II. — Les allusions aux hautes matuématiques

LES quadratures.

Les problèmes mathématiques dont il est question dans les écrits d'Aristote sont des plus élémentaires, et ne dénotent en général aucune connaissance spéciale des conceptions ou des méthodes récentes : il faut faire exception pour un seul problème mentionné plusieurs fois, celui de la quadrature du cercle. Dans la Physique { A, 2, 185 a, 14 ) il dit qu'on doit distinguer, entre les raisonnements à réfuter, ceux qui s'appuient sur les principes et ceux qui ne s'y appuient pas. Ainsi, àpropos de la quadrature, il convient au géomètre de réfuter le

raisonnement par les segments ^mviis non pas celui d'Antiphon. Ailleurs (Réfutât, des Sophistes, XI, 171 b, 15), se présente une distinction analogue, sauf que le nom de Brysonest substitué à celui d'Antiphon, et que cette fois Hippocrate est nommé clairement à propos de la démonstration par les lunules. Nul doute qu'il ne s'agisse aussi d'Hippocrate dans le texte de la Physique. Quels sont donc ces faux raisonnements? — Pour Antiphon, Simplicius et Themistiusnous disent (Brandis Se. in Arist. 327) qu'il parlait d'un polygone régulier inscrit, dont il doublait le nombre des côtés, de manière à arriver à la coïncidence avec le cercle, ce qui était faux au point de vue théorique du géomètre. Bryson, dit Alexandre (Br. Se. in Arist. 306, b, 24), considérait le carré inscrit dans le cercle en même temps que le carré circonscrit; le cercle était pour lui équivalent à un carré compris entre ces deux... A travers même les explications des commentateurs d'Aristote, qui ont voulu justifier son mépris pour de semblables raisonnements, il est impossible de ne pas se demander si vraiment ce mépris était aussi mérité qu'on veut bien nous le dire; et, pour Bryson en particulier, il est significatif de voir Syrianus, le maître de Proclus, émettre des doutes sur la forme de son raisonnement, telle que la présente Alexandre. Quoi qu'il en soit, il est infiniment plus intéressant de se demander quelle pouvait être la fausse démonstration d'Hippocrate.

Longtemps on s'est contenté de répondre par l'opinion d'Alexandre cité par Simplicius ^Br. Se. in Arist- 327): Hippocrate aurait confondu des lunules dont l'arc intérieur est de 60 degrés avec celle dont l'arc intérieur est de 90 degrés, et aurait appliqué aux premières la

quadrature établie pour l'autre. Ce serait là, on le voit, une erreur des plus grossières. Hippocrate en était-il capable ? Nous pouvons répondre aujourd'hui non avec une quasi certitude. Simplicius, en outre du texte d'Alexandre sur Hippocrate, donne un fragment autrement important d'Eudème, Thistorien de la géométrie (1). Ce fragment était extrêmement difficile à tirer au clair à cause des réflexions de Simplicius qui se mêlent au texte d'Eudème. Mais, après les travaux de Bretschneider, d'Allman, de Heiberg, et de Paul Tannery, on est d'accord sur les lignes générales de la reconstitution. Eudème nous faitconnaître des recherches j d'Hippocrate qui font le plus grand honneur à ce savant. I Ce sont des problèmes fort intéressants sur la qua- ] drature des lunules; ils témoignent par la rigueur des conclusions autant que par la généralité des méthodes d'un esprit géométrique tout à fait exceptionnel. Il faut renoncer aux allégations d'Alexandre pour expliquer les paroles d'Aristote. On peut supposer l'existence d'un paralogisme connu d'Aristote, peut-être dans le genre de celui que cite Alexandre, mais pourvu qu'Hippocrate de Chios n'en soit plus responsable, et que son nom ait été introduit dans le texte par quelque copiste. Cette hypothèse, qui est celle de M. Tannery, est-elle bien vraisemblable ? Le nom d'Hippocrate est tellement lié dans l'antiquité au problème des lunules que nous ne songerions guère à un autre en lisant Aristote, même s'il n'était pas explicitement désigné. Dans la Physique, il est question non de lunules, mais de segments ; or le fragment d'Eudème nous fait connaître

(1) Voir P. Tannery. La géométrie grecque^ ch. viu. Paris, Gauthier-Villars, 1887 ; et Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 1883.

une méthode de Quadrature des lunules par la considération de deux séries de segments de cercle correspondant aux deux arcs de la lunule. Et enfin dans les Premiers Analytiques (B, 25, 69 a), Aristote, pour citer un exemple d'à7ia7C»)7v3, fait allusion à Tun des problèmes qu'Eudème nous donne comme étant d'Hippocrate (l'égalité à un rectiligne de la somme d'un cercle et de certaines lunules). Tout nous fait penser qu'Ariatote a connu, au moins dans leur forme générale et leurs conclusions, les travaux de ce géomètre, et que c'est bien lui qu'il a plusieurs fois visé par ses allusions qui, abstraction faite du nom d'Hippocrate, le désignent si naturellement. Mais alors pourquoi les restrictions d'Aristote à propos des démonstrations d'Hippocrate ? — Nous hasarderons à notre tour une hypothèse que rendra peut-être vraisemblable la suite de notre étude. Ce qui le gênait dans de semblables recherches, ce qui l'amenait à y voir un paralogisme, quelle que fût leur méthode, c'est qu'elles voulaient aboutir à l'égalité d'une aire limitée par une courbe et d'une aire limitée par un contour rectiligne; c'est qu'il y était question de quadrature de cercle, ou de segments de cercle, ou de lunules. Dans la Physique, Aristote pose en bloc, comme exemple de raisonnements à réfuter, ceux qui ont pour objet « la quadrature » ; il distingue ensuite ceux qu'on peut appeler géométriques (par les segments), et ceux qui ne sont même plus d'un géomètre. Dans les Sophist. Elench., après avoir dit que Bryson a lui aussi quarré le cercle, il ajoute : si toutefois le cercle peut être quarré (et xat zsrpa'^Cùvi^îtai oxyxXoç.)... Certes Aristote avait raison de penser que la quadrature du cercle était un problème difficile, et en tout cas non encore résolu., Mais d'abord Hippocrate quarrait

