III. — Fonction unique : la proportionnalité

Toutes les fois que deux grandeurs varient en môme temps de telle sorte qu'à une valeur déterminée de

l'une corresponde une valeur également déterminée de l'autre, toutes les fois, en d'autres termes, que de deux grandeurs Tune est fonction de l'autre, se pose la question de savoir quelle est la nature de cette fonction. D'instinct, rhomme qui n^apas une culture scientifique suffisante va droit à la proportionnalité. Si une grandeur augmente quand une deuxième augmente, Tune devenant deux, trois... fois plus grande, il jugera que l'autre devient aussi deux, trois... fois plus grande ; si elles varient en sens inverse, il admettra naïvementqueTune devient moitié quand l'autre se double. Et c'est au point que nous entendons souvent, dans le langage vulgaire, parler de grandeurs qui varient en proportion Tune de l'autre, pour traduire ce fait, en général bien diflFérent, qu'elles varient simultanément. Il y a là au fond une tendance assez naturelle qui nous conduit au maximum de simplicité, au maximum de régularité et de constance dans le changement, et qui d'ailleurs nous donne, pour de petites variations, un résultat souvent très approché de la réalité, et suffisant pour certaines applications pratiques. Ajoutons aussi qu'au temps d'Aristote cette tendance naturelle devait être beaucoup plus accentuée, les progrès de la physique quantitative ayant eu sur notre esprit une grande influence pour nous faire concevoir la généralité des fonctions que nous ofifre l'univers. Si nous avons quelque peine encore à faire comprendre aux commençants qu'une pierre parcourant 9 m. dans une seconde de chute, parcourt 36 m. en deux secondes, nous savons, et nos étudiants savent aussi bientôt, feue la proportionnalité, loin d'être la règle, est l'exftption, et qu'a priori on peut affirmer, pour toute varïtion nouvelle quelconque, qu'elle ne se réduit pas W la simplicité

toute théorique de la proportion (1). Malgré toutes ces restrictions, il nous paraît édifiant de constater qu'Aristote, sans hésitation, sans l'ombre d'une réserve, sans jamais donner le sentiment du moindre doute, suppose systématiquement la proportionnalité des innombrables variations qui se présentent à lui. La Physique et le Traité du Ciel abondent en exemples.

C'est d'abord dans la. Physique la densité d'un milieu évidemment en proportion avec la durée du mouvement d'un corps qui le traverse. ?(7tgi) yà-p tô fXcV Biidwp, t6 5è A àiop- oacù Syj XeTrTÔrspov àiip yJaxoç xac àacùiioixcùXîpov, zo(Jqùi:q Oàizqv zb A 8ià loù A oiaQriazTOLi t3 §tà Toi B. i)(éx(ù 5y3 tôv aytôv Xà'^ov ovTZEp 5t£(jTY3/£V àrip Ttpbç v8cùp^ tô noLyoçnpoç xo tck/oç. w(7t' £t ^inXaGicùç XeriTov, £V 8nil(X(jiQ xp6)jcù tyjv tô B SUiaiv Y] TY^VTo A, xatïcTTat ô éy' w r^jpovoç 5t7rXâ(7toç Toy è<p w E. (A, 215 b, 3.) — Ailleurs il s'agit de la durée d'un mouvement et de la grandeur de l'espace à parcourir : £t yccp àei t6 hov tw BE {léyeOoç £V tacù /jpovc») ôt£t(Jt.., (Z, 233, b, 4). — Un peu plus loin, c'est le mouvement qui est donné proportionnel au temps :ôfxotc»)ç 5e xa't ri xtvrjatç ^laipevfi y.a\ à )(£6voç Siaipexàç' ei yàp tyjv oXy]v £V tg5 Tiavit, tyjv i^juittjstav £VT«'i^|xtcr£t... (Z,235 a, 22).— Plus généralement, (0, 266, a, b) la puissance du moteur, la grandeur du mobile, le temps, sont comparés, et si la proportionnalité de ces éléments n'est pas toujours explicitement

(1) Nos idées sur ce point sont retournées depuis l'antiquité comme pour ce qui touche aux incommensurables. Deux grandeurs pour les Pythagoriciens ont toujours un rapport commensurable, sauf en des cas exceptionnels : les progrès de la science ont bientôt montré que la commensurabîlité au contraire est Texception.

indiquée, il semble bien qu'elle soit toujours dans la pensée d'Aristote. Pour ce qui est de la puissance et du temps, elle est nettement formulée : to Syj B F s;j£t ôyyajxtv Ttvâ, v^ sv Ttvt XP®'^^ èxtvvjas tyjv A, sv t« )(jpovcû i(f oh E Z. àv Jyj r/jç B T StTiXaatav XajxjBâvw,

£V ■J^JULtCTct ZtVV3C7£t XP®''*^?^ '^^^ ^^ (ÏCTTCa yàp ayTYJ TQ

àvoXoYta), ûi(JT' £V tw Z xtvvjast (0, 266, b, 9).

Dans le Traité du Ciel, la grandeur et le poids d'un corps sont donnés comme proportionnels : £t zoivw àvd'koyov toc iisr/éQ'(i zoiq ^ioeai... (A, 273 b, 3). Quelques lignes plus bas, ce sont les poids et les durées de leurs mouvements qui sont posés en raison inverse les uns des autres : xai tyjv àvaXoytav -riv là ^ipn lyei^ oi /jpôvoi àvànoLkiv l^oixjtv, olov et ta yiiikjv ^ckpoç êv tôÎê, to SiTrXâctov ev ^jxwst zoùzov (273 b, 32). Puis encore c'est Teffet produit par un corps, la grandeur du corps et la durée de l'action : îgzcù $ri xè |j.sv hov èv îgcù Xpôvcô t(Jov akXoiovv^ zb ô' tkaxzov êv tgj tac») sXaTTov, t6 5è fJictÇov fxetÇov, TocroÛTov 5è ocrov àvâXo'yov Iciae oTTsp TÔ juietÇov Tipoç To IXatTOV (A, 275 a, 7).

Cette insistance naïve a beau dater de vingt deux siècles, elle n'est pas celle d'un mathématicien rompu aux relations de toutes sortes que lui offrent ses grandeurs géométriques. Un carré n'est pas doublé quand son côté est doublé ; il ne suffit pas pour doubler un cube de doubler son côté ; l'aire d'un cercle n'est paô proportionnelle à son diamètre ; Hippocrate savait déjà que des segments semblables sont entre eux non pas comme leurs cordes mais comme les carrés de leurs cordes. Et, sans parler des relations variées qui pouvaient servir de (7y|J.7rTCt)]uia à tel ou tel lieu géométrique, la théorie des sections coniques ne mettait-elle pas en