DO ÉTUDES SUR LA PENSÉE SCIENTIFIQUE

dire du carré 1, il vous suffira de construire, comme dans le Ménon, le carré qui aurait la diagonale pour côté, ce sera le carré 2. Les nombres arithmétiques 1 et 2 étaient à cet égard dissemblables ; la géométrie leur rend la similitude. Ecoutez ce que dit, dans VEpinomis, sinon Platon lui-même, quelqu'un en tous cas •qui est pénétré, soyez-en sûr, de sa pensée : « Après cette étude (celle de l'arithmétique) vient immédiatement celle que Ton nomme bien ridiculement géométrie (mesure de la terre), et qui consiste à donnera des nombres naturellement dissemblables une similitude se manifestant sous la loi des figures planes. C'est là une merveille qui, si Ton arrive à la bien conàprendre, apparaîtra clairement, comme venant non de rhomme, mais de la divinité. »

Mais, si tel était déjà le rôle de la géométrie plane, que ne pouvait-on attendre des figures à trois dimensions ? Au problème de la duplication du carré, correspond celui de la duplication du cube: construire le côté d'un cube double d'un cube donné. La question était loin d'être résolue avant Platon. Hippocrate de Chios avait seulement montré qu'elle se ramène à la construction de deux moyennes proportionnelles. Que Platon et ses contemporains se soient passionnés pour -ce problème, cela ressort surabondamment d'une foule de témoignages et de faits précis, parmi lesquels je me bornerai à citer les solutions mêmes d'Eudoxe, d'Archytas, de Ménechme. La légende fait remonter cette série de travaux à un ordre d'Apollon lui-même. Pour mettre fin à la peste qui ravageait l'Attique, le dieu exigea qu'on doublât son autel. Celui-ci avait la forme d'un cube, et, dans leur ignorance naïve, les architectes doublèrent simplement la longueur du côté. La

peste continuant, on s'adressa à Platon, qui fut épouvanté par la difficulté du problème. Cette fable peut au moins donner quelque idée de Timportance énorme que donna Tantiquité à la question de la duplication du cube. Platon lui-même, d'ailleurs, se plaint amèrement dans la République, de ce que, faute d'enthousiasme de Is^ part du public et malgré le zèle d*un petit nombre, les difficultés suscitées par la troisième dimension n'aient pu encore être résolues.

En voulant arracher à la géométrie des solides de nouveaux secrets, de nouvelles contributions assurément précieuses à la science des grandeurs, Platon et ses contemporains se trouvaient tout naturellement amenés à manier, avec les sections planes du cône, d'autres courbes que le cercle, et à généraliser la notion de ligne par celle de lieu géométrique. Comment, en effet, se présentaient à eux les courbes qu'ils nommèrent ellipses, hyperboles, paraboles ? Leur signification, leur importance, étaient tout entières dans ce fait qu'à chacun de leurs points correspondaient des longueurs et des surfaces liées par une relation quantitative déterminée. C'était déjà, deux mille ans avant Descartes, la géométrie analytique qui prenait naissance, sinon dans sa forme, au moins dans son esprit.

La participation des formes spatiales à la quantité, que les Pythagoriciens avaient devinée plus qu'ils ne l'avaient comprise, et qu'en tous cas ils interprétaient si naïvement en projetant simplement le nombre discret dans l'étendue continue, cette participation pouvait donc prendre désormais pour Platon un sens autrement profond. Non seulement la quantité ne risquait pas d'entrer en conflit avec le continu de l'intuition sensible ; mais elle recevait de lui l'extension la

