CHAPITRE XIX

Analyse des opérations de l'esprit sur les idées de quantité.

es idées des nombres sont susceptibles de subir toutes les opérations que l'entendement exécute sur les idées objectives. Comme celles-ci, on peut : i° les composer et les décomposer de toutes manières; 2° les abstraire et les généraliser de plus en plus; 3° observer leurs rapports et les conditions de leur égalité; 4° déterminer la valeur inconnue d'une quantité au moyen de quantités connues en rapport avec elle, ou raisonner.

Et d'abord, on peut les composer et les décomposer de trois manières différentes. On les compose en les associant entre elles, ou en ajoutant chacune d'elles à ellemême plus ou moins de fois, ou en les élevantà plusieurs degrés de puissance; on les décompose ensuite en les diminuant d'une ou deplusieurs unités, ou en les résolvant en deux facteurs, ou en les réduisant au principe de leur puissance. Et telle est la nature de ces idées et du procédé employé dans ces opérations, que, quelle que soit la combinaison dans laquelle elles se trouvent engagées, ou quel que soit le retranchement qu'on leur ait fait éprouver, on peut à volonté les désassocier, dans le premier cas, ou, dans le second, les réintégrer dans leur premier état, sans craindre d'y avoir fait aucune altération.

Les idées objectives ne se ressemblent que par quelques points communs, parce qu'elles sont composées

mi

— 3 79 — d'éléments différents de nature ou variables eux-mêmes, suivant le genre de leurs combinaisons. De telles idées ne peuvent qu'être rapprochées les unes des autres: la combinaison de leurs éléments les confondrait toutes au point qu'on ne pourrait plus les retrouver au besoin. Il n'en est pas de même des idées des nombres : celles-ci ont pour élément commun l'unité, pour principe générateur la répétition plus ou moins nombreuse de cet élément; et, de plus, tous leurs éléments sont inertes et ne se pénètrent pas. Puisqu'elles sont composées d'éléments identiques et inertes, elles rentrent donc l'une dans l'autre, elles se renferment l'une l'autre, et elles ne peuvent différer entre elles que du plus au moins. On peut donc non seulement les rapprocher, mais les fondre en une seule idée totale, confondre leurs éléments, les combiner entre eux, et être assuré qu'on aura une idée collective parfaitement identique aux idées partielles prises ensemble, et d'où l'on pourra les déduire intégralement sans préjudice pour aucune.

Si la nature des idées des nombres se prête entièrement à toutes les combinaisons ou décompositions qu'on peut en faire, le procédé que l'on suit dans l'une et l'autre opération y est encore plus favorable.

Veut-on, par exemple, fondre en une seule idée collective plusieurs idées composées de nombres sans crainte de se tromper, le résultat est assuré, si l'on opère en suivant l'ordre de leur génération, c'est-à-dire en commençant par les unités, puis par les dizaines, et successivement par les centaines, les mille, etc. Il est d'abord facile de réunir les unités simples de ces nombres jusqu'à concurrence de dix, parce que le résultat d'une pareille réunion est l'objet d'une perception immédiate de l'es-

prit; puis de continuer à former de semblables faisceaux, que l'on considère comme des unités d'une autre espèce, jusqu'à ce qu'on ait épuisé les unités simples, et qu'il ne reste que ce qui ne peut pas compléter une dizaine. Mais si l'on fait attention que les dizaines, les centaines, les mille, etc., ne sont aussi que des unités de divers ordres qui suivent les mêmes lois que les unités primitives, et ne peuvent s'élever au delà de neuf sans devenir une unité d'un ordre supérieur, on reconnaîtra qu'il n'est pas plus difficile de réunir en faisceaux de dix les unités de chaque ordre, qu'il ne l'a été pour les unités simples : car c'est toujours la même opération qu'on répète partout.

On voit que c'est à l'institution de divers ordres de signes, d'une valeur décuple les uns au-dessus des autres, et à la parfaite correspondance des unités de chaque ordre, que nous devons cet avantage de n'avoir besoin que d'un seul et même procédé pour réunir une foule d'idées plus ou moins composées, et d'avoir réduit le travail qu'on doit faire sur les nombres de l'ordre le plus élevé à celui qu'on exécute sur les dix premiers.

