VITESSES POUR D

NuUe

Le sixième de celle de la Terre Moitié de celle de la Terre. . .

Égale à celle de la Terre. . . .

â fois et Tq ceUe de la Terre .

km.

km.

km.

km.

C) Nous prenoi» la vitesse de la Terre pour terme de comparaison, en portant sa valeur à 30^" en nombre rond.

De rinspection des chiffres de ce tableau on conclut que, pour un corpuscule cosmique qui descend vers le centre de la Terre animé d'un mouvement rectiligne uniforme, la presque totalité de la modification, que l'attraction de noire globe fait éprouver à sa vitesse, se produit à partir du moment où la distance des deux corps est moindre que la longueur d'un arc d'un demi-degré pris sur l'orbite terrestre. Si maintenant nous voulons passer à l'étude des modifications, que la même attraction produit dans le mouvement relatif réel des deux corps, supposons d'abord que la Terre et le corpuscule décrivent leurs orbites non troublées, c'est-à-dire que, malgré leur rapprochement, celui-ci ne soit pas attiré par celle-là. Pendant qu'ils passeront de la distance 208r à leur plus grande proximité, chacun d'eux décrira, sur son orbite, un arc de moins de un demi-degré; et, eu égard au but que nous nous proposons, nous pourrons considérer ces arcs comme rectilignes et décrits avec une vitesse uniforme. Pendant ce même temps, nous pourrons donc considérer le corpuscule comme étant animé par rapport à la Terre, d'un mouvement relatif rectiligne avec une vitesse constante. Puis si , pendant ce même temps, nous faisons intervenir l'attraction de la Terre, celle-ci va modifier la vitesse et la direction de ce mouvement primitif, de quantités que nous nous proposons de calculer. Mais pour cela, au lieu de supposer que l'attraction de la Terre commence à la distance 208r, nous supposerons qu'elle s'exerce sur le corpuscule venant de l'infini et animé d'ailleurs de la vitesse relative constante dont nous venons de parler. Cela simplifiera les calculs sans en changer notablement les résultats, ainsi qu'on peut l'induire de la remarque par laquelle nous avons commencé cet alinéa et de l'examen des inflexions calculées dans le tableau du n^ 21.

16. — Dans celle dernière hypolhèse , lorsque la direclion initiale du corpuscule ne sera pas un rayon terrestre, Torbite qu'il décrira sera une hyperbole, ayant pour foyer le centre de la Terre et pour asymptote la direction du mouvement primitif. La vitesse V, en un point quelconque deTorbile sera donnée {Mécanique de Duhamel, tome II, art. 28) par l'expression

dans laquelle fjJ = gr* = jf'R* est Tattraclion à l'unité de distance , f le rayon vecteur, et a' la moitié du premier axe.

Si dans cette expression on fait j = oo , on devra avoir V = 9; par suite cette équation (17) donnera

OU, en vertu de l'équation (15) ci-dessus

V étant toujours là vitesse acquise , à la distance R du centre de la Terre, par un mobile partant de l'infini, avec une vitesse nulle et soumis à l'action de la pesanteur. Et il importe de remarquer que v est sensiblement le même pour toutes les étoiles filantes, quelle que soit l'altitude de leur combustion, puisque pour K — r = 100ï^«i on trouve v=: 11^11,09, et pour R— r =200»^'*, que M. Newton considère comme un maximum, on a i;=11kii,00.

17. — La dernière équalion montre que les hyperboles décrites par tous les corpuscules qui partiraient de V infini.

avec la même vitesse <^, auraient les mêmes valeurs de a\ c'est-à-dire des premiers axes identiques.

Alors de Téquation (17) on conclut, à cause delà constance de a\ que pour tous ces corpuscules la vitesse serait identiqm lorsqu'ils atteindraient une sphère d'un rayon ç quelconque.

