Roger bacon, loc. cit., pp. i3/i-i

a) Aristolelis De Cœlo, De generatione et corruptione, Mcteorologicorum, De plantis, cum Averrois Cordubensis variis in eosdem commenlariis. Veneliis, apud Juntas, 1574. — Arislotelis De generatione et cor ruptione liber primus cum Averrois Cordubensis média expositione ; summae primae caput II, p. 330.

actuellement donnée; mais elle est incompatible avec une proposition particulière qui n'est pas actuellement donnée, qui est à donner dans l'avenir... On doit donc concéder que la division au point À ne répugne aucunement à la division en n'importe quel autre point donné présentement et en acte; mais elle répugne à la division en quelque point qui reste à donner; tous les points de division, en effet, ne sauraient être donnés simultanément; ils sont donnés successivement et par une succession qui se prolonge à l'infini... Voilà donc brisée cette massue d'Hercule; non sans peine, il est vrai, car le vulgaire entier ignore ces choses ; quelques habiles les connaissent, mais ils sont fort peu nombreux. »

Roger Bacon marque quelque fierté de la réponse qu'il a opposée aux partisans de la divisibilité actuelle à l'infini; il est permis cependant de douter qu'elle soit entièrement juste.

La division d'une ligne au point A est certainement compatible avec la division en n'importe quel point actuellement donné; on ne voit pas pourquoi elle cesserait d'être compatible avec la division en n'importe quel point à marquer dans l'avenir; l'impossibilité ne s'introduit qu'au moment où l'on considère la division en tous les points à la fois.

C'est ce qu'a fort bien vu le Docteur Subtil1.

A un certain instant (nunc) un continu peut être divisé réellement en A parties; il peut être divisé réellement en B parties, ou à la fois en A parties et en B parties. Mais il n'est pas possible qu'en un certain instant, même indéterminé, ce continu se trouve réellement divisé en A parties, en B parties, en G parties..., A, B, G,... étant tous les nombres possibles.

Chacune de ces divisions peut être réalisée en un certain instant; il en est de même d'un groupe quelconque de telles divisions ; mais elles ne sont pas toutes compossibles en un même nunc. Les possibilités en nombre infini qui correspondent à ces divers modes de division ne peuvent pas se trouver toutes à la fois réduites à l'acte.

i. R. P. F. Joannis Duns Sroti, Doctoris subtilis, Quœstioncs in lib. II Sentcnliarum; dist. II, quœst. 9. Opéra omnia, tomi sexti pars prima, p. a5i.

A ce propos, Duns Scot donne un ingénieux exemple de possibilités dont chacune peut être réalisée isolément, ou simultanément avec d'autres, mais qui ne peuvent être réalisées toutes ensemble :

Socrate peut porter 9 pierres et on en donne 10. Socrate peut porter une quelconque des pierres ou un groupe quelconque de 2, de 3..., de 9 pierres; mais il ne saurait porter les 10 pierres à la fois.

L'opinion de Duns Scot a été adoptée par plusieurs des grands maîtres de la Scolastique; Walter Burley, en particulier, l'a formulée avec netteté1.

Les méditations de Roger Bacon, de Duns Scot, de leurs continuateurs, ont amené les docteurs de l'École à diviser autrement que ne l'avait fait Aristote les propositions relatives à l'infiniment grand et à l'infiniment petit. Aristote s'était borné à distinguer les propositions qui traitent de l'infini en acte de celles qui traitent de l'infini en puissance. Les Modernes adoptent une distinction plus raffinée. Parmi les propositions qui traitent de l'infini, il en est où tous les termes sont donnés comme actuellement réalisés ou comme susceptibles d'être réduits à l'acte sans aucun mélange de puissance; en ces propositions, on parle de l'infini d'une manière catégorique (cathegoreumatice) . En d'autres propositions, on donne certains termes comme susceptibles seulement d'une réduction à l'acte toujours incomplète, toujours mélangée de puissance; on parle alors de l'infini d'une manière syncatégorique (syncathegoreumatice) . Les propositions catégoriques posent l'infini in facto esse; les propositions syncatégoriques le posent seulement infieri.

Cette distinction entre l'infini catégorique et l'infini syncatégorique paraît avoir été posée pour la première fois par un dialecticien dont la logique a dominé, pendant tout le xive siècle et tout le xve siècle, l'enseignement de l'Université de Paris; nous voulons parler de Petrus Hispanus, c'est-à-dire du Portugais Pedro Juliani (1 226-1 277) qui prit, en coiffant la tiare, le nom de Jean XXI.

