 (ligne 3), d'après laquelle il est toujours permis de supposer, dans le synû)ole j ghik j de la forme cristalline, que les deux premières caractéristiques g^ h sont positives, ainsi que la dernière k\ alors, avec les caractéristiques g^ A, /, k on ne peut obtenir que les deux formes distinctes \ghik\^ \hgik\^ et même ces deux formes se confondent en une seule, 1° si l'on ah = gj 2® si l'on a A = o.

Parmi les formes obliquement placées par rapport à l'axe sénaire, la forme dominante est le rhomboèdre générateur de l'Assemblage. Presque toujours cette forme bien développée caractérise le système ternaire. Lorsqu'elle aura été reconnue dans le cristal soumis à notre examen, nous prendrons aii)itrairement l'un des trois axes binaires pour axe des Xj et nous placerons le cristal de sorte que son axe ternaire soit vertical, le demiaxe des X positives étant dirigé de la gauche à la droite, et celle des trois faces du pointement supérieur qui est parallèle à l'axe des x étant tournée

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. I79

vers le spectateur; cette face recevra la notation (oui), et fixera la position du demi-axe des y positives, conformément aux conventions de la page 124.

Si l'on ne prenait pas les précautions que je viens d'indiquer, on pourrait tomber sur la forme rhomboédrique inverse; mais je supposerai toujours que la cristal est ainsi placé, que la face (oui) appartienne au rhomboèdre générateur, et soit orientée d'après les conventions précédentes.

On déterminera, soit par une mesure directe, soit indirectement, l'incli^ naison U de la face (oui) sur la Êice (oooi), et l'on aura, comme dans le système sénaire,

A = 2COt^ U = -4i-

On vérifiera cette valeur de A par d'autres mesures goniométriques, et au moyen de la formule (io8) mise sous la forme

tang' {ghïk, 0001) = êJ±l±L\ Les trois formes dominantes du système ternaire sont |oooi j, joi 1 1 j,

ÎII20|.

Lorsque A est compris entre o et 0,26, les faces j 0001 j sont celles de densité maximum, et c'est normalement à l'axe ternaire que le clivage doit avoir lieu. Ce cas se présente pour tous les rhomboèdres dont l'angle dièdre principal est compris entre o** et 70^82', c'est-à-dire pour les rhomboèdres plus aigus que le tétraèdre régulier, par exemple pour le rhomboèdre de la craîtonite.

Lorsque A est compris entre 0,26 et 4» 1^ faces de densité maximum sont les faces du rhomboèdre générateur, et c'est parallèlement à ces faces que le clivage doit avoir lieu. Ce cas se présente pour tous les rhomboèdres dont l'angle dièdre principal est compris entre 70® 82' et 120°, c'est-à-dire pour les rhomboèdres à sommets principaux moins aigus que ceux du tétraèdre régulier, et moins obtus que les angles trièdres du dodécaèdre rhomboïdal, c'est-à-dire pour la grande majorité des cristaux rhomboédri-

l8o ETUDES CRISTÀLLOGRAPHIQUES.

ques connus. Aussi, dans le système ternaire, le clivage principal donne-t-il presque toujours un noyau rhomboédrique.

Enfin, lorsque l'on a A > 4> et que le rhomboèdre générateur est plus obtus que celui de 120 degrés (tourmaline par exemple), la forme dominante est le prisme hexaèdre de deuxième espèce j 1 1 20 j (prisme tangent aux arêtes latérales du rhomboèdre) ; mais comme cette forme est ouverte, elle n'exclut pas la forme | o 1 1 1 {. Il en serait de même dans le cas de A < 0,26 ; la forme joooi j, étant une forme ouverte, n'exclurait pas i 01 1 1 j ; de sorte que Ton peut dire, en thèse générale, que « dans tout cristal ternaire, les « faces du rhomboèdre générateur doivent tftéoriquement faire partie du sys- (c tème général des faces effectives du cristal. »

Le système ternaire, à cause de la facilité avec laquelle il laisse déterminer sa forme primitive, est très-favorable à la recherche des rapports qui existent entre la densité réticulaire des faces et leur tendance à limiter extérieurement le cristal.

