I. — ONDES DE TRANSLATION

33. Particularités de la propagation des ondes de translation, — J'ai dit précédemment (13) que l'onde de translation ne subit pas de déformation sensible dans un temps assez court, quand elle se propage dans un canal dont le fond est horizontal.

Nous avons vu, en outre (14), que l'onde se déforme, qu'elle se raccourcit tout en prenant plus de hauteur, et que sa crête vient

reux. Je l'emploie par opposition au déplacement vertical des molécules qu'occasionne la transmission de mouvement d'une tranche du liquide à l'autre. Elle doit s'entendre de tout déplacement que subit une molécule d'eau en dehors de la rerticale où elle se trouvait primitivement.

ONDES DE TRANSLATION ET d'oSCILLATION. ' 31

alors en avant, quand elle se propage dans un lit dont le fond se relève sans cesse.

Il ressort de ces faits observés que les diverses tranches verticales d'une onde (*), faites par des plans verticaux parallèles à Taréte supérieure de Fonde, ne se comportent pas toujours de la même manière. Dans certains cas, toutes les tranches verticales sont animées d'une vitesse de propagation unique; et, dans d'autres, elles prennent des vitesses différentes; ce qui arrive notamment lorsque le fond du canal est incliné (14).

Dans ce dernier cas, en effet, l'onde ne peut se raccourcir que si la tranche verticale située à l'extrémité antérieure de la base de Tonde va moins vite que celle qui correspond à l'extrémité postérieure. Le sommet de l'onde ne peut, de même, se rapprocher de l'arête antérieure de la base que si la tranche qui lui correspond a plus de vitesse que celle de l'extrémité antérieure de l'onde.

Parmi les diverses tranches verticales que je viens de considérer, celles qui doivent prendre plus de vitesse sont celles qui, en même temps, ont le plus de hauteur.

On peut donc inférer de là que, dans le cas qui nous occupe, les différentes tranches verticales de l'onde se propagent avec des vitesses qui varient dans le même sens que la hauteur de ces tranches.

Mais l'onde de translation qui se propage dans un lit régulier à fond horizontal se compose également de tranches verticales de hauteurs différentes, et cependant nous ayons vu (13) que, dans ces

(*) Les tranches verticales d'une onde que je considère ici sont supposées comprises entre deux plans verticaux parallèles à l'arête supérieure de l'onde et distants l'un de l'autre d'une quantité infiniment petite.

J'aurai souvent l'occasion d'employer cette expression dans le cours de cet écrit. Il importe d'en préciser le sens.

Il ne s'agit pas d'un assemblage de molécules d'eau composant une section verticale ,de l'onde et se déplaçant toujours unies entre elles ; pas plus que, dans la propagation de Tonde, il ne s'agit du transport, avec la vitesse de propagation, de toutes les molécules d'eau qui composent l'onde à un instant donné (3o). La tranche verticale de l'onde doit s'entendre de la section faite à un instant quelconque en un point de Tonde déterminé de position par rapport au sommet et aux arêtes de la base de Tonde. Cette tranche se transporte avec la vitesse de propagation de Tonde, mais elle est composée à chaque instant de nouvelles molécules d'eau.

conditions, l'onde ne se déforme pas. Dès lors se présente la question de savoir pourquoi les différentes tranches d'une pareille onde sont toutes animées de la même vitesse de propagation quoique ayant des hauteurs différentes.

Les vues exposées par M. Boussinesq, dans la savante théorie qu'il a donnée de l'onde solitaire (*), permettent de répondre à cette question.

34. Expression générale de la vitesse de propagation destranches verticales dune onde de translation, — £n négligeant, dans son analyse, tous les termes très petits en comparaison du rapport de la hauteur de l'onde à la profondeur primitive, M. Boussinesq arrive d'abord à la loi de Lagrange, qui consiste en ce que toute intumescence de petite hauteur se propage en conservant sa forme et avec une vitesse égale à la racine carrée du produit de la gravité par la profondeur primitive. Mais, à une deuxième approximation, cette loi n'est plus vraie, et M. Boussinesq a été conduit à l'expression suivante de la vitesse de propagation d'une tranche, considérée isolément, de l'onde de translation.

