Albert de Saxe, loc. cit., quaestt. XIV et XV, passim

3q ÉTUDES SUR LEONARD Dl£ VINCI

à celles que développe notre Thermodynamique moderne lorsqu'elle introduit la notion de modification réversible? Et toute la théorie que nous venons d'exposer ne nous offre-t-elle pas de continuelles occasions de comparer la logique du xive siècle avec la science de notre temps, de constater entre elles de saisissantes analogies?

La doctrine que nous venons de résumer fut certainement très répandue dans les écoles, mais elle n'y fut pas toujours comprise.

Marsile d'Inghen, lorsqu'il traite de la Physique secundurn nominaliurn viam, suit presque toujours pas à pas Tordre des questions relatives à la Physica auscultatio ou au De Cœlo qu'Alhert de Saxe a examinées; mais il contredit volontiers à son modèle et, presque toujours, d'une manière malencontreuse.

A l'étude des limites qui terminent l'effet d'une puissance ou d'une résistance, il consacre en son commentaire à la Physique d'Aristote1 trois questions visiblement inspirées des deux questions qu'Albertutius a composées sur le De Cœlo. Mais la précision et la rigueur logique de celui-ci ont été méconnues et négligées par celui-là.

Après avoir défini comme Albert de Saxe le maximum in quod sic, Marsile se contente d'ajouter2 : «On définirait de même le minimum in quod non, le maximum in quod non et le minimum in quod sic; » puis, abandonnant les distinctions qu'Albertutius avait notées avec tant de précision, il émet cette affirmation évidemment erronée : « Pour toute puissance active, il existe un maximum in quod sic parmi les résistances qu'elle peut surmonter et un minimum in quod non parmi celles qu'elle ne peut surmonter, » et ce maximum et ce minimum sont une môme résistance.

Dans ses Abréviations du livre des Physiques, Marsile d'Inghen se montre plus fidèle disciple d'Albert de Saxe qu'il ne l'est en ses Questions; il emprunte3 au maître sa définition du minimum in quod non; il l'étend au maximum in quod non en

i. Qucstiunes subtilissime Johannis Marcilii In^ncn super oclo libros physicorum secundurn nominaliurn viam. Lugduni, i5i8. In librum I quœslt. \1V, XV et XVI. •j. Marsile d'Inghen, lor. cit., quœst XIV.

Marsile d'Inghen, Abbreviativnes libri physicorum, fol. G (non numéroté), col. a.

LÉONARD DE VINCI ET LES DEUX INFINIS 3l

déclarant que ces deux définitions sont meilleures que celles dont on se contentait auparavant; mais il ne modifie pas les conclusions auxquelles il s'est arrêté dans ses Questions.

Si certains scolastiques, comme Marsile d'Inghen, ont méconnu la doctrine solide d'Albert de Saxe, d'autres, parmi lesqtiels nous pouvons compter Maître Biaise de Parme, y ont fermement adhéré. De cette adhésion de Pelacani nous trouvons le témoignage en son Tractatus de ponderibus ; en une démonstration de ce traité1, il n'hésite pas à invoquer cette proposition : Pour une puissance active donnée, il n'existe pas de maximum des œuvres qu'elle peut accomplir (Aliter enim potentia activa 1er minaret un affirmative per maximum).

Cette adhésion de Biaise de Parme à la doctrine d'Albert de Saxe a pu avoir quelque influence sur l'attention que Léonard de Vinci a accordée à celte doctrine ; nous savons, en effet, par son propre témoignage, que le De ponderibus de Pelacani est un des écrits qu'il avait en mains, tout comme les Quœstiones in libros de Cœlo composées par Albert de Saxe.

