V. = i/E \/ÏEL
Mais on a aussi {Mécanique de Duhamel, tome II, art. 28)
Expression dans laquelle T= 86400 X 365i,25 = le nombre de secondes compris dans Tannée, a = 23176r, r étant le rayon de Téquateur et la parallaxe solaire étant prise = 8",9; on a d'ailleurs r = 6877 kilomètres. Si nous substituons ces nombres aux lettres, et que nous effectuions les calculs, la formule (2) devient
(3) V, = 29kil,427 yîZiL,
Dans cette expression , f| est le rayon vecteur donné paç la Connaissance des temps, pour Theure de Tobservation.
§ V. ^ Calculs de la vitesse de translation des corpuscules, et du demi-grand axe de leur orbite.
8. — Soient A le demi-grand axe de Torbite des corpuscules, exprimé en parties de a demi-grand axe de l'orbite terrestre, et W, la vitesse de ces corpuscules à la distance f, du Soleil. On sait que l'on a {Mécanique de Duhamel, tome II, art. 28)
Si Ton met à la place de 1/ - la valeur trouvée ci-dessus, cette expression devient
9. — Celte formule prouve Tidenlité des vitesses W^, à la même distance f, du Soleil, pour les corpuscules d'un même essaim dont les orbites auront des demigrands axes A sensiblement égaux. Elle établit, entre la vitesse absolue des corpuscules et le grand axe de leurs orbites, une relation qui permettrait de conclure A de W„ après que cette vitesse aurait été déduite de la vitesse relative observée. Mais comme cette dernière ne peut être obtenue que par des observations excessivement courtes et fugitives, il est plus que douteux que l'on parvienne jamais à des valeurs d'une précision suffisante. Habituellement , c'est A que l'on se donnera à l'avance, ou plutôt que l'on déduira déconsidérations sur la périodicité du phénomène. Soient alors T le temps présumé de la révolution entière d'un essaim de météores, on aura, par la troisième loi de Kepler
(1 an)' "" ay
D'où, en faisant, comme ci-dessus, a = \ (5) A
an)*
10. — Si l'on veut le rapport des vitesses des corpuscules et de la Terre, à la même distance f, du Soleil, on tirera des équations (3) et (4)
Pour la discussion approximative, nous pouvons remplacer f, par l'unité, dont il ne diffère que de -^ au plus; nous aurons ainsi, & peu près
On conclut de cette expression que, si A = 1 , c'est-àdire si le grand axe des orbites des météores est égal à celui de l'orbite terrestre, on a sensiblement
Si Ton a A = *, c'est-à-dire si le grand axe des orbites
des corpuscules est égal au rayon vecteur de la Terre, et que , par suite , la rencontre avec celle-ci ait lieu à l'aphélie, on aura
W^ = zéro.
Si A = 00 , c'est-à-dire si les corpuscules décrivent des orbites paraboliques, on aura
Si A était négatif, c'est-à-dire si les corpuscules décrivaient des orbites hyperboliques, on aurait
Mais l'exemple des mouvements cométaires nous engage à négliger cette dernière hypothèse, qui rendrait les corpuscules étrangers à notre système solaire. Alors nous conclurons de ce qui précède, que la vitesse absolue dont peuvent être animés les corpuscules, quand leur distance au Soleil est la même que celle de la Terre, variera habituellement entre zéro et une fois et quatre dixièmes celle de notre globe.
% VI. — Conaéciaenoes dumouTement relatif des oorpasoules tel cpi'il est observé de la Terre.
11. — Étudions maintenant les vitesses relatives, telles qu'on les observerait pour les corpuscules qui viennent rencontrer la Terre supposée fixe, en faisant abstrac-
lion des causes d'accélération et de ralenlisseraerit dues à ratlraclion de noire globe et à la résistance de son atmosphère.
Soient (Fig. 2) T la Terre, dont la direction et la vitesse sont représentées par TV ; G un corpuscule qui marche à la rencontre de T, dans la direclion et avec la vitesse relatives représentées par CT. Si nous faisons le parallélogramme TVCI, dont CT est la diagonale, CV représentera la direclion et la vitesse absolue du corpuscule. Et, réciproquement, CV et CI représentant la vitesse absolue du corpuscule et l'inverse de celle de la Terre, CT exprimera le mouvement relatif de celui-là.
12, — Considérons maintenant les figures 3,4 et 5 dans chacune desquelles les vitesses absolues, CV, des corpuscules ont des directions diverses, mais conservent des valeurs constantes ; la vitesse étant, pour la figure 3, égale à celle de la Terre, pour la figure 4, moitié de celle-ci, et pour la figure 5, une fois et quatre dixièmes celle de notre globe. Dans chacune de ces figures, les directions et les vitesses relatives seront exprimées par les droites TC. Or, dans les deux premiers cas, on voit que le mouvement relatif des corpuscules sera nécessairement réfrograde; dans le dernier cas, il ne sera direct que pour les corpuscules dont les directions seront à gauche de C^TC^'; et, pour ceux-ci, les vitesses relatives seront toujours inférieures
à celle de la Terre; car si l'on admet que VCe = TV>^2, on aura TC4 = TV.