C'est par le même procédé que l'on multiplie ou qu'on élève un nombre à divers degrés de puissance. Car multiplier, t'est répéter un nombre une ou plusieurs fois et l'ajouter autant de fois à lui-même ; et élever un nombre à ses puissances, c'est l'ajouter d'abord à lui-même autant de fois qu'il a d'unités, puis répéter son produit autant de fois encore que le nombre générateur a d'unités, et ainsi de suite. On peut sans doute expédier ce travail par des méthodes abréviatives ; mais toutes ne sont, au fond, que des additions déguisées.

Si un nombre ne s'accroît que par des répétitions successives de l'unité ou de lui-même, il ne peut décroître ou

wmm

— 38t — se décomposer que par des défalcations correspondantes. Tout nombre composé peut être considéré comme une somme, ou un produit, ou une puissance. Dans le premier cas, si on veut le faire revenir à son premier état, il faut retrancher ce qu'on y a ajouté. Dans le second, si on veut le rappeler à son nombre générateur, il faut en soustraire celui-ci autant de fois qu'il y a été ajouté, ou, ce qui revient au même, diviser le produit par ce nombre de fois. Dans le troisième cas, si on veut le réduire au principe de sa puissance, il faut en retrancher ce principe autant de fois qu'il a fallu l'ajouter à lui-même pour l'élever à ce degré de puissance. Généralement donc, pour décomposer les idées des nombres, il faut suivre une marche inverse à celle du mode employé dans leur formation.

2° Quoique les nombres soient des idées abstraites, on peut encore les abstraire et les généraliser de plus en plus : car, en les considérant de plus près, on observe qu'ils renferment tous une idée de quantité déterminée, et qu'ils ne diffèrent entre eux que par la détermination. Or, une idée qui appartient également à tous les nombres était bien convenable pour les représenter tous également. On a, en conséquence, détaché des nombres cette notion commune, en la dépouillant de ce qu'elle a d'individuel dans chacun d'eux, et on en a fait une idée abstraite, générale, qui est devenue l'élément générateur d'un nouveau calcul, où toutes les quantités déterminées peuvent être exprimées par un même signe, puisqu'il emporte avec lui une idée commune à toutes.

En voulant établir ce calcul, on s'est aperçu, dès le premier pas, qu'une quantité quelconque pouvait être asso-

ciée à une ou plusieurs autres différentes d'elle, et qu'alors on n'aurait pu les distinguer les unes des autres en leur donnant le même signe. On a donc eu recours à plusieurs signes qui, quoique applicables, comme le premier, à toutes les quantités déterminées, se restreindraient néanmoins mutuellement lors de leur association entre eux, et n'indiqueraient chacun que des quantités différentes de celles des autres.

Parmi les quantités que l'on a eu besoin de désigner, il en est dont la valeur est inconnue. Pour les distinguer de celles dont la valeur est connue, on a fait emploi d'autres signes, qui comprennent également dans leur généralité toutes les quantités inconnues, mais qui, dans leur association, se restreignent aussi mutuellement et n'indiquent que des quantités inconnues différentes les unes des autres. Ce sont les premières lettres de l'alphabet qui ont été choisies pour désigner les quantités connues, et les dernières ont été réservées pour les inconnues.

Les quantités peuvent se modifier entre elles ou ellesmêmes de plusieurs manières : elles peuvent, comme on sait, s'associer ou se séparer, se répéter elles-mêmes ou se simplifier, en se démultipliant, et s'élever à une puissance ou se réduire à leur principe générateur. Or, ces fonctions étant communes a toutes, quoique les résultats en soient différents pour chacune d'elles, on a senti qu'en indiquant les fonctions par des signes, ceux ci seraient applicables à toutes les quantités, et que par leur moyen on pourrait n'indiquer que leurs fonctions, au lieu d'en exprimer les produits. Par cette opération, on a donné à la langue du calcul plus de rapidité et de concision, et à l'esprit plus de force et d'étendue, en ce qu'il n'a plus à s'occuper que de signes.

