ÉTUDES SL'H LA TENSÉK SCIENTIFIQUE

Pour justifier cette assertion, nous devons dire jusqu'à quel point la géométrie des Grecs, celle que nous font connaître surtout Euclide, Archimède, Apollonius, a bien les caractères que nous signalons, — sauf à donner ensuite les motifs que nous avons de croire qu'elle ne leur venait pas de l'Orient ou de TEgyple.

« Si la géométrie, dit Socrate dans la République, (( porte l'âme à contempler l'essence des choses, elle « nous convient ; si elle s'arrête à ses accidents, elle « ne nous convient pas. — Or, la moindre teinture de <( géométrie ne permet pas de contester que cette « science n'a absolument aucun rapport avec le lance gage qu^emploient ceux qui en font leur occupation. (( — Leur langage est plaisant, vraiment. Ils parlent « de quarrer, de prolonger, d'ajouter, et emploient « d'autres expressions semblables, comme s'ils opé- (( raient réellement et que toutes leurs démonstrations « tendissent à la pratique. Mais cette science n'a, tout « entière, d'autre objet que la connaissance... Elle a « pour objet la connaissance de ce qui est toujours,

« non de ce qui naît et périt Elle attire l'àme vers

<c la vérité, elle forme en elle cet esprit philosophique <L qui élève nos regards vers les choses d'en haut, au « lieu de les abaisser, comme on fait vers les choses a d ici-bas. » (VII, p. 526).

Voilà comment Platon apprécie la géométrie de son temps : or, elle a atteint déjà un développement considérable. Depuis plus de deux siècles l'Ecole pythagoricienne a élaboré, dans le fond et dans la forme, la plupart des problèmes essentiels qui feront la matière des Eléments d'Euclide. La théorie des sections coniques a pris naissance, et Platon et ses disciples contrî-

buent certainement à lui faire réaliser des progrès sérieux. La rigueur des démonstrations et la variété des méthodes de raisonnement, le choix des postulats font déjà Tobjet des méditations du géomètre : on le deviné au sens des traditions dont le commentaire de Proclus sur Euclide nous apporte Técho. En tout cas, nous né sommes pas très éloignés des temps où Euclide, Archîmède, Apollonius de Perge, vont publier des travaux d'une perfection si achevée : leur lecture fournit le plus merveilleux commenî;aire des paroles de Socrate à Glaucon.

Quels sont, en effet, les éléments qui forment le fond de cette géométrie? Il serait naïf d'insister sur ce qu'ils ne sont pas empruntés de toutes pièces au monde matériel où nous vivons. Il y est question de lignes infiniment minces, absolument droites ou parfaitement rondes, et la réalité ne nous en offre jamais de telles. Une lecture attentive montre de plus que les éléments maniés par le géomètre grec ne sont même pas de simples objets réduits à leur forme extérieure, et dont l'imagination a porté les contours à un certain degré de perfection. S'il en était ainsi, la matière sur laquelle spéculent Euclideou Apollonius ne serait qu'un ensemble d'abstractions tirées de l'expérience, et le géomètre ne serait pas aussi loin qu'on pourrait croire de la réalité concrète. Mais il la dépasse infiniment et s'efforce de pénétrer dans le monde de l'idée pure, en construisant à sa façon les éléments qui seront pour lui des objets d'étude. Le cercle ne sera pas le rond parfait dont l'intuition nous donne l'image ; ce sera la figure engendrée par un rayon de longueur donnée tournant autour d'une de ses extrémités ; la sphère sera la surface qui naît de la rotation d'un demi-cercle autour de

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son diamètre ; le cône sera engendré par un triangle rectangle qui tourne autour d'un côté de Tangle droit ; etainsi de suite. La perpendiculaire à une droite devient celle qui fait avec elle deux angles superposables. Un point n'est pas « sur un cercle », « hors d'un cercle ^i « à l'intérieur d'un cercle », — mais sa dislance au centre est égale, supérieure ou inférieure au rayon. — Bref, aux éléments de Tintuition, à la forme, à la position, aux qualités concrètes particulières qui apparaissent dans la vue des objets géométriques, le géomètre grec s'efforce de substituer des concepts définis, construits par lui-même, d'où la qualité sensible est partiellement exclue, et où entrent à sa place des rapports quantitatifs saisissables par l'intelligence. Il dirait volontiers lui-même de ces concepts qu'il en a retiré Yaccident pour n'y laisser subsister que Vessence intelligible. Et on a 1 impression que s'il n'a pas perdu le contact de la réalité concrète, du moins sa matière a une tendance à se confondre avec un monde idéal d'êtres conceptuels.

