ÉTUDES SUR LA PENSÉE SGIENTIFIOUE

de la théorie des proportions ; la leçon de géométrie du Ménon est intéressante, et touche à des notions d'une importance capitale ; Théétète nous apprend, dans le dialogue qui porte son nom, où en sont exactement les travaux des géomètres sur les irrationnelles ;... et ainsi de suite.

En dehors de Platon lui-même, nous adresseronsnous à Aristote ? Il insiste, dans la Métaphysique^ sur ce que, aux mains de Platon, la philosophie a fini par se fondre dans la mathématique, et il consacre un livre entier à la discussion des Idées-Nombres. Mais, d'une part, il vise ainsi Tusage que fait Platon de la mathématique bien plutôt que ses connaissances spéciales ; et, de plus, ce témoignage d'Aristote, en raison de ce que les Dialogues semblent ne pas Fappuyer suffisamment, donne lieu aux plus grandes difficultés. Aristote est suspect, quand il s'agit de Platon, et plus d'un a pu croire qu'en transformant la doctrine fondamentale de son maître en une théorie mathématique, il voulait la rendre plus ridicule et plus accessible à sa critique. Tel n'est pas mon avis, et la suite de ce cours laissera une place à la question des Idées-Nombres ; mais il sera sage alors d'avoir rendu au témoignage d' Aristote toute sa portée, et c'est pourquoi j'aime mieux chercher en dehors de lui des raisons de croire au mathématisme dont fut certainement imprégnée la pensée de notre philosophe.

Une tradition s'est formée et conservée dans toute l'antiquité, relative à Platon, remontant probablement à ce disciple d'Aristote, Eudème, qui fut l'auteur d'une histoire des mathématiques, — tradition s'exprimant en formules plus ou moins précises, mais toujours enthousiastes. Elle présente Platon comme ayant dé-

ployé pour la géométrie un zèle infatigable, et comme lui ayant fait prendre un très grand essor. Il se serait particulièrement occupé, — en outre d'une méthode de démonstration, sur laquelle je reviendrai dans la suite du cours, — du problème de la duplication du cube, et aurait donné un puissant élan à la théorie naissante des sections coniques. Ce qui est certain en tous cas, c'est que, après la mort de Socrate, il a vécu près d'un certain nombre d'hommes, qui tous ont leur nom dans l'histoire de la géométrie. C'est Théodore de Cyrène, dont Platon suivit les leçons ; c'est Théétète, à qui nous devons, selon toute probabilité, les livres arithmétiques et surtout la théorie des incommensurables que renferment les Éléments d'Euclide ; c'est Eudoxe, de qui date certainement dans sa partie essentielle, d'après des remarques concordantes d'Eudème et d'Archimède, le V® livre des Éléments^ c'est-à-dire la définition et l'étude des proportions présentées de façon assez générale pour exclure toute préoccupation de commensurabilité ; c'est Ménechme, qui passe pour avoir étudié le premier les sections du cône, et les avoir fort heureusement appliquées au problème de la duplication du cube ; c'est le pythagoricien Archytas, avec qui Platon s'était lié d'amitié en Sicile, et qui donna pour la même question une solution fort curieuse. C'est Amyclas d'Héraclée, c'est Dinostrate, frère de Ménechme ; c'est Theudios de Magnésie ; c'est Athénée de Cyzique , et d'autres, dont Proclusnous dit, d'après Eudème, qu'ils se réunissaient à l'Académie, et qu'ils ont contribué chacun pour sa part aux progrès de la géométrie. Si nous ne pouvons assigner avec précision l'œuvre personnelle de Platon, nous avons du moins la certitude que, près de lui,

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le plus souvent sans doute sous sa direction, un travail énorme s'est accompli.

L'admiration de Platon pour les mathématiques, qui déborde de ses œuvres et qui se dégage de tout ce que la tradition nous dit de lui, n'a donc rien d'extérieur ni de superficiel. Quand il demande, dans la. République, aux futurs philosophes de s'enfermer longtemps dans Tétude et dans la méditation de ces sciences, c'est qu'il en a subi le charme puissant, et qu'il a le sentiment de puiser à leur source même ce qui peut le mieux justifier l'élévation de ses doctrines.

J'ai montré, l'an dernier, l'idéalisme de la philosophie grecque naissant, pour ainsi dire, en même temps que la géométrie rationnelle : et les notions générales commençant à s'élever au-dessus de la réalité sensible et concrète, avec les premiers Ioniens, à l'époque où la géométrie présente déjà, au milieu de règles simplement empiriques, un certain nombre de conceptions abstraites, suivant le témoignage même d'Eudème. La forme logique date des premiers Pythagoriciens : ce sont eux qui cherchent la réalité suprême dans le nombre, et, près d'eux, en Italie, ce sont les Eléates qui, formulant le premier mot de la philosophie de la connaissance, séparent radicalement le domaine de l'opinion, c'est-à-dire le monde des sens, et celui de la vérité, le monde de la raison. Cette distinction prendra avec Platon une importance capitale et décisive.

