LES DEUX INFINIS

Bon nombre des pensées que Léonard a semées en ses manuscrits sont des notes de lecture. Si on les prend isolément, sans chercher à connaître les circonstances qui ont provoqué le grand peintre à les formuler, elles peuvent, bien souvent, paraître banales et de peu d'importance; leur sens même, quelquefois, demeure obscur. Il en est tout autrement si l'on s'enquiert des livres que Léonard a pu avoir en mains, des discussions qui s'agitaient dans les écoles de son temps. Replongées alors dans le milieu qui les a vues naître, ses réflexions s'animent et reprennent vie; la phrase qui semblait morte et desséchée, s'épanouit, montrant à nos yeux étonnés une plénitude de sens que nous ne soupçonnions pas ; elle nous entr'ouvre, pour un instant, l'âme du penseur génial et nous révèle les problèmes dont cette âme est agitée, les solutions auxquelles elle s'est arrêtée.

Ainsi, çà et là, en ces manuscrits que les bibliothèques gardent comme d'inappréciables trésors, nous trouvons quelques brèves remarques sur l'infîniment grand et l' infiniment petit. Recueillies avec soin et mises à part, ces remarques n'éveillent en nous qu'un sentiment de pieuse curiosité. Mais cessons de les considérer en elles-mêmes, de faire abstraction des circonstances où elles ont été engendrées ; souvenons-nous que leur auteur vivait parmi des hommes qui discutaient avec passion les problèmes de l'infini ; qu'avant ces hommes, d'autres avaient agité les mêmes questions et en

avaient proposé des solutions variées; enquérons-nous avec soin de ce que disaient les contemporains de Léonard, de ce que ses prédécesseurs avaient écrit. Voici que ces courtes phrases, tout à l'heure si insignifiantes, prennent une importance singulière; chacune d'elles nous montre l'esprit de Léonard aux prises avec une des redoutables énigmes qui se posaient à la philosophie de son siècle; et plusieurs nous apprennent quelle réponse avait fixé son choix.

A la vérité, pour interpréter de la sorte ces notes brèves et peu nombreuses, il nous faut reconstituer ce qu'était, au début du xvi' siècle, la théorie de l'infiniment grand et de l'infiniment petit; l'œuvre est immense, car elle exige une étude approfondie d'une foule de traités composés par les grands docteurs de la Scolastique; elle est passionnante aussi, par la puissance des distinctions logiques et des intuitions métaphysiques qui ont révélé à ces penseurs les fondements de leurs doctrines, aussi bien que par l'influence féconde de ces doctrines sur le développement de la Mathématique moderne.

Nous ne pouvons avoir la prétention de mener à bien, dans les étroites limites de cette étude, une œuvre aussi considérable. Nous nous bornerons à en tracer le plan à grands traits. Puisse cette simple esquisse inspirer à d'autres le désir d'achever ce que nous n'aurons fait qu'ébaucher.

L'infiniment grand et l'infiniment petit selon Aristote.

Au temps de Léonard de Vinci, les œuvres d'Aristote fournissent aux Universités les programmes de leurs enseignements ; les écrits philosophiques que l'imprimerie, encore au berceau, commence à répandre avec profusion, sont, pour la plupart, des commentaires d'Aristote; il nous serait donc impossible de comprendre ce qui s'enseigne sur l'infiniment grand et l'infiniment petit au voisinage de l'an i5oo, si nous ne recherchions ce qu'en a dit le Stagirite.

Très sommairement, essayons de retracer l'enseignement du Philosophe au sujet de l'infini1.

Lorsque Aristote traite de l'infiniment grand et de l'infiniment petit, il se place à un point de vue absolument distinct de celui qu'a choisi le mathématicien, et c'est une première remarque essentielle2.

Le mathématicien traite seulement de notions abstraites conçues par sa raison (Itù vqq vo^aewç); c'est dans ce domaine purement intellectuel qu'il pose la possibilité de surpasser toute grandeur par voie d'addition, toute petitesse par voie de division ; le Philosophe laisse libre cours à cette fantaisie, car il se propose de discourir des mêmes questions, mais au point de vue du réel (erà to3 xpay^atou).

