Al
Par conséquent, la somme restant due après n années écoulées est
(I + 0" — (f-E-)" ll()l A„ = A(1+i)» —
Quand z = i, l’équation | i9J prend la forme indeterminee- •
Mais on trouve alors directement, en se reportant a la progression dont la somme fournit le multiplicateur de a dans cette
équation ,
An = A ( l -E iy — '
Au moyen de la formule [19J, on calculerait directement telle ou telle valeur de An des deux tableaux de Gossen (5). En procédant ainsi pour le second, de 10 en 10 ans, et le complétant jusqu’à 80 ans, alors que A=100(XX), a = 3 333.33, i—O. 4 „Q ()Q on trouve successivement pour
An= 100000.))»
— mi —
En comparant ces valeurs à celles qui figurent aussi dans le second tableau de Gossen, on remarquera quelques dilTérences. Elles tiennent à ce que le mode arithmétique de calcul de Gossen, appliqué d’ailleurs avec une approximation médiocre, comporte des écarts qui vont en augmentant d’importance. Toutefois , cette circonstance n’a d’intérêt qu’au point de vue pratique. Au point de vue théorique, qui est le nôtre , le grand avantage qu’il y a à posséder une formule rigoureuse et générale consiste en ce qu’on peut la discuter et étudier ainsi sous toutes ses faces la question du rachat des terres par l’Etat. C’est ce que nous allons faire dans ce paragraphe et dans les suivants.
19. Pour rendre cette discussion tout à fait claire, il faut, dans la formule 1 19J
A,/ — A ( l -f- iy —
( 1 -1- /■ )" — (1 -t- zY‘
considérer A, a, i et r comme des constantes et A « comme une fonction exponentielle de a. On peut alors représenter l’équation par une courbe rapportée à des coordonnées rectangulaires dont les abscisses correspondront aux années écoulées depuis l’achat de la terre et les ordonnées à la. somme restant due à la tin de chaque année. En réalité, les sommes dues étant arrêtées à la lin de chaque année, et les intérêts se composant d’année en année, la courhe est discontinue. Nous substituerons, dans la figure, à cette courbe discontinue une courbe continue passant par les points de variation annuelle.
Ainsi l’équation
A„ = lœooo X 1 .04" — 4000 X-™
correspondante au second tableau, serait représentée par une courbe AN'.
Dans le premier cas, où le fermage initial suffit au paiement des intérêts, la somme empruntée diminuant par amortissement dès la année, la courbe, horizontale jusqu’à la fin de la l’’® année, est décroissante à partir de ce moment. Dans le second cas, où le fermage initial ne suffit pas au paiement des intérêts, la somme empruntée augmentant par emprunts nouveaux avant de diminuer par amortissement, la courbe est successivement croissante et décroissante. Dans les deux cas, elle vient couper l’axe des années écoulées aux points N et N'. Il faut rechercher à quelles conditions il en est ainsi. Dune façon plus générale, il faut se poser ce problème : Rcchet -
cher dans quelles conditions on peut acheter des terres avec des capitaux empruntés en faisant V amortissement des emprunts au moqen du fermage. La discussion de la formule [19], effectuée d’abord au point de vue des circonstances qui permettent à A„ de devenir nul, et ensuite au point de vue des circonstances qui font que A„ est immédiatement décroissant, ou successivement croissant et décroissant, nous permettra de déterminer ces conditions avec beaucoup plus de rigueur et de précision que ne l’a fait Gossen.
20. Le point où la courbe coupe l’axe des années écoulées, correspondant au moment où l’amortissement est tei miné api ès N années, est donné par l’équation
d’où l’on tire successivement
Dans le cas particulier oii r = i, cette valeur prend la forme indéterminée-^. Mais, dans ce cas, la valeur de N pour laquelle A„ = 0 est donnée par l’équation
A ( 1 + i)^ — aN ( 1 + = 0
d’où l’on tire successivement
A ( 1 + iy = O N (1 + ,
21. Trois cas peuvent se présenter d’abord, suivant qu’on a i, z = i ou Z <Ci.
Dans le premier cas, la quantité entre crochets au numéra-
teur du second membre de l’équation 1 21 J devient 1 H ( " — i)-
Elle est positive et >1. Son logarithme est reei ei pus.m. La quantité est également positive et > 1. Son loga-
rithme est également réel et positif. Par conséquent, la valeur de N est toujours réelle et positive quand A et a soni
eux-mêmes réels et positifs.
Dans le cas où z=i, le second membre de l’équation (22] Art 4- i). est toujours réel et positif quand A et a sont eux-
memes reeis ei posuus.
Ainsi : — Dans une société où létaux d’accroissement dn feimage égale ou surpasse le taux de l’intérêt net, on peut acheter des terres à un prix quelconque en faisant l’amortissement du
prix d’achat au moyen du fermage.