non pas le cercle, mais certaines lunules, définies de façon spéciale, ou bien la somme d'un cercle et d'une lunule ; et ensuite, pour ce qui était de la quadrature du cercle lui-même, s'il devait être un jour évident qu'elle serait impossible à eflFectuer à l'aide de la règle et du compas, Aristote, en la condamnant d'avance, se serait évidemment séparé des géomètres de son temps. Au fond le problème de la quadrature allait se continuer d'une part par l'étude de certaines courbes propres à en donner une solution toute théorique, d'autre part par les travaux d'Archimède lui-même. - A l'appui de notre hypothèse sur la répugnance a priori que devait inspirer à Aristote l'identification d'une aire à contour rectiligne et d'une aire limitée par une courbe, citons ce passage de la Physique où il s'agit de comparer le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire. On vient de distinguer comme étant spécifiquement divers un mouvement dans l'espace et une transformation qualitative; et déjà le rapprochement d'un exemple semblable est significatif pour marquer la répugnance d'Arislote à assimiler un mouvement circulaire et un mouvement rectiligne. Les réflexions qu'il présente ensuite achèvent de nous renseigner sur ses tendances : on pourrait essayer de distinguer seulement ces mouvements par les vitesses, et dire que l'un est plus rapide que l'autre ; on aurait tort de croire qu'on a ainsi suffisamment caractérisé ce qui fait différer deux choses aussi dissemblables. L'inégalité ainsi posée impliquerait l'égalité, car, si le mouvement sur une droite de longueur donnée est, par exemple, plus rapide que le mouvement sur un cercle, celui-ci sera égal au mouvement sur une portion de la droite. Non, le cercle et la droite ne sont pas comparables, et par conséquent les

mouvements sur ces lignes ne le sont pas. àX^à july^v si £(JTt (7y|j.{3XY3Tà, c^fx^atyct t6 opn p'oôiv^ h^v îùOeïav eîvat xyxXw. àXX' où cyjuijSXYîTâ' oùô' apa at ztvvjcrctç (H, 4, 248 b, 4). On peut dire qu'en somme il n'y a pas trace de raisonnement dans tout ceci ; les mouvements sont dissemblables parce que Aristote pose en fait, et en dehors de toute discussion, que la droite et le cercle sont dissemblables : une portion de droite égale à une portion de circonférence, voilà ce qu'il ne saurait admettre en aucune façon.

Une objiection pourrait nous être faite. Dans le passage des Premiers Analytiques que nous avons mentionné plus haut, Aristote ne considère-t-il pas comme établie Tégalité à un rectiligne d'un cercle augmenté de lunules? Nous ne le pensons pas. « Soit A, dit-il, la propriété d'être quarrable, Ey le rectiligne, Z, le cercle ; s'il n'y avait entre £ et Z qu'un intermédiaire, à savoir que le cercle augmenté de lunules devient égal au rectiligne, on serait près de la science » (1). Cela veut-il dire que cet intermédiaire du moins est acquis? — Il convient, pour répondre, de se reporter aux lignes qui précèdent et à celles qui suivent. Aristote veut expliquer ce que c'est qu'une àuuycùyfi^ et il la définit par les conditions suivantes : le premier terme appartient manifestement au moyen ; mais on ne voit pas que le moyen appartienne au troisième terme. (Ici, par exemple, la propriété d'être quarré appartient à un rectiligne quelconque ; mais l'assimilation d'un cercle à un rectiligne n'est pas évidente.) Seulement ou bien le rapprochement du moyen et du dernier terme est plus admissible que celui des termes extrêmes, ou bien

(1) Analyt. prior. 69 a, 30.

il y a peu d'intermédiaires (sans doute dans le sens de moins d'intermédiaires) entre le moyen et le dernier terme. On serait dans ce dernier cas pour l'exemple •cité, si la condition indiquée par Aristote était réalisée : c'est-à-dire qu'on aurait ramené en somme le problème de la quadrature du cercle à une seule autre proposition à démontrer. Si le problème était ramené au contraire à une proposition démontrée, ce ne serait plus une ànayoiyin, mais la science elle-même, puisqu'il n'y aurait plus aucun intermédiaire à établir /oùS' orav diisaov-^ To Br- 67rt(7Tv3fJiY3 yàp zb nqiovrov). Et c'est si bien là la pensée d'Aristote que ceux qui, comme M. P. Tannery, voient, dans ce passage, l'affirmation •de l'égalité à un rectiligne du cercle augmenté de lunules, trouvent l'exemple très mal choisi. Il faut opter. Ou bien Aristote admet cette proposition d'Hippocrate comme définitivement démontrée, et alors il présente un très mauvais exemple d'ànuycô'^-fi ; — ou l'exemple logique est bon et la proposition n'est plus certaine. Mais comment hésiter entre ces deux alternatives? Nous sommes en présence d'une question de pure logique, dans un livre dont l'intérêt est exclusivement logique ; Aristote est dans le domaine où ses préoccupations minutieuses de rigueur et de clarté défient le plus souvent toute objection; il ne cite qu'un exemple AÏ OLTi(xrj(ù''iri à petit nombre d'intermédiaires, nous croirons difficilement qu'il s'y soit si naïvement contredit.