On peut aller plus ou moins loin dans cette voie, lorsque, en mathématique, on veut perdre de vue les choses concrètes, et réaliser des constructions tellement idéales que l'esprit puisse s'assimiler d'une façon adéquate les éléments de chacune d'elles. Depuis Descartes on aurait peine à dire les progrès que les géomètres ont faits dans ce sens. Il suffirait au premier venu, pour s'en rendre compte, d'entrer quelques instants dans une des salles où sont interrogés chaque année les candidats à l'École polytechnique. Après avoir entendu poser une question où l'examinateur aura entassé sphères, cylindres, surfaces circonscrites les unes aux autres, et sans voir tracer au tableau une

seule figure, il aura quelque surprise à constater que deux lignes de calcul résolvent le problème. Et encore il s'agit là en général d'une géométrie concrète, qui serait du moins susceptible d'une certaine représentation. Dans quelques-uns de ses chapitres, la géométrie moderne se confond avec un symbolisme abstrait dont les signes reçoivent des définitions absolument indépendantes de toute figure représentable. Des travaux des Grecs jusqu'à ceux d'aujourd'hui on ne saurait parler de transformation radicale. Si l'analyse algébrique a pu si bien traduire et résoudre les questions de géométrie, et s'il y a fusionsi intime entre ces deux modes de la pensée mathématique, cest qu'au fond précisément les Grecs avaient préparé cette fusion en construisant la géométrie sur des concepts définis à l'aide de relations quantitatives, en substituant déjà ces relations aux qualitésde forme. Si doncla géométrie atteint aujourd'hui à ce degré d'abstraction et de généralisation qui semble s'élever teliementau-dessusde notre monde réel que celui-ci paraisse à certains égards comme un cas particulier parmi une infinité d'intelligibles, si la géométrie apu s'éloigner aussi étonnamment des réalités concrètes, c'est que déjà, entre les mains des Grecs, et par le caractère spécial qu'elle avait reçu d'eux, elle se prétait à cette marche ascendante et continue vers le pur intelligible.

Mais il nous faut pourtant signaler une diff'érence capitale sinon essentielle entre la pensée géométrique des Grecs et la pensée moderne. Si Euclide ou Apollonius raisonnent sur des êtres qu'ils ont construits par des définitions spéciales, et d'où ils ont tâché d'exclure en partie les qualités sensibles de forme ou de situation, ils on t du moins conservé, comme matériaux essen-

Ai} ÉTUDES SUK LA PENSÉE SCIENTIFIQUE

tiels de leurs constructions, des éléments empruntés à rintuîtion spatiale. C'est ainsi quetoutesles opérations que nous effectuons sur des nombres, et une foule de relations simples, que nous exprimons et étudions à l'aide de symboles abstraits, se retrouvent chez les Grecs, mais dans un tout autre langage, où il inlervient, au lieu de nombres, des longueurs, des carrés, des rectangles. C'est ainsi que, s'ils parlaient de longueurs ou de carrés incommensurables, ils n'auraient certainement pas compris notre idée de nombre incommensurable, C est ainsi encore que, pour construire les êtres géométriques, ils empruntaient franchement à l'intuition, sans crainte de nuire ni à la rigueur ni à la clarté de leurs ralsonnemenis, des notions aussi complexes que le mouvement et la continuité. Les exigences des analystes modernes qui, dans leurs efforts incessants, cherchent à exclure ces notions intuitives fondamentales, et qui, par exemple, pour éviterle continu, le décomposent en un ensemble d'éléments, chacun clairement défini, de façon à supprimer jusqu'à l'ombre d'une trame mystérieuse qui les relie entre eux, — ces exigences eussent été lettre morte aux yeux des Grecs. Ils voulaient que leur géométrie n'eût pour objets que des êtres créés par eux-mêmes ; mais ils n'eussent pas compris qu'on cherchât en dehors de l'intuition les éléments essentiels des constructions. Bien plus, l'intuition reste pour eux le fond lumineux ù la clarté duquel ils forment toutes leurs conceptions. Si elle ne doit apporter dans les raisonnements aucun argumentpositif sur lequel on puisse se contenter de faire reposer la démonstration, du moins il serait difficile de contester qu'elle ne cesse d'éclairer et de soutenir la pensée. De sorle que la géométrie grecque

LA GÉOMÉTRIE GHECQUË OtillVHE DU GÉME GHEC U

nous apparaît comme un admirable effort d'échapper, mais seulement dans certaines limites, aux conditions concrètes, et de spéculer sur des objets qui soient rationnellement construits, sans cependant renoncer à trahir leur origine intuitive, sur des êtres qui soient saisissables par l'intelligence sans cesser de donner prise à Timagination sensible. Ce double caractère va d'ailleurs ressortir plus clairement encore, si nous poursuivons l'examen de cette géométrie.