plus féconde. Ce n*est pas Tarithméticien, celui qui forme le nombre par l'addition des unités, c'est le géomètre, pour lequel toute figure exprime à sa façon des rapports quantitatifs, qui seul est capable de saisir toute la signification du nombre. Ainsi les qualités de forme, dé figure, de continuité, celles qui se traduiront pour telle ligne par ce fait concret à sa façon, ce fait interné, dynamique, si vous voulez, qu'elle peut donner lieu à telle construction ; cet ensemble de qualités qui touchent à des considérations d'ordre synthéliquCy en ce sens qu'elles échappent à une vue purement analytique comme celle de l'arithméticien, — loin d'exclure le nombre, ou de ne l'admettre qu'en se dissolvant ellesmêmes, comme le supposait lécole de Pythagore, — semblent être au contraire les conditions les plus favorables à l'épanouissement complet de la quantité. — Un travail d'élaboration, dont on trouve déjà chez Euclide des marques plus ou moins inconscientes, essaiera plus tard de rendre à la quantité son caractère exclusivement analytique. Cela n'aura rien de surprenant d'ailleurs, car c'est un des caractères essentiels de la mathématique de poursuivre le maximum d'intelligibilité, et par conséquent de ramener le plus possible à l'analyse toutes les notions dont elle s'enrichît. A mesure que sa matière s'accroît, elle s'efforce aussi de s'assimiler tous les éléments nouveaux. Mais ce travail continu est plus ou moins lent, selon les temps et les ôirconstances ; et comme la science, pour se développer, n'attend pas qu'il soit accompli, il arrive à chaque instant, dans l'histoire de la mathématique pure, que certaines idées revêtent tout d'abord plus de complexité et d'attributions qualitatives qu'elles n'en garderont plus tard.

C'est ainsi que Platon, tout imprégné qu'il soit de la science analytique par excellence, ne songe certainement pas à dépouiller les conquêtes de la géométrie nouvelle de toutesleurs richesses, sous prétexte qu'elles changent les conditions ordinaires d'intelligibilité. Bien au contraire, il les accueille avec enthousiasme, il les admire, et chez lui il en résulte simplement, à côté des tendances naturelles à tout mathématicien, une attitude nouvelle, qui lui fait rejeter volontiers les explications purement additives ou mécaniques, et qui l'entraîne sans cesse, tout en lui laissant le sentiment qu'il atteint de mieux en mieux la vérité, c'est-à-dire pour lui la réalité dernière, vers des préoccupations dynamistes et qualitatives.

De là la double forme que revêt sa philosophie. D'une part elle est intellectualiste et logique, comme si pour Platon tout allait s'expliquer ^ au sens propre du mot, s'étaler au dehors avec une clarté parfaite, de façon à répondre complètement au besoin d'intelligibilité mécanique et causale ; d'autre part, il est visiblement attiré par les conceptions qui gardent quelque chose d'irréductible à l'analyse, où les éléments ont entre eux des rapports internes de convenance, d'adaptation harmonieuse, et qui imprègnent toute sa philosophie d'un caractère esthétique et moral. L'originalité de Platon, c'est justement que ces tendances opposées, absolument contraires, se trouvent étroitement unies dans son esprit. L'opposition disparaît complètement pour lui, en ce sens que le nombre ne reçoit toute la signification qu'il comporte que d'une synthèse qualitative, et que, inversement, l'être qualitatif à aucun degré n'atteint toute sa réalité qu'en ne se séparant pas de l'idée de détermination quantitative.

De là la richesse infinie de sa pensée ; de là aussi le danger de ne la voir que sous une de ses faces multiples, et la difficulté de la saisir tout entière. *

S'il ne sépare jamais\le pur intelligible du nombre, de la mesure, jamais non plus il ne le sépare de Tordre que crée le nombre, du beau, du parfait, et, par cela même, du bien.

