ÉTUDES SUR LA P£NSÉ£ SCIENTIFIQUE

courbe, de surface, de volume, etc.. Que nous dégagions ces notions, ces impressions, si Ton préfère, d'une expérience journalière, comme le veut Técole empiriste, ou qu'elles se posent comme éléments nécessaires et a 'priori de toute intuition sensible, comme le pensait Kant : il faut bien voir dans ces idées des faits universels, incapables de révéler par eux-mêmes la moindre originalité d'esprit. Les relations sociales les plus simples, la nécessité de construire des maisons ou des routes, de mesurer des surfaces ou des volumes, de suivre, — ne serait-ce que pour les besoins de Fagriculture ou pour TorganivSation régulière des actes de la vie civile, — les révolutions célestes, amènent évidemment les hommes de très bonne heure à manier un ensemble de notions géométriques usuelles, à trouver des règles pratiques pour mesurer avec quelque approximation la surface d'un terrain ou la capacité d'un récipient, à placer des cercles sur la voûte céleste pour essayer de se représenter le cours des astres, et tenter de prévoir les faits les plus saillants de leurs révolutions. Certes, on peut dire que c'est là une science qui se forme, qui progresse, qui, par l'accumulation des faits observés et des inductions habiles, enrichira peu à peu la connaissance humaine, et on peut bien appeler cette science « géométrie » pour exprimer qu'elle a pour objet d'enregistrer une certaine catégorie de phénomènes. Mais si aucune circonstance ne vient lui donner une allure spéciale, elle restera fort éloignée de la science qui pour nous a le même nom.

On sent bien tout d'abord qu'elle risquera de se développer dans la suite des temps sans se séparer du souci de l'utilité immédiate ; on sent bien que rien ne

l'obligera nécessairement à se replier sur elle-même et à trouver dans la spéculation pure et désintéressée un charme assez puissant pour s'élever au-dessus de touteapplication immédiate.

Qu'on ne se méprenne pas ici sur le fond de notre pensée. S'il est arrivé à la science, dans tous sesdomaines, de fournir une abondante matière aux spéculations théoriques, s'il est arrivé à Thomme de la cultiver pour elle-même, en elle-même, nous ne prétendons pas dénoncer là un phénomène surnaturel, nous ne crions pas au miracle. Il est trop clair que Tamour que l'humanité a manifesté pour la rechercha du vrai en soi tient aux sources même du culte qu'elle voue à l'idéal, sous toutes ses formes, et la naissance d'une science spéculative et abstraite n'a pas de quoi nous étonner plus que l'apparition, à quelque moment déterminé du passé, de Tart dramatique ou de l'épopée. Qui ne conçoit très naturellement de longs siècles écoulés, et de nombreuses époques de civilisation déjà franchies, sans que Thomme se soit encore élevé à l'une des formes spéciales sous lesquelles il est capable de manifester son sens esthétique? Sans remonter aux origines de Thumaniié, si nous envisageons l'évohitioft de tel ou tel peuple depuis le moment où il joue quelque rôle dans l'histoire des idées, sommes-nous surpris d'avoir à constater que ses productions artisliques^ d'un genre déterminé n'apparaissent que fort tard ? Nous savons qu'il est possible d'en rattacher l'apparition à des phénomènes connus et de l'expliquer par des raisons naturelles ; nous nous plaisons à comprendre qu'elle devait se produire ; et pourtant nous ne nous sentons pas en présence d'une suite fatale d'événements se succédant, pour ainsi dire, en dehors de l'âme-

humaine et dans de telles conditions que celle-ci ne puisse en être qu'un témoin étranger. Nous avons nettement l'impression qu'elle prend au contraire une part active à révolution qui nous intéresse ; nous sentons qu'elle met quelque chose d'elle-même dans les <euvres qui se font jour, quelque chose de personnel et de tellement lié à ses qualités intellectuelles ou morales que, sans la rencontre de celles-ci, les œuvres ne se produiraient pas. C'est dans ce sens et de la même manière que nous pouvons envisager comme ayant un caractère suffisant de contingence l'apparition de la science purement spéculative. Non seulement il a pu s'écouler des siècles sans nombre avant que se manifestât pour la première fois le désir d'étudier pour elles-mêmes les formes de l'intuition géométrique, mais rien même ne nous empêche de penser qu'il nous eût été possible de parvenir à l'heure actuelle, entassant coqnaissances sur connaissances, sans que ce désir se fût jamais encore manifesté, tout au moins d'une façon assez efficace pour produire une. œuvre durable.