Faut-il insisler sur ce qu'elle est démonstrative ? Ce trait essentiel est à peine séparable de sa nature conceptuelle. Qui veut démontrer est obligé de ne manier que des notions dont il puisse nommer le contenu. La rigueur de la conclusion ne peut résulter que de la connaissance claire et exacte du sens de tous les termes, et elle exigera par conséquent que chacun d'eux réponde à une définition parfaitement intelligible. Faute de substituer desconceplsÀidesreprésentîi lions qui s'imposent à nous, nous aurons le sentiment que nous constatons, que nous observons, que nous enregistrons des impressions, nullementquenous établissons une vérité rationnelle. Il suffisait, pour que la géométrie mérilAt le nom de science au sens où l'entendaient Plalon et Aristote, qu'elle eût pour objets des idées générales. Si les Grecs ont voulu de plus que celles-ci fussentconslruites par l'intelligence au lieud'ètre tirées parabstraction pure etsimplede choses observées, leur intention est nettement saisissable. Ils ont voulu parler à l'intelligence et nonà l'imagination ; ils ont voulu parvenir àdes vérités que consacrât la raison ; ils ont voulu démontrer en toiile rigueur et clarté. C'csi ainal que le caractère de science démonstrative, dont la lecture de quelques pages d'Euclide suffit à donner l'impression si mani-

42 ÉTUDlilS SUK LA PENSÉE SCtEMTlFlQUE

feste,ne se sépare pas au fond delà méthode constructive de la géométrie grecque, et peut même en sembler la raison essentielle.

lîn même temps, c'est une question de savoir jusqu'où les Grecs démontraient véritablement. Certes, on sera tenté, à première vue, de trouver à leurs raisonnements une rigueur absolue : ils ont réduit à si peu de chose, semble-t-il, les emprunts à Tintuition sensible ; ils ont laissé si peu d'éléments non définis, ils ont mis un art si parfait à leurs constructions, que nous avons bien de la peine à distinguer, dans l'impression de clarté et de lumière qu'ils nous donnent, ce qui est véritablement et rigoureusement démontré, et ce qui n'est que senti, pour ainsi dire, que saisi par une intuition immédiate et directe. Il estévident cependant qu'à y regarder de plus près, on constatera que des notions fort complexes, qu'on ne peut songer à analyser et à reconstruire pour l'intelligence seule, qu'on ne peut comprendre par conséquent, au sens où cela serait nécessaire pour la démonstration rationnelle idéale, restent au fond des idées les plus importantes. Mais les Grecs n'y eussent pas contredit et ils auraient pensé sans doute que ce substratum visible par l'imagination est indispensable pour servir de base aux démonstrations, et ne saurait en altérer la rigueur.

Quel est maintenant l'intérêt qui guide le géomètre grec ? Qu'est-ce qui le séduit dans son œuvre ? — A coup sûr d'abord ce n'est pas le désir de trouver des règles pratiques pour les besoins journaliers de la vie. Il n'est même pas question, dans les Éléments d'Euclide, du moindre procédé d'arpentage, ni même de la moindre formule pour l'évaluation numérique d'une

LA GÉOMfeTKIE GBECQUE OEUVUE UU GÉNIE GREC 43

surface ou d'un volume (1). Le ton même, le style, le langage, la nature des questions soulevées, le souci d*être clair et rigoureux, au risque d'être souvent minutieux et très long, de se répéter plutôt que délaisser sous-entendue quelque idée intermédiaire, tout donne nettement l'impression que ce n'est pas l'application usuelle que Ton vise. La longueur mêmede la rédaction semblerait bien plutôt indiquer que lauteur se complaît dans la confection de son œuvre, qu'elle le séduit par elle-même, et qu'il n'a pas besoin d'y trouver autre chose que l'occasion de ^contempler une des formes du beau intelligible, de la pensée claire et harmonieuse se déroulant sur le fond infiniment riche et varié do rintuition géométrique.

