ÉTUDES SU H LA PENSÉE SCIENTIFIQUE

similitude. Si, comme je Tai déjà rappelé, c'est à Eudoxe qu'est dû le contenu du v* livre d'Euclîde sur les proportions, et si c'est Théétète qui composa le x«, celui qui essaie une classification des grandeurs irrationnelles, il n'est pas douteux que l'antinomie cesse d'exister aux yeux de Platon. Son esprit n'est pluô troublé par Texistence des incommensurables ; mais combien nous le voyons pénétré de leur importance I C'est pour lui un des points fondamentaux de la géométrie. Il ne peut s'empêcher d'y faire allusion chaque fois qu'il cherche dans le domaine de la science l'exemple d'une vérité capitale, que tout le monde devrait connaître et méditer. Et la raison n'en est pas difficile à saisir. Pour que la notion nouvelle de la grandeur incommensurable prît enfin sa place naturelle en géométrie, il n'avait fallu rien de moins, au fond, que la transformation radicale de l'idée de nombre, transformation toute grosse de conséquences. Reprenons, si vous voulez, deux grandeurs telles que la diagonale et le côté d'un carré . ne sont-elles pas liées entre elles par une certaine manière d'être quantitative, comme dit Euclide, xatâ TTYîXtxdr/îTa nota ayiéaiç indépendante de tout calcul, de tout procédé qui pourrait nous servir à l'exprimer ? Ce sera là, dans ce qu'il aura de plus général, le Xô^oç, le rapport des deux grandeurs. Il ne revêt pas la forme particulière d'un nombre entier ou d'une fraction: qu'importe? Cela prouve simplement que les moyens qui nous faisaient aboutir à cette sorte d'expression étaient insuffisants ; que l'idée de quantité, de rapport, de nombre, n'était pas épuisée par la méthode qui consistait à ajouter simplement, à juxtaposer des éléments identiques, unités ou fractions d'unité. Lorsque je dis, en

présence de mes deux longueurs, que Tune est déterminée en quelque façon par Tautre, qu*elle en participe de quelque manière, je suis en même temps dans Timpossibilité absolue de montrer certains éléments identiques de Tune, dont la collection, la répétition permettrait de reconstituer Tautre : c'est tout simplement que ce mode nouveau de participation échappe à toute image additive.

Dira-t-on qu'il y a là un genre de quantité tout à fait singulier, n'ayant aucun rapport avec le nombre, seul connu jusqu'ici? Il est, au contraire, assez facile de donner une place au nombre nouveau dans Téchelle de ceux dont nous disposions auparavant. Il suffît pour cela de se laisser guider par Platon lui-même, qui préeisémenl a choisi ce problème pour faire Ménon témoin des merveilleux effets de la réminiscence. Le procédé est très clair; mais il n'a plus aucun rapport avec la comparaison des nombres de Parithmétique primitive : il consiste à comparer des longueurs entre elles, non plus par les sommes d'éléments qu'elles représentent, mais par les carrés qu'elles sont en puissance de fournir.

L'intuition géométrique prend désormais un rôle spécial et nouveau en tant que représentative de la quantité. D'une part, elle a révélé des états de grandeur que la simple addition d'éléments identiques ne suffit plus à constituer, et, en même temps, elle a fourni elle-même le moyen de les faire entrer dans l'échelle des nombres. — D'autre part, voyez comme elle généralise les propriétés quantitatives. Les nombres arithmétiques ne sont que très rarement des carrés ; 2, par exemple, n'est pas un carré. Or, en géométrie, si vous partez du carré de côté 1, c'est-à-