Si l'on avait pris, avec M. Miller, les trois arêtes du rhomboèdre générateur pour axes coordonnés, on trouverait facilement, par les méthodes de transformation de la page 1 28, la formule suivante,

(ii4) i^{ghk) = {k-hy+{g-ky-^{h-gy-^{g-i-h-i-ky^.

Le Tableau n° V est construit sur cette dernière formule.

Abaques des systèmes sénaire, quaternaire et ternaire. — Dans ces trois systèmes cristallins, la densité réticulaire d'une face {g/ik) ou {ghik) dépend de la seule indéterminée A, que l'on pourrait appeler le module du système, et l'on a

2' {ghk ou ghik) = F +/A,

F et/étant des fonctions entières des caractéristiques numériques g", A, /, k. Si donc l'on trace sur un plan {fig. 7) une série de droites dont les équations en coordonnées linéaires t;, A soient

t; = F''-+-/'A, etc.,

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l8l

(F,/), (F',/'), (F'^ f") étant les différents systèmes de valeurs que fournit, pour les diverses formes cristallines, l'équation

2' [glik ou ghïk) = F H-/A,

et si l'on affecte à chacune de ces droites la notation de la forme cristalline correspondante, on aura construit un abaque du mode cristallin considéré.

La fig. 7 représente un pareil abaque pour le système sénaire, et l'on pourrait en construire d'analogues pour le mode quaternaire hexaédral, pour le mode quaternaire octaédral et pour le système ternaire.

L'usage de cet abaque est le suivant : soient A^, A,, Aj, . . . , les valeurs particulières du module A pour les diverses espèces minérales E^ , E, , E^ , . . . , du système sénaire. Parallèlement à l'axe des ordonnées y, tracez les droites

A ^= Aq, a = A| , A = Aj, ....

Pour l'espèce minérale E^,, la manière dont se succèdent les intersections de la droite A = Ao avec chacune des droites représentatives des formes j ghik j fera connaître Tordre théorique de la fréquence relative de ces formes et celui de leur facilité au clivage. Il en sera de même pour les autres espèces minérales du même système. On a tracé, en effet, sur l'abaque les lignes verticales correspondant à un certain nombre de ces espèces.

Système terbinairCj mode hexaédral rectangle.

Les trois axes binaires, complètement déterminés de position par la symétrie extérieure du cristal, sont pris pour axes des a?, des j et des z; les trois paramètres sont a, bet d; l'axe des z continue à être placé verticalement.

On a alors, en Élisant, pour abréger, dans la formule (74)>

(ii5) tang«U = ^*=^ tang'V = J = A',

S» (ghk) = (^» a'h- A» A + k') S* (ooi).

Dans cette équation, changez S* en 1^, divisez le second membre [)ar

l82 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

i*(ooi); il viendra

( 1 1 6 ) 2'l^ghk) = g^h'+h''h-\-k\

La première partie du Tableau n° VI est calculée d'après cette formule.

Pour déterminer A et a', on examinera les formes dominantes appartenant a la zone dont l'expression générale est joAAj, ainsi que les formes dominantes des zones dont l'expression générale est j g* o A | ou \gko\.

Dans la zone \ohk\^ après les formes j o i o j et j oo i } , vient la forme [ o 1 1 ! , qui pourra servir à déterminer le rapport b : d.

On traitera de même les zones jg^oX-j et \gho\. Les trois rapports b\dj a: dj a:bj devront satisfaire à l'équation de condition,

db~ rf'

Parmi les formes fermées, la plus fréquente doit être la forme jnij; on peut aussi l'employer à la détermination des rapports des paramètres.

La forme de plus fecile clivage devra être j i oo j , j o i o j ou | oo i { .

La boumonite, le péridot, paraissent appartenir à ce mode, l'un des moins riches de ce système cristallin.

Système terbinaire, mode hexaédral rhombique.

Ce mode dérive du précédent, par le centrage des bases rectangulaires des prismes droits qui composent l'Assemblage hexaédral.

Elevez au carré les équations (83) et (84), changez-y S* en 2^, remplacez 2^ {ghk) par sa valeur tirée de (i i6), et multipliez les seconds membres par 4 ; vous aurez

2^ig^,A=2y + i-g^,/r| = 4(g^'A'-hA»A + *«).

fia première de ces deux formules embrasse la seconde, si l'on sous-entend (|ue, dans le cas où la relation

ne serait pas satisfaite, on devrait multiplier g^ A, k par le nombre a.

