CHAPITRE XX

Quatrième opération de l'esprit sur les idées de quantité ou du raisonnement mathématique.

e but de tout raisonnement est de chercher à connaître ce qu'on ignore par le moyen de ce que l'on sait, d'aller à l'inconnu par le connu. Le but spécial du raisonnement mathématique est de déterminer la valeur d'une ou de plusieurs quantités inconnues par leur connexion avec des quantités connues. Le raisonnement mathématique suppose donc que l'énoncé de ce qui est inconnu emporte avec lui la connaissance de quelques-uns de ses rapports avec des quantités connues ou des conditions qui le mettent en rapport avec elles : car autrement l'inconnu serait indéterminable.

Pour former un raisonnement logique, deux choses sont requises : établir un principe ou remonter par analogie à un jugement général constamment vérifié par l'expérience, et qui soit en rapport avec l'objet cherché, et en déduire par conséquence, un ou plusieurs jugements particuliers dont l'évidence était cachée. Il en est de même pour le raisonnement mathématique : il faut, au moyen des rapports connus de la quantité dont on ignore la valeur, avec des quantités connues, ou par l'emploi des conditions qui lui sont assignées dans l'énoncé du problème, il faut, dis je, trouver deux quantités composées égales entre elles, et dont l'une d'elles au moins comprenne l'inconnue, pour en former un jugement ou

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— 38 7 — une équation provisoire, à laquelle l'inconnue concoure, et se servir ensuite de cette équation pour parvenir, au moyen de diverses transformations qu'on lui fait subir, à une équation finale, où l'inconnue supporte seule le rapport d'égalité avec des quantités connues, c'est-à-dire à un jugement qui donne la valeur de l'inconnue.

Il y a quatre sortes de données que l'énoncé de la question peut renfermer, et qui servent également à la détermination de l'inconnue : par la première, il indique de combien l'inconnue diffère d'une quantité connue, ou combien de fois elle y est comprise; par la seconde, il assigne les conditions de son égalité, ou, ce qui est la même chose, l'identité de l'une de ses fonctions avec une ou plusieurs quantités connues; par la troisième, il fait connaître l'identité de deux de ses fonctions entre elles, et par la quatrième, les conditions qui peuvent rendre deux inconnues respectivement égales l'une à l'autre.

Lorsque l'énoncé renferme un rapport direct de l'inconnue avec une quantité connue, il suffit, pour en tirer une équation, de mettre en proportion les deux termes de cette raison avec deux autres quantités connues qui aient entre elles le même rapport, et de combiner ensemble les termes opposés des deux rapports pour obtenir deux produits égaux, dans l'un desquels l'inconnue se trouve engagée. Lorsque la désignation ne contient, au contraire, que des conditions qui doivent conduire à des rapports d'égalité, soit entre l'une des fonctions de l'inconnue avec des quantités connues, soit entre deux de ses fonctions, soit entre deux inconnues, il paraît, au premier aspect, qu'il doit être très facile de mettre en équation des quantités qui sont conditionnellement identiques, et cela serait effectivement, si cette identité

était manifeste. Mais il n'en est pas ainsi : car souvent ces rapports sont si cachés et tellement enveloppés dans le langage qui les exprime, que ce n'est qu'avec une sérieuse attention et une grande sagacité qu'on parvient à trouver la manière dont les conditions données peuvent former une égalité entre deux quantités. Aussi est-ce dans l'art de mettre en équation une question à résoudre que consiste essentiellement le génie du calcul.

De même que, pour bien raisonner dans les choses sensibles et morales, le point le plus important est de bien assurer ses principes, et que rien n'estplus facile ensuite que d'en tirer des conséquences, c'est-à-dire d'extraire d'un jugement général les jugements particuliers qui s'y trouvent renfermés : de môme, dans le raisonnement mathématique, le point capital est de mettre en équation l'énoncé du problème, en cherchant dans les données les conditions de l'égalité de l'inconnue avec les quantités connues. Une fois cela fait, il ne s'agit plus, pour en déterminer la valeur, que de faire subir aux deux membres de l'équation différentes transformations sans altérer leur identité, et de manière à dépouiller successivement l'inconnue de ses fonctions jusqu'à ce qu'elle se trouve seule en rapport d'égalité avec une-quantité connue.

Quoique les transformations à l'aide desquelles on arrive à la résolution d'une équation ne soient, dans la réalité, qu'une suite d'opérations pour ainsi dire mécaniques qu'on exécute sur les signes des quantités, il est important de faire connaître le principe qui leur sert de fondement, parce que c'est de là que le raisonnement tire toute sa vertu concluante.

On opère la transformation d'une équation en faisant éprouver à ses deux membres un même changement,

— 38q — c'est-à-dire en les augmentant ou en les diminuant d'une même quantité, en les multipliant ou en les divisant par le même nombre, en les élevant au même degré de puissance ou en en extrayant la même racine. Or, ces modifications ne changent rien au rapport des deux membres, quoique leur valeur change réellement à chaque fois qu'on leur en fait subir une : car des quantités égales que l'on augmente ou qu'on diminue également restent toujours égales. A chaque fois que l'on transforme uneéquation, il en résulte donc deux nouvelles quantités qui doivent être entre elles dans le même rapport que les premières qui leur ont donné naissance ; et, comme cellesci étaient identiques, on est forcé de reconnaître l'identité des autres, quoiqu'elle ne se voie pas immédiatement.

Puisque les transformations semblables de deux quantités qui sont entre elles dans un rapport connu, ne conduisent par elles-mêmes qu'à trouver deux nouvelles quantités dans le même rapport entre elles que les deux premières, et que c'est la nature du rapport de celles-ci qui détermine celle du rapport des secondes, n'est-on pas autorisé à dire que le raisonnement mathématique n'est fondé que sur l'induction, mais sur une induction évidente ? De l'identité connue de la première équation, ne conclut-on pas, en effet, l'identité de toutes ses transformations consécutives en formant ce raisonnement-ci ?

Un même changement opéré sur deux quantités en rapport entre elles produit deux nouvelles quantités dans le même rapport que les précédentes. Or, les premières sont identiques : donc les dernières le sont aussi.

Ainsi, tandis que par le procédé mécanique du raisonnement dans le calcul, d'une première équation trouvée, et dont une inconnue fait partie, on en fait dériver suc-

— 3go — cessivement plusieurs autres qui, sans interrompre leur filiation, conduisent à l'équation propre de l'inconnue; Le travail réel de l'esprit dans cette opération consiste à partir d'un premier jugement dont le rapport d'identité est assuré, et dans lequel figure l'inconnue que l'on cherche, pour passer de celui-ci à d'autres jugements dont l'évidence ne repose que sur l'égalité de leur rapport avec celui du premier, et par eux aboutir à un jugement final de l'inconnue, dont l'identité avec une quantité connue n'est fondée, comme celle des précédents, que sur l'évidence du premier jugement. En définitive, le raisonnement mathématique n'est donc qu'un enchaînement d'inductions qui conduisent à la détermination d'une quantité inconnue, par une suite de jugements d'identité inférés de l'égalité de leur rapport avec celui d'un premier jugement dont l'évidence est reconnue.

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