Le mouvement de rotation uniforme d'une sphère autour de son axe, celui même dont Funî vers est animé donne le mieux à ses yeux l'impression du stable, du permanent, du régulier ; et en même temps, il est comme l'image de Tintelligencesuprême, l'émanation et comme la marqute du divin dans le ciel. — La proportion géométrique est la relation fondamentale que la science découvre partout dans son explication des choses, et c'est celle aussi qui donne le lien le meilleur pour unir deux corps ; c'est grâce à elle, suivant les expressions du Timée, que « le monde tient de sa composition même cet amour par lequel il s'unit de manière à ne faire qu'un avec lui-même. »

La cosmogonie de Platon laisse une large place au mécanisme, en expliquant toutes les transformations des éléments, eau, terre, air, feu, par les substitutions de triangles infiniment minces, et l'on pourrait s'oublier jusqu'à rapprocher cet atomisme curieux de celui de Démocrite, si les réflexions du Timée ne ramenaient à chaque instant des préoccupations finalistes, comme pour justifier le mot de Socrate dans le Fhédon: «Si quelqu'un veut trouver la cause de chaque chose, comme elle naît, périt ou existe, il n'a qu'à chercher la meilleure manière dont elle peut être. »

Peut-on comprendre la dialectique platonicienne, cette marche ascendante de la pensée du sage depuis

les ombres du monde sensible jusqu'à Téblouissante lumière de ridée du Bien, si Ton ne fait appel, en même temps qu'aux facultés logiques, à une force toute-puissante que Platon appelle Tamour^ désignant ainsi cette attraction qu'exerce le Beau sur notre âme, et qui la pousse^ de degré en degré jusqu'à la communion avec la beauté éternelle? — Et pourtant Platon n'est pas un mystique^ ce n'est pas par une sorte de méditation pieuse, par une simple réflexion de la pensée sur elle-même, par un élan naturel de l'âme vers le divin, que le sage parviendra à la contemplation de TUnité suprême. Non, il faut une patiente préparation, et elle consiste essentiellement dans Tétude approfondie des sciences. Seuls seront accessibles à l'attraction divine qui les emportera vers la vérité et la justice idéale, ceux dont l'esprit aura mûri au contact intime et prolongé de la spéculation scientifique.

D'ailleurs, si l'étude de la mathématique rationnelle est, aux yeux de Platon, la meilleure préparation à la philosophie, ce n'est pas seulement parce qu'elle fixe la pensée sur des vérités éblouissantes de clarté logique ; c'est aussi que ces vérités sont faites d'ordre, de mesure, d'harmonie, et qu'elles donnent à Tâme une impression profonde de pureté et de beauté sereine. Le plaisirque donne la vue des belles figures est mis dans le Philèbe au rang de ceux qui sont les plus vrais. Et comme pour éviter tout malentendu, Socrate dit avec précision : « Je parle de ce qui est droit et circulaire, plan et solide... Ces figures ne sont pas, comme les autres, belles relativement ; elles sont toujours belles par elles-mêmes et de leur nature... »

Si Ton aborde enfin certains ordres d'idées où les préoccupations morales semblent devoir exclure tout

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souci de détermination trop rigoureuse, il faut s'attendre à voir Platon y revenir avec tranquillité. On sait, par exemple, quels efforts sont les siens pour trouver une définition satisfaisante de la justice. Les quatre premiers livres de la République aboutissent à cette conclusion que la justice se définit à Taide^ de trois vertus : tempérance, courage, prudence. Ce^ n'est pas qu'elle soit leur somme, ni que ces vertus soient les parties d'un tout suffisamment désigné par leur simple énumération. La justice se détermine par elles ; elle est le principe d'unité qui établit entre elles Taccord parfait, « comme entre les sons extrêmes de Tliarmonie, l'octave, la tierce et la quinte ».

Déjà, à Toccasion de ce problème moral, Platon manifestaitdes tendances à voir les idées dépendre les unes des autres, participer les unes aux autres, se déterminer les unes par les autres, comme font les grandeurs, tout en attribuant au mode de participation un caractère synthétique qui ne rappelait plus le moins du monde la simple dépendance du tout à l'égard de ses parties. Ce n'était encore qu'un cas particulier, où peut-être domine simplement la vieille notion pythagoricienne de l'harmonie.