On se demandera peut-êlrc si le but visé n'est pas plus haut que dans cet exercice des facultés intellectuelles les plus précieuses. Les Grecs ne doutaient pas que raisonnant sur des essences intelligibles, sur des concepts rationnellement construits, ils n'aileignissent la vérité absolue, une vérité bien au-dessus des témoignages des sens, la vérité idéale. On ne peut nier par conséquent qu'ils n'eussent le sentiment de la puissance de l'instrument merveilleux qu'ils perfectionnaient de tous leurs soins, pour la science générale de l'univers, pour la science de ce qui dépasse les phénomènes journaliers, pour la science de ce qui est éternel, de ce qui demeure, comme le monde, le ciel, les astres... Non seulement les théories de Pythagore et de Platon ne nous laissent aucun doute là-dessus, mais nous savons bien aussi que l'astronomie était déjà devenue une

(1) Voir, à ce sujet, noire Rationnel, ch. m : Une condition du progrès scientifique.

science théorique, depuis les travaux des pythagoriciens, et qu elle n'allait pas tardera se constituer avec Hipparque et Ptolémée en une sorte de géométrie appliquée aux phénomènes célestes. Mais peut-on dire que ce soit le souci exclusif de cette science générale de l'univers qui guide Euclide ou Apollonius ? Est-ce que vraiment, pour citer un exemple saisissant, les Grecs ont étudié les sections coniques parce qu'ils pressentaient de quelle utilité merveilleuse seraient un jour ces courbes pour la détermination des mouvements planétaires ? Personne n'o-erait le soutenir. Quand le géomètre de Perge, après avoir exposé ce que ses prédécesseurssavaient déjà des sections coniques, publiait à son tour ses immortels travaux sur ces lignes qu'on nommait déjà ellipse, hyperbole, parabole, — pouvaitil raisonnablement prévoir l'usage qu'en feraient Kepler et Newton ? Platon, s'il revivait parmi nous, n'en manifesterait sans doute aucun étonnement : l.i géométrie, qui par sa forme est œuvre de l'intelligence, doit naturellement atteindre aux vérités éternelles et aux lois immuables de Dieu. Celui-ci n'est-il pas d'ailleurs Téternel géomètre ? Quelque chose de ce sentiment de Platon anime assurément les géomètres grecs: pourtant s'il les pousse à continuer indéfiniment leurs études spéculatives, à aller toujours de l'avant, ce n'est pas en désignant de préférence tel ou tel chemin plus facile pour la découverte des grandes lois du monde, telle ou telle matière plus directement utilisable, mais seulement en excitant le géomètre grec à s'abandonner à son libre essor.

11 s'est trouvé que celui-ci a fait œuvre utile, que ses travaux ont abouti à d'importantes applications, et nous avons pu dire, en énumérantles caractères essen-?

tiels de la géométrie grecque, qu'elle a été merveilleusement féconde pour l'humanité. Comment cela a-t-il été possible? Les Grecs auraient-ils dit vrai en parlant de vérités éternelles à propos de leur géométrie ? Platon aurait-il eu raison de croire qu'en « géométrisant » l'homme devait fatalement retrouver une à une les lois divines de Tunivers? Ou bien les géomètres grecs auraient-ils par hasard rencontré sur leur chemin, parmi tant d'autres aisément imaginables, ce qu'Auguste Comte ne craint pas d'appeler des « courbes réalisées dans la nature », visant parla sans doute, en particulier, les trajectoires des planètes?

Nous ne pensons, à cet égard, ni comme Platon ni comme Auguste Comte. Quand Tesprit humain construit ses concepts et ses lois, nous sentons tropce qu'il y met de lui-même pour croire h la valeur absolue de tout ce qu'il édifie ; et quant à une rencontre heureuse et accidentelle avec quelque lambeau de la réalité, il faudrait, pour y croire, comprendre d'abord ce que peut être la réalisation objective d'un concept, ce que peut être, par exemple, la trajectoire elliptique d'une planète véritablement tracée dans le ciel. Le problème astronomique du mouvement des planètes, pour nous arrêter à cet exemple, n'est autre que celui-ci : imaginer des constructions géométriques telles que les positions d'un point variable de nos figures correspondent aussi exactement que possible à celles de la planète, de sorte que nos constructions puissent le mieux possible refléter, exprimer à nos yeux le mouvement de cette planète. Qui ne sent toute l'indétermination d'un pareil problème ? La réponse qu'on y fera dépendra de bien des éléments, mais en particulier et aussi de la nature des constructions géomé-

