II. — ONDES d'oscillation

48. Particularités de la propagation des ondes d^ oscillation. — J'ai dit précédemment (24) que l'agitation causée par les ondes d'oscillation se fait sentir au-dessous de la surface libre, et que, dans la profondeur des eaux, il se produit des ondulations de même longueur que celle de la surface, mais de hauteurs qui vont en diminuant à mesure qu'on s'éloigne de la surface libre.

M. de Bénazé, ingénieur des constructions navales, a donné, dans un remarquable mémoire sur la houle (*), des chiffres qui feront juger de la rapidité avec laquelle l'amplitude des ondulations diminue en descendant au-dessous de la surface libre des eaux. Ces chiffres se rapportent aux vagues de la mer, et j'ai déjà

(') Théorie de la houle, par M. de Bénazé, insérée dans la Revue maritime et coloniale. Tome XLII, année 1874.

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fait remarquer (23) que ces vagues peuvent être assimilées aux oncles d ^oscillation périodiques.

D'après les calculs de M. de Bénazé, à des profondeurs égales à la demi-longueur et à la longueur de Tonde, les amplitudes ne

sont plus respectivement que de -^ et ^^ de la demi-hauteur de

l'onde à la surface libre.

49. Il résulte de là que si, théoriquement, l'ondulation se continue à toute profondeur dans la masse liquide, ses effets sont insensibles au delà d'une certaine profondeur, et que l'on peut considérer, pratiquement, les ondes d'oscillation comme ne mettant les eaux en mouvement que sur la profondeur où l'agitation est capable de se faire sentir.

Cette profondeur dépend des dimensions, en longueur et hauteur, des ondes à la surface libre. Elle est la même pour des ondes de mêmes dimensions, quelle que soit la profondeur des eaux.

50. Expression de la vitesse de propagation des ondes périodiques dans les eaux profondes. — Les recherches théoriques sur les vitesses de propagation des ondes d'oscillation n'ont porté, comme je l'ai dit (20), que sur les ondes périodiques. C'est aux ondes de cette espèce que s'appliquent les résultats que je vais relater.

Lorsque la profondeur des eaux dépasse celle dans laquelle l'agitation produite par le passage des ondes est appréciable, c'est d'après la longueur des ondes et la durée de leur oscillation que la vitesse de propagation se règle, et voici les formules auxquelles sont arrivés M. de Bénazé, dans le mémoire précité sur la houle, et M. Boussinesq dans la savante théorie qu'il a donnée des ondes périodiques (*).

(*) Théorie des ondes liquides périodiques , par M. Boussinesq» insérée au Tome XX, année 1872, des Mémoires présentés par divers savants à V Académie des Sciences,

En appelant :

V la vitesse de propagation de l'onde,

L sa longueur,

T la durée de son oscillation, on a, entre la vitesse de propagation et la durée de roscillation, la relation suivante :

En remarquant que L = VT, la vitesse de propagation s'exprime en fonction de la longueur de Tonde de la manière suivante :

51. Expression de la vitesse de propagation des ondes périodiques dans des eaux de médiocre profondeur. — Si Ton suppose maintenant que la profondeur des eaux soit moindre que la distance de la surface libre à laquelle l'agitation produite par l'ondulation cesserait d'être appréciable en eaux profondes, la hauteur totale des eaux exerce alors de l'influence sur la vitesse de propagation des ondes d'oscillation.

C'est ce qui résulte de la théorie des ondes périodiques de M. Boussinesq, dont j'ai parlé plus haut. L'équation qui doit fournir la vitesse V de propagation est transcendante en V. En développant les exponentielles de cette équation et se bornant aux deux premiers termes, M. Boussinesq est arrivé à la valeur suivante de la vitesse de propagation,

dans laquelle, suivant les notations que j'ai adoptées, H représente la profondeur primitive des eaux.

Cette valeur de V ne convient que quand la durée de l'oscillation est très longue; et en prenant, dans l'équation, un plus grand nombre de termes, on arrive à d'autres valeurs de V qui s'appliquent aux cas ordinaires.

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Mais comme c'est principalement des ondes marées que je m'occupe dans cet écrit, et comme ces ondes ont une très longue durée d'oscillation, je me borne à mentionner la formule ci-dessus, qui leur est applicable; et l'on verra plus loin (66) que les vitesses obtenues par cette formule s'accordent avec les résultats des observations.

