DANS LES CORPS EN MOUVEMENT

[uant à la série D, ordonnée suivant les puissances laégalives de t'w% la substitution de w' à « n*y introluit que des variations négligeables, c'est-à-dire beau- :^up plus petites que le produit de son terme principal et constant D^, par le rapport de V à «'. On peut lui conserver la valeur. (3) et y substituer même, à l'inverse de t, l'expression très-peu différente

Les formules (3) et (4) deviennent ainsi

La seconde (6) donne lieu à une deuxième approximation, c'est-à-dire, en y négligeant les termes de l'ordre de V%

Le premier terme du second membre de (7) est la valeur de la vitesse avec laquelle se propageraient, à travers le corps supposé immobile, des ondes pour lesquelles la période de vibration, au lieu d'être t, serait T : représentons-le par F L-p j • Cette valeur, en négligeant la dispersion ou, ce qui revient au même.

en y faisant T un peu grand, se réduit à 4 / — —

8o TRANSMISSION DE LA LUMIÈEB

et son rapport à la vitesse i /- de la lumière dans

l'éther libre, rapport égal à y / — ^— t' «*' Tinverse

de l'indice N de réfraction du corps, abstraction faite de la dispersion. Il en résulte que la relation (7) peut s'écrire

(8) «'=<F)-(-iî.)v'.

11 ne reste plus, pour la traduire en langage ordinaire, qu'à chercher ce que représente la quantité T déûnie par la formule (5). Concevons, pour cela, un observateur qui participerait au mouvement du corps transparent, et par rapport auquel les ondes seraient par suite animées d'une vitesse de propagation égale à w'— V. Cet observateur verrait passer à côté de lui, dansTunilé de temps, un nombre d'ondes égal au quotient de w'— V par la longueur d'onde t«', c'est-à-dire justement à l'inverse de T, et T représenterait pour lui la durée de vibration.

La formule (8) équivaut donc à la loi suivante : Lorsqu^un corps transparent, isotrope-symétrique, se transporte dans l'espace avec une "vitesse dont le rap^ port à celle de la lumière est très-petit et a son carré négligeable, la vitesse de propagation des oncles lumineuses qui le traversent est sensiblement la somme : 1° de la vitesse avec laquelle se propageraient, à travers le même corps supposé en repos, des ondes lumineuses ayant, pour un obserpateur placé sur le corps, la même période apparente de vibration que celles

DANS LES CORPS EH MOUVBHBNT. 8l

fjï^on étudie; et 2° du produit de la vitesse translatoire du, corps y estimée dans la direction suivant laquelle progressent les ondes, par Vexcès, sur l'unité, élu carré de l'inverse de son indice de réfraction relatif a des radiations d'une longueur d*onde assez grande four {jue l'influence de la dispersion y soit insensible. Cette loi de M. Boussinesq diffère de celle de Fresnel, exprimée par la formule (i), en ce que, dans la partie principale u du second membre de celle-ci, la durée de la vibration est remplacée par sa valeur ap* parente T, ce qui augmente à fort peu près cette partie

de — ^ ^/' Y'. D'autre part, M. Mascart a été conduit par ses observations à une formule pareille à (8), mais dans laquelle il désigne par N l'indice de réfraction relatif à des ondes de période r ou T ; ce qui revient à ajouter encore à l'expression de ta' la quantité

^ !lj?' V', plus petite que le terme correctif précédent dans le rapport de N' à i (soit de 4 à i pour N= a). Ces observations prouvent-elles l'existence du second terme correctif? Si elles avaient atteint une précision suffisante pour cela, il faudrait en conclure que les vitesses translatoires de l'éther traversé par un corps en mouvement ne sont pas entièrement négligeables, en comparaison de la vitesse de la lumière, }u encore que l'élasticité et la densilé de cet éther iiffèrent un peu de celles de l'étber libre.

Les formules qui précèdent représentent la propagation des ondes lumineuses dans l'éther traversé par m corps en mouvement. Les déplacements vibratoires

8a TRANSMISSION DB LA LUHIÈliB

Uy p, w de réther, et ceux /<,, p^^ w^ de la matière pondérable sont rapportés à un système d'axes rectangulaires des .r, /, Zy fixes par rapport au milieu étbéré, de manière à obtenir les directions et les vitesses de propagation des rayons, telles que les percevrait un observateur non entraîné avec le corps. Or, quand on étudie Tinfluence du mouvement de translation de la Terre sur des phénomènes lumineux produits à sa surface, l'observateur, le corps transparent et même, en général, la source de lumière n'ont aucun mouvement relatif et possèdent, par rapport à Téther, une vitesse commune, dont on peut désigner par Y,, V,, Vs les composantes suivant les trois axes; il est alors plus avantageux de rapporter les déplacements à un système d'axes des a/, /', z', parallèles à ceux des jT, jK) Z) mais animés de ce mouvement, ou, ce qui revient au même, de supposer l'observateur, la source et le corps transparent en repos, tandis que l'éther serait emporté avec une vitesse égale et contraire {—V,, — Vj, — V3). Si Ton admet que, pour f = 0, l'origine des coordonnées x\ y, z' coïncide avec celle des coordonnées x^ y, a, et si l'on observe que les composantes V,, Vj, Vj de la vitesse relative de translation peuvent être supposées constantes pendant un intervalle comparable à la durée d'un grand nombre de vibrations, on aura, entre ces coordonnées, les relations simples

et les déplacements vibratoires «, p, wf, «„ p^, «;„ fonctions de x^ /, 2, r, deviendront des fonctions de

DANS LES CORPS Bit MOUYBMBNT. 83

x',/, z\ t\ en accentuant provisoirement là variable il^t. Leurs dérivées se transformeront, par suite, au moyen des formules symboliques

,dt~dt' 'dx' 'dy "^'dzf'

et la première des trois équations indéfinies du mouvement, établie dans le travail cité plus haut (Journal de Uoupille)f

d'u (d ^. d ., d , dy

^^'dP^^\dt-^'^^di-^'^^Ty-^'^^dz)"^^

où )., |x, p désignent les deux coefficients d'élasticité et la densité de Féther, p, la densité de la matière pondérable, ô la dilatation cubique ^"~^ ^"*~^ <i6

JJ J2 ^j

l'éther, A, l'expression symbolique ^^ + j~3 "•- j-j> deviendra

'*^' (d ., d ^ d ^ dy d'u,

Substituons, dans cette équation et dans les deux autres analogues, les valeurs de «, v, ^, et par consé-

84 TBANSMIS9I0N DE LA LUMIÀRB

quent celles de Up f^p ^p qui correspondent à un système d'ondes planes, dont la normale fait avec les axes des angles ayant les cosinus m, n, /?, et pour lesquelles nous appellerons T la période vibratoire apparente, c'est-à-dire l'intervalle de temps qui séparera les commencements des deux vibrations consécutives imprimées par Téther à une molécule des corps transparents considérés. Ces valeurs seront les parties réelles de trois intégrales simples proportionnelles à l'exponentielle

aie/ mx'-hny'-^pz' \^^

6)' désignant la vitesse de propagation apparente ou par rapport à un observateur lié aux axes des x'j y, z', A cause de cette proportionnalité, on aura

tit 'M ^^df ^'dz'

\ w' ) dt

et, si l'on appelle V la composante V, w -+- V,/? -f- V^/?, suivant la normale aux ondes, de la vitesse translaloire, l'équation (3) pourra s'écrire

(5) (^-bf^),i^ + P^.«=p(^^^-;?) -dP^-?^-^^

Elle ne diffère de celle qu'on obtiendrait, si le corps était fixe, qu'en ce que la densité p de l'éther y est

multipliée par l'expression lu — ,\ • Observons