Ce n'est pas tout. Lorsque l'esprit veut s'enfermer dans la contemplation et l'étude des éléments de l'intuition géonaé trique, il s'applique d'abord tout naturellement à ceux de ces éléments qu'il avait dégagés par abstraction de ses représentations habituelles, tels que le cercle, l'angle, le triangle, le carré, etc.. Le nombre et la variété des recherches qu'il peut entreprendre sur eux présentent une indétermination dont le caractère n'échappera à personne ; ces éléments se prêtent à une quantité innombrable de combinaisons, et donnent lieu à une infinité de problèmes divers, de façon à laisser le champ libre à Timagination du

géomètre. Puis son activité créatrice qu'alimentent, non plus seulement la succession des choses venues du dehors, mais sa propre capacité de construction et son ingéniosité, pourra s'employer de mille façons à fournir des objets nouveaux. Quel domaine immense s'offre ainsi à lui, tout prêt à être franchi, depuis les premières questions qu'avait suscitées l'observation même, jusqu'aux limites extrêmes où peut atteindre la puissance créatrice de son imagination I Tels le poète ou le sculpteur dépassant les bornes de Timitation vulgaire des objets qui les entourent, s'élèveront par un libre essor à Texpression des idées les plus ingénieuses et les plus fines. Le géomètre, comme Fartiste, pourra dans cette création s'éloigner plus ou moins delà réalité concrète, manifester un goût plus ou moins vif pour l^abstraction ; en tous cas, dans ce domaine où Tesprit ne poursuit qu'une vérité ou qu'une beauté idéale, le caractère de ses conceptions, loin d'être déterminé par la nature de la science ou de l'art, doit refléter jusqu'à un certain point le tempérament même de l'artiste ou du géomètre.

Mais ces objets d'étude une fois choisis, n'y aura-l-il qu'une façon de les traiter? Est-il de l'essence d'une chose géométrique de ne pouvoir être envisagée que d'une manière unique ? — Quelques exemples simples en diront plus long que toute discussion sur ce point.

Euclide, au commencement du IIP livre des Eléments^ énonce cette proposition : « Si sur une circonfér rence de cercle on prend deux points, la droite qui les joint tombe à l'intérieur du cercle. » Quiconque se représentera par la pensée ce rond parfait qu'est le cercle, pourra affirmer, sans la moindre hésitation, que la corde joignant deux de ses points est tout

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entière intérieure au cercle. Il lui suffira d'une vue intuitive directe, et la vérité qu'énonce Euclide peut résulter immédiatement de la forme même de ces êtres géométriques qui sont le cercle et la droite. — C'est par une méthode toute différente qu'Euclide justifie sa proposition. 11 considère un point quelconque de la corde, et, en vertu de théorèmes établis au premier livre, il est amené à déclarer que, si ce point était extérieur au cercle, sa distance au centre serait à la fois supérieure et inférieure au rayon. Par un chemin relativement long, Euclide montre donc que l'hypothèse de Textériorité d'un point de la corde conduit à une absurdité logique, à une contradiction.

Prenons un second exemple : si deux côtés d'un triangle sont également inclinés sur le troisième, ils sont égaux. — On peut invoquer, pour établir cette proposition, de simples raisons : Thomogénéité de Tespace, la symétrie, ce principe évident que les mêmes données doivent déterminer les mêmes résultats, et qu'on ne comprendrait pas que des droites s'élevant au-dessus d'une môme troisième, avec une même inclinaison, donnassent lieu à des déterminations de longueurs différentes. M'y aurait-il pas, dans de telles remarques, de quoi entraîner l'adhésion la plus formelle ? — C'est pourtant d'une tout autre façon que nous justifions cette proposition dans nos traités ordinaires de géométrie. Nous démontrons que l'inégalité des côtés serait en contradiction manifeste avec des théorèmes déjà établis.

Ces exemples, où nous avons opposé deux méthodes extrêmes, feront sentir tous les degrés par lesquels aurait pu passer la méthode géométrique, depuis la constatation intuitive et directe de chaque vérité, jus*

qu'à une démonstration logique qui se place, le plus qu'il est possible, sous la garantie du principe de contradiction.