1. Burleus Super octo libros physicorum. Venetiis, i ^9 1 ; fol. i55, col. d.

Au septième traité — le plus original — de ses Summnlœ locjicales, Petrus Ilispanus distingue1 l'infini catégorique, qui désigne la quantité du sujet auquel s'applique le prédicat d'infini, et l'infini syncatégorlque qui ne désigne pas la quantité du sujet de la proposition, mais seulement de quelle manière le sujet se comporte à l'égard du prédicat; ce dernier infini est une marque de la disposition du sujet, un signe distributif. Toute proposition sur l'infini syncatégorique affirme que le prédicat convient au sujet pris sous une certaine quantité, mais en môme temps elle nie que le prédicat appartienne au sujet seulement lorsqu'il est pris en telle quantité déterminée. Ainsi cette proposition syncatégorique : Une infinité d'hommes courent, signifie : Un certain nombre d'hommes courent, et aussi un plus grand nombre, et plus grand d'autant que l'on voudra.

On comprend qu'une proposition puisse être fausse au sens catégorique et vraie au sens syncatégorique. Walter Burley en cite un exemple2. Cette proposition : Dans toute grandeur donnée, il y a une infinité de parties égales entre elles et placées les unes hors les autres, peut être vraie ou fausse. Elle est fausse si on la prend cathegoreumatice, entendant que l'on peut, dans cette grandeur, distinguer actuellement une infinité de parties égales entre elles et égales à une quantité donnée d'avance. Elle est vraie si on la prend syncathegoreumatice, comme affirmant la possibilité de trouver en la grandeur donnée un nombre toujours croissant de parties dont la grandeur n'est pas assignée d'avance.

A la base même de ses discussions sur l'infini3, Albert de Saxe — l'un des plus profonds logiciens dont l'École ait pu

i. Pétri Mispani Summulae logicales cum Versorii Parisiensis clarissima expositione. Parvorum item Logicalium eidem Petro Hispano ascriptum opus, nuper in partes ac capita distinctum. Quae omnia a Martiano Rota, viro clariss., inlinitis fere erroribus siirniiio studio, ac maxima sunt diligentia castigata. Venetiis, apud hœredes Melchioris Sessœ, MDLXXXHI. — Pétri Hispani Tractatus septlmus parvorum logicalium (subdivisé lui-même en sept traités) ; tractatus septimus, pars G" : De infiniti quinque acception ibus, et propositionihus ex ipso formatis. — L'écrit intitulé: Petro Hispano tucriptum opus parvorum logicalium, qui se trouve à la lin du livre, ne paraît pas être du même auteur.

i. Burleus Super oclo libros physicorum. Venetiis, 1^91 ; lib. 111, fol. 7®, col. c.

3. Acutissimst qumstiones super libros de physica ausculiatione ab Alberto de Saxonia édita-, in libruQQ III quœstio \.

s'enorgueillir au xrve siècle — pose cette distinction entre les propositions qui parlent catégoriquement de l'infini et celles qui en parlent syncatégoriquement. Il n'hésite pas à proclamer ce principe : « Si l'on formule deux propositions semblables, mais que l'infini soit tenu pour catégorique dans l'une et pour syncatégorique dans l'autre, ces deux propositions sont radicalement hétérogènes (impertinentes) entre elles; elles ne résul tent pas l'une de l'autre; elles ne répugnent pas non plus l'une à l'autre. » La vérité de chacune d'elles doit être prouvée en soi et sans souci de la vérité de l'autre. «C'est ainsi que cette proposition : Le continu est infiniment divisible, n'entraîne pas cette autre : Le continu peut être divisé en une infinité de parties l ; car, en la première, il s'agit d'un infini syncatégorique et, en la seconde, d'un infini catégorique. »

Ces réflexions sur l'infini syncatégorique, où une puissance peut être réalisée toujours plus complètement sans être jamais réduite à l'acte pur, trouvaient mainte application; l'étude d'une grandeur variable qui tend vers une limite sans jamais l'atteindre, leur donnait occasion de prouver leur justesse et leur utilité ; la sommation d'une progression géométrique de raison fractionnaire est l'exemple auquel les scolastiques s'adressaient ordinairement,

Le paralogisme célèbre d'Achille et de la tortue, attribué à Zenon, paraît les avoir conduits à l'étude de cette question; voici, en effet, ce que nous lisons clans Gilles de Rome2 :

« En ce qui concerne la division du temps à l'infini, il se présente une difficulté. Si cette division à l'infini pouvait être réalisée en acte, un cheval rapide n'atteindrait jamais une fourmi. Supposons, en effet, qu'un cheval se meuve de la moitié d'une palme et qu'il s'arrête; qu'il se meuve après cela de la moitié de la demi-palme restante et qu'il s'arrête de nouveau,

i. Nous sommes obligé de rendre par des mots différents les différences de sens que le latin d'Albert de Saxe rend par une simple transposition des mêmes mots ; Albert énonce la première proposition : In infinitum continuant est divisibile, et la seconde : Continuum est divisibile in infinitum; cette manière de distinguer les propositions catégoriques des propositions syncatégoriques, imaginée par Albert de Saxe, a été conservée par tous les scolastiques.