32. Du déferlement des ondes d'oscillation dans des eaux ayant peu de profondeur, — J'ai précédemment parlé (27) du déferlement des vagues de la mer, quand, s'approchant du rivage, ces vagues arrivent dans des eaux de faible profondeur.

Il ne paraît pas que la question du déferlement des ondes d'oscillation ordinaires ou périodiques, par défaut de profondeur des eaux, ait fait l'objet d'observations ou de recherches théoriques.

Cette question ne présente d'ailleurs pas d'utilité pour les études que j'ai principalement en vue dans cet écrit; et je me contenterai de signaler, comme je l'ai déjà fait (27), l'analogie qui parait exister sur ce point entre les ondes d'oscillation et les ondes de translation, analogie qui porte à penser que les ondes d'oscillation déferlent quand la profondeur des eaux descend au-dessous d'une certaine limite, par rapport à la hauteur des ondes.

53. Du déferlement des ondes d^ oscillation dans les eaux profondes. — Nous avons vu (28) que les vagues de la mer arrirent à déferler dans les eaux profondes quand la hauteur des ondes devient considérable par rapport à leur longueur.

Cherchant la plus grande hauteur que puisse atteindre une lame dont la durée d'oscillation est connue, M. de Bénazé, dans son mémoire précité, est arrivé à la valeur suivante :

S en appelant h la hauteur de l'onde et V la vitesse de propagation.

Si l'on remplace V* par sa valeur — précédemment donnée (50), on obtient, pour le maximum de la valeur de A,

La plus grande hauteur que puisse prende une onde d'oscillation est donc, comme je l'ai précédemment indiqué (28), le tiers environ de la longueur de cette onde.

54. Suivant d'ailleurs que la hauteur d'une onde d'oscillation est plus ou moins grande par rapport à la longueur, la forme de l'onde varie.

M. de Bénazé décrit de la manière suivante les différentes formes que prennent les vagues de la mer eu égard au rapport de la hauteur à la longueur de ces vagues.

La forme de la vague est ordinairement une trochoïde, courbe intermédiaire entre la sinusoïde et la cycloïde.

La courbe de la surface libre prend la forme d'une sinusoïde lorsque le rapport de la hauteur à la longueur de l'onde est très faible.

Elle devient une cycloïde quand le rapport atteint la limite - cidessus indiquée.

55. Mouvements particuliers des molécules dune masse liquide que parcourent des ondes d oscillation. — J'arrive maintenant à la question du déplacement horizontal de liquide occasionné par la propagation des ondes d'oscillation, déplacement horizontal qu'il faut toujours entendre dans le sens indiqué à la note du n® 31.

Les ondes de cette espèce se succèdent en présentant une suite d'intumescences séparées par des dépressions qui s'enfoncent, audessous du niveau normal des eaux, à peu près de la quantité dont les parties saillantes s'élèvent au-dessus de ce niveau.

Si à un instant quelconque l'une de ces ondes a la position

ONDES DE TRANSLATION ET d'oSGILL ATION. 49

DSD' (Jig' 1 1 ), après le temps nécessaire pour qu^une onde fasse son évolution entière, le sommet de l'onde suivante se trouvera à son tour en S, et la courbe instantanée des ondes, au point que nous considérons, aura exactement la même forme qu'à l'origine

Fig. II.

de ce temps. Je fais abstraction de la légère différence de hauteur que les frottements et autres causes peuvent occasionner d'une onde à la suivante.

Au milieu de la durée de l'évolution entière d'une onde, l'ordre des parties saillantes et des parties déprimées est inversé, et la courbe instantanée des ondes devient alors sds'.

En passant de la position initiale des ondes à la position inverse que je viens de décrire, la forme de la surface libre des eaux subit un changement considérable. La surface est déprimée là où elle était saillante, et réciproquement.

Après la demi-durée de l'évolution d'une onde, le volume d'eau, qui a pour section ASBrf, se trouve en moins dans l'espace compris entre les verticales A a et B 6 passant par les points A et B. Ce volume doit dès lors se trouver en plus quelque part. En quels lieux est-il passé?

Il n'y a que deux dispositions possibles. Le volume en question est passé tout entier dans le sens du mouvement des ondes pour former la nouvelle intumescence s' au-dessus de l'ancienne dépression D'; ou bien il s'est partagé entre les deux intumescences s et/ en arrière et en avant de la position primitive S, pour contribuer à former ces nouvelles intumescences.