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triques que Ton est capable rrelTecluer, des questioaç qui se trouvent dé}^ étudiées, élaborées. Le langage en lei|uel on s'exprimera ne peut être que celui dont les éléments ont été déjà définis et fixés pour la pensée. 11 en est de même d'ailleurs dans tous les domaines de la science théorique. Si l'intérêt des applications suggère souvent de nouveaux concepts, la solution particulière qu'on apporte aux questions soulevées est naturellement liée aux connaissances théoriques déjà acquises. Les progrès de la science moderne sont bien dus surtout aux effets de la méthode expérimentale, mais pense-t-on que les études spéculatives des anciens aient été pour rien dans les belles théories que nous offrent aujourd'hui les savants ? Elles ont fourni au contraire des éléments tout prêts à entrer dans le langage par lequel nous voulions interpréter l'expérience. Les théories se sont édifiées, nombreuses, rapides, étonnantes parfois de simplicité et d'élégance, parce qu'on a pu aujourd'hui puiser à pleines mains dans le trésor qu'avait amassé la pensée purement spéculative d autrefois. Celle-ci n'avait pas besoin de prévoir lesapplicationsfutures;illuisuffisait de s'abandonner à l'attrait de ses recherches. C'a été au contraire le rôle des savants modernes de traduire les faits dans la langue qui avait été créée. Les géomètres grecs, en particulier» n'avaient pas à rechercher, dans des tâtonnements qui eussent risqué de rester stériles, la rencontre heureuse de courbes « réalisées dans le monde » ; c'était à leurs successeurs de savoir mettre à profit, pour représenter les phénomènes naturels, les éléments qu ils avaient élaborés.

Est-ce à dire que toute autre géométrie que celle (iu'ils ont construite se fût aussi bien adaptée à la

LA Gl!:OMl£TRIE GRECQUE OEUVRli: DU GI^.MC GREC 47

physique générale de Tunivers ? Non, sans doute. Il s*est trouvé évidemment qu'ils avaient confectionné un outil particulièrement précieux pour l'esprit humain. Et leur géométrie nous semble devoir cette puissance spéciale, d'une part h la nature idéale, claire, intelligible, des notions qu'elle a créées, et, d'autre part, 5 la base intuitive et naturelle sur laquelle elle s'est édifiée.

D'un côté, les concepts dégagés des déterminations concrètes, en môme temps qu'ils acquièrent la précision indispensable à la science théorique et rigoureuse, deviennent aussi plus aptes à pénétrer dans tous les domaines de la pensée, à être utilisés par conséquent à propos des phénomènes les plus variés. D'autre part, le souci de Tintuition naturelle fait qu'instinctivement les éléments choisis pour la construction des concepts peuvent être pris parmi les phénomènes les plus généraux, ou, pour parler plus exactement, parmi ceux que, par sa propre nature, notre esprit ne sépare pas de ses représentations les plus générales de toutes choses : telles sont les idées de mouvement, de continuité, do situation, détendue, de ligne, de direction, etc., etc. Or, ce sont ces phénomènes généraux qui sont au fond de toutes les constructions de la géométrie grecque : nous l'avons dit à propos de la formation des concepts et des démonstrations; on va le sentir plus encore à propos des résultats fondamentaux.

Si on lit les premières pages des Eléments d'Euclide, celles où le géomètre pose ses définitions et ses axiomes, on est frappé du peu de mots par lesquels il tâche de se faire comprendre : le point est ce qui n'a pas de parties ; la ligne est une longueur sans largeur ; la ligne droite celle qui est également placée aux

points qui sont en elle, etc. Il est bien évident que Tauteur de ces définitions ne peut prétendre suppléer par des explications aussi concises à la vue intuitive directe des éléments dont il s'agit. C'est presque comme s'il renonçait à définir, comme si, dressant la liste des objets dont il sera question, il se contentait de dire: toit le monde sait ce qu'on entend sous ces mots. Aucune subtilité ; quelque naïveté au contraire dans une sorte de recours au sens •commun.

