XXXIV: Cahier

2i8 lÎTUDES GRISTALLOGRAPHIQUES.

§ III. — De l'influence qu'exerce la symétrie du polyèdre moléculaire sur la figure des formes cristallines obliques.

Lorsque le polyèdre moléculaire possède tous les éléments de sjrmétrie de l'Assemblage, toutes les faces de même espèce sont identiques; par consequent, le nombre des faces des formes cristallines n'éprouve aucune réduction, et le cristal est holoédrique.

Il n'en est pas de même dans le cas contraire. Je supposerai que le symbole de la symétrie de l'Assemblage soit

[QL',Q'L'',Q"L'',G,/,P,/P',/'P"],

tandis que la symétrie commune à l'Assemblage et au polyèdre moléculaire sera représentée par

s, = [Q, L'., Q'. L< , Q; L< , cC, p, P, p\ P', p\ P"].

Je me bornerai dans ce paragraphe à considérer la réduction numérique qu'éprouve le système des faces homologues d'une face donnée {ghk)j dans le cas où cette face sera oblique, c'est-à-dire n'offrira aucune particularité de position^ n'étant ni parallèle ni normale à aucun des axes de symétrie du système. La forme complète ou holoédrique continuera à être désignée par \ghk\. La forme mériédrique le sera par le nouveau symbole /u, \ghk\.

Je vais examiner l'effet qu'exercera la symétrie déficiente du polyèdre moléculaire sur ces formes obliques, dans les cristaux mériédriques, et je discuterai le cas des formes restreintes dans le paragraphe suivant.

Puisque [Q, L^-, Q'^ U'^ , Q'^ L^- ] représente, par hypothèse, le système des axes communs de l'Assemblage et du polyèdre, il est clair qu'à chacpie face {ghk) correspondront {q^ — i) faces directement semblables et identiques à {ghk)j distribuées autour de chacun des axes de symétrie L^» , et par conséquent

(y, — i) Q, faces homologues, par rapport aux axes Q, U* ,

[q^ — i) Q, faces homologues, par rapport aux axes Q^ L^« ,

(9t — Q'i *^c^s homologues, par rapport aux axes Q'^ L^t ;

ainsi l'on déterminera le nombre total des faces directement semblables et

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 21 9

identiques, par la formule

i+(^.-oq.+(s''.-')qx/.~oq;»

qui est l'analogue de celle déjà obtenue à la page io8 de ce Mémoire.

Si Ton compare ce nombre avec celui des faces directement semblables dans la forme holoédrique, représenté par

on trouvera que leur rapport est celui de i à a ou de i à 4 (*)» sauf dans le cas où l'on aurait

car alors ce rapport serait égal à l'unité.

Si donc Ton pose

i+(^i-0Qi+(^;-0Q: + (9:-0Q: ,^/

7' étant le rapport de ces nombres de faces, rapport susceptible des trois valeurs i , |, |, et si l'on continue à appeler N le nombre des faces de la forme oblique holoédrique \ghk\, donné par l'équation connue

N = 2iH-(^-l)Q+(5r'i)Q' + (/,)Q-!,

le nombre des faces directement semblables contenues dans la forme mérié-

(*) La comparaison de la deuxième colonne du Tableau n** VIH avec les symboles de symétrie des sept systèmes cristallins montre fiacilement que « tout polyèdre qui possède tous les axes binaires d'un Assemblage en possède aussi nécessairement les autres axes ; > il en résulte que, parmi les axes déficients, se ti;ouvent toujours compris des axes binaires. Cela étant admis, soit or le nombre des faces directement semblables de la forme mériédrique ; si Ton fait tourner le système de ces faces autour de l'un des axes binaires de S«, on obtient, en réunissant les nouvelles positions des faces aux anciennes, un système deax faces directement semblables, et qui seront identiques, relativement à un polyèdre moléculaire qui, outre les axes L^', L^t, L^, posséderait l'axe de rotation comme axe de symétrie binaire. Si ce nouveau polyèdre ne contient pas encore tous les axes binaires de l'Assemblage , soit S«^ sa nouvelle symétrie déficiente, et faisons-le tourner autour de Tun des axes binaires de S^^; on obtiendra un système de 4^ faces, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive à un polyèdre qui possède tous les axes de symétrie du polyèdre holoédrique , et alors le nombre total des faces homologues ainsi obtenues sera { N ; donc on doit avoir

ou X = I N ,

ou 2 X = j N ,

ou 4^ = TN>€tc.

220 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

drique yu | ghk \ sera

Définitions. — Lorsque Ton aura 7' = i , le polyèdre sera dit holoaxe; il possédera tous les axes de symétrie de T Assemblage.

Lorsque Ton aura 7' = {, le polyèdre sera dit Iiémiaxe; un polyèdre holoaxe pourvu d'un axe principal devient hémiaxe, lorsqu'il perd ses axes non principaux, ou lorsque le numéro d'ordre de son axe principal devient moitié moindre ; un polyèdre sphéroédrique holoaxe devient hémiaxe, lorsque les numéros d'ordre de ses axes pairs deviennent moitié moindres. Il peut arriver (|ue l'hémiaxie fasse disparaître les axes de symétrie; c'est ainsi que le polyèdre [oL, oC, P] peut être considéré comme un polyèdre hémiaxe du système binaire [A% C, n].