On voit donc, en généralisant, que c*e$t seulement dans UN pçTiT NOMBRE DES CAS OÙ la vUesse des corpuscules est supérieure à celle de la Terre, que leur mouvement relatif peut être direct, et que, dans ces cas-là, leur vitesse relative est toujours moindre que celle de la Terre. Dans tous
les autres cas, qui sont de beaucoup les plus nombreux, leur mouvement sera rétrograde et leur vitesse relative pourra varier entre zéro (Fig. 3) et deux fois et quatre dixièmes (Fig. 5) celle de la Terre; avec cette circonstance que, dans le cas des vitesses absolues égales à celle de la Terre ou plus grandes qu'elle (Fig. 3 et 5) (el nous verrons au paragraphe IX que telles sont probablement les vitesses des essaims périodiques) , les plus faibles vitesses rétrogrades correspondront toujours à des mouvements relatifs faisant, avec la direction suivie par la Terre, des angles voisins de 90 degrés.
% vn. -* Calcul de la vitesse relative des oorpusoules et de leulr direction absolue dans l'espace.
13. — Considérons la figure 6, dans laquelle représente la Terre, YTR'S'C Técliplique, n son pôle, OY la ligne des équinoxes. Soient L^ = YT la longilude du point du ciel vers lequel marche la Terre; V, = 0/ la vitesse de translation de celle-ci; Le = YC la longitude et Aç r= ce la latitude du point C d'où viendraient réellement les corpuscules; W, = Oc la vitesse réelle qu'ils auraient dans leurs orbites, à la dislance du Sokil égale au rayon vecteur de la Terre, et abstraction faite de l'attraction de celte-ci. Le parallélogramme tOcr, construit sur 0/ et Oc, aura pour diagonale Or qui exprime, par sa longueur et sa direction , la vitesse relative <p des corpuscules , et par sa rencontre en R , avec la sphère céleste, le point du ciel d'où ils sembleraient' venir si des perturbations ne changeaient pas cette position. Soient Lr = YR' et a^ = RR' la longilude et la latitude de ce point, coordonnées que l'on peut conclure
de ses coordonnées équaloriales A et D, par des formule* connues (*).
On doit remarquer que les trois points T, R et C sont sur un grand cercle qui est l'intersection de la sphère par le plan du parallélogramme, et que les arcs TR et RC mesurent respectivement les angles plans tOr et rOc ou son égal irO.
Dans le triangle TRR', qui est rectangle en R', on a TR' = Lr — L(, RR' = Ar, et, par suite
(8) CosTR = cos>r cos (Lr — U)y
Tg(Lr— Lt)
(9) CosRTR' =
TgTR
Puis, dans le triangle rectiligne /rO, et en ayant égard
aux valeurs indiquées ci -dessus pour les angles et les
côtés, on a
(10) SinRG = sintrO = sinTR-^ ;
Wi
puis
„r sinWO „, sin(TR + RC) (*•) ^ = Q^=^'d^fÔR = ^' sinTR •
14. — Si dans les formules (8) à (10) on introduit les coordonnées apparentes d'un point de radiation ob-
(*) Soient A Tobliquité de Técliptique et x un angle auxiliaire donné par la relation
Tgx ^cotDsin^.
On aura
Sin> = !12£cos(n + X), TgL = îi^sin(n + x),
et, comme vérification
Tgx = sinLcot(n -h x).
{Trigonométrie de Cagnoli, deuxième édition, no« 1449 et 1450.)
serve, on en conclura, avec une approximation suffisante, les valeurs de 9 qui entrent dans les formules de correction que nous étudierons bientôt. Puis, si Ton fait usage des coordonnées corrigées du point radiant, on obtiendra, par (10), la valeur exacte de RC qui fixera la position du point C dans le cieL
Pour obtenir les coordonnées écliptiques de ce point, considérons le triangle CTC, rectangle en C, dans lequel on connaît Tangle RTR^ qui est déterminé par (9) , et rhypolénuse TC qui est égale à TR4-RC, arcs déterminés par (8) et (10). Ce triangle donne
(1 2) Sin >c = sin GC = sin (TR + RC) sin RTR' ,
(13) Tg(Lc — Lf) = TgTC = cosRTR'Tg(TR + RC) ,
d'où
(14) Le=L( + TG^
On doit remarquer que si les calculs précédents sont menés de front, on n'aura à ouvrir les tables qu'un petit nombre de fois pour y trouver les logarithmes nécessaires, ce qui simplifie beaucoup le calcul.
§ vm. - Hodlflcation que l'attraction de la Terre fait éprouver à la vitesse relative des corpuscules.
15. — Dans ce qui précède, nous avons fait abstraction de l'influence exercée, par l'attraction de la Terre, sur le mouvement des corpuscules. Cherchons, sans aborder à ce propos le problème des trois corps , à nous rendre compte des effets de celte attraction.
Soient r=6366kïn le rayon delà Terre; R = r+100i«a la distance moyenne de son centre aux points milieux des trajectoires des météores ; g et g' les intensités de la
pesanteur aux distances r et R. On aura
gr^ = sf'R^
Supposons d'abord qu'un mobile, animé d'une vitesse relative <p, parte de l'infini dans la direction du centre de la Terre que nous supposons immobile; soit V sa vitesse à la distance D du globe terrestre. On aura {Mécanique de Duhamel, tome I, art. 226)
Appelons les vitesses du mobile , pourD=R, v ou * suivant que les vitesses initiales sont respectivement zéro ou 9 ; nous déduirons de l'équation précédente
v' = ?^ = VR; d'où V = llkm,09 ; R.
Comparons cette dernière vitesse du mobile, tant avec sa vitesse initiale 9, qu'avec les vitesses qu'il possède aux distances D = 2500r et = 208r, distances qui sont environ les longueurs d'arcs de 6 degrés et un demidegré d'amplitude pris sur l'orbite de la Terre, nous aurons le tableau suivant :