Le Parménide, le Sophiste et le Philèbe nous feraient pressentir, à défaut d'Aristote, la généralisation audacieuse qui allait introduire dans les Idées, c'est-à-dire dans les essences qualitatives suprêmes, la notion de dépendance avec détermination rigoureuse, qui est, au fond, celle de la fonction mathématique, celle qui se présente, au plus haut degré, comme la synthèse de la variabilité indéfinie et du déterminé, de Vdmipov et du Tiéoaç, et qui peut bien continuer à se désigner du nom de nombre, puisque aussi bien c'était celui par lequel

se nommait la première fonction, la plus simple, la plus naïve, la somme d'unités juxtaposées. De celte prenàière notion jusqu'à celle de Tldée-Nombre, la distance peut être grande: le chemin qui mène de Tune àTautre a du moins quelque uniformité. La qualité s'introduit de plus en plus, et, loin de détruire la quantité, elle en élargit le sens, tout en apportant elle-même le principe d'unification et de comparaison. C'est là, nousTavons vu, le rôle de l'intuition géométrique pour un cas qui reste encore particulier, comme une étape intermédiaire (|UL£Ta?y) * les choses à comparer échappaient bien déjà à toute représentation qui essayait d'y montrer une composition identique d'éléments ; mais elles étaient homogènes, ôp-ostSaç, môme avant l'intervention du géomètre ; c'étaient, par exemple, des longueurs. La diversité spécifique va en augmentant démesurément jusqu'aux Idées, qui puiseront tout leur être qualitatif à la source de Tldée suprême, pendant que celle-ci sera le principe d'unité qui, selon les expressions de VEpinomû, rendra semblables les choses dissemblables par nature, expliquera leur rapport, et sera le fondement de leurdétermination réciproque. — Aristole,qui ne sait apercevoir chez Platon que le caractère analytique et additif de ses tendances, ne voudra jamais voir, sous l'idée de nombre, qu'une collection d'unités identiques; comme il ne cherchera à comprendre la participation platonicienne que sous les représentations d'une imagination facile, où les éléments se trouvent d'abord posés extérieurement les uns aux autres. Il n'aura pas grand'peine ainsi à montrer l'absurdité choquante de la doctrine. Tout lui eût semblé à la fois plus profond et moins facile à réfuter, s'il avait su voir que chez Platon la transcendance n'exclut

pas plus rimmanence que la qualité n'exclut le nombre.

Maintenant n'allez pas croire, je vous prie, que je prétends mettre à nu tous les ressorts de la philosophie de Platon, parce que j'aurai montré l'évolution des idées géométriques, à laquelle il a lui-même contribué. Je n'ignore pas quelle a pu être sur lui Tinfluence des événements politiques de son temps, de la religion qui lui avait été enseignée, de la philosophie d'hommes comme Heraclite, plus voisine peut-être de la théologie que de la science. Et je me doute qu'une énumération, si longue qu'elle fût, ne réussirait pas à montrer toutes les sources d'où jaillit la pensée de Platon. Pénétré de cette pensée même, je sais bien que ce n'est pas ainsi que se poursuit l'un dans le multiple, et qu'il resterait encore à définir le principe d'ordre et d'harmonie qui fait la beauté de l'ensemble.

Enfin, et surtout, si, poursuivre le fil conducteur habituel de nos études, j'ai dû serrer d'aussi près que possible les influences premières qu'a subies l'esprit de Platon, et me tenir à quelque distance de son œuvre elle-même, je serais désolé de sembler méconnaître tout ce que cette œuvre a de grandiose. Platon fut, au plus haut degré, parmi les Grecs, un de ces « spéculatifs, isolés dans leur pensée», dont nous parlait naguère, avec quelque dédain, l'un de vos maîtres. Nul n'a poursuivi avec plus d'ardeur, par delà le monde imparfait où nous vivons, un idéal suprême de vérité, de justice et de beauté. Isolé dans sa pensée, oui, certes, Platon devait l'être, quand, à l'exemple de quelques autres, — exemple unique dans l'histoire des peuples anciens, — il cherchait à substituer, par les seules forces de sa raison, aux croyances populaires de

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la Grèce, une métaphysique profonde, qui, interprétée par les Alexandrins, et mise au contact des doctrines hébraïques, aboutissait, quelques siècles plus tard, aux dogmes mêmes du christianisme. Théoricien s'élevant au-dessus des conditions ordinaires de la vie, il l'était assurément quand il contribuait, pour sa part, à créer la science et à fonder la liberté de penser. Perdu dans la contemplation de la justice suprême, Platon l'était, n'en doutez pas, quand, après la mort de Socrate, il osait glorifier le martyr dans des pages inoubliables, où les hommes trouveront la source de la plus noble émotion aussi longtemps qu'ils auront su conserver quelque parcelle d'idéalisme.