Euclide va parler constamment d'égalité de figures : -qu'entendra-t-il par là ? Il dit simplement, dans les notions générales qui suivent les définitions et les demandes : « Les choses qui s'adaptent entre elles sont ■égales. » Et de fait, toutes les fois qu'il sera question de montrer Tégalité de deux figures, Euclide prouvera simplement qu'elles peuvent être amenées à coïncider. Mais cela exige le déplacement sans déformation de 4 une des deux. Or, qu'est-ce que ce déplacement? C'est une notion synthétique empruntée de toutes pièces au sens commun, dans ce qu'il a de plus primitif. Si on essayait d'analyser ce que peut être le déplacement sans déformation d une figure, on ne se heurterait pas seulement au fait complexe du mouvement d'un point •dans l'espace, mais au mouvement simultané d'un ensemble de points dans des conditions telles que tous ias éléments servant à déterminer la grandeur de la figure restent constants, c'est-à-dire restent égaux à eux-mêmes^ et on tournerait ainsi dans un cercle vicieux pour essayer de définir l'égalité. Mais le géomètre grec n'en demande pas tant : la notion du mouvement et celle du déplacement d'une chose quelconque sont purement et simplement empruntées à une intui-

tion naturelle, et appliquées aux figures de la géométrie.

Enfin, lorsque Euclide énonce ses postulais tels que : conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque ; prolonger indéfiniment, selon sadirection, une droite finie ; deux droites ne renferment pas un espace ; par un point ne passe qu'une parallèle à une droite (ce n'est pas sous cette forme qu'il le dit, mais renoncé d'Euclide revient au même) ; personne ne contestera que, même en dehors des effets possibles d'une vieille habitude de la géométrie grecque, ces vues ne soient les plus conformes à Tintuition commune. En particulier, s'il s'agit du fameux postulat des parallèles, outre qu'il se présente à notre imagination avec une très grande clarté, il est essentiel de remarquer qu'il a pour conséquence la théorie géométrique de la similitude, et que réciproquement celle-ci le suppose. Or, l'idée de similitude, de proportionnalité, de réduction d'un modèle dans des conditions qui n'altèrent que les grandeurs absolues sans changer ni les angles, ni les rapports des longueurs, — cette idée est si naturelle à l'homme qu'elle est impliquée dans les tentatives les plus naïves qu'il a dû faire pour dessiner ou . peindre les objets.

Ainsi nou^ retrouvons au plus haut degré, dans le choix des premiers éléments fondamentaux, ce caractère, déjà signalé dans toute l'œuvre, qui la rapproche de l'intuition naturelle et du sens commun.

Resterait, pour n'être pas trop incomplet, à passer en revue les principaux problèmes qu'a soulevés la géométrie grecque : cela nous entraînerait hors des limites imposées à ce travail. Nous nous contenterons de signaler la variété des questions et des méthodes, de

dire qu'il y a de tout dans cette géométrie : de l'arithmétique, de Talgèbre, et jusqu'à un certain point de la géométrie analytique et des considérations infinitésimales ; qu'enfin on y trouve déjà élaborés, dans un langage spécial, la plupart des concepts fondamentaux qui, abstraction faite de l'algorithme nouveau, se trouveront à la base de l'analyse moderne.

Au surplus, il est temps de nous demander si nous n'exagérons pas le rôle des Grecs dans ce que nous avons nommé jusqu'ici leur géométrie,et s'ils n'ont pas simplement ajouté quelques pierres à une construction qui pouvait dater de plusieurs milliers d'années.

Rappelons d'abord le plus brièvement possible les principaux documents positifs capables de nous éclairer sur les connaissances géométriques des civilisations orientale et égyptienne (1).

Le plus important est le papyrus de Rhind, qu'a traduit M. Eisenlohr (2). On n'a pu en fixer la date, mais il y a de fortes raisons de penser qu'il remonte à la XVJlï^ dynastie. Ce papyrus contient un assez grand nombre de problèmes d'arithmétique et dé géométrie. Les premiers présentent quelque intérêt par ce qu'ils

(1) Nous nous permettons de renvoyer à nos Leçons sur les Origines de la science grecque le lecteur désireux d'avoir des renseignements plus complets sur cette question.

(2) Ein mathematisches Handbuch der alten Mggpter^ ûbersetzt und erklârt von August Eisenlohr ; Leipzig, 1877. — Cf. Rodet, Sur un Manuel du calculateur découvert dans un papyrus égyptien, {Bull de la Soc. math, de France, t. VI, 1878.)

