et, en faisant
Ainsi : — Si le taux de l’intérêt net est supérieur au rapport de l’accroissement initial du fermage à l’excédent initial de» intérêts « payer sur le fermage à recevoir, les augmentations annuelles de la somme due sont croissantes avant d’ètre décroissantes.
Si, comme nous l’avons fait (19), on représente par une courbe continue les variations discontinues de la somme res-
1 aurait dû supposer
tant due à la lin de chaque année, la condition cor-
Al/ ■ et
respond à la double circonstance d’une courbe convexe ou concave par rapport à l’axe horizontal à son point de départ A. La
condition i = - — ~ — correspond à la circonstance d’une
Ai — a
courbe cessant d’être convexe pour devenir concave par rapport à l’axe horizontal à son point de départ, c’est-à-dire à la circonstance d’un point d’intlexion en A. C’est ce qui a lieu quand on pose
Ai- - a (i -f r) ,
et qu’on en tire
A = 1(X) ÜOO, faire a = il aurait eu la
courbe AN" au lieu de la courbe AN' qu’il a eue en supposant
a g 333.3:î. La première courbe aurait eu son point
d’intlexion en A et son point de maximum en M", tandis que la seconde a son point d’intlexion en K' et son point de maximum en M'.
Si l’on voulait qu’à un moment donné l’excé(^ent cessât de s’accroître, il faudrait poser généralement
comme le fait Gossen pour obtenir son prix limite (4). Ainsi la condition posée par Gossen « que l’Etat ne se trouve pas en perte (wenn der Staat keinen Schaden hahen sollj pour la première année » ne signifie pas , comme on aurait pu le croire, « qu’il n’y ait pas d’excédent de la somme due la seconde année sur la somme due la première année, » ce qui impliquerait que
d’où l’on tirerait successivement
comme dans le cas de son 1®’’ tableau et de la courbe AN, mais
TM
rapport intéressant avec la
27. Cette équation est dans un précédente relative aux différences premières.
Supposons d’abord deux prix d’achat, run A tel que la différence première soit nulle après n années, conformément a 1 é-
quation
i itl+0" ' — ■
et l’autre A' tel que ce soit la différence seconde qui soit nulle aorès n années, conlormément a 1 équation
on voit tout de suite que
lé.
•Ariteâ
différence première soit nulle après m années, conformément à l’équation
et que la différence seconde soit nulle après A- années, conformément k l’équation
a (\ + if -Z- (\ -{-jf
On a, dans ces conditions,
a ^,((l + iV"-c(l + r)'" « ^J‘^(l + if-z^{U-zf
ii ( \ + iy»+i,- :i ( I + ; )A- (1 +r )'» = (1 -|- i ( I + 0"* < I + '
(m — A)log -j— ^ — =log-^,
log —
log-
d’où il suit que ; — Le nombre d’années qui s’écoule depuis le moment où l’excédent des intérêts à paijer sur les fermages à recevoir cesse de s’accroître jusqu’il celui ou il devient nul ne dépend que du taux de l’intérêt net et du taux d accroissement du fermage. Autrement dit, la distance horizontale du point d’inflexion au point de maximum des courbes est la même quel que soit le rapport du prix d’achat au fermage initial.
Dans les deux courbes AN', AN", cette distance k'm' = ON est
Ifjor
(1a — *1 / ••jO»
lOO' *
Cette distance m — k dn point d’intlexion au point de maximum dans les courbes AN, AN', AN" de la Fig. 2 est, comme on voit, la même que la distance m - k du point d’inflexion au point de maximum dans les courbes AM, A'M', A"'M'" de la Fig. 1. Cette circonstance met dores et déjà en évidence 1 identité des courbes d’amortissement et des courbes de variation du prix normal ; mais nous laisserons cette identité de côte
pour y revenir dans un instant.