Il semble que, dans ces deux cas, il n’y ait aucune condition à la possibilité d’acheter des terres avec des capitaux empruntés en faisant l’amortissement des emprunts au moyen du fermage. Il y en a une cependant. La formule ne tient pas compte de la durée de l’accroissement du fermage , ou , pour mieux dire, elle suppose l’accroissement indéfini. Il est donc essentiel d’ajouter que la durée de l’accroissement du fermage doit être au moins égale au nombre d’années nécessaire pour l’amortissement.
Dans le cas où r est < i, pour que N soit réel , il faut que l’on ait
donne la condition
Et, pour que N soit positif, comme
quantité négative, il faut que logj^l — — (1 — -)Jsoit quatitité négative, c’est-à-dire qu’il faut que l’on ait
aussi une
soit
tv
ce qui a toujours lieu du moment oii i est > r. Par où l’on voit que, dans le cas dont il s’agit, si N est réel, il est en même temps positif, et qu’ainsi : — Dans une société où le taux de Vlntérèt net surpasse le taux d' accroissement du fermage, on ne peut acheter des terres en faisant V amortissement du prix d'achat au moyen du fermage gu'à la condition que le taux du fermage initial soit supérieur à la différence des deux autres taux. Cette condition particulière s’ajoute ici à la condition générale, qui subsiste toujours, que la durée de l’accroissement du fermage soit au moins égale au nombre d’années nécessaire pour l’amortissement. On verra plus tard que ces conditions ne sont pas aussi naturellement remplies que le croit Gossen.
Une contirmation des formules précédentes se trouve en supposant qu’il n’y ait pas de plus-value de la rente, c’est-à-dire que r = 0. L’équation [19] devient alors
= A ( 1 + iy> — a i
et l’équation |2IJ devient
loga — log(rt — Ai) logd -f- i)
formules ordinaires de l’amortissement d’une somme A empruntée au taux de i, pour lequel on paie une annuité de a. La condition pour que N soit réel devient alors
« >■ Ai ;
et en effet, pour pouvoir amortir le prix d’achat d’une terre au moven du fermage, sans accroissement de ce fermage, i faut bien que le montant du fermage constant soit supérieur au montant des intérêts du capital emprunté pour 1 achat, ou, en d’autres termes , que le taux du fermage soit supérieur au taux de l’intérêt. La condition pour que N soit positit devient
alors
ce qui a toujours lieu du moment où A et a sont des quanti-
tés positives. ,
Enlin, : pourrait être négatif. En ce cas, les deux équations
1 19] et [21 1 deviendraient
A„ = A(l-hO“-
et l’inspection de ces torinules fait assez voir à quelle condition l’amortissement est possible. Pour que N soit réel, il faut que
l’on ait
soit
soit
Et pour que N soit positif, comme dans ce cas la quantité
logliZZest négative, il faut que la quantité logri — -(i+?) | 1 -|- ï L ^ J
soit aussi négative, c’est-à-dire qu’il faut que l’on ait
soit
ce qui a toujours lieu quand A et a sont positifs. Il s’ensuit que: — Dans une société on U >j a dbninution et non accroissement du fermage, on ne peut acheter des terres en faisant l'amortissement du prix d’achat au moyen du fermage qu’ci la condition que le taux du fermage initial soit supérieur ci la somme du taux de l’intérêt net et du taux de la diminution du fermage.
Du rachat des terres par l’Etat. Variation de la somme due pendant la période d’amortissement.
22. Après la question de savoir si raniortissenient au moyen du fermage est possible, c’est-à-dire si la courbe de la somme restant due en fonction des années écoulées coupe l’axe horizontal , une question très importante aussi est de savoir si la somme empruntée augmente par emprunts nouveaux avant de diminuer par amortissement, c’est-à-dire si la courbe est croissante avant d’être décroissante. Pour traiter cette question de la manière la plus complète, reprenons l’équation [lO]
(1 + ir — (1 + -y .
et faisons-y successivement »=(), l, 2, 3 et 4, il viendra successivement
Ao=A(l + 3t-H3i2 + i3)— rt
Posons, pour plus de simplicité,
Ao = A ( l + 2i + i-) — « (2 + a) ,
A3 = A Cl -1- 3i + 3i2 -h j3) O (3 4- 3a -P 3) ,
A4 = A ( 1 4- 4i -P 6i- + 4i3 -P b) — a (4 + Ga -P 43 + ï).
Si on se reporte à la loi du développement du binôme de Newton, celle du développement de notre formule devient évidente, et il est clair que, si on pose
[JL= i«+' -1- + ... + == (X + r"+',
il vient
A.=A [i + 2 i+ îî<2^> m- ;>+■••+ i“]
[n , «Cn— 1) , H(n — l)(n- 2) ^
~“Lr+~T2-’+ — r:ïyi — 3 + .- + *j.
A„+,=A[l + 'ipi+
n+2. , (n4-2)(n+l) .J , (u+2Xn+l)H 172 i.2.3 '
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