LA GÉOMÉTRIE GRECQUE OEUVRE DU GENIE GREC 5f

nous apprennent de Parithmétique pratique des Égyp*tiens, et par les rapprochements qu'on en peut faire de certaines manières de calculer des Grecs ; mais ils ont en vue des règles de la vie usuelle et ne manifestent aucune préoccupation de théorie pure. A la suite de la solution indiquée chaque fois sous forme de précepte à suivre, se trouve non pas une démonstralion^ mais une vérification. — En géométrie, il s'agit surtout de surfaces et de volumes èi évaluer. 11 a été à peu près impossible de rien comprendre aux règles suivies pour les volumes ; quant aux surfaces, Taire d'un carré et celle d'un rectangle se calculent régulièrement ; celle d'un quadrilatère quelconque est déjà inexacte. En dehors de ces questions sur les mesures de surfaces ou de volumes, il y a lieu de signaler quelques problèmes où l'on demande, à propos de certains solides, le rapport de deux longueurs, par exemple le rapport d'une arête d'une pyramide à la diagonale de base : problèmes intéressants en ce qu'ils montrent quelque souci de la similitude, de la proportionnalité ; mais les calculs arithmétiques eux-mêmes donnaient déjà cette impression, et, ainsi que nous l'avons déjà observé, il faut voir là un fait des plus naturels, pouvant se retrouver dans une foule de manifestations de l'activité iulellectuelle, sans qu'il soit permis d'y voir rien de commun avec la théorie de la similitude qu'exposera plus tard le V*' livre d'Euclide. En tous cas, le papyrus de Rhind ne donne nulle part le sentiment d une tentative de démonstration logique.

Clément d'Alexandrie nous a conservé un mot de Démocrite qui mérite d'appeler l'attention. « Pour la combinaison des lignes avec démonstration, aurait dit le philosophe d'Abdère, personne ne m'a dépassé, pas

même ceux qu'on nomme en Egypte des Harpedonaptes (1). » Les Égyptiens se seraient-ils livrés à des études de géométrie démonstrative ? — Le sens du mot « Harpedonaptes » (ceux qui attachent le cordeau), quelques indications fournies par un vieux document de la collection de Berlin (2), et aussi certaines peintures égyptiennes, où l'on voit le roi lui-même, une corde et des piquets à la main, procéder à Torienlation d'un temple, laissent peu de doute sur la nature des fonctions de ces personnages que vise Démocrite. L'orientation d'un monument exigeait d'abord la détermination de la méridienne, de la ligne Nord-Sud, ce qui se faisait très simplement, puis celle de la ligne Est- Ouest, perpendiculaire à la précédente. C'est ici sans doute, suivant l'ingénieuse et très vraisemblable opinion de M. Cantor, qu'intervenait un procédé pins ou moins mystérieux, pouvant donner l'apparence d'un grand savoir, ou dune théorie avancée, et qui devait consister en l'applicalion de 'ce fait que le triangle de côtés 3, 4, 5 est rectangle. Il faut seulement supposer la connaissance, dans un cas tout particulier, de ce que nous nommons le théorème de Pythagore. Cela nous est d'autant plus facile que quelques passages de li^Tes chinois et hindous mentionnent aussi, dès une époque assurément fort reculée, la propriété du fameux triangle 3, 4, 5 ; et il n'y a vraiment aucune raison de rejeter la connaissance empirique d'une règle aussi simple et aussi commode chez des hommes que des constructions incessantes devaient exciter à rechercher de toutes façons des procédés ingénieux etj pratiques. Rien

(1) Clément d'Alexandrie, éd. Potter, I, 357.

(2) Cf. Cantor, VorZcsungfen, I, p. 57.

d'ailleurs ne peut nous faire soupçonner chez les Harpedonaptes égyptiens, pas plus que chez les Chinois ou les Hindous (avant la conquête d'Alexandre)^ la moindre tentative de démonstration du théorème de Pythagore.

A peine mentionnerons-nous certaines figures géométriques retrouvées parmi des peintures chaldéennes, représentant le plus souvent des cercles dont la circonférence estpartagée en six parties égales, — et nous n'insisterons pas sur le peu d'importance théorique de semblables dessins.