La géométrie qu'on nous enseigne est éminemment démonstrative, et sa tendance à cet égard s'accentue chaque jour, de sorte que nous avons instinctivement l'idée que la méthode démonstrative et logique est celle qui convient nécessairement à l'étude des faits géométriques. Nous pensons volontiers que cette méthode est inséparable de la définition même de la géométrie. C'est que nous concevons alors une géométrie spéciale, et notre erreur est comparable à celle que nous commettrions si nous jugions, comme peuvent faire les enfants, la rime inséparable de toute poésie.

Du reste, ce sentiment instinctif que nous avons de la nécessité des démonstrations logiques en géométrie n'est pas sans présenter d'exception, et nous citerons, par curiosité, le jugement que porte Schopenhauer sur la méthode démonstrative d'Euclide : a La méthode logique d'Euclide n'est qu'une brillante absurdité... Dès le commencement, quand il aurait dû montrer comment dans le triangle les angles et les côtés se déterminent réciproquement et sont cause et effet les uns des autres selon la forme que revêt le principe de raison dans Tespace pur, forme qui, là comme partout, crée la nécessité qu'une chose soit telle qu'elle est; au lieu de nous donner une aperception complète de la nature du triangle, il établit quelques propositions détachées, et en donne un principe de connaissance

logique par une démonstration fatigante, basée logiquement sur le principe de contradiction... Nous sommes certainement forcés de reconnaître, en vertu du principe de contradiction, que ce qu'Euclide dé-

montre est bien tel qu'il lé démontre ; mais nous n'apprenons pas pourquoi il en est ainsi. Aussi épronve-t-on presque le même sentiment de malaise qu'on éprouve après avoir assisté à dés tours d'escamotage, auxquels, en effet, la plupart des démonstrations d'iiluclide ressemblent étonnamment » Sans insister sur la méthode qu'eût préférée Schopenhauer, on comprend du moins que ses reproches à celle d*Euclide sont fondés dans une certaine mesure. Il est bien clair que pour démontrer logiquement il faut s'éloigner d'autant plus de l'intuition directe qu'on veut être plus rigoureux. Il faut élaborer des définitions, créer des fictions que Ton substitue aux éléments naturels de l'intuition.

Ainsi non seulement la démonstration logique ne se présente pas comme nécessaire à toute étude géométrique ; non seulement il y a dans notre sentiment à cet égard l'effet d'une longue habitude, mais même la méthode démonstrative présente ce caractère indéniable de transformer les objets géométriques, et d'y substituer des notions qui tendent à éloigner le géomètre de l'intuition, c'est-à-dire du fond naturel d'où semblent devoir sortir ces objets. Si donc la géométrie a revêtu la forme démonstrative et logique, ce n'est pas en vertu d'une nécessité qu'explique suffisamment la nature même des choses qu'elle étudie. Elle pouvait sans doute par sa définition être appelée à recevoir un jour ce caractère spécial, comme il devait être réservé à la littérature de revêtir, entre autres, la forme dramatique; mais, en tous cas, l'association de la démonstration logique à la géométrie se présente, dans l'histoire des idées, avec ce caractère de contingence qui fait l'intérêt suprême de l'évolution de la pensée, sim-

plement parce qu'il laisse subsister comme facteur es* sentiel la personnalité de l'âme créatrice.

Enfin, il ne faudrait pas croire la forme de la géomér trie à jamais et rigoureusement déterminée par cette seule condition qu'elle soitdémonstrative. Pour démontrer, nous l'avons dit, il faut définir ; mais on ne saurait tout définir, et il faut bien faire un choix de proposition^queTon demandera d'admettre sans démonstration, des postulats, des axiomes, des notions communes, que l'on posera purement et simplement. Ce sera, en somme, pour le géomètre une façon de se don-, ner un ensemble minimum d'éléments devant représen-^ ter à ses yeux la matière irréductible, à laquelle il ne saurait substituer une série de concepts définis. Ici encore, lorsque nous adoptons les postulats de notre géométrie ordinaire, nous nous y croyons souvent obligés par une nécessité impérieuse. Tout axiome différent de ceux que nous sommes habitués à énoncer nous semble insoutenable. C'est ainsi que l'absolue vérité des principes de la géométrie ordinaire a été admise comme un dogme par tous ceux qui, jusqu'au commencement de ce siècle, ont médité sur la valeur de la connaissance. Aux yeux de Kant, par exemple, les axiomes delà géométrie s'imposent à nous avec une nécessité apodictique. On peut bien dire que cela est conforme à son idéalisme, puisque, d'après lut, les jugements géométriques ne font que traduire certaines conditions sous lesquelles notre esprit est tenu, par sa constitution même, de connaître les choses. Mais cette explication de Kant n'est venue pour lui qu'après coup, c'est au contraire à l'origine même de ses méditations sur le problème de la connaissance, et peut-être comme leur point de départ véritable, qu'on peut placer la