Le carré de la vitesse de propagation d'une tranche de Tonde est égal, à un instant donné quelconque, au produit de la gravité par la somme : i* de la profondeur primitive, 12^ d'une fois et demie la hauteur actuelle de la partie considérée de l'intumescence, 3" de la courbure qu'affecte la surface libre multipliée par l'inverse de la même hauteur et par le tiers du cube de la profondeur primitive.

Ce qui s'exprime par la formule :

dans laquelle V exprime la vitesse de propagation, H la profondeur primitive de l'eau, et h la hauteur de la partie de l'intumescence que l'on considère.

(*) Théorie des Ondes et des RemouSy de M. Boussinesq, insérée au XVII* Volume, a* série, année 1872, du Journal de Mathématiques pures et appliquées^ de M. Liouville.

ONDES DE TRANSLATION ET d'oSCILLATION. 33

D'après cette formule, la vitesse de propagation change, en général, en passant d'une tranche à l'autre; ce qui rend compte des transformations que subit l'onde de translation quand la profondeur primitive varie. La formule montre, en outre, que les vitesses peuvent varier et, par suite, faire changer la forme de l'onde , même quand la profondeur primitive de l'eau reste constante.

35. Forme de Conde de translation qui assure V égalité de vitesse à toutes les tranches de Vonde, — Dans ce dernier cas, c'est-à-dire lorsque l'onde se meut dans un canal à fond horizontal, il existe cependant, parmi toutes les formes que peut prendre le profil transversal de l'onde, une forme qui assure à toutes les parties de l'onde la même vitesse de propagation.

M. Boussinesq a décrit dans les termes suivants la courbe qui donne ce résultat :

Cette courbe est symétrique par rapport à la verticale menée par son sommet, et a deux points d'inflexion situés aux deux tiers de la hauteur. Entre ces deux points, elle est convexe ; en deçà et au delà, elle est concave, et se raccorde asymptotiquement ( * ) au profil longitudinal primitif de la surface libre. Sa hauteur est égale aux trois seizièmes du carré du volume de rintumescence par unité de largeur du canal, divisé par le cube de la profondeur primitive.

36. Expression de la vitesse de propagation commune à toutes les tranches d'une onde dont la/orme est permanente, — Lorsqu'une onde de translation a pour profil transversal la courbe dont je viens de transcrire la définition, cette onde se propage, en supposant la profondeur d'eau constante, sans éprouver de déformation, ou du moins sans subir d'autre changement que celui qui

(•) D'après cela, l'onde, douée d*une égale vitesse de propagation dans toutes ses parties, aurait théoriquement une longueur infinie. Mais ce résultat des calculs analytiques ne saurait se réaliser dans la nature. Les propriétés de la matière s'y opposent, et la longueur de l'onde se limite nécessairement d'une manière quelconque. Je considérerai toujours dans cet écrit la longueur de l'onde de translation comme finie et comprise entre deux points du profil longitudinal dont la hauteur, au-dessus du niveau primitif des eaux, est, sinon nulle, au moins très petite par rapport à la hauteur de l'onde à son sommet.

résulte de ratténuatlon produite par les frottements (13), et la vitesse unique de propagation dont cette onde est alors animée dans toutes ses parties est donnée par la formule que j'ai déjà indiquée au n** 8

H étant la profondeur des eaux du canal et h la hauteur du sommet de Tonde au-dessus de la surface primitive des eaux.

37. M. Boussinesq admet d'ailleurs que, quand le profil transversal d'une onde de translation diffère peu de la courbe qui assure une égale vitesse de propagation à toutes les tranches de l'onde, il tend à s'en rapprocher et arrive bientôt à en prendre la forme.

C'est ainsi que les ondes solitaires, sur lesquelles ont été faites les expériences rapportées plus haut (13), seraient arrivées à se propager en conservant leur forme générale, tout en s'atténuant par le frottement.

38. Cas où le volume de V intumescence de Ponde est très considérable. — Lorsque le volume de l'intumescence est très considérable, M. Boussinesq admet que l'onde ne saurait plus acquérir une forme permanente ; car la grandeur du volume donnerait à la courbe qui assure l'égalité de vitesse à toutes les tranches de l'onde une hauteur telle, que l'onde n'aurait plus de stabilité et arriverait au déferlement.

