XXII MEMOIRE

Théorème IL — L'angle qui restitue les lieux des sommets d'un polyèdre, dans sa rotation autour d'un axe de symétrie, est toujours commensurable avec 3 60 degrés.

En effet, soit S^, Jig. i, un homologue de S par rapport a l'axe AB : par S, S' menez un plan normal à AB, et qui coupera cet axe en c ; de c, avec le rayon cS, décrivez une circonférence de cercle, sur laquelle vous prendrez

arc S'' S' = arc SS', arc S''' S'' = arc SS', etc.

Pendant que la rotation entraînera S de S en S', le sommet S', participant à ce mouvement, viendra en S'' qui devra être aussi le lieu d'un sommet ; ainsi, non-seulement S, S' seront des sommets du polyèdre, mais il en sera de même de S'^, et des autres points S"',... obtenus par la même voie. En répétant ainsi Tare SS', on doit, après un ou plusieurs tours, revenir au point de départ S ; sans cela le nombre des sommets serait illimité, ce qui ne peut être. Donc on aura, en nommant K l'angle SCS', p elq deux nombres entiers, premiers entre eux,

Corollaire. — Le plus petit des angles de rotation capables de restituer

les lieux des sommets est En effet, l'expression générale de ces angles

est

/nK-/i.3Go^ = îîî^:::^36o%

m et n étant des nombres entiers ; or on peut toujours déterminer m et n d'après la condition

mp — 71^ = =h i ; donc, etc.

Déjinàion IIL — On peut donc définir Va^e de symétrie une droite telle,

qu'en Élisant tourner le polyèdre autour d'elle, d'une partie aliquote - de

36o degrés, la position apparente des sommets du polyèdre ne soit point troublée.

SUR LES POLYÈDRES DE FORME SYMETRIQUE. XXlll

Le dénominateur q sera appelé le numéro d'ordre de la sjmétrie de l'axe. Si l'on a rj = 2^ Taxe sera dit axe de symétrie du deuxième ordre, ou axe de symétrie binaire, ou, plus simplement, axe binaire. Si l'on a </ := 3, 4 ,••• ^ Taxe sera dit ternaire, quaternaire^ — Dans ces divers cas, il y aura restitution des lieux des sommets après-? »> 7V de tour.

Définition IV. — Je nommerai plan de symétrie du polyèdre un plan PQ, fii^. I , tel, qu'en abaissant d'un sommet quelconque S une perpendiculaire S/; sur ce plan, et la prolongeant d'une quantité égale à elle-même, l'extrémité 2 ainsi obtenue soit aussi un sommet du polyèdre. FiCs sommets S, 1 seront homologues par rapport au plan PQ.

Définition V. — Nous pouvons maintenant définir m\ polyèdre déforme symétrique, ou, plus simplement, un polyèdre symétrique, celui qui possédera, soit un centre de symétrie, soit un ou plusieurs axes de symétrie, soit un ou plusieurs plans de symétrie. Le polyèdre qui ne possédera ni centre, ni axes, ni plans de symétrie, sera dit asymétrique.

Le terme de polyèdre symétrique est pris ici dans un sens plus étendu que celui qu'on a coutume de lui donner dans la Géométrie élémentaire, oiiTon appelle polyèdres symétriques deux polyèdres distincts disposés symétriquement par rapport à un plan; mais, pour nous, un polyèdre sera dit symétrique lorsqu'il satisfera aux conditions énoncées ci-dessus.

Théorème IIL — S'il existe deux ou plusieurs axes de symétrie, ces a^cs, et les plans de symétrie que le polyèdre pourrait posséder, doivent tous se couper en un même point.

Car le centre de gravité des sommets du polyèdre, supposés également pesants, devra évidemment, par la construction connue des centres de gravité, se trouver sur chacun des axes de symétrie, et aussi sur tous les plans de symétrie du polyèdre.

Définition VL — Le point de mutuelle rencontre des axes et plans de symétrie du polyèdre sera nommé centre de figure du polyèdre. Lorsqu'il existe un seul axe de symétrie, lorsque tous les plans de symétrie passent par