L'infiniment petit, terme auquel on tend par la division ininterrompue (âçatosatç ou Siaipsjiç), ne semble guère embarrasser Aristote3; « on ne peut marquer une partie si petite d'une grandeur que l'on ne puisse, par division, en obtenir une plus petite ; » toute grandeur est donc, en puissance (Suvajjiet), divisible à l'infini, « car il n'est pas difficile de prouver la nonexistence des lignes insécables. »

Aristote, en effet, accable de ses arguments les atomes de Leucippe et de Démocrite. Au sixième livre des Physiques aussi bien qu'en divers passages du De Cœlo, il s'efforce de prouver qu'il ne saurait exister de grandeur indivisible.

Plus singulière assurément, et plus contraire à nos habitudes d'esprit, est la théorie que le Stagirite propose au sujet de l'infiniment grand.

Et, d'abord, une grandeur infinie peut-elle exister en acte (ivîpYÉta)? Certainement non. « Il ne peut pas exister de corps actuellement infini, — hzpyiia ouv. èVci (7w;j.a axs'.pcv4. » C'est un des axiomes fondamentaux de la philosophie d'Aristote. Le

i. On trouvera un exposé très documenté de cet enseignement dans : Kurd Lasswitz, Geschichte der Atomistik vom Mittelalter bis Newton; Erster Band : Die Erncurung der Korpuskular théorie, pp. 79-1 3Zi ; Berlin et Leipzig, 1890. — Voir également: G. Milhaud, Études sur la pensée scientifique chez les Grecs et chez les Modernes; III, Aristote et les mathématiques , Paris, 1906.

2. Aristote, t&uffixîjç àxpoao-sto; xb F, r\ (1. llf, chap. 8).

3. Aristote, <ï>ucrix-?iç àxpoàaew; tô V, ç (1. III, chap. 6).

4. Aristote, <êu<tix-?)ç àxpoâdeio; 10 V, ç (1. III, chap. 6).

Monde n'est pas infini; la sphère des étoiles en marque la borne, au delà de laquelle il n'est plus de lieu; aucun volume donné en acte ne peut être plus grand que le volume de cette sphère; nulle ligne droite actuelle ne peut être plus longue (pie le diamètre de cette figure.

Si donc il est permis de parler d'un infiniment grand, ce ne pourra être que d'un infiniment grand en puissance. Et que faudra-t-il entendre par là1 ?

Supposons que l'on prenne une grandeur, puis Une autre, puis encore une autre; supposons que chacune de ces grandeurs soit finie et différente de celles qui ont déjà été prises; ajoutons chacune d'elles à la somme de celles qui l'ont précédée; admettons que la môme opération puisse se répéter sans fin et que, par cette addition indéfiniment continuée, nous parvenions à surpasser n'importe quelle grandeur assignée d'avance; nous aurons l'infiniment grand en puissance.

Mais cet infiniment grand en puissance n'existe pas plus que l'infini en acte, et il n'existe pas précisément parce que l'infini en acte ne peut pas être. Puisque le Monde est fini, il est des grandeurs, savoir les dimensions mêmes du Monde, qu'aucune addition ne saurait surpasser; on ne peut pas former une grandeur qui dépasse n'importe quelle grandeur donnée d'avance, «car il faudrait que quelque chose pût être plus grand que le ciel — lvt\ yip o:Jv tt tou Oùpovsu y.eTÇsv2. »

Lorsque l'on marche, par voie de division, dans le sens des grandeurs décroissantes, on peut, sans être arrêté par aucune impossibilité, parvenir à une grandeur plus petite que n'importe quelle limite assignée d'avance ; lorsqu'au contraire on s'avance, par voie d'addition, dans le sens des grandeurs croissantes, on atteint forcément une limite que l'on ne saurait franchir.