croyance toute naïve au caractère apodictique et absolu des jugements de la géométrie, — croyance que Kant partageait d'ailleurs avec tous ses devanciers.

Quoi qu'il en soit, un courant d'idées nouveau tend à se faire jour maintenant. De nombreux travaux nous ont habitués aujourd'hui à des géométries qui se construisent sur des postulats différents de ceux d'Euclide. Les unes, acceptant pour l'espace le même nombre de dimensions, rejettent tels axiomes jusqu'ici essentiels; les autres admettent un nombre quelconque de dimensions pour l'espace. Celles-ci ont, il est vrai, un caraclère presque exclusivement analytique. Pour nousborner aux premières et à l'exemple le plus saisissant, on sait. que Lobatchewsky a construit une géométrie sur le modèle de la géométrie ordinaire, au point de vue de la méthode démonstrative, en évitant cependant d'admettre que par un point ne passe qu'une seule parallèle aune droite donnée. Naturellement les énoncés -de Lobatchewsky diffèrent de ceux d'Euclide : par exemple, la somme des angles d'un triangle est, pour le géomètre russe, inférieure à deux droits.

On a beaucoup disputé sur l'importance de ces géométries nouvelles. Les uns ont voulu n'y voir que de vains enfantillages. Les autres y ont trouvé la solution du grand problème de l'origine des notions géométriques; et, tandis que, pour quelques-uns, comme Riemann ou Helmholtz, les géométries nouvelles, en ruinant le caractère apriorique des axiomes, apportent la preuve de leur origine empirique, d'autres ont vi^ au contraire dans ces travaux la justification d'un idéalisme plus large que celui de Kant. Nous avons exposé ailleurs les raisons qui nous empêchent de prendre au sérieux les arguments des uns et des autres. Mais du

moins il est incontestable que ces géométries ont contribué à mettre à jour un état d'esprit nouveau, une nouvelle façon d'envisager le rôle et la signification des axiomes.

Qu'est-ce qui a fait, dès leur apparition, l'intérêt des géométries non-euclidiennes ? C'est qu'elles se sont présentées comme des chaînes de propositions rigoureusement liées les unes aux autres, comme dans la géométrie ordinaire. La question de la nécessité des anciens axiomes se posait alors d'une façon toute naturelle. Ne fallait-il pas attribuer aux postulats euclidiens une valeur intrinsèque absolue, telle que par là même la vieille géométrie seule fût valable ?. ■— Mais sur quoi pouvait-on fonder cette validité exclusive ?

L'expérience ne saurait ici apporter une preuve irréfutable. Elle a pu suggérer les postulats, mais il ne pouvait être question d'observer directement les vérités qu'ils expriment. On a proposé de soumettre à une vérification expérimentale non pas les axiomes euxmêmes, mais quelqu'une de leurs conséquences, par exemple en cherchant si, dans un grand triangle, aisément fourni par l'astronomie, la somme desang'es est ou non égale à deux droits. Mais nous ne nous faisons plus illusion aujourd'hui sur ces sortes de vérifications expérimentales (1). Si la somme calculée était inférieure à deux droits, on saurait seulement que toutes les hypothèses qui ont nécessairement présidé à l'expérience ne s'accordent pas avec celles de la géométrie ordinaire; mais pourquoi renoncer alors à celles-ci de préférenceàtellesautres?ne suffirait-il pas, par exemple,

(1) Les intéressants travaux de MM. Poincnré et Duhem, en particulier, nous ont suffisamment édifiés à cet égard.