eds. 1 VV em (Tree re (— (19) approche l l
Les fonctions E Ge G a étant à déterminer dans Ü t
\ chaque cas.
Les formes transcendantes des expressions précédentes, et la difficulté du calcul direet des intégrales citées, m'ont entrainé à une étude des expressions transformées logarithmiques.
Dans les caleuls qui vont suivre j'ai alors essayé l’intégration de l'expression de la vitesse de disparition du gaz. J'utilise quelques propriétés des courbes obtenues en portant en abseisses le logarithme décimal du temps. et en ordonnées les logarithmes décimaux des volumes de gaz disparu.
Soit en effet à calculer l'intégrale définie
3 b 5 5 b ; | Hot Dr ur ut Ni = (a t € + cl e ) dl C4
Cette expression est une fonction de t :
De même, le logarithme décimal du volume est fonetion de t; soit par exemple |
ON = (1) Cette égalité entraine la suivante
— — KSAF (fi) (20)
Si nous pouvons obtenir une expression analytique suffisamment approchée de F {t), il sera possible avec la relation (20) de calculer v, on aura alors,
V' VE K F° () or 3 b 5 5 b > ner 15 3 Ve DL e OC e done 3 b 4) D b y— ti 2e ti +ct 2 e en KA 0)
Nous sommes, dans ces conditions, appelés à examiner la forme analytique qui convient le mieux à la représentation du logarithme décimal de v.
Le) Æ
Je construis la courbe log. v — F (log. t) en portant sur deux axes rectangulaires les valeurs respectives de log. t et de log. v.
Cette courbe est une droile. J'écris alors
Loge = "a; log I EN,
el Vent:
nr:
(2) ce qui donne b 3 5) b hs nr Lo Vire res CPR e
Supposons maintenant que la courbe logarithmique présente une direction asymptotique dans la direction de l'axe des logarithmes t.
On pose alors dans ce cas :
B log t lo MN = À: © et nous déduisons B V' Il l log t EUR = V logÿt 1 et B : log t NE AVE sue Elo e
ou encore
Va At e + B,t e Droite e
log v
Fig. 1. — Courbe transformée logarithmique
dans le cas général.
En plus des deux types précédents, nos expériences nous ont donné, bien souvent, des courbes transformées logarithmiques qui présentaient un aspect plus compliqué. Le schema type de ces courbes s'identifie dans la plus grande partie des observations, à celui de la fig. 1.
On trouve généralement un des deux 1ypes précédents sur lequel apparaît une région À M B en forme de « cloche ».
Pour la commodité des expressions, je désigne la courbe logarithmique de l’un des deux types précédents courbe de base. Elle correspond à certaines réactions simples. La partie AM B sera désignée par le terme «accident».
Nous pouvons mettre en équation la courbe C.A.M.B. D.E. A l'expression analytique de la courbe de base nous pouvons ajouter celle de la courbe A° M° B’. On obtiendra, ainsi l'expression analytique de la courbe totale.
Posons log. & — 0 IG AR AN Si on a également. 60 — «à l'équation de la courbe
A° M° B° peut se mettre sous la forme
— (f—a) Ü—ae
el nous pouvons écrire comme équation de la ligne CAM.B.D. dans laquelle, en première approximation nous supposons la bace C D rectiligne
— (Ü — a) VGA D EN C7) e
ce qui conduit à l'expression
finalement (l b 6 ) b A0 2? e li LR, I 2 e A V= —— - = — — - — ——— — flogt — a) (ES ET . (1 + à — log t)
On peut généraliser, et en cherchant à interpréter le cas, dans lequel la vitesse v’ se trouve exprimée par une expression de la forme
et admettre également, comme expression analytique de la courbe en cloche A M° B7, une relation ayant l'allure suivante :