Ce que nous venons de constater dans le domaine de la grandeur, nous le constatons, mais en ordre inverse, dans le domaine du nombre* , — et par ce mot Àristotc désigne exclusivement le nombre entier.

i. Aristotc, 4>uffixrj; àxpoâereco; xo l\ c (1. III, chap. G). tristote, «h-jai/r,; àxpoâaswî xo r, Ç (1, III, chap. 7). 3 Aristote, $ ucrixr) ; ixpoâ<reu>; xo V, ç xa\ Ç (I. III, chapp. 6 et 7).

Si l'on progresse dans le sens des nombres croissants, on peut marcher indéfiniment jusqu'à rencontrer des nombres qui surpassent n'importe quelle multitude. Si l'on suit, au contraire, l'ordre des nombres décroissants, on aboutit à un terme que l'on ne peut franchir, car aucun nombre n'est inférieur à l'unité.

Tel est, dans ses grandes lignes, l'enseignement d'Aristote au sujet des deux infinis. C'est le thème sur lequel la science du Moyen-Age va broder ses variations.

L'iNFINIMENT PETIT DANS LA ScOLASTIQUE.

De ces variations, nous ne ferons entendre ici que les phrases tout à fait essentielles; les mille nuances qui les diversifient ne sauraient trouver place en cet article.

La doctrine de Démocrite et de Leucippe, qui nie la divisibilité à l'infini, eut assurément, en tout temps, des partisans; ses adversaires s'efforçaient fréquemment de la ruiner au nom de la Géométrie; ils se plaisaient à en tirer des conséquences qui fussent en contradiction avec les enseignements des mathématiciens.

Il semble qu'il faille regarder Roger Bacon comme l'initiateur de cette méthode; en son Opus majus, qu'il adressa en 1267 au Pape Clément IV, il emploie1 l'argument suivant :

Si les lignes sont composées d'atomes, la diagonale du carré et le côté de cette même figure ont même rapport que les nombres entiers d'atomes dont ces longueurs sont formées; elles sont donc commensurables entre elles, contrairement à ce qu'enseignent les mathématiciens.

L'indication contenue en ce passage a été grandement

1. Fratris Rogeri Bacon, Ordinis Minorum, Opus majus ad Clementem quartum, Pontificem Romanum, ex MS. Codice Dubliniensi, eu m aliis quibusdam collato, nunc primum edidit S. Jebb, M. D.; Londini, typis Gulielmi Browyer, MDCCXXXIII ; p. 93.

développée par Jean de Duns Scot, en son commentaire aux Quatre Livres des Sentences de Maître Pierre Lombard '.

Duns Scot distingue deux formes de la doctrine qu'il prétend combattre : l'une consiste à affirmer que le continu est composé à'indivisibilia, c'est-à-dire d'atomes discontinus, séparés les uns des autres; l'autre, à affirmer qu'il est composé de minirna se soudant l'un à l'autre avec continuité.

A chacune de ces deux formes, il oppose l'argument de Roger Bacon et d'autres arguments analogues; celui-ci par exemple : « Des cercles concentriques sont tous rencontrés par n'importe quel rayon issu du centre; il faudrait donc qu'ils renfermassent tous le même nombre d'atomes et, par conséquent, qu'ils fussent égaux entre eux. »

La réfutation géométrique de la doctrine de Démocrite, proposée par Duns Scot, fut aussitôt propagée par ses disciples; elle eut dans l'École la plus grande vogue.

Guillaume d'Ockam (i 280-1347), dans ses Quodlibeta (Quodlib. 1, quaest. 9) donne en abrégé les raisons mathématiques que le Docteur Subtil avait imaginées à l'encontre des indivisibles. Un autre franciscain, disciple de Scot et contemporain d'Ockam, Jean Marbres, dit Jean le Chanoine, donnait à Paris, vers l'an i32o, un brillant enseignement; dans ses Questions sur la Physique d'Aristote, il reprend2 sommairement l'argumentation de son maître.

Albert de Saxe en fait autant3, dans ses belles et importantes Questions sur les huit livres des Physiques.