Si grande qu'ait été, aux universités de Padoue et de Parme, l'influence de Biagio Pelacani, elle le cède, assurément, à la vogue que trouvèrent dans toute l'Italie du Nord, durant le xve siècle et une partie du xvr" siècle, les doctrines de Paul de Venise. Contemporain, ou peu s'en faut, de Biaise de Parme, Paul Nicoletti d'Udiue, religieux de l'ordre des ermites de Saint- Augustin, mourut à Padoue le i5 juin 1429. «Il fut2 l'un des docteurs les plus autorisés de son temps, comme l'atteste le grand nombre des éditions et des copies manuscrites de ses œuvres. Il fut surnommé d'un commun accord excellentissimus philosophorum monarcha. »

La Summa totius philosophiœ de Paul de Venise fut, pendant cent ans, le plus répandu des traités de philosophie ; l'imprimerie naissante en multiplia les éditions3. En 1/496, un décret

1. Tractatus de ponderibus, secundum Magistrum Blasium de Parnia, pars secunda, prop. IV; Bibliothèque Nationale, fonds latin, ms. n° 10252, fol. i53, verso.

2. E. Renan, Averroès et l'Averroïsme, Essai historique; Paris, 1862, p. 273.

3. Ces éditions ont été données sous des litres variés; Hain (Heperlorium bibliographicum, vol. II, i83i, nos i25i5, i25iG et 12523) nous en fait connaître trois qui sont antérieures a i5oo; ce sont les Sutnmulœ naturalium, publiées à Venise, en i4 /G, par Johannes de Colonia et Johaunes Mathen de GherreUeni; VExpositio librorum natu-

de l'Université de Padoue imposait1 comme manuel classique les Summulœ loglcœ de Paul Nicoletti.

Or, la Logique qu'exposaient les Summulœ, la Physique que condensait la Summa lolius philosophiœ, étaient presque exclusivement la Logique et la Physique d'Albert de Saxe et de l'École parisienne.

En particulier, c'est la pure tradition d'Albertutius que nous reconnaissons au chapitre où Paul de Venise examine2 si une puissance passive a pour terme un maximum où elle puisse encore agir, si une puissance passive a pour terme un minimum où elle ne puisse plus pâtir.

« Et d'abord, » dit-il, « notons de quelle manière on expose la question. »

« On formule cette proposition : A est le poids maximum que Socrate puisse porter; Socrate ne peut donc porter ni le poids A, ni un poids égal à celui-là ; mais si l'on se donne un poids quelconque, inférieur à A, on pourra trouver un poids plus grand que celui là que Socrate portera... »

« Ces prémisses posées, voici notre première conclusion : On demande s'il existe un poids maximum que Socrate puisse porter, ou un poids minimum qu'il ne puisse porter; on répondra qu'il existe un poids minimum qu'il ne peut porter; et c'est ce poids qui est la puissance de Socrate. »

Les commentaires dont Paul de Venise accompagne ce problème, la vogue extrême dont jouissait la Somme aux environs de l'an i5oo, étaient bien propres à attirer et à retenir l'attention du Vinci sur les notions de maximum et de minimum.

D'ailleurs, cette attention n'a rien que de fort naturel, car au temps même de Léonard le maximum in quod sic et le minimum in quod non étaient, dans les écoles, thèmes à fréquentes discussions dont nous allons retrouver la trace.

raliiim, publiée à Milan, en 1/176, par Christoforus Valdarfer Ratisponensis; la Summa philosophiœ publiée en 1^77, sans indication de l'éditeur ni du lieu d'édition; M. Barthélémy Haureau (art. Paul de Venise du Dictionnaire des Sciences philosophiques d'Ad. Franck) cite cinq autres éditions; deux de ces éditions ont été données à Venise (ii i'|i)i et en 1002, les trois autres ont été données à Paris en i5ia par Grandjon, en i5i3 par Regnault, enfin en i5a 1 par Jossc Bade.

1. De \\ ulf, Histoire de la philosophie médiévale, 2' éd., Paris, iqo5, p. ^72.

a. Pauli de \ enetiis Summa tolius philosophie ; secundo? partis cap. XIII.