La tradition, il est vrai, pourrait donnera penser. Chez les auteurs anciens, la géométrie est ordinairement présentée comme étant d'origine égyptienne. Une critique prudente doit faire un choix parmi ces témoignages. Tous ceux qui ont voyagé en Egypte après la conquête d'Alexandre, et qui nous rapportent, comme Diodore de Sicile, l'opinion des prêtres égyptiens sur leur antique savoir, doivent nous être suspects. La géométrie grecque, quand elle pénétra en Egypte au m® siècle, avait déjà atteint un prodigieux développement, et les prêtres égyptiens furent trop tentés de la revendiquer comme leur propre bien, pour que nous ajoutions foi à leurs assertions. Or, si nous remontons au delà du m® siècle, les témoignages favorables aux Égyptiens sont très vagues. Hérodote dit que la géométrie est née en Egypte, et c'est cette tradition qui se transmet jusqu'à Platan et Aristole. Mais de quelle géométrie s'agit-il? On peut bien dire, jusqu'à un certain point, que les questions soulevées dans le papyrus de Rhind sont de la géométrie, géométrie assurément de beaucoup antérieure à Pythagore, mais, nous Tavons dit, c'est de la géométrie usuelle, où ne

•se trouve pas trace d'une théorie rationnellement constituée.

Les monuments qui couvrent encore le sol de TÉgypte et de la Chaldée ne supposent à aucun degré Texistence d'une géométrie théorique, mais seulement une grande expérience, un grand art des architectes, — une soumission passive et une énorme puissance de travail du personnel qu'ils dirigeaient.

Enfin, les études astronomiques des Chaldéens, pour dter les plus anciennes dont parle la tradition, n'exigeaient-elles pas des connaissances géométriques avancées ? — Sans nous attarder aux détails et aux petits problèmes, dont on a pu longtemps s'exagérer la difficulté (détermination de la méridienne en un lieu, des solstices^ des équinoxes, — détermination surla sphère céleste de Técliptique, de l'équateur, etc.), allons droit à la question capitale, celle des éclipses. Hérodote raconte (1) que Thaïes avait prédit l'éclipsé qui vint mettre fin à une bataille entre Lydiens et Mèdes. Or, Thaïes, un des premiers parmi les Ioniens, avait voyagé dans cette mystérieuse Egypte, qui venait tout à coup s'ouvrir à la curiosité des Grecs ; n'est-il pas naturel d'admettre qu'il y avait appris Fart de prédire les éclipses ?

Nous ne doutons plus aujourd'hui que, bien avant Thaïes, Égyptiens et surtout Chaldéens ne s'essayassent couramment à des prédictions d'éclipsés. — Mais que faut-il en conclure ? Nous sommes bien sûrs que notre explication théorique du phénomène ne fut pas connue des Orientaux, et que leur méthode de prédiction ne reposait pas sur elle. Car Thaïes, Pythagore, Démocrite, et tous ceux qui voyagèrent en Egypte ou

(1) Histoires, I, 74.

en Orient Tauraient transmise en Grèce, et nous n'assisterions pas pendant plusieurs siècles, de Pythagore à Aristarque de Samos, aux tâtonnements progressifs des Grecs dans la recherche de Fexplication des éclipses. D'autre part, il n'est pas difficile de comprendre qu'il ait été possible de les prédire, en faisant abstraction de leur cause. Si les Chaldéens ont vraiment observé et noté les éclipses depuis de longs siècles (et il est impossible d'en douter), comment n'auraient-ils pas remarqué qu'au bout de dix-huit ans environ les éclipses de soleil et de lune se reproduisent périodiquement dans le même ordre et aux mêmes intervalles ? Nous savons d'ailleurs positivement, par des allusions trouvées dans quelques textes cunéiformes, que les prédictions ne se faisaient pas d'une façon rigoureuse et que toutes ne se confirmaient pas.

Ainginousne trouvons aucune trace réelle d'une géométrie théorique qui eût été transmise aux Grecs. Cette consultation est-elle bien décisive ? Tantd'œuvres écrites ont pu disparaître depuis ces temps si reculés ! tant de témoignages, sans être anéantis, peuvent encore être cachés à nos yeux I — Sans doute, mais qu'on y songe ! Les inscriptions qui couvrent les monuments, et les innombrables papyrus, soigneusement enfouis dans les tombeaux, nous ont fait pénétrer, depuis le commencement de ce siècle, dans les secrets les plus cachés de la civilisation égyptienne . Dans tous les ordres d'idées nous avons trouvé de quoi nous éclairer, de quoi répondre aux questions les plus indiscrètes, de quoi nous permettre de reconstituer les mœurs, les croyances, les lois des Égyptiens. Nous n'avons rien trouvé qui pût révéler l'existence d'une géométrie rationnelle et spéculative.

Et puis, n'avons-nous pas aussi quelques témoigna-