Marsile d'Inghen, qui fut recteur de l'Université de Heidel

1. H. P. F. Joannis Duns Scoti Opéra, tomi sexti pars prima, ainsi intitulée :

R. P. F. .loannis Duns Scoti, Doctoris subtilis, Ordinis Minorum, Quœsliones in lib. II Sententiarum, nunc denuorecognita», annotationibus marginalibus,Doctorum (pie celcbrioruni ante quamlibet quaostionem citationibus exornatae, et seboliis per textum insertis illustrât^. Gum commentariis IV' P. F. Francisci Lycbeti Brixiensis, Ordinis Minorum regularis observantiae olim ministri generalis, et supplemento R. P. F. Joannis Poncii Hibcrni,ejusdem Ordinis, in Gollegio Hibernorum tbeologia^ primarti professons. Lugduni, sumplibus Laurentii Durand, MDGXXXIX. Lib. Il ilist II, quœst. I\ : Utrum angélus possit moveri de loco ad locum motu eontinuo.

■1. Joannis Canonici Qnestiones super 17// libros physicorum irisLotelis perutiles, [Padoue, \\<>: Venise, 1/481 ; Viceoce, i485; Venise, 1/187 (deux éditions); Venise,

• |; libri \ I quœst. unica.

icutissime qusestiones super libros de physica auscultations ab Alberto de Saxonia édita? ; m librum \ l quœst. I.

berg et qui mourut dans cette ville en i3q3, a composé, sur le même ouvrage d'Aristote, des Questions1 souvent imitées de celles d'Albert de Saxe. A l'exemple d'Albertutius, Marsile oppose9 aux indivisibles les arguments de Duns Scot.

Grégoire de Rimini était un contemporain d'Albert de Saxe ; nommé en i357 général de l'ordre des Augustins, il mourut à Vienne en i358. Il admirait grandement les raisonnements géométriques du Docteur Subtil contre les atomistes; c'est, du moins, ce que nous apprend Jean Majoris dans son traité Sur l'infini, que nous aurons plusieurs fois à citer3.

Certains ne se contentaient pas de reproduire les arguments du Docteur Subtil ou de les résumer; ils les étendaient par de nouveaux développements. Tel Thomas Bradwardin, qui mourut en i34g, au moment où le Souverain Pontife ratifiait son élection à l'archevêché de Ganterbury. Il avait composé un

i. Qùestiones subtilissime Johannis Marcilii Inguen super octo libros physicorum secundum nominalium viam. Colophon : Impresse Lugdini per honestum virum Johannem Marion, anno Domini MCCCCCXVIU.

En 1617, ces Questions, jointes à un commentaire des Physiques qui pouvait avoir été composé par Duns Scot, furent données comme une œuvre de Duns Scot sous ce titre :

Jo. Duns Scoti, Doctoris subtilis, In VIII lib. Physicorum Aristotelis Quaestiones et Expositio, in celeberrima et pervetusta Parisiensium Academia ab ipso Authore publiée ex cathedra perlectae, nunc primum ex antiquissimo manuscripto exemplari abstersis omnibus mendis in lucem editae et accuratis annotationibus illustratae, a R. Adm. P. F. Francisco de Pitigianis Arretino, Ord. Minorum de Observantia Provincial Tusci;e, olim Sereniss. Ferdinandi Gonzaga? Mantuœ et Montisferrati Ducis, Theologo, Suœq. Serenissimae Dominationi, ab ipsomet vivente dicata?. Venetiis, MDCXVII, apud Joannem Guerilium.

L'Exposition et les Questions furent insérées au tome II des Opéra omnia de Duns Scot, dont les huit volumes parurent à Lyon, chez Laurent Durand, en 1639 ; elles y portent ce titre :

R. P. F. Joannis Duns Scoti, Doctoris subtilis, Ordinis Minorum, dilucidissima expositio et quœstiones in octo Ubros Physicorum Aristotelis.

Mais elles y sont précédées d'une remarquable Censura, due au savant P. Luc Wadding, où il est prouvé que ces Questions ne sont pas de Duns Scot, qu'elles se rattachent à l'École nominaliste de Paris, et où Marsile d'Inghen est cité comme un de leurs auteurs probables.