Dans ce cas, chaque tranche verticale de l'onde est douée de la vitesse particulière précédemment indiquée (34). Cette observation se rapporte surtout aux remous semblables à ceux sur lesquels M. Bazin a fait ses expériences.

On peut présumer qu'elle s'applique aussi aux grandes ondes marées, dont l'intumescence a la valeur considérable dont parle M. Boussinesq, et qui, quoique différant par leur nature de l'onde de translation, agitent comme elle l'eau sur toute sa profondeur (63).

ONDES DE TRANSLATION ET DOSCILLATION. 35

En outre, sur la longueur immense que les ondes marées occupent dans les mers, la profondeur de l'eau est très variable ; circonstance qui, seule, empêcherait ces ondes de prendre une forme permanente.

39. Rapports entre elles des diverses tranches d^une onde de translation douées de s^itesses de propagation différentes, — D'après ce qui précède, lorsqu'une onde de translation n'a pas pour profil transversal la courbe qui assure la permanence de sa forme, les diverses tranches verticales de l'onde sont douées de vitesses de propagation qui leur sont propres.

En vertu des divers éléments qui entrent dans leur composition (34), les vitesses de propagation des tranches consécutives peuvent être égales ou inégales; et il est naturel de penser que c'est aux différences qui s'introduisent entre ces vitesses que sont dus les changements qui surviennent alors dans la forme de l'onde et qui tendent à rapprocher cette forme de la courbe qui assure l'égalité de vitesse de propagation à toute les tranches de l'onde (37).

Mais je ne crois pas que rien ait été dit de précis sur les rapports qui s'établissent entre les tranches douées de vitesse différentes.

Ce sujet intéresse, comme nous le verrons, le régime des ondes marées fluviales ; et, à défaut de données précises , je présenterai ici quelques considérations sur les actions qui s'exercent dans les transformations de l'onde de translation, dont je viens de parler.

Je suppose qu'une onde de translation, dont la section transversale n'affecte pas la courbe qui assure la permanence de sa forme, vienne à se raccourcir, on est fondé à penser qu'alors quelques tranches verticales de l'onde se réunissent entre elles.

Si une pareille onde prend, au contraire, plus de longueur, on peut attribuer son allongement à ce que quelques tranches se sont divisées en plusieurs autres.

Il se passerait alors entre les tranches de l'onde quelque chose d'analogue à ce qui se produit (H et 12) entre des ondes de trans-

lation isolées animées de vitesses de propagation différentes. C'est à la différence de vitesse de propagation des tranches consécutives que serait due la réunion de ces tranches ou leur séparation.

La vitesse de propagation des tranches de l'onde dépend de la profondeur des eaux, de la hauteur de la tranche au-dessus de la surface supérieure des eaux et de la courbure de la surface libre de l'onde (34). Si la profondeur est constante, il y a encore deux éléments qui influent sur la vitesse de propagation. Les réunions et séparations, s'opérant entre tranches consécutives, auraient alors pour but d'apporter, soit dans la hauteur des tranches, soit dans la courbure de la surface libre de l'onde correspondant à chaque tranche, des modifications qui rendraient égales les vitesses des tranches consécutives. Les réunions ou séparations s'opéreraient toujours aux lieux où les différences des vitesses de propagation seraient les plus grandes; lieux qui, sans doute, changent de position à chaque instant, suivant les actions déjà opérées. Ainsi se produiraient les changements continuels que subit la forme de l'onde, tantôt dans un point, tantôt dans un autre, jusqu'à ce que cette forme soit devenue, si les circonstances le permettent, celle qui assure l'égalité de vitesse de propagation à toutes les tranches, et par suite la permanence de la forme de l'onde.

40. Mouvements propres des molécules dune masse liquide que parcourt une onde de translation. — Dans ce qui précède, j'ai rappelé les diverses circonstances au milieu desquelles se fait la propagation des ondes de translation, et indiqué l'influence que ces circonstances exercent sur la vitesse avec laquelle les ondes se propagent.

Je vais maintenant m'occuper du déplacement horizontal de liquide qui accompagne la propagation des ondes, et de la vitesse du courant auquel ce déplacement de liquide donne lieu.

Considérons l'onde de translation BSA' {Jig' 9). Cette onde résulte, comme je l'ai dit (3), d'une compression horizontale exercée

ONDES DE TRANSLATION ET D OSCILLATION

sur la masse liquide. La compression se fait sentir sur une certaine épaisseur AA', qui dépend sans doute de l'intensité de la force

Fig. 9.

•Uns do' ifii'fnareti»' de^ U-ùnt»

comprimante, et elle réduit à BA' la longueur primitive AA' de la masse liquide limitée sur laquelle son action s'exerce, en forçant le liquide à refluer au-dessus de la surface primitive des eaux, et à donner à la surface libre la forme BSA'. L'aire de l'intumescence BSA' de l'onde est, par conséquent, égale à celle du quadrilatère AB 6a (*).

En quittant la position BSA' l'onde s'avance dans la direction qui lui est imprimée par la force initiale, et, au bout d'un certain temps, elle a fini sa première évolution, c'est-à-dire que l'intumescence BSA' est complètement eifacée, que l'eau qui la formait est rentrée dans la masse liquide où l'onde se propage, et que le plan A' a' qui, dans la position primitive, formait la face antérieure de l'onde, s'est avancé en B'è' de la même quantité dont la face postérieure P6 s'était avancée par rapport à Aa. Le plan B'6' devient à son tour la face postérieure de l'onde, qui occupe alors

( ' ) Je néglige ici les petites surfaces qui pourraient exister entre la ligne supérieure des eaux et la courbe de l'onde prolongée asymptotiquement à gauche du point B et à droite du point A^ {Voir la note du n* 35.)

la position B'S'A''. A partir de ce moment, Tonde fait une seconde évolution semblable à la première ; et ainsi de suite.

Il résulte de là que le prisme d'eau compris entre les plans verticaux A a et A' a', dans lequel s'est faite la première évolution de Ponde, se trouve, quand cette évolution est terminée, dans la position BB'fc'è, s'étant déplacé de la quantité AB égale à A'B'.

Si, au lieu de considérer Tonde dans deux positions extrêmes BSA' et B'S'A'', comprenant une évolution entière, on la supposait placée dans une position intermédiaire, les rapports que je viens de décrire s'établiraient toujours entre les situations d'un prisme de la masse liquide de la longueur AA', quand l'onde l'occupe entièrement et quand elle l'a entièrement quitté. D'où il suit que chaque section verticale de la masse liquide éprouve, pendant le passage de l'onde, le léger déplacement horizontal AB ci-dessus défini.

41. Les considérations qui précèdent s'accordent de la manière la plus satisfaisante avec les faits constatés par J. Russell, dans l'expérience qu'il a faite sur une onde de translation se propageant dans un canal à parois vitrées, et que j'ai précédemment citée (6).

Dans cette expérience, les filaments verticaux suspendus à de petits flotteurs se sont déplsicés parallèlement à eux-mêmes, d'une faible quantité, pendant le passage de l'onde; et c'est exactement de la même manière que se déplacent, dans l'explication qui précède, les tranches verticales de la masse liquide, dont quelquesunes sont représentées par les filaments de l'expérience.

Je n'entends pas dire que les tranches verticales de l'onde se déplaceraient ainsi parallèlement à elles-mêmes sur toute la profondeur des eaux, si cette profondeur était indéfinie (note dun"6). On n'est pas éclairé, d'ailleurs, sur la manière dont le déplacement des tranches se ferait alors. Mais en supposant, comme dans ce qui précède, une valeur finie et médiocre à la profondeur des eaux, le déplacement des tranches parallèlement à elles-mêmes est admis-

ONDES DB TRANSLATION ET D'oSGILLATION. 39

sible. Si cette proposition n'est pas rigoureusement exacte, elle est si rapprochée de la vérité que l'on doit la considérer comme suffisante.

42. Mode de transport des molécules d^eau déplacées horizontalement par un moui^ement ondulatoire. — Avant d'aller plus loin, il importe de remarquer que ce ne sont pas les molécules d'eau composant le volume ABba (Jig' 9), qui passent ellesmêmes du lieu qu'elles occupaient au lieu où se forme l'intumescence BSA' de l'onde. Les molécules d'eau composant le prisme ABba restent à proximité de la face postérieure B6 de l'onde et remplacent un même nombre de molécules qui, plus rapprochées de l'intumescence de l'onde, contribuent à la former.

Il résulte de cette observation que, dans le changement de la surface plane AA' en la surface ondulée BSA', le liquide qui forme l'intumescence de l'onde provient des tranches verticales les plus voisines de celles qui augmentent de hauteur. L'emprunt fait à chaque tranche est comblé par un autre emprunt fait à la tranche suivante, et ainsi de suite, de proche en proche, jusqu'à ce que l'intumescence de l'onde soit formée et que la tranche verticale A a se soit transportée en B6.

C'est ainsi d'ailleurs, par échange de liquide de proche en proche, que s'opère tout transport horizontal de liquide déterminé par un mouvement ondulatoire quelconque. Cette observation s'applique donc à tout déplacement horizontal de liquide (*) accompagnant la propagation des ondes, dont je parlerai dans la suite de cet écrit.

43. Relation entre la vitesse de déplacement des molécules deau et la vitesse de propagation de Fonde de translation. — Cela dit, je reviens au déplacement horizontal du liquide qui s'opère dans la propagation des ondes de translation.

(') L'expcession déplacement fiorizontal de liquide doit toujours être entendue dans le sens indiquée à la note du n* 3i.

40 MARÉES FLUVIALES. — GHAP. I.

Ce déplacement, représenté par la distance AB, est toujours une faible partie du déplacement de l'onde elle-même dans le même temps. En d'autres termes, la vitesse du liquide qui se déplace horizontalement est toujours faible comparativement à la vitesse de propagation de l'onde.

Ces deux vitesses concernent des choses de natures différentes ; une transmission de mouvement et un transport de matière.

Cependant, l'une de ces vitesses dépend de l'autre, et toutes les deux sont influencées par les mêmes circonstances, à savoir la profondeur de la masse liquide dans laquelle l'onde se propage et la hauteur de l'onde. Une relation doit donc exister entre ces deux vitesses, et je crois qu'on peut l'établir, approximativement du moins, par les considérations géométriques suivantes :

Appelons

V la vitesse de propagation de l'onde,

V la vitesse du déplacement horizontal des diverses tranches

verticales du liquide, L la longueur primitive AA' du prisme dans lequel l'onde se

forme, L' la longueur BA' que prend ce prisme quand l'onde l'occupe

entièrement, H la profondeur des eaux, 2 A la hauteur de l'onde.

Pendant le temps que l'arête antérieure de l'onde, arrivée en A {Jig» 9), met à s'avancer jusqu'en A', la tranche verticale du liquide qui, à l'origine du mouvement de l'onde, se trouvait en Aa, se déplace horizontalement pour s'avancer jusqu'en B6. Les distances AA' et AB sont donc parcourues dans le même temps, la première par l'onde qui se propage et la seconde par le liquide qui se déplace horizontalement. Elles peuvent, par conséquent, servir à comparer les vitesses de la propagation de l'onde et du déplacement horizontal du liquide.

ONDES DE TRANSLATION ET d'oSGILLATI/S^N.' ' 41

On a ainsi

Or, en considérant la section BSA' de l'intumescence de Tonde comme un triangle, ce qui s'éloigne très peu de la vérité, l'aire de cette section est II h. L'aire du quadrilatère ABba est égale àH(L — U). Ces deux aires sont égales, comme je l'ai dit plus haut ; on a donc

U/i = H(L-L'), d'où

substituant la valeur de L' dans celle du rapport -^ donnée cidessus, on obtient

h étant très petit par rapport à H, la vitesse du déplacement horizontal du liquide est très faible comparativement à celle de la propagation de l'onde.

Mais tant que h conserve une valeur finie, si faible qu'elle soit, la vitesse du déplacement horizontal du liquide ne saurait être nulle.

En d'autres termes, toute onde de translation, même des plus minimes dimensions, donne nécessairement lieu à un certain courant dans la masse liquide que cette onde parcourt.

44. Dans tout déplacement minime de l'onde, il y a égalité entre C accroissement du gagnant et la diminution du perdant. — J'ai considéré dans ce qui précède l'onde de translation dans deux positions consécutives disposées de telle manière que Tonde ait entièrement abandonné le prisme du liquide qu'elle occu-

pait dans sa première position, quand elle se trouve dans la seconde.

Si Ton considère Tonde dans deux positions plus rapprochées l'une de l'autre, telles que ASB et A'S'B' (Jig. lo), pendant que

\^\V\\V\^\Vx\\\\\\\\\\\\V\\\\\\\V\^\\\\\V^^^^^

l'onde s'est propagée de la première de ces positions à la seconde, il est arrivé deux choses. En avant de l'onde, il s'est produit un accroissement de liquide suivant MS'B'B, et en arrière de l'onde il y a eu diminution de liquide suivant ASMA'.

En négligeant l'affaiblissement de l'onde, qui est extrêmement petit dans un temps aussi court, il y a évidemment égalité entre le volume de l'accroissement du côté du gagnant de l'onde, et celui de la diminution du côté du perdant.

Il en est ainsi de tout mouvement ondulatoire, en mettant toujours de côté l'affaiblissement que la propagation amène dans le volume de l'intumescence de l'onde; et j'ai voulu signaler ici cette propriété des ondes dont j'aurai souvent l'occasion de parler dans le cours de cet écrit.

45. En passant de la position ASB à la position A'S'B(^^. lo), un certain volume d'eau s'ajoute du côté du gagnant de l'onde, et un volume égal disparaît du côté du perdant. Mais, ainsi que je l'ai déjà fait remarquer (42), ce ne sont pas les molécules d'eau composant le volume ASMA' qui sont venues elles-mêmes en MS'B'B

ONDES DE TRANSLATION ET d'oSCILLATION. 43

pour composer le volume de l'accroissement de l'onde. Cet échange du liquide se fait de proche en proche, comme je l'ai déjà dit, depuis le point où les molécules les plus voisines ont formé l'accroissement du gagnant jusqu'à celui où se fait la diminution du perdant.

46. Dans Uonde de translation, le déplacement horizontal de Peau se fait dans le sens de la marche de Vonde, — Le déplacement horizontal des molécules d'eau, dont je viens de parler, donne lieu à des courants momentanés qui se produisent dans le liquide pendant le passage de l'onde.

Les courants ainsi développés par l'onde de translation sont toujours dirigés dans le sens de la propagation de l'onde. C'est ce que prouve l'expérience de J. Russell, rapportée plus haut (6). Car les filaments verticaux atteints par l'onde se rapprochaient d'abord de ceux qui étaient encore immobiles, en avant de l'onde. Puis, après le passage de l'onde, ils se retrouvaient à la même distance qu'auparavant, tous les filaments étant alors reportés en avant d'une faible quantité. Mais J. Russell ne signale aucun retour en arrière des filaments ; ce qui aurait eu lieu si les courants temporaires créés par le passage de l'onde avaient été dirigés tantôt dans un sens et tantôt dans l'autre.

47. Mouvement des eaux expulsées de Ponde de translation^ par suite de son atténuation, — Toutefois, il se produit sans doute dans l'onde de translation quelque autre mouvement de liquide, qui, sans intéresser essentiellement la propagation de l'onde, comme le font les courants dont je viens de parler, en est cependant la conséquefice.

L'onde de translation, en effet, quoique s'afiaiblissant avec beaucoup de lenteur, comme je l'ai déjà fait remarquer (13), diminue sans cesse de hauteur et de volume, à mesure qu'elle se propage, jusqu'à ce qu'elle disparaisse. Il y a donc nécessairement, à chaque instant, pendant la propagation de l'onde, un certain vohime d'eau

qui se trouve en excès dans l'intumescence de l'onde et qui en est expulsé. C'est cette eau excédante qui produit le mouvement de liquide dont je parle, et comme le liquide ainsi rejeté reste en arrière de l'onde, son mouvement doit être dirigé en sens contraire de la marche de l'onde.

Dans les petites ondes de translation qui parcourent de très grandes distances avant de s'effacer, l'atténuation que subit l'onde pendant la durée d'une de ses évolutions est extrêmement faible, et le mouvement rétrograde de liquide auquel cette atténuation donne lieu doit être impossible à constater. C'est sans doute ce qui fait que l'expérience de J. Russell n'a montré aucune circonstance de cette nature.

Mais, quoique extrêmement minime, ce mouvement rétrograde du liquide rejeté par l'onde ne peut pas être nul. Nous constaterons d'ailleurs plus loin son existence dans les ondes marées fluviales, où il se produit d'une manière très marquée.