2. Egidius cum Marsilio et Alberto De generatione. Venetiis, i5i8. — Questiones super primo de generatione D. Egidii; quaest. XI, fol. 67, col. a.

3/j ÉTUDES SUR LÉONARD DE VINCI

et ainsi de suite; comme le continu est divisible à l'infini, il n'achèvera jamais le parcours de la palme. Lors donc que l'on divise un continu, si chaque partie a son existence propre et séparée, et si ces parties sont produites par une division en acte, la division de ce continu ne sera jamais achevée... Ainsi tout temps est divisible à l'infini, mais ses parties sont seulement en puissance. »

Ce que Gilles de Rome a indiqué au début de ce passage est repris, sous forme plus précise, par Walter Burley.

« Ce que nous venons d'exposer, » dit Walter Burley «, « prouve la vérité de la proposition suivante, dont la connaissance n'est point fort commune : Étant donnée une ligne, on peut y marquer des segments dont la longueur décroisse en progression géométrique, et l'on peut en même temps y désigner un point auquel il sera impossible de parvenir par aucune opération finie, tandis que tout point situé en deçà de celui-là pourra être atteint par une opération finie. Gela aura lieu si l'on prend comme premier segment la moitié de la longueur à l'extrémité de laquelle ne doit conduire aucune division finie, comme second segment la moitié du premier segment, etc. Au contraire, tout point en deçà de l'extrémité pourra être atteint par une division finie. Gela peut, sans peine, être démontré géométriquement; mais, pour le moment, nous n'insisterons pas sur cette démonstration. »

Ces considérations, « dont la connaissance n'était point fort commune » au temps de Walter Burley, se répandirent bientôt en se reliant à un autre problème. De ce problème, nous allons emprunter l'exposition à Jean de Jandun 2.

Il existe, pour toute vertu naturelle, un maximum aux œuvres qu'elle peut accomplir; ainsi, le nombre de livres

i. Burleus Saper octo libros physicorum. Venetiis, 1491 ; lib. III, fol. 70, col. b.

3. Joannis de Janduno, philosophi acutissimi, Super octo libros Aristotelis de physico anditu subtilissimœ quœstiones. Venetiis, apud Juntas, anno MDLI. Libri sexti qu.rstio I, foll. 85 (marqué par erreur 7/i) et 8G. Ce problème tire son origine des considérations sur la puissance maximum d'une force qu'Aristote a indiquées au premier livre du De Ccelo, et surtout des commentaires dont Averroès a enrichi ces considérations '.

a,) Aristotelis De Cttlo, De ijeneratione et corruptione, Meteorologicorwn, De plantis, cum Arerroia Cordubensis in eosdem commentariis. Venetiis, apud Juntas, 157't. — De Cœlo, liber priruus ïamma décima, eap, 11 pari 2, foll, 78-80.

qu'un homme peut porter admet un certain maximum. Certains philosophes veulent qu'il y ait un minimum pour les œuvres que cette vertu ne peut accomplir, et que ce minimum soit distinct du maximum précédent. Soit, par exemple, un homme qui peut porter tous les poids jusqu'à cent livres au maximum ; les poids qu'il ne peut pas porter admettraient un certain minimum, et ce minimum ne serait pas cent livres.

C'est, en particulier, l'opinion que semble admettre saint Thomas d'Aquin, commentant le De Cœlo d'Aristote l ; voici ses propres termes : « De même que l'on détermine la puissance que quelqu'un possède en indiquant le maximum de ce qu'il peut accomplir, de même on détermine ce qui lui est impossible par l'œuvre minimum parmi celles qu'il ne peut accomplir; on caractérise ainsi sa faiblesse. Si, par exemple, le nombre maximum de stades que quelqu'un peut parcourir est 20, et si le nombre minimum de stades qu'il ne peut parcourir est 21, c'est par ce dernier nombre que l'on doit caractériser sa faiblesse, et non pas en disant qu'il ne peut faire 100 stades ou 1000 stades. »

Jean de Jandun montre sans peine que le maximum et le minimum dont il s'agit ne sauraient différer par quelque grandeur divisible que ce soit. Supposons, en effet, qu'ils diffèrent de la sorte et prenons un poids intermédiaire entre le maximum et le minimum. L'homme peut porter ce poids, puisqu'il esl inférieur au minimum des poids qu'il ne saurait porter; et cependant ce poids surpasse le maximum des poids qu'il peut porter.