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUËS. ïS3

La formule (117)3 servi à calculer la deuxième partie du Tableau n® VI.

Les formes dominantes sont, en général, jooij et ji loj; leur combinaison donne un cristal en forme de prisme droit ayant pour base un rhombe semblable à la base du prisme générateur.

Lorsque les formes {001 j, { i io| se combinent avec celle des deux formes {looj, joioj dont Faire élémentaire est la plus petite, c'est-à-dire avec la forme parallèle à la petite diagonale du rhombe de la base, la combinaison donne un prisme à six faces latérales, ayant pour base sur le plan des xy rhexagone ABB'A'C'C de la fig. 6. Si l'angle CAB diffère peu de 1 20 degrés, ce prisme aura l'apparence du prisme hexaèdre régulier du système sénaire. Plusieurs substances minérales présentent assez fréquemment cette disposition.

La topaze, la cimophane me paraissent devoir appartenir à ce mode, l'un des plus riches en espèces minérales parmi les quatre modes que renferme le système terbinaire.

J'ai supposé que l'on avait centré les faces parallèles au plan des xy. Si le centrage avait porté sur les faces parallèles aux xz ou aux /z, on aurait eu

(118) 2L\gjfhk = y-g\ = g'x'^h'j,^k\

Le plus souvent la structure extérieure dénotera sur lequel des trois plans doit être placée la base rhombe.

Dans le doute, après avoir attribué à a, 6, d leurs valeurs supposées, et affecté à chaque face sa notation symbolique, on séparera la série des formes observées en deux groupes, de trois manières différentes: 1° en coupant la série en deux, d'après les valeurs paire ou impaire de g -h h; 2° en coupant la série, d'après les valeurs paire ou impaire de g-i-k; 3° en coupant la série, d'après les valeurs paire ou impaire de h-h k. La coupe qui séparera la série en deux groupes les plus inégaux possibles avec prédominance des formes à sommes paires indiquera sur lequel des trois plans coordonnés doit être placée la base rhombe de la forme primitive.

î8/î ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Système terbinaire, mode octaédral rectangle.

Ce mode dérive du mode hexaédral rectangle par le centrage des prismes droits rectangulaires en leur centre de figure.

Elevez au carré les équations (8 1) et (82), changez-y S^ en 2% remplacez 2:^ [ghk) par sa valeur déduite de (116), et multipliez les seconds membres par 4; vous aurez, comme dans le cas du mode quaternaire octaédral,

il est sous-entendu que, si la somme g -i- h-h k était impaire, on devrait multiplier g y h et k par le nombre 2.

On a calculé, d'après cette formule, la troisième partie du Tableau n° VI.

Les formes j i io|, j loi j, joi i j sont les formes dominantes du mode octaédral rectangle.

La combinaison de deux de ces formes suffit pour clore le cristal sous la figure d'un octaèdre droit à base rectangle, ce qui paraît être l'aspect le plus habituel des cristaux peu chargés de faces de ce mode cristallin.

Si les trois formes coexistaient, il se produirait un dodécaèdre rhomboîdal, analogue au dodécaèdre rhomboîdal du système terquaternaire, mais avec faces inégalement inclinées sur les axes.

Assez souvent celle des trois formes i i loj, { 101 1, i 01 1 j, qui est parallèle à l'axe de paramètre maximum, se trouve exclue de la combinaison, et remplacée par celle des trois formes } 100 }, joioj, j 001 ! qui est normale à cet axe; d'où résulte un octaèdre à base rectangulaire, tronqué parallèlement à cette base.

Ainsi, dans le cuivre chloruré, où l'on a

a = i, 6 = 0,882, rf=i,3i7,

le cristal est souvent une combinaison des trois formes 1 101 ;, j 01 1 j, j 001 |, qui sont, avec 1 1 1 o j, les formes les plus fréquentes de cette espèce minérale. Outre le cuivre chloruré, on doit citer comme appartenant à ce mode, le cuivre phosphaté, le cuivre arséniaté octaédral, et peut-être aussi l'arragonite.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. l85

Ir

Sjstème terbinaire, mode octaédral rhombique.

Ce dernier mode du système terbinaire dérive du mode hexaédral à base rectangle, par le centrage des six Êices de ses prismes générateurs.

On traitera les équations (gS) et (94) de la même manière que lorsqu'il s'est agi du mode terquatemaire octaédral ; on remplacera 2^ ( ghk ) par sa valeur tirée de l'équation (i 16), et, après avoir multiplié les seconds membres par 1 6, on trouvera

(120) :^f{gJi = V — 8^ k=:fif — g)==g'?i + h'x'^k\ Dans le cas où Tune quelconque des deux équations de condition

ne serait pas satisfaite, on multiplierait g, hetk par le nombre 2.

On trouvera les aires des parallélogrammes générateurs des principales formes de ce mode inscrites dans le dernier quadrant du Tableau n** VI; elles sont calculées par la formule (120).

La forme dominante est 1 1 1 1 j ; elle peut à elle seule clore le cristal, et lui donner la forme d'un octaèdre droit à base rhombe, quel que soit celui des trois axes que l'on place dans la position verticale.

Cet octaèdre pourra être tronqué sur 2, 4 ou 6 de ses sommets par les formes { 100 1, 1 010}, {001 1. Lorsqu'il existera quatre troncatures pareilles, et que les faces de troncature se rencontreront, le cristal offrira l'aspect d'un prisme rectangulaire surmonté par des pointements à quatre Ëices qui alterneront avec les faces du prisme.

La forme j 1 1 1 j suffît à la détermination des rapports des paramètres a, by d.

Le soufre natif, le silicate de magnésie hydraté (villarsite de M. Dufrénoy), la fluélite et la scorodite (*) paraissent appartenir à ce mode cristallin.

(^) En adoptant pour les paramètres des axes de la scorodite les valeurs

fl = 1, ^ = 0,869, ^== ^>958,

on trouve pour ses principales formes les symboles |iiij> {looj, ioioj, {ikoL |2io|, |o2i|et |i 12 I ; ces formes sont rangées suivant Tordre de leurs densités réticulaires décroissantes. XXXIF* Cahier. 24

l86 éîtJDBS CRISTALLOGRAPHIQUBS.

Système binaire, mode hexaédral.

L'axe bmaire est pris pour axe des z et place vertîcalenient; son paramètre est égal à d. Les deux Rangées conjuguées OG, OH {fig. i), parallèles à deux des cotés du triangle principal OGF du Réseau normal à Taxe binaire, sont prises pour axes des x et des j, et sont assemblées entre dles de manière à former un angle obtus ; la Rangée diagonale 01 est prise pour axe auxiliaire ; les paramètres de ces axes sont

a = OG, è = OH, c = OI,

et satisfont aux conditions exprimées par la formule (20). Les notations sont à quatre caractéristiques. On a alors , en posant dans l'équation (71)

(121) tang'U = A, tang'V = A', tang'W = y',

(122) S* {ghik) = {—hiy, — gir^ — ghrl' + k^) S' (0001) ;

changeant S* en 2* et supprimant le facteur 2^ (0001), on trouve

(123) 2^ {ghik) = — hiX — gi}^ — gh}<' H- k^ :

les nombres A, a', a'^ sont assujettis à l'inégalité A < a' < A'^

On commencera par la détermination des rapports des trois paramètres a, b, c. Pour cela, on observera les formes dominantes dans la zone verticale dont le symbole général est | ^^'0 |, et qui a l'axe binaire du système pour son axe de zone.

Ces formes peuvent se diviser en trois groupes :

I®. Les formes | 01 10 j, j loio j, | 1 100 j; 2°. Les formes J21 10 j, j 1210 j, 1 1 120 |; 3**. Les formes de position indéterminée jg'Aioj. On aura

2' i 01 Fo ! = A, 2' j I oîo j = a', 2' j 1 Foo j = ^%

2*|aîro} = — X-haX'-haX^ S«{iâio|==aX— X'^-^V', 2» { 1120} = aX-l- aX'-V; il importe de remarquer que A, a', a'' sont proportionnels à OG , OH , 01

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES% 187

{fis* 0' ^^' <^oi3^^^^ 1^ triangle OGr est le triangle principal du R^seauy on a

Ainsi les trois formes j loioj, [ iioo j, joiioj sont les formes dominantes de la zone. De leur combinaison résulte un prisme hexaèdre irrégulier, parallèle à l'axe binaire. Les suppléments des angles dièdres des faces contiguës deux à deux sont les angles O, G, I' du triangle principal OGI'; les rapports de leurs sinus donneront les rapports des paramètres

Après avoir résolu cette première partie du problème, il faudra chercher le paramètre c?; pour cela, on observera les pointements ou biseaux qui terminent le cristal vers chacune des extrémités de Taxe binaire. Les formes dominantes seront encore ici des formes parallèles aux axes coordonnés, et ayant pour symboles joAMj, \gogk\j \ggok\. Les principales seront { 01 1 1 j, j loi I j, j I loi j ; dans le cas où ces trois formes sont librement développées, elles forment vers chacun des deux sommets du cristal un pointement à six faces surmontant le prisme hexaèdre irrégulier joiioj,

i loioj, j nooj.

Après avoir mesuré Tinclinaison de ces faces sur j oooi | qui est la base supérieure du cristal, on déterminera <3?au moyen de la formule (49)-

Je prendrai comme exemple Tépidote, décrit dans le tome III de la Minéralogie de M. Dufrénoy et figuré à la PL CLIV^ fig. 54, de l'Atlas de cet ouvrage.

La face M est la face de symbole (oi lo), parallèle à l'axe des x\

La face g^ est la face ( i o i o) , parallèle à l'axe des j;

La face T est la face (i loo), parallèle à Taxe auxiliaire. L'observation donne

Inclinaison de T sur g^ = 129^ 89', Inclinaison de T sur M = 1 1 5^ 4 1'?

Inclinaison de M sur g** = 1 1 4** 4o'.

Suivant la méthode exposée à la page i45, prenons pour unité le dia-

l88 léTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

mètre du cercle circonscrit au triangle principal du Réseau du plan z = o : alors a, b, c seront égaux aux sinus des angles opposés, et nous aurons

a = sin I ag^^Sg' = 0,7700, b = sin ii5'*4i' =0,9012, c = sin 1 1 4^*40' = 0,9087,

S (0001) = absin{Xjy) = abc = o,63o6.

Nous aurons ensuite

face P (figure citée) = (0001), face c' = (01 II), c^ sur P = U = i48^3/, facee* =(io"îi), e*surP = V = 145^6', face6^ = (iFoi), ft*surP = W= i45"3'.

Nous en conclurons, par les formules (45) et (49)?

d = — abc °^ == o,5oo, d=-abc'^ = oA88, d= — abc ^-^ — = o,485,

et, en prenant la moyenne arithmétique de ces valeurs,

d = o4gi.

En déterminant alors A, a', a'' par les formules (121), nous trouverons

A = 0,359, a'= 0,492, a'^=o,5oi.

Si l'on calcule avec ces nombres et la formule (i ^3) les aires des parallélogrammes générateurs des formes que produit la cristallisation de Fépidote, si Ton range ces formes d'après les valeurs croissantes de ces aires, et si Ton compare la série ainsi obtenue avec celle qui exprime leur fréquence relative, on trouvera une concordance très-satisfaisante entre ces deux séries.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 189

Système binaire, mode octaédral.

Ce mode dérive du précédent (*) en centrant les rectangles des faces parallèles à la forme joiio|, ou à la forme lioioj, ou à la forme {iiooj. L'axe binaire est pris pour axe des z. Nous avons, sur le plan des xy^ trois axes coordonnés, Taxe des a:, Taxe des/ et l'axe auxiliaire, prolongement de la résultante géométrique des deux autres axes.

Je supposerai que l'on ait centré les Êices parallèles aux xz.

Dans l'équation (86), changez S'* en 2^, ajoutez la quatrième caractéristique i, remplacez 2* {ghik) par sa valeur tirée de l'équation (laS), enfin multipliez le second membre par 4; ▼ous aurez

(124) 2:,{g, h, i, k = y- s) = -hi?,^ gi?!- gh?<' ^k\

Dans le cas où la relation

n'aurait pas lieu, on multiplierait g^ A, i, k par le nombre a, et cette convention dispenserait de recourir à l'équation (85).

Si l'on avait centré les&ces verticales parallèles au plan des jz, on aurait eu de même

(i25) 2^^ {g,hjiyk = y — h) — —hi^—gi?< — gh>!^+ k^.

Enfin, si l'on avait centré les faces verticales parallèles à l'axe auxiliaire, en appelant toujours t {voyez page 119) les ordonnées parallèles à cet axe, on aurait eu

(126) 2;, {g y h, i,k = 2j — i) = —hi^ — gi^' — ghfi''\-k\

Mais revenons à l'équation (124) et au cas d'un centrage parallèle aux xz. Dans la zone verticale des faces désignées par le symbole j ghio j où les caractéristiques gjheti sont considérées comme variables, on a

2' i 01 10 I = A, 2' j lofo I = 4 a', 2' I I Too j = 4 a'',

2* lai "101 = — A H- 2 a' -h 2 a'',

2'JiI20J = 8a+8a' — 4 a'', 2'il2Ioj = 8A— 4A'-f-8A^

{*) Mémoire sur les Systèmes de points , page 97.

190 ETUDES CfUSTALLOGRAPUIQUBS.

Dans la série des formes normales ou obliques à Taxe binaire, et pour lesquelles la caractéristique k est égale à i , on a

2' jiolij= A'-h I, 2'iiroij = y'+ I,

2"ioriij = 4A+4,

2' jiiâi i = 2A4-2A^ — A"+ 1, 2^ jîail j = 2A— A'+aA^'-Hl,

2» j 2I Fi I = — 4a + 8 A' -h 8a'' -f- 4.

On voit que le cristal sera une combinaison de la forme verticale {0110} avec les formes obliques j loi i j, 1 1 loi |; que la forme verticale { ai 10 | naîtra sur Tarête qui sépare les faces ( loio), ( 1 100) et tendra à les fiure disparaître; enfin, que les formes dominantes dans les pointements qui termineront les deux extrémités de Taxe des z seront en général alternes avec les formes qui domineront dans la zone parallèle à Taxe binaire. Cette alternance produira tout autour de Taxe binaire des endentements de faces, et des arêtes de rencontre obliques au plan de symétrie du cristal, tandis que, dans le mode hexaédral, les arêtes de rencontre sont ordinairement parallèles au plan de symétrie et par conséquent horizontales ; c'est là un des meilleurs caractères pour reconnaître, souvent à première vue ^ avant tout calcul, auquel des deux modes du système binaire appavii^it le cristal.

Le cristal le plus simple possible est celui produit par la combinaismi de ! 01 10 ( avec celle des deux formes j loi i j, j i loi j dont Taire du parallélogramme générateur est la plus petite, soit la forme j 1 01 1 j ; c'est un prisme dont Taxe géométrique est horizontal, qui a pour bases deux rhombes verticaux, et pour faces latérales quatre parallélogrammes parallèles au coté moyen du triangle principal du Réseau du plan des xy. On y reconnaît facilement le prisme rhomboidal oblique des minéralogistes ^ placé dans une position qui diffère de 90 degrés de celle qu'on lui assigne habituellement.

L'ordre de prédominance des formes ne sera plus le même, si Ton centre les faces (i 100) parallèles à l'axe auxiliaire. On a alors, en se bornant aux

ETUDES CR1STALLOGRAPHIQUE&. I9I

formes les plus simples,

2^ (01 10) = 4a, 1' (lo'io) = 4a', 2* (iloo) = A^ 2* (1120) = 2AH-2A'— a",

2*(oili)=A-i-i, 2' (1011)= a' H- I, 2'(lloi) =4/^+4.

Les formes | oi 1 1 1, | i oi 1 1 et { 1 1 oo j tendait à prédominer et à figurer un octaèdre droit ayant pour base un parallélogramme dont les deux angles aigus seronif coupés par des plans normaux à cette base, et parallèles à la petite diagonale du parallélogramme ; il pourra même arriver que l'octaèdre se présente sans aucune troncature latérale.

Enfin, dans le cas où l'on centrerait les rectangles des faces (loio) parallèles à Taxe des 7, c'est-à-dire, à Taxe de paramètre moyen sur le plan des xy-y on obtiendrait les valeurs suivantes :

V (oiTi

= 4a, 2' (loio) =A', 2'(iioo) =4 a", = 2A — A' + 2A'',

= A-hi, 2'(lori) = 4A' + 4, 2' (moi) = A^'-hi

dans ce cas, Taspect extérieur se rapprochera soit de celui des cristaux où le prisme rhomboidal oblique domine, soit de celui des cristaux dans lequel c'est l'octaèdre droit à base parallélogrammique, selon que la valeur de A^ sera plus rapprochée de celle de A, ou de celle de a".