56. Je rappelle ici ce que j'ai dit (42) au sujet des ondes de

50 MARBBS PLUVIALES. — CHAP. I.

translation : le volume d'eau qui formait rintumescence S se trouve bien, à l'expiration du temps que Ton considère, en d'autres lieux, mais ce ne sont pas les molécules elles-mêmes du volume ASBrf qui ont passé dans de nouvelles intumescences de l'onde ; et c'est par le déplacement horizontal de liquide, de proche en proche, que l'échange des volumes s'opère.

57. Si l'on considère le volume du liquide ainsi déplacé horizontalement, ce volume est le même dans les deux cas ci-dessus indiqués ; car il s'agit de pour^'oir à un même supplément de volume, à savoir : le supplément entier correspondant à l'intumescence s dans le premier cas, et la moitié des deux suppléments correspondant aux intumescences s et / dans le second.

Mais si l'on considère la distance moyenne à laquelle se fait, dans l'un et l'autre cas, le transport de liquide, de proche en proche, auquel donne lieu le mouvement ondulatoire, les deux cas ne se trouvent plus sur le pied d'égalité. La distance moyenne de transport est égale à CC, soit à la demi-longueur d'une onde dans le premier cas ; et, dans le second, elle est égale à la moitié des intervalles qui séparent les centres de gravité des triangles curvilignes AS rf et A5D d'une part, et BS rf et B^D d'autre part, c'est-à-dire approximativement aux deux tiers de la demi-longueur d'une onde.

La quantité d'action serait donc plus grande dans le premier cas que dans le second.

Donc, en vertu du principe de la moindre action qui régit les phénomènes naturels^ c'est la seconde disposition qui doit se réaliser.

58. Déplacement horizontal alternatif des molécules d'eau dans les ondes d'oscillation. — Il suit de là que, dans la propagation des ondes d'oscillation, certaines molécules d'eau se déplacent horizontalement dans le sens de la marche des ondes au passage de chacune d'elles, et d'autres molécules en sens contraire.

Ces déplacements de liquide donnent lieu à des courants mo-

ONDES DE TRANSLATION ET d'oSCILL ATION. 51

roentanés dirigés tantôt dans le sens de la marche des ondes, tantôt dans le sens opposé. Ces deux courants se produisent alternativement en chaque lieu, pendant le passage de chacune des ondes qui se succèdent, et ils cessent d'exister quand toutes les ondes ont passé.

Il serait extrêmement difficile d'observer les courants alternatifs dont je viens de parler dans les petites ondes d'oscillation, dont l'évolution est très courte et la longueur très petite.

Mais le phénomène des courants alternatifs devient très appréciable dans les ondes marées de la mer, qui sont des ondes d'oscillation périodiques (20 et 63), et l'on verra que les faits observés dans la mer confirment les considérations qui précèdent.

59. Mouvement orbitaire des molécules deau dans les ondes cT oscillation. — Le déplacement de liquide dans le sens horizontal, dont je viens de parler, n'est pas le seul auquel donne lieu la marche des ondes d'oscillation. La propagation de ces ondes fait naître en outre des déplacements dirigés verticalement dans chaque tranche, en montant lorsque la hauteur de la tranche augmente, et en descendant lorsque cette hauteur diminue.

Il se produit donc, dans une masse liquide parcourue par les ondes d'oscillation, des actions qui tendent à imprimer aux molécules d'eau un mouvement horizontal dirigé alternativement dans le sens de la marche des ondes et dans le sens contraire, et d'autres actions qui tendent à imprimer aux molécules un mouvement vertical dirigé alternativement en montant et en descendant.

Ces actions combinées rendent compte du mouvement orbitaire des molécules d'eau, pendant le passage des ondes d'oscillation; mouvement qu'a observé J. Russell (24), dans un c'anal à parois vitrées où se trouvaient des corpuscules en suspension.

On sait, en efiet, que si deux systèmes, doués de vitesses dont les directions sont perpendiculaires entre elles, sont assujettis l'un et l'autre à parcourir une certaine longueur, tantôt dans un sens.

tantôt dans le sens opposé, un point de Tun des systèmes trace dans l'autre une courbe dont la forme dépend des relations qui existent entre les vitesses des deux systèmes et entre les espaces qu'ils parcourent. La courbe devient un cercle si les vitesses des deux systèmes sont égales ainsi que les longueurs de leur déplacement.