La contradiction est manifeste. Elle ne s'évanouirait que si le maximum et le minimum étaient séparés par un indivisible. L'impossibilité des indivisibles ferme cette échappatoire, en sorte que Jean de Jandun se croit autorisé à formuler cette conclusion : « Il est vrai qu'à une vertu naturelle donnée correspond un maximum des œuvres qu'elle peut accomplir ; il n'est pas vrai qu'il lui corresponde un minimum des œuvres qu'elle ne peut pas accomplir. »

1. Libri de Cœlo et Munlo Aristotelis cum expositione Sancti Thomae de Aquino; in librum I lectio XXV.

La question que nous venons d'entendre exposer par Jean de Jandun a été reprise par maître Albert de Saxe; il l'a traitée d'une manière approfondie en son commentaire au De Cœlo d'Aristote '.

Les deux propositions qu'Albert de Saxe discute sont les

suivantes :

Étant donnée une puissance active, il existe une résistance maximum parmi les résistances qu'elle peut surmonter (maximum in quod sic).

Étant donnée une puissance active, il existe une résistance minimum parmi les résistances qu'elle ne peut pas surmonter (minimum in quod non).

Mais avant de discuter ces deux propositions, il a soin d'en fixer le sens 2 avec une minutie digne d'un mathématicien de notre temps.

En disant qu'une résistance est maximum parmi toutes celles que la puissance donnée peut surmonter, il entend que la puissance peut surmonter cette résistance-là et toute résistance moindre, tandis qu'elle ne peut surmonter aucune résistance plus grande.

Pour définir le sens de cette phrase : Telle résistance est un minimum parmi celles que la puissance donnée ne peut pas surmonter, les prédécesseurs d'Albert se contentaient de dire : La puissance donnée ne peut surmonter ni cette résistance -là ni aucune résistance plus grande, mais elle peut surmonter toute résistance moindre. Notre logicien pointilleux exige, et non sans raison, une plus grande précision; la puissance donnée, dit-il, ne peut surmonter ni la résistance minimum, ni une résistance plus grande ; mais si l'on désigne une résistance quelconque moindre que la résistance minimum, il existera une résistance supérieure à celle que l'on a ainsi assignée, et telle que la puissance donnée la puisse surmonter.

i. Quxstiones subtilissimse Albcrti de Saxonia in libros de Cœlo et Mundo ; in lib. I quœstt. \IV el XV. — Selon J, Aschbach (Geschichte der Wiener Université, Band I, S. 365), Albert de Save aurait composé un traité De maximo et minimo qui serait conservé eo manuscrit à Venise; si ce traité existe réellement, il serait à croire qu'il B pour objet le problème qui mous occupe en ce moment.

i. Mberl <!<• Saxe, h>c cit., quœst. \IY. quantum ad primum.

Ces définitions soigneusement posées, Albert formule ses conclusions *.

Contrairement à ce qu'avait prétendu Jean de Jandun, il n'est pas vrai qu'il existe un maximum parmi les résistances qu'une puissance donnée peut surmonter (poienlia activa non terminatur per maximum in quod sic); mais il existe un minimum parmi les résistances qu'elle ne peut pas surmonter (terminatur per minimum in quod non).

« Soit, en effet, A la puissance active; on peut se donner une résistance qui lui soit égale et la désigner par B. Or, cette résistance est la résistance minimum parmi celles que la puissance A ne peut surmonter. La puissance A, en effet, ne peut surmonter la résistance B, car elle ne l'excède point. Mais si nous nous donnons une résistance quelconque inférieure à B, nous pourrons trouver une résistance supérieure à celle-là et que la puissance A puisse surmonter; soit, en effet, une résistance inférieure à B; on peut trouver une résistance supérieure à celle-là et inférieure à A; et comme le moindre excès suffit à déterminer le mouvement, une résistance inférieure à B étant donnée, on peut trouver une résistance supérieure à celle-là que la puissance active A surmonte; dès lors, d'après la définition du minimum in quod non donnée ci-dessus, B est la résistance minimum parmi celles que A ne peut surmonter. »

« On peut donc dire que nous connaissons la grandeur d'une puissance active en sachant quelle est la résistance minimum qu'elle ne peut surmonter. En effet, nous savons quelle est la force d'une puissance active lorsque nous savons la distinguer de toute puissance plus forte et de toute puissance plus faible ; or, c'est ce que nous savons lorsque nous connaissons la plus petite résistance qu'elle ne puisse surmonter; car pour connaître ce minimum, il faut connaître trois choses : savoir, d'abord, que la puissance donnée ne peut surmonter ni telle résistance, ni aucune résistance plus forte, et ces deux premiers renseignements nous permettent de distinguer