A la suite de son Propositam de infinito, auquel nous avons fait divers emprunts, Jean Majoris a inséré une courte pièce qui nous fournit plus d'un renseignement intéressant sur la vie universitaire du xve siècle.

Cette pièce est intitulée : Trilogus inter duos logicos et magistrum.

Deux jeunes logiciens de la Faculté des Arts, Jean Forman et Jean Dullaert de Gand *, échangent leurs doléances ; ils sont indignés de l'avidité des maîtres es arts, de la cupidité du régent qui réclame le droit de cappa; ils sont tentés de quitter l'étude des arts pour celle du droit. A ce sujet, ils vont demander conseil à maître Jean Annand, compatriote et ami de Jean Dullaert.

Maître Jean Annand chante d'abord aux deux jeunes logiciens les louanges de l'Université de Paris; la Sorbonne, jointe au quartier des philosophes, peut rivaliser avec Athènes.

Mais Jean Forman presse le maître; est-il juste de payer la cappa? La réponse de maître Annand s'inspire d'un genre d'esprit qui ne serait point renié aujourd'hui aux abords de la Sorbonne. Que veut dire C. A. P. P. A.? Capias a polentibus pecuniam artlstis. Les étudiants en arts sont riches ; extorqueleur de l'argent.

A la calembredaine du maître, Jean Dullaert répond en même style; lui aussi, il interprète à sa façon le mot G. A. P. P. A : Caveas accipere pecuniam pro artistis. Garde -toi de recevoir de l'argent de la part des artistes.

Puis la conversation prend une forme plus sérieuse; les logiciens se plaignent de l'aridité des sujets qu'ils discutent; il leur faut traiter de l'infini, examiner si le continu se compose de points, etc. Maître Jean Annand riposte en dénigrant juristes et canonistes, en exaltant l'étude des arts et de la Théologie.

Son éloquence était sans doute persuasive; elle convainquit Jean Dullaert de Gand; nous voyons, en effet, que celui-ci continua les études qu'il avait tout d'abord entreprises ; comme

i. M. de Wulf (Histoire de la philosophie médiévale, a° édit., 1905, p. 53a) fait vivre Jean Dullaert, de Gand, de 1^71 (?) à i5i3.

p. dlhem. 3

lavait été son maître Jean Majoris, il devint régent du Collège de Montaigu; l'accomplissement de cette fonction l'amena à composer, sur les Physiques et sur le De Cœlo, de remarquables Questions qui furent imprimées à Paris en iôoô1.

Or, la seconde question examinée par Jean Dullaert au sujet du De Cœlo consiste à chercher comment une puissance peut être terminée par un maximum in quod sic ou par un minimum in quod non. Parmi les arguties, les instances, les répliques qui surchargent l'exposition de maître Jean Dullaert, il n'est pas difficile de reconnaître la pensée et parfois les phrases mêmes d'Albert de Saxe. Gomme Albertutius, Jean Dullaert soutient qu'une puissance active n'est pas limitée par un maximum in quod sic, mais qu'elle est limitée par un minimum in quod non.

La discussion de ces problèmes, dont Albert de Saxe avait donné une solution si nette, élait encore en faveur dans les écoles à la fin du xve siècle et au début du xvie siècle ; nous le voyons par l'exemple de Jean Dullaert. D'ailleurs, elle n'avait cessé à aucun moment d'occuper les logiciens de la Scolastique, car nous entendons Jean Dullaert de Gand mentionner les opinions émises en cette discussion par Hentisberus et par Paulus Venetus. Or, Guillaume de Heytesbury (Hentisberus) était chanoine d'Oxford en 1871, tandis que Paul Nicoletti de Venise, nous l'avons dit, est mort à Padoue en 1429.

Ainsi, de siècle en siècle, les maîtres de l'école poursuivent l'analyse logique du concept de limite; ils préparent la voie aux mathématiciens qui devaient si prodigieusement enrichir ce concept.

Toutefois, les disciