AUTOUR DU SOLEIL
g I. -^ |tfoavem«nt abaoln, non troublé, des eorposoulas, déduit de leur mouvement ap|>arent.
32. — Si robservalion pouvait donner avec exactitude la vitesse relative apparente *', à l'aide de l'équation (47) que nous venons d'obtenir, rapprochée de Téquation (19)
on pourrait déduire de *' la vitesse relative 9, résultant du mouvement de la Terre et de celui des corpuscules non troublés. Puis en suivant une marche analogue à celle qui a donné l'équation (11), entre 9 et W,, on conclurait, de la vitesse relative 9, la vitesse absolue W, avec laquelle les corpuscules parcourraient, en dehors de l'action de la Terre, le point de leur orbite où nous les observons.
Mais nous avons vu que l'incertitude qui régnera toujours sur la valeur de *', engagera plutôt h demander "W, à des calculs basés sur une hypothèse relative à la forme de l'orbite, et à en déduire 9, puis * et *' par les équations que nous venons de rappeler.
33. — 11 n'en sera pas ainsi du point de radiation, car on peut l'observer avec une exactitude suilisante, pour qu'il y ait utilité à faire subir à ses coordonnées les corrections résultant des effets de l'attraction de la Terre et de la réfraction, corrections données par les
équations (30) ou (32), (33), (35) et (36), et même les corrections dues à la rotation de la Terre, et qui sont données par les équations (M) et (45). Les équations rappelées supposent connus la distance zénithale et l'angle horaire du point de radiation, mais nous avons vu, au no 29, comment on peut les déduire de l'ascension droite et de la déclinaison observées.
Avec les coordonnées ainsi corrigées, et au moyen des formules (8), (9), (10), (12), (13) et (14), qui tiennent compte de la vitesse de translation du centre de la Terre, on obtiendra les coordonnées du mouvement absolu des corpuscules, c'est-à-dire du mouvement qui aurait lieu sur leur orbite, à la distance du Soleil à laqueUe ils ont été observés, et loin de toute cause perturbatrice.
Ce sont ces éléments du mouvement absolu non troublé que nous allons employer dans les recherches suivantes. Nous conserverons, pour les désigner, les mêmes lettres que pour les éléments provisoires, mais nous y ajouterons un double accent.
§ n. — Longitude du nœud ascendant, inclinaison de l'orbite
et sens du mouvement.
34. — Soient (Fig. 6) la Terre; OT la direction suivie par son centre, de vers T; S la position du Soleil; Y le point équinoxial du printemps ; YTS' Técliptique ; n son pôle ; CO la direction du mouvement absolu des corpuscules, de C vers 0; L« = YT, L« = YS' et L/ = YC les longitudes du point T, du Soleil et du point G, puis Ac" = ce la latitude de ce dernier point.
La direction CO est une tangente, en 0, à l'orbite plane que décrivent les corpuscules autour de S ; le plan de cette orbite passe donc par OC et par S, et il coupe,
Técliplique suivant OS' et la sphère céleste suivant le grand cercle S'C. Par suite OS' est la ligne des nœuds.
Soit Ln la longitude du nœud ascendant; cherchons sa valeur. Sur la figure, où G est au nord de Técliptique et où, par conséquent, sa latitude a/ est positive, est le nœud descendant et Q le nœud ascendant. La longitude de ce dernier point est égale à celle du Soleil ; on a donc
(*8) Ln = L« pour Xc" positif.
Si G était au sud de l'écliplique, /^c" serait négatif, et serait le nœud ascendant. On aurait donc
(49) Ln = L« ±: 180o pour >c" négatif.
35. — Cherchons l'inclinaison I du plan de Torbite. Cette inclinaison est donnée par l'angle CS'G' du triangle CS'C, rectangle en C, et dans lequel on a S'C'=Lc"— Ln. On aura donc
(50) Tgl = . 'V T r
sin(Lc" — Ln)
Si l'on a égard aux signes de Ac" et de (Le" — Ln), Tgl pourra être positif ou négatif; et, par suite, l'angle I aura des valeurs qui pourront aller de O® à 180^. Ces valeurs seront les inclinaisons comptées entre les parties de Védif tique et de Vorbite que suivent respectivement la Terre et les corpuscules à partir du nœud ascendant.
On reconnaîtra l'exactitude de cette règle en consultant la figure 14-, qui représente les mêmes données que la figure 6, mais avec le Soleil S au centre de la sphère céleste. Dans celte figure, YQA est le plan de l'écliplique, Y le point vernal, QAO l'orbite des corpuscules, et Q son nœud ascendant.
36. — Cherchons le sens du mouvement. Avec la définition que nous venons d'adopter pour l'inclinaison, celle-ci variant de 0® à 180^, il est inulile de spécifier
le sens du mouvement, qui a toujours lieu du nœud ascendant vers la partie de Torbite qui s'élève au-dessus de récliptique. Mais si Ton voulait compter Tinclinaison jusqu'à 90^ seulement, on devrait substituer, aux valeurs de I qui excèdent un quadrant, leurs suppléments r=180o — I; mais, en même temps, il faudrait indiquer le sens du mouvement :
^. j Direct quand .... I < 90o.
^ ^ I Rétrograde quand I>90o.
Nous nous en tiendrons, dans ce qui va suivre, à la première définition de Tinclinaison I.
Pour trouver les autres éléments du mouvement, nous aurons à considérer le cas d'une orbite elliptique et celui d'une orbite parabolique. Nous étudierons ces deux cas successivement.
§ m. — Caloul de divers éléments d'une orbite elliptique.
37. — Soit (Fig. 6) OAQ cette orbite, tracée dans le plan COS'. Nous supposons connu son grand axe AB = 2A, le foyer S, le rayon vecteur OS = f,. Il nous faut déterminer d'abord le périhélie A dont la position est fixée, dans le plan de l'orbite, par l'angle OSA = «,, compris entre le rayon vecteur et le périhélie, et par la distance périhélie SA=:fo. Ces éléments sont fonction de l'angle COS = 9, compris entre la tangente CO et le rayon vecteur SO.
Or 9, est mesuré par l'arc CS', hypoténuse du triangle rectangle CCS' que nous considérions tout à l'heure. On aura donc
/ COSO, = COS >c" COS (Le' — Ln),
m . sin).."
f sinô, = • . - ■.
sinl
SinI étant nécessairement positif, sin8, aura toujours le signe de sia^o".
38. — Mais si j? et 6 sont le paramètre et l'excentricité de l'ellipse, on sait que l'on a la relation
et que l'équation de l'orbite, quand l'origine des a» est au périhélie, est
<04) P=; =- • ou P = T^ -*
* 1 + ecos» ^ i + 6cos»
On sait aussi qu'alors l'angle 6, de la tangente et du rayon vecteur, est donné par l'expression
yw-v r« * ^ +CC08»
eBinm
De cette dernière on tire
I __ 1 + Tg*e 2(l+eco8fl>) — (l-^O sin'O"" Tg*e "^ (4+ecos«)* '
OU
sin'6 l+ecos»\ 4 + ecos»/ A(l — e*)V A/'
d'où, en remplaçant f et 9 par les valeurs particulières f . et 9.
De là on tirera la valeur de Vexcentricité e; puis on aura celle du paramètre p par la formule (53).
Enfm on aura, pour la distance périhélie
(57) fo = A(l— e).
39. — L'angle OSA = û>,, qui fixe la position du périhélie dans le plan de l'orhite, se tire des équations (54)
et (^) qai donnent, en mettant •, et ; , pour «et ;
En discolanl les deniières formules, on verra que, si l'on prend pour «, la grandeur qui correspond aux signes de son cosinus et de son sinus (ce dernier, ideolique à celui de cotgO.), tf, sera toujours compté, à pariir du périhdie et dans le sens du mouvement. De sorte que, si l'on a égard à cette valeur, plus petile ou plus grande que iSO^', et à la direction du mouvement en 0, on verra si le périhélie est au nord ou au sud de l'écliptique.
40. — Hais habituellement, c'est par sa longitude que l'on fixe la position du périhélie. Pour obtenir celle-là, considérons la figure 14 qui représente, nous l'avons déjà dit, les mêmes données que la figure 6, mais avec le Soleil au centre de la sphère céleste. A est le périhélie. Sa longitude, mesurée dans l'écliptique, serait l'arc YQA'; mais, quand il s'agit des éléments des orbites, on appelle longitude du périhélie la somme de YS8= longitude du nœud ascendant et de âSA= angle, mesuré dans l'orbite et dans le sens du mouvement, entre le nœud et le périhélie. Or on a YSa = U et aSA = 180o — «,. Soit donc Lp la longitude du périhélie, on aura
(59) Lp = L« + 180o — •.. ^^
En discutant cette formule on verra qu'elle est générale et qu'elle donnera bien la longitude du périhélie, pourvu que la valeur de «, y soit celle que Ton indiquait tout à rheure, valeur qui peut varier de 0<> à 360<>.
4i. — Pour compléter la détermination des éléments de l'orbite il faut encore chercher le temps t écoulé
depuis le passage au périhélie jusqu'au moment àe l'observa tion. Pour cela revenons à la figure 6.
Soient T la durée de la révolution totale, et B le demipetit axe de Tellipse; nous aurons, d'après la loi des aires
(60) t:T::aireOSA>AB.
Du centre G" de l'ellipse (Fig. 15) décrivons l'arc AC avec le rayon A, prenons (V sur la perpendiculaire OE au grand axe, faisons 0'C"A = w {u est l'anomalie excentrique), nous aurons
C"E eA + f,cos», costi = ^^= ^ ,
ou, en substituant à f«cosâ»t sa valeur (première équation §8),
Ou bien encore, d'après la figure,