Lorsque l'on aura y' = j, le polyèdre sera dit tétartoaxe; un polyèdre à axe principal et holoaxe devient tétartoaxe par la suppression de ses axes binaires et la réduction à moitié du numéro d'ordre de son axe principal. Ainsi [A% oL*, oC, oP] est tétartoaxe par rapport au polyèdre [A\ 3L% 3L'% oG, oP].

Lorsque l'on fait tourner la forme mériédrique ,u { ghk j de 1 80 degrés autour de l'un des axes binaires déficients de l'Assemblage, on obtient une nouvelle forme ^' j ghk \ que nous nommerons^rme conjuguée de /jl [ghk }.

Dans les polyèdres holoaxes, les formes cristallines ne possèdent pas de formes conjuguées.

Dans les polyèdres hémiaxes, à chaque forme cristalline correspond sa forme conjuguée qui , étant réunie à la forme primitive , constituera une forme holoaxe .

Enfin, dans lespolyèdres tétartoaxes, à chaque forme cristalline correspondent trois formes conjuguées distinctes, et la réunion des quatre formes conjuguées reproduira la forme holoaxe.

Voyons maintenant s'il existe des faces inversement semblables dans la forme mériédrique u\gkk j.

Si l'on ^ c =• p^=i p^=i p\=lo^ il est clair qu'il ne peut exister de facîe inversement semblable, identique à {ghk) (*). Donc alors le nombre total des faces de la forme jt/, \ghk] sera égal à | N7'.

Si au contraire on a c = \ ^ ou p ^^ ow p ^^ on p\ > o, c'est-à-dire s'il

( * ) Sauf cependant dans un cas relatif au système quaternaire , cas qui sera examiné à la page 229.

222 ETUDES GRISTALLOGRAPHIQUES.

Dans les cristaux 5"*, 6"* et 7"*, toute forme oblique ft | ghk \ est tétartoëdrique, et ne conserve que le quart de ses faces.

Enfin, dans les cristaux 8"*, toute forme oblique ^ | ghk \ est hëmitétartoédrique, et ne conserve que le huitième de ses faces.

lia classification que nous venons de faire a pour but de réunir sous un titre collectif des cristaux mériédriques jouissant de propriétés géométriques ou physiques qui leur sont communes. Ainsi nous verrons, dans la troisième partie de ce Mémoire, les cristaux hémiaxes donner lieu à des phénomènes d'emboîtement que Ton n'observe pas sur les cristaux holoaxes. Tous les cristaux connus jusqu'à ce jour comme doués de pouvoirs rotatoires optiques appartiennent à la catégorie des cristaux hémisymétriques. Tous les cristaux connus jusqu'à ce jour comme jouissant de propriétés pyroélectriques (sauf le mésotype et la prehnite, qui n'ont été que peu étudiés) sont des cristaux hémiaxes dichosy métriques.

L'hémiédrie à faces parallèles des cristallographes allemands correspond au cas des polyèdres centrés, et l'hémiédrie à faces inclinées, au cas des polyèdres dichosymétriques ou hémisymétriques.

Nous allons maintenant passer en revue les effets de la mériédrie sur les formes cristallines obliques, dans les différents systèmes cristallins. Cette analyse nous conduira à une classification des cristaux mériédriques identique au fond à celle proposée par M. Frankenheim, dans les Acta Academiœ naturœ Curiosorum^ t. XIX, 2* partie.

Pour obtenir tous les cas de mériédrie possibles, on désassociera les N faces de la forme holoédrique, en rangeant sous le même en-tète celles de ces faces qui restent toujours associées entre elles, quelle que soit la symétrie déficiente du polyèdre moléculaire. Dans les tableaux suivants, en tète de la première colonne figurent les éléments de symétrie qui servent à faire dériver les fiices de cette première colonne de la face déterminante de la forme, face {ghk) ou [ghik). En tête de chacune des autres colonnes figurent les éléments de symétrie qui servent à faire dériver les faces de cette colonne des faces de la première colonne. Ce mode de distribution des faces est tout à fait analogue à celui qu'ont employé M. Miller, dans son Traité de cristallographie, i plus tard M. Frankenheim, dans son System der Krystalle.

ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUES.

Tableau des 48 faces de \ gkk\, dans le Système lerqùatemaire.

Col. I.

Cot. II.

Cot. UI.

Cot. IV.

ghk

gkl,

glilt

g'kh

gh'k

gkh

ghk

gkl

ghk

gkh

ghk

gkh

ghk

gkh

ghk

gkh

hkg

hg'k

h'klg

hgk

hk}

hgk

~hkg

hgk

hk'g

hgk

hkg

hgJ

hkg

hkg

hgk

kgh

kh}

kgh

Ihg

kgh

khg

kgh

khg

kgh

khg

kgh

khg

kgh

khg

kgh

khg

Pour dresser ce tableau, on a d'abord séparé \ghk\ en ses deux demiformes directe et inverse, puis on a réuni dans la colonne I les douze faces directement semblables entre elles par rapport aux axes 3L% 4L% qui constituent la symétrie minimum du polyèdre moléculaire susceptible de cristalliser dans ce système.