I^HHHI

Après avoir envisagé les nombres sous l'idée générale d'une quantité déterminée, et, par elle, avoir donné naissance au calcul algébrique, on a voulu examiner cette idée, abstraction faite de toutes limites déterminées, et, en la considérant ainsi, on s'est élevé à l'idée plus générale encore d'une quantité universelle ou indéterminée, susceptible d'accroissements ou de décroissements également indéterminés, mais conformes à la loi de continuité, lesquels n'ont d'autres bornes que les limites indéterminées de l'infini ou du néant, et qui'sont devenus les principes générateurs d'un calcul transcendant au moyen duquel on sonde l'infini et on le résout dans ses derniers éléments.

3° Après s'être fait, par des abstractions successives, des idées générales de quantités déterminées et indéterminées, et avoir épuisé toutes les manières possibles de les combiner entre elles ou de les résoudre en leurs éléments, l'entendement cherche à les comparer pour apercevoir leurs rapports. Or, on peut comparer les quantités avec leur commun générateur ou les unes avec les autres.

Si l'on confronte les quantités avec leur commun générateur, comme ces idées sont toutes composées d'éléments identiques ou d'un même élément pris un certain nombre de fois, on trouve : i° qu'elles ne diffèrent de cet élément que par le nombre; 2° qu'elles le contiennent plus ou moins de fois; 3° qu'en l'ajoutant à lui-même autant de fois qu'il y est compris, on forme des quantités parfaitement identiques à elles. On peut donc tirer trois rapports de la comparaison d'une quantité avec l'un de ses éléments ou avec tous pris ensemble : rapport de différence, rapport de compréhension et rapport d'identité.

Les idées de quantité n'étant que des répétitions plus ou moins nombreuses d'un même élément qui leur sert de mesure commune et rentrant toutes plus ou moins l'une dans l'autre, on conçoit qu'elles doivent offrir entre elles les mêmes points de comparaison. Puisqu'elles varient par la quantité des éléments, elles doivent, en effet, différer l'une de l'autre, mais ne différer que de nombre à nombre; puisqu'elles rentrent l'une dans l'autre, elles doivent se contenir un certain nombre de fois ou jusqu'à une certaine quotité. On peut donc aussi les ramener toutes à l'égalité en ajoutant à l'une ce dont elle diffère de l'autre, ou en la prenant elle-même autant de fois qu'elle y est comprise, et reproduire ainsi une même quantité sous mille formes différentes.

Une quantité peut être comparée successivement avec les autres et former autant de rapports différents. Chacune d'elles peut donc soutenir une infinité de rapports. Deux quantités, comparées sous le rapport de leur différence, peuvent être augmentées ou diminuées d'une même quantité sans changer de rapport. Si on les envisage sous celui de leur compréhension, on peut aussi les multiplier ou les diviser par une même quantité sans altérer leur rapport. On peut donc donner mille formes différentes à l'expression d'un rapport. On peut ajouter ensemble plusieurs rapports de différence ou les retrancher l'un de l'autre pour obtenir des rapports plus considérables ou plus petits; on peut combiner de bien plus de manières encore les rapports de compréhension : car on peut les soustraire l'un de l'autre ou les ajouter ensemble, les diviser ou les multiplier l'un par l'autre, les réduire à leurs racines ou les élever à leurs puissances, et obtenir ainsi des rapports plus simples ou plus composés.

MM

Or, ces rapports, dont le nombre est inépuisable, on les compare entre eux pour apercevoir dans les uns leur identité, et dans les autres les conditions de leur égalité On met ensuite en regard ces rapports égaux ou rendus égaux, et, par une certaine combinaison de leurs termes deux à deux, on les transforme en des quantités égales On nomme proportion le jugement que l'on porte ainsi sur deux rapports égaux, et équation celui qui énonce la transformation de leurs termes en deux quantités égales.

Concluons donc que la troisième opération de l'esprit dans le calcul consiste : i° à comparer les quantités entre elles, pour découvrir leurs rapports de différence ou de compréhension et juger ce qui manque aux unes pour être égales aux autres; 2 ° à modifier, combiner et comparer ces rapports, pour découvrir leur identité ou les conditions de leur égalité; 3° à chercher ensuite une combinaison de leurs termes qui conduise à des valeurs identiques. Le terme final de la recherche et de l'étude de tous ces rapports est donc d'assigner aux quantités les conditions de leur identité.

Un