Depuis qu'au sortir d'un long asservissement la pensée humaines'esl pour la seconde foisémancipée, cette élite de théoriciens, dont fit partie Platon, a eu pour successeurs nos grands philosophes, de Descartes à Auguste Comte. Et c'est l'esprit français, dans ce qu'il a de plus pur, qui, recueillant l'ancienne tradition a doté le monde d'une des plus précieuses conquêtes de l'humanité : je parle de cet esprit de clarté, de lumière de franchise et de raison, qui s'appelle l'esprit moderne — qui respecte, mais aussi qui s'efforce d'éclairer et de guider toutes les nobles aspirations, qui enfin apparaît aujourd'hui comme la condition de tout progrès comme le principe vital de toute civilisation. C'est pourquoi Messieurs, au seuil de nos études sur Platon, je veux saluer, sous son nom, ces admirables penseurs de la Grèce antique, non pas seulement comme homme toujours avide de plus de justice parmi les hom'ines mais aussi comme Français, toujours jaloux delà grandeur morale de mon pays, toujours soucieux de ses destinées.

Il est banal de dire que Platon et Aristote n'ont pas eu la même tournure d'esprit ; mais quand on insiste et qu'on croit pouvoir aller jusqu'à prétendre que sur un point nettement déterminé le disciple n'a pas compris le maître, on a quelque peine à entraîner les convictions, — surtout quand on est obligé, comme cela arrive parfois, de s'aider des paroles d'Aristote luimême, pour remonter jusqu'à la pensée incomprise de Platon. C'est pourquoi, à défaut de renseignements précis sur le tempérament et sur le caractère de chacun de ces hommes, d'où découleraient les divergences attendues d'opinions, il importe de saisir les différences d'éducation et de culture que met au moins en évidence leur attitude en face des problèmes scientifiques de leur temps. Or nous avons essayé d'établir (1) qu'au V® siècle a commencé, pour se continuer avec les contemporains de Platon, un mouvement de la pensée mathématique, qui aboutissait non seulement à l'accroissement d'une liste déjà longue de propositions formulées, mais encore et surtout à une évolution si-

(1) Les Philosophes-Géomètrjes de la Grèce : Platon et ses prédécesseurs. — Paris, Alcan, 1900.

gnificative des concepts fondamentaux. D'une manière générale la notion de nombre et de quantité s'élargissait par sa fusion avec l'intuition spatiale, et sortait du domaine arithmétique et discontinu où l'avaient maintenu les Pythagoriciens, pour revêtir un caractère géométrique et continu ; les méthodes infinitésimales s'élaboraient ; la considération du lieu géométrique défini par une relation caractéristique entre certaines grandeurs conduisait à manier les fonctions les plus diverses. A mesure que se compliquait à l'infini la variété «des formes géométriques, les notions quantitatives, loin de s'exclure, semblaient atteindre à une signification plus complète ; l'unité qui en découlait semblait d'autant plus saisissante que s'augmentait l'hétérogénéité qualitative de l'intuition géométrique. Nous avons tâché de montrer dans le « synthétisme » de Platon un écho naturel de ce grand mouvement ; nous nous proposons d'établir, par l'étude actuelle, qu'Aristote ne le connut qu'imparfaitement, ou, en tous cas, qu'il ne le saisit que du dehors, sans se laisser pénétrer par les éléments nouveaux qu'il apportait à l'esprit; bref, qu'il resta au fond étranger à cette évolution de la pensée mathématique.