D'une façon générale d'ailleurs, tout ce que la géométrie grecque, par ses conceptions et ses méthodes essentielles, pouvait suggérer dans le sens de l'idéalisme rationnel et de la confiance en la sûreté de l'in-

telligence humaine, nous le trouverons au plus haut degré chez Platon. Et, à la lumière de celte géométrie, ce sont les notions fondamentales elles-mêimes de la philosophie platonicienne que nous verrons s'éclairer d'un jour inattendu. — Mais il y a plus, et nous ne devons pas nous borner à considérer la mathématique grecque en général. Par les efforts de Platon et de ses contemporains, celle-ci, je l'ai dit, se trouve réaliser un progrès important. Je voudrais vous montrer brièvement que rœuvre ainsi accomplie n'ajoutait pas seulement à une liste déjà longue un certain nombre de vérités nouvelles, mais qu'elle était de nature à appeler tout particulièrement la pensée du géomètre sur des conceptions qui, si elles n'étaient pas tout à fait neuves, prenaient désormais une signification plus profonde. — J'ai en vue tout d'abord et surtout l'étude de plus en plus complète des incommensurables.

Les Pythagoriciens avaient déjà remarqué que la diagonale d'un carré ne peut se mesurer par le côté du carré. Vous entendez bien ce que cela veut dire. Que de deux longueurs Tune ne soit pas contenue un nombre exact de fois dans l'autre, il n'y a rien là de curieux. Il s'agit ici de bien autre chose. Non seulement la diagonale du carré n'est pas un multiple entier du côté, mais même vous pouvez diviser ce côté en parties égales, aussi nombreuses que vous voudrez, dix, cent, mille ; jamais une de ces parties, si petites qu'elles deviennent, ne sera contenue un nombre exact de fois dans la longueur de la diagonale. Supposez que, le côté devenant Tunité de mesure, on cherche à fixer numériquement la longueur de la diagonale, on ne réussira pas à Texprimer. On peut dire qu'aucun nombre ne correspondra à la grandeur

déterminée que Ton a sous les yeux, ou, en d'autres termes, si vous voulez, entre la diagonale et le côté du carré, il n'existera pas de rapport numériquement exprimable.

Je parais certainement à quelques-uns d'entre vous insister en ce moment sur des banalités fastidieuses : c'est que, depuis les Pythagoriciens, bien des siècles se sont écoulés, et, pour marquer d'un mot le chemin qu'ont fait nos idées, ce qui leur est apparu comme une prodigieuse exception est pour nous le fait général, le fait habituel. Imaginez des milliers et des milliers de longueurs tracées au hasard de constructions tout à fait arbitraires : nous devinons qu'il faudra choisir Tunité d'une façon spéciale pour que, dans cette infinité de longueurs, il s'en trouve une seule numériquement exprimable. Mais, en faisant abstraction de notre manière de voir actuelle, nous nous représentons sans peine l'étonnement profond oii durent être plongés les premiers géomètres qui ont découvert, dans un cas particulier, Tincommensurabilité de deux longueurs.

Il ne semble pas d'ailleurs que les idées des Pythagoriciens sur la constitution des choses aient été modifiées en rien par cette découverte. J'ai parlé, Tan der-' nier, de cette sorte d'atomisme spatial qui leur faisait appeler le point « l'unité ayant une position », et les amenait à se représenter la droite comme une somme de ces unités-points, la surface comme une somme de droites, et ainsi de suite. Les témoignages d'Aristote relatifs à cette conception, et aussi la tradition arithmétique pythagoricienne, qui fait porter les démonstrations sur des figures formées par des lignes de points, jettent un jour spécial sur cette façon toute naïve d'en-

tendre la fusion du nombre et de l'étendue. L'incommensurabilité des longueurs se heurtant à une pareille conception aurait dû suffire pour la ruiner : chose étrange, ce fut elle au contraire qui dut paraître comme une anomalie monstrueuse, qu'il était bien difficile d'expliquer. Pour elle, en tous cas, on ne pouvait renoncer, — en dehors de l'atomisme dont j'ai parlé, — à une théorie constituée, qui rendait déjà de grands services à la science générale du monde, je veux dire à la théorie des rapports et proportions. Cette théorie trouvait si facilement son application à la connaissance des choses les plus variées, à la musique, par exemple, comme à la géométrie 1 Eh quoi ! dans l'étude de l'harmonie, fallait-il entrevoir cette éventualité de longueurs de cordes vibrantes dont il y aurait lieu de comparer les sons, et qui n'auraient pas de rapports ? En géométrie, où les lignes proportionnelles jouent un rôle permanent, dès les questions les plus élémentaires, fallaitil y renoncer parce que l'existence des rapports ne pourrait pas d'avance être affirmée ? Une redoutable antinomie venait de se poser, qui, si elle ne fut pas capable d'ébranler une science désormais trop solidement constituée, fut du moins de nature à jeter le plus grand trouble dans les esprits. Et, de fait, il y eut, jusqu'au commencement du iv® siècle, un effort visible au moins en géométrie, pour se mettre à l'abri des difficultés, en supprimant le plus possible toute consi- , dération de proportionnalité. Les quatre premiers livres d'Euclide, dont la forme et le fond remontent certainement aux Pythagoriciens, se passent complètement de cette notion, et donnent plus d'une fois l'impression d'un effort voulu par le détour curieux qui permet au géomètre d'éviter la méthode si simple de la