On conclut de là que tous les corpuscules d'un même essaim qui, pendant un temps limité, s' enflammer oni dans l'atmosphère, devront être animés de la même vitesse, car nous avons vu (§ V) que les vitesses primitives de ces corpuscules devaient être identiques, et nous venons de voir que, quelle que soit leur hauteur d'inflammation, l'accélération produite par la Terre sera sensiblement la même.

Enfin, de la formule (17) on conclut encore, ce qui au reste est vrai pour tout mouvement planétaire , que le maximum de vitessse des corpuscules aura lieu pour f minimum, c'est-à-dire lorsqu'ils passeront au sommet de l'hyperbole; et que, à partir de là, la vitesse diminuera progressivement pour reprendre la valeur initiale, quand ils se seront suffisamment écartés de la Terre.

18. — Si dans l'équation (17) on met la valeur de a' donnée par l'équation (18) et si l'on y remplace ? par R, et V par *, vitesse du mobile à la distance R, on aura

et à cause de (15)

Formule identique à celle (16) que nous avons trouvée ci-dessus, pour le mouvement rectiligne, et qui donne

la vitesse relalive des météores filants modifiée par Tatiraclion de la Terre.

La dernière colonne du tableau du numéro 15 est calculée par la formule précédente. Or la comparaison des chiffres de celte colonne, avec les valeurs de la vitesse initiale <py montré que, quand cette vitesse est considérable^ elle est peu modifiée par l'attraction de la Terre.

19. — Les considérations précédentes peuvent être appliquées à Tattraction de la Lune. Si l'on remplace dans la formule (15), g par l'attraction à la surface de la Lune, r et R par le rayon de notre satellite, on trouve que, pour un mobile qui atteint sa surface, après être parti de l'infini avec une vitesse nulle, la vitesse produite par l'attraction lunaire est de 2^i*,47, soit les | seulement de celle que nous avons calculée pour l'action de la Terre. On en conclura que les variations de vitesse que la Lune fait éprouver aux corpuscules qui passent dans son voisinage sont beaucoup plus faibles que celles que nous venons de constater pour l'action de notre globe. Aussi peut-on admettre que cet effet d'accélération aura complètement cessé lorsque les corpuscules nous atteindront, excepté toutefois pour ceux qui seront animés d'une très-faible vitesse relative. Mais nous verrons, au n«> 27, que pour ceux-là le point de radiation ne peut que difficilement être reconnu ; par conséquent il sera rare qu'on puisse leur appliquer nos recherches.

§ IX. — Modification q[ue rattraction de la Terre fait éprouver

& la direction des corpnactOes.

20. — Cherchons d'abord comment l'attraction de la Terre modifie la direction initiale des corpuscules. Nous avons vu (n^s 16 et 17) que toutes les hyper-

boles décrites par les corpuscules ont pour foyer commun le centre de la Terre , pour longueur d'axe la même valeur 2a', et que Tune des asymptotes est parallèle à la direction initiale du mouvement.

Soient (Fig. 7) F ce foyer, FO la parallèle à Tasymptole CA de Tune des hyperboles dont «le centre est C; menons EC perpendiculaire sur FO. Le triangle rectangle CEF est identique au triangle CSB formé avec les deux demi-axes a' et 6'; donc

FE = a' et EC = V.

Par suite si nous prenons, sur le prolongement de FO, FE = a! et si nous élevons EC perpendiculaire à EO, nous pourrons prendre un point quelconque C, sur EC, pour centre de Tune des hyperboles considérées , et pour celle-ci on aura

CE = 6', CF = c' = Va!- -^ U\

Pendant que le corpuscule décrira sa trajectoire, la direction de son mouvement changera progressivement. Lorsqu'il arrivera en un point M le changement éprouvé par sa direction initiale sera égal à l'angle TMl , formé par la tangente TM à la trajectoire et par la parallèle MI à l'asymptote; nous appellerons cet angle Vinflexion de la direction (*) et nous le désignerons par t.