Les faces {ghk), {ghk)j ig^k) sont les homologues de {ghk) par rapport aux axes SL^, qui sont les trois axes coordonnés de l'Assemblage, rectangulaires entre^eux. Si Ton prend les homologues de ces quatre premières faces par rapport aux axes ternaires, au moyen des permutations circulaires des caractéristiques, on achèvera de former la colonne L Cette colonne porte en tête le symbole [3L^, 4L'] qui indique comment les faces qu'elle contient dérivent les unes des autres.

La colonne II dérive de la colonne I en permutant entre elles les deux dernières caractéristiques, et changeant ensuite le signe de la dernière; géométriquement, cela revient à faire tourner de 90 degrés la face autour de l'axe coordonné auquel se rapporte la première caractéristique.

Cette colonne porte en tête le symbole 3 L^ % 6L'% qui indique que les

224 ETUDES CRISTALLOGRAPHIQUIS».

axes 3L^ sont devenus quaternaires, et que le polyèdre moléculaire a gagné les six axes binaires 6 L".

La colonne III dérive de la colonne I en changeant les signes de toutes les caractéristiques; on obtient ainsi les faces parallèles et ^opposées à celles de la colonne I, ce qui indique que le polyèdre moléculaire est maintenant pourvu d'un centre de symétrie; comme les plans 3P^ accompagnent toujours ce centre, Ten-tête de la colonne sera C, 3P^

De même la colonne IV dérive de la colonne II par le changement de signe des caractéristiques; mais, comme on peut aussi faire dériver les faces de la colonne IV de celles de la colomie I au moyen des plans de symétrie 6P, on a écrit ce dernier symbole en tête de la colonne IV.

Ces différents modes de dérivation géométrique peuvent se suivre facilement sur la fig, lo qui représente, en projection orthogonale, la distribu* tion des pôles des faces (c'est-à-dire des points de tangence de ces faces avec la sphère inscrite à la forme) sur l'hémisphère supérieur d*une sphère que coupe en deux un plan normal à l'un des trois axes quaternaires de l'Assemblage. Cet axe est pris pour axe des z et se projette orthogonalement sur le point O; OX, OY sont les moitiés positives des deux autres axes quaternaires. Le plan XOY étant un plan de symétrie du système, les pôles des faces de l'hémisphère inférieur ont les mêmes projections que ceux des faces de l'hémisphère supérieur; on passe de ceux-ci à ceux-là en changeant le

signe de la troisième caractéristique. Les pôles 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 sont les extrémités supérieures des quatre axes ternaires du système.

Un polyèdre moléculaire de symétrie connue étant donné, pour obtenir les faces de sa forme mériédrique iuL\ghk\ il suffira de réunir entre elles les colonnes dont les en-tête forment, étant rapprochés, le symbole complet de sa symétrie. C'est ce que nous allons faire voir, en passant successivement en revue les différentes espèces de polyèdres qui cristallisent dans le système terquaternaire.

Polyèdre [3L% 4L% oC, oPj; la forme terminée par les faces de la colonne I sera sa forme mériédrique. Elle comprend douze faces; elle est donc tétartoédrique ; on pourrait l'appeler yorme hémiaxe Jiémisymétrique

Polyèdre [3L% 4^% C, 3P^] ; la forme est terminée par les faces des colonnes I et III : on peut la désigner sous le nom àe forme hémiaxe centrée.

ÉTUDES CRISTALLOGRAPHIQUES. 2îî5

Polyèdre [3L^, 4^^% ^^j 6P]; '^ forme correspondante est terminée par toutes les faces des colonnes I et IV : on pourrait l'appeler ^rme Jiémiaxe dichosf métrique .

Polyèdre [3L% 4L% 6L% oC, oP]; la forme ,u\ghk\ est terminée par toutes les faces des colonnes I et II, et peut être désignée sous le nom de forme ho boxe Jiémisy métrique. En réunissant les en-tête des colonnes pour reconstituer le symbole, il faut avoir soin de changer 3 L^^ en 3 L\

Ces trois dernières formes sont hémiédriques.

Polyèdre [3L% 4L% 6L% G, 3P\ 6P^]; la forme est holoédrique et comprend les quarante-huit faces du tableau : en réunissant les symboles des en-tête, on devra changer 3P^ en 3P* et 6P en 6P^.

Les formes hémiaxe hémisymétrique, hémiaxe dichosymétrique, holoaxe hémisymétrique sont les formes hémiédriques à faces inclinées des cristallographes allemands. La forme hémiaxe centrée est la forme hémiédrique à faces parallèles.

Tableau des 24 faces de \ghik }, dans le Système sénaire.

Col. 1.

Cot IL

Cot. III.

Col. IV.

Coi. V.

Col. VI.

Col. vu.

Col. VIll.