1. Albert de Saxe, loc. cit., quaest. XIV, quantum ad secundum articulum.

la puissance donnée de toute puissance plus grande; — savoir, ensuite, que si l'on se donne une résistance quelconque inférieure à ce minimum, on peut trouver une résistance supérieure à celle-là que surmontera la puissance donnée, et ce dernier renseignement suffit à la distinguer de toute puissance plus faible. »

Les résistances qu'une puissance donnée peut surmonter forment donc un ensemble de grandeurs qui admettent une limite, mais qui ne peuvent atteindre cette limite, comme il arrivait en l'exemple cité par Walter Burley. De là la possibilité de formuler des propositions qui seront vraies ou fausses selon que nous les prendrons au sens syncatégorique ou au sens catégorique.

« Il ne serait pas logique1 de dire : Socrate a puissance pour porter n'importe quelle partie de ce poids, il portera donc n'importe quelle partie de ce poids. Considérons, en effet, un poids A, qui pèse 8, et supposons que 8 soit la puissance de Socrate; il est clair que Socrate a puissance pour porter n'importe quelle partie du poids A ; et cependant il est impossible qu'il en porte toute partie, car il porterait alors le poids A lui-même; or, cela est faux, car il ne peut y avoir action quand la puissance est égale à la résistance. »

Dans ce cas donc, « la proposition universelle est impossible, tandis que chacune des propositions singulières est possible et compossible avec chacune des autres. » « On passe ainsi d'un sens divisé, qui est exact, à un sens composé, qui est faux. »

Albert parle ici en disciple de Duns Scot.

Au lieu de se donner une puissance active et de considérer les diverses résistances qu'elle peut surmonter, on peut, tout au contraire, fixer une résistance et considérer toutes les puissances qui l'emporteront sur elle2. Les puissances qui l'emportent sur elle n'admettent point de minimum in quod sic; mais celles qui ne peuvent la surmonter admettent un maximum i/t quod non.

i. Aeutissimse quœstiones super libros de physico auditu ab Alberto de Saxonia editœ; in lib. III quœst. XIII.

a. Qusestfones subtilissimœ Alberti de Saxonia in libros de Ccelo et Mundo ; in lib. I quœst. XV, quantum ad secundum articulum.

a Cette proposition peut être éclairée par un exemple : »

« Supposons que la puissance dont dispose Socrate pour lever un poids et la résistance d'une livre soient égales entre elles, en sorte que Socrate ait précisément autant de force pour lever que la livre en a pour résister. La force de Socrate est le maximum de toutes les puissances propres à soulever qui ne peuvent soulever une livre, car aucune force inférieure à celle de Socrate ne peut lever une livre, et toute force supérieure la peut lever, en sorte que Socrate possède la plus grande puissance parmi toutes celles qui ne peuvent soulever une livre; ainsi la puissance active égale à la résistance est la puissance maximum parmi celles à laquelle la résistance ne cède pas ; et la résistance égale à la puissance active est le minimum des résistances que la puissance ne puisse surmonter. »

D'après cet exposé, lorsque la puissance est égale à la résistance, ni l'une ni l'autre de ces deux forces ne l'emporte sur l'autre1. « Elles sont comme deux hommes également forts dont chacun cherche à tirer l'autre; aucun de ces deux hommes n'agit sur l'autre, mais chacun d'eux empêche l'action de l'autre. » Il suffît que l'on augmente aussi peu que l'on voudra l'une de ces deux puissances en équilibre pour qu'elle l'emporte sur l'autre. Lorsque Socrate porte sur la tête une pierre dont la résistance est précisément égale à sa puissance, si l'on augmente si peu que ce soit la force de Socrate, il soulèvera la pierre ; si l'on augmente le poids de la pierre, elle fera fléchir Socrate.

Ainsi Albert de Saxe, considérant l'antagonisme dune puissance et d'une résistance, distingue en deux catégories les circonstances qui se peuvent présenter : d'une part, sont les circonstances où le mouvement se fait dans le sens de la puissance; d'autre part, les circonstances où le mouvement se produit dans le sens de la résistance. Les deux catégories sont séparées par une limite commune; et ces circonstances limites n'appartiennent ni à l'une ni à l'autre des deux catégories ; quand elles sont réalisées, il y a équilibre.

Ces considérations ne sont-elles pas de tout point conformes