21 . — Considérons d'abord l'inflexion totale éprouvée par la direction d'un corpuscule qui, ne rencontrant pas la Terre, décrira la branche entière de l'hyperbole. Les directions initiale et finale seront les deux asymptotes AG et CA', de sorte que l'inflexion sera GCA, angle de ces deux lignes ; nous désignerons cet angle par L

(*) Le mot déviation eût été plus convenable, mais il a déjà une autre signification en mécanique.

• — 27 — On aura

GGA = I = 2EGF.

Mais

TgfECF = :^.

Donc

Remplaçons ol par sa valeur (18), il vient

On conclut, de celle expression, celte conséquence qui, à la vérité, n'exigeait pas de démonstration, que Tin/îmon ioiaU de la trajectoire d'un corpuscule sera d'autant plus grande que V sera plus petit ou que la direction initiale du corpuscule passera plus près du centre de la Terre.

Le maximum aura lieu pour le corpuscule qui rasera Vatmosphère, ou pour la trajectoire duquel on aura FS=R. Cherchons la valeur de cette inflexion maximum.

On aura alors

FS = /a'» + 6'* — a' = R,

d'où

ou, à cause de la valeur (18) de a'

Substituant dans (20) nous aurons

Avec les deux formules (20) et (21) nous calculons le

tableau suivant, dans lequel les valeurs de fc', 394 R, 32,8 R et 4,1R sont les longueurs respectivement parcourues par le centre de la Terre en 24^, 2*i et IS"»'»».

9 = Vitesses initiales relatives des corpuscules.

I = INFLEXIONS TOTALES éprouvées par les trajectoires pour les valeurs de 6' =

Rapports avec eelle delaTerre

Valears

en kilomètres

kil.

iSOoOO'OO"

O'Ol' 42"

!2. — De Texarnen des chiffres de ce tableau, on lire les conclusions suivantes :

1o Lôi'sque la vitesse relative initiale des corpuscules est nulle, Vinflexion totale leur fait rebrousser chemin. Ce cas correspond au mouvement relatif des corpuscules dans des courbes paraboliques (Fig. 8) ;

2o Linflexion totale diminue rapidement à mesure que la vitesse initiale augmente ;

3® Pour de faibles vitesses, cette inflexion est tellement grande, même pour les corpuscules qui passent loin du centre de la Terre, que V action de notre globe devrait produire rapidement la dispersion d'un essaim qu'il rencontrerait périodiquement avecune faible vitesse relative. C'est, au reste, ce que montre la figure 9 construite pour le cas (p=: 4 5 kilomètres.

40 Par suite, les essaims que la Terre rencontre périodiquemetit depuis un temps reculé doivent avoir des vitesses relatives assez grandes, ce qui implique la condition d'un mouvement rétrograde (n«> 12), ou bien ils doivent avoir

des dimensions extrêmement considérables pour qu'ils aient pu subsister malgré la dispersion périodique d'une grande partie de leurs éléments.

§ X. — Déplacement du point de radiation , dû à l'attraction

de la Lune.

23. — La Lune infléchira aussi les trajectoires des corpuscules qui passeront dans son voisinage. Or, à cause de la distance qui sépare la Lune de la Terre, les corpuscules qui atteindront celle-ci seront assez distants du sommet de Thyperbole, que notre satellite leur aura fait décrire, pour que l'on puisse considérer la direction de leur mouvement comme se confondant avec Tasymplote (Fig. 10). Par suite, cette direction fera, avec la direction primitive, un angle égal à l'inflexion totale causée par l'action de la Lune, celle-ci étant produite dans le plan qui passe par le centre de la Lune et les deux directions primitive et finale.

Mais, à cause de la faible étendue de son cercle de visibilité, tous les météores qu'un observateur, situé à la surface de la Terre, verra au même instant, proviendront d'un courant de corpuscules qui sera assez étroit, pour que Ton puisse les considérer comme étant passés à la même distance de noire satellite, et comme ayant décrit des trajectoires dont le parallélisme initial subsistera encore après leur déviation commune. Pur suite le point de radiation du courant dévié sera déplacé, par rapport au point de radiation primitif, de telle sorte que la distance angulaire de celui-ci à la Lune sera augmentée d'une quantité égale à l'inflexion totale.

24. — Il nous faut donc exprimer cette inflexion en fonction de la distance angulaire du point de radiation apparent au centre de notre satellite.

Pour cela faisons, dans la formule (20) 1 = 1" = Tinflexion totale causée par la Lune, R = r^ = le rayon lunaire, V = 6" = la distance au centre de la Lune des asymptotes de Thyperbole, c'est-à-dire des directions initiale et finale du corpuspule , v = v" = la vitesse que l'attraction de la Lune fait acquérir à un mobile qui part de rinfini avec une vitesse nulle et qui atteint la surface de notre satellite, <i> = 9" = la vitesse relative des corpuscules par rapport à la Lune considérée comme fixe. Cette formule (20) deviendra alors

Soit maintenant g l'angle LOC (Fig. 10) compris entre le centre de la Lune et le point de radiation dévié, on aura

6" Sine = ---. OL

OL différera peu de la distance du centre de la Terre au centre de la Lune, qui est en moyenne de 220 rayons lunaires. Faisons donc, par à peu prés, OL = 220r" ; la formule précédente deviendra

5" Sine = s

Éliminons ~ entre cette équation et (22), et mettons à la place de v" sa valeur 2kii,47 (n^ 19), nous aurons

(23) F I !/>' ^ 0kii,0l59

^ ^ ^2 UOsineV'»"" <p">sin6 '

De celte expression on tirera l'angle I", dont on devra reporter, dans le ciel et dans la direction du centre de la Lune, le point de radiation, pour obtenir la position

qu'occuperait ce point sans la déviation causée par Tat^ traction de notre satellite.

Dans l'équation (23) 9" exprime la vitesse relative des corpuscules et de la Lune considérée comme fixe ; mais comme la vitesse de celle-ci par rapport à la Terre est seulement de 1*^ii,2, on pourra, sans inconvénient, excepté toutefois pour les très-faibles vitesses, remplacer <p" par 9, vitesse relative des corpuscules par rapport à la Terre.

25. — Au moyen de la formule (23) , on obtient le tableau suivant :

Angles dont la position primitive du point de radiation est écartée du centre de la Lune par l'attraction de ce corps.

Vitesse relative

initiale du corpuscule.

L'angle entre le centre de la Lune et le point de radiation apparent étant

.Bapport avec eelle de la Terre.

Valenr

en kilomët.

kil.

40 38' Oo 2-2' 0o04'

Oo 22',0 0» 02',4 0o00',6 00 00', 4

Oo 07',6 0''00',8 Oo 00',2 0»00',0

On voit par ce tableau, que Faction de la Lune, sur le point de radiation, ne sera guère sensible avec les vitesses relatives de 30 à 72 kilomètres , dès que la distance de ce point au centre de la Lune dépassera 2 degrés; mais elle est très-sensible pour les faibles vitesses et pour les faibles distances de ce point au centre de la Lune. On pourrait alors calculer la correction ; mais comme, aux différentes heures d'une même nuit, la Lune changera de place dans le ciel à cause de son mouvement propre et de sa parai-

laxe, la distance du point de radiation à la Lune et, par suite, la correction variera à chaque instant, et les calculs qu'elle exigera seront assez compliqués pour que Ton doive être bien tenté de négliger les observations qui donneraient un point de radiation trop rapproché de notre satellite.

S XI. — Déplacement du point de radiation, causé par l'attraction

de la Terre.

26. — Considérons maintenant Teffet de Tatlraclion de la Terre sur la direction des corpuscules qui s'enflamment dans Fatmosphère.

L'équation générale des hyperboles décrites par les corpuscules rapportées à Taxe FD (Fig. 7), sera