!28. Si l’on pose
alors -/-A„+i devient
.-3)p fS - ci) -H ... +
Cette quantité étant essentiellement négative quand c est positif, il s’ensuit que : — Dès que l’excédent des intérêts ù payer sur les fermages à recevoir a cessé de croître, il commence
à décroître.
Impossibilité de V amortissement en cas de paiement du
prix normal.
29. La discussion de la formule [19] de la somme restant due en fonction des années écoulées
A„ = A(1 -Fi)" — a
(1 -F ir — f l +
nous a fait reconnaître certaines conditions de rapport entre A et a pour que l’amortissement du prix d achat au mo\en du fermage soit possible. Et, d’autre part, la discussion de la foi mule [1 1 ou [2]
a az . ,(1-F i )"' — (! + -r i -FiV" i — -
a . .i(i-Fir — +
a mis en évidence certaines conditions de rapport entre A et a quand on paie le prix normal. Il s’agit de savoir si ces dernières conditions permettent aux premières dêtre fréquemment
et facilement remplies. Or, au premier coup d’œil, on voit qu’il n’en est pas ainsi.
(( Dans une société où le taux de l’intérêt net surpasse le taux d’accroissement du fermage, c’est-à-dire dans le cas de r positif et •< i, on ne peut acheter des terres en faisant l’amortissement du prix d’achat au moyen du fermage qu’à la condition que le taux du fermage initial soit supérieur à la différence des deux autres taux (21 ), » soit si l’on a
Mais, d’autre part, « En cas de plus-value perpétuelle de la rente, et quand le taux de la plus-value est inférieur au taux du revenu net, le taux du fermage qui résulte du prix normal est égal à la différence du taux du revenu net et du taux de la plus-value (11), » soit
(( Dans une société où il y a diminution et non accroissement du fermage, c’est-à-dire dans le cas de r négatif, on ne peut acheter des terres en taisant l’amortissement du prix d’achat au moyen du fermage qu’à la condition que le taux du fermage initial soit supérieur à la somme du taux de l’intérêt net et du taux de la diminution du fermage (21), » soit si l’on a
Mais, d’autre part, « En cas de moins-value perpétuelle de la rente, le taux du fermage qui résulte du prix normal est égal à la somme du taux du revenu net et du taux de la moins-value ( 11), » soit
11 y a donc contradiction entre les conditions d’amortissement du prix d’achat au moyen du fermage et les conditions de
prix normal dans le cas de plus-value perpétuelle quand le taux de la plus-value est inférieur au taux de l’intérêt et dans le cas de moins-value perpétuelle. Quant au cas de plus-value perpétuelle quand le taux de la plus-value est supérieur au taux de l’intérêt, le prix normal étant alors inlini, il ne saurait y avoir d’amortissement. Par conséquent; - QiuuvI on p>ne le prix normal, U est impossible de faire l'amortissement du prix d'achat au moi, en du fermage ni dans le cas de plus-value ni dans celui de moins-value perpétuelle. Restent les cas de plus-value et de moins-value temporaire ; mais il est tacile de faire voir, par une démonstration générale vraiment remarquable, que, dans ces cas aussi, il est impossible de taire amortissement du prix d’achat au moyen du termage quand on
iiaie le prix normal.
:t0. Soit une terre dont le fermage initial a est susceptible de s’accroître de r fois son montant par au pendant m années, qui a été achetée au moyen d’une somme empruntée au taux courant de i, et qui a été payée au prix normal. La somme due en principal et intérêts, au bout de n années de plus-value, est, conformément à la tormule j Ih],
, prix normal, est donné par 1 équation |2]
‘ “To+Tr *
Oi-, en ponant cette valeur ,1e A dans l'équation précédente, il vient successivement
r i ( 1 + i — ~lL±i^n ( 1 4- i )"
P i iyi>+» — : (1 -H ( 1 -j- D'* ( 1 iV ('1 +^"j
'* [ ïTl i)'" ( i — : ) ^ ' J
a ( l + r)” ^ ? (1 + iy»-n — r (i + z)'"-»'
soit