Les paramètres a, bj c,dse détermineront de même que dans les cristaux du mode hexaédral, comme si deux des quatre Êices latérales du parallélipipède générateur n'avaient point été centrées.

Les espèces cristallines que je crois pouvoir signaler à l'attention des minéralogistes comme devant se rapporter au mode binaire octaédral sont l'orthose, la chaux sulfatée, l'amphibole, l'eudase, etc. L'amphibole et l'euclase paraissent offirir les indices du centrage sur le plan (i 100) ; j'ai expliqué dans mon Mémoire sur les Systèmes de points que ce cas a lieu

192 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

lorsque le Réseau du plan z = { se projette sur les milieux des paramètres formant les grands côtés des triangles principaux du Réseau du plan z = o.

Système asymétrique.

Il est difficile, à cause du grand nombre des paramètres, d'obtenir une détermination bien certaine de la forme primitive.

On choisira les quatre faces non parallèles qu'indique soit le clivage, soit une plus grande fréquence relative, et on les considérera comme formant le tétraèdre principal de l'Assemblage formé par les molécules du cristal, ou du moins l'un de ses tétraèdres élémentaires les plus simples.

Des quatre faces qui forment ce tétraèdre, les trois qui embrassent entre elles l'angle solide le moins aigu, c'est-à-dire celui où la somme des angles dièdres est la plus grande, recevront les symboles (001), (010), (100), et la quatrième, le symbole (m). Alors on déterminera facilement les paramètres du système au moyen des six angles dièdres de ces faces. On aura, en effets

^ = ((010), (001)), if = ((ooi), (100)), ^ = ((010), (100)), et si l'on représente par yu, , v, , ^^ les angles

((l I iMl^OO)) , ((l I ijTfoio)), ((l I 1)7(001)),

il sera facile de passer des angles dièdres aux angles plans par les règles de la trigonométrie sphérique, et de déduire de ces derniers le rapport a:b:d.

Toutes les faces recevront des notations symboliques dépendantes du système d'axes que J'on aura adopté. On calculera les aires de leurs parallélogrammes générateurs par la formule (69), et, si l'accord entre la fréquence théorique et la fréquence naturelle des différentes faces n'était pas jugé satisfaisant, on effectuerait les changements d'axes ou de paramètres nécessaires pour rétablir le parallélisme que la théorie indique.

Je ferai remarquer de nouveau que ce parallélisme ne saurait être toujours rigoureusement exact. H est évident que la densité réticulaire n'est pas le seul élément qui exerce de l'influence sur la formation d'une Êice, dans l'acte de la cristallisation, même sans qu'il soit nécessaire de recourir aux forces étrangères qui peuvent être mises en jeu. Le mode d'alternance des deux

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Réseaux limitrophes qui bordent une strate peut agir de son coté ; car, si Ton projette ces Réseaux orthogonalement l'un sur l'autre, le Réseau fixe et le Réseau projeté pourront, dans certains cas, être presque confondus; dans d'autres cas, les Sommets des parallélogrammes de l'un d'eux pourront être voisins des centres des parallélogrammes de l'autre. Ces différences, celles qui peuvent résulter des variations de forme du triangle principal, à égalité d'aire de ces triangles, et surtout celles qui sont dues à la forme du polyèdre moléculaire, à la direction de ses axes de principale attraction ou de principale répulsion, sont autant de causes qui doivent altérer, dans de certaines limites, la loi d'établissement des faces suivant la raison directe de la densité de leur tissu réticulaire.

Il pourra même arriver que ces actions favorisent toute une série de formes au détriment d'une autre série, ce qui altérera d'une manière encore plus grave les résultats déduits de notre hypothèse fondamentale. Malgré ces restrictions, je ne doute pas que cette hypothèse ne puisse rendre des services réels à la cristallographie et à la physique moléculaire. Mon but aura été atteint, si je parviens à engager les minéralogistes à soumettre un certain nombre d'espèces convenablement étudiées au calcul comparatif de la densité réticulaire de leurs faces, et de la tendance de ces mêmes faces à se produire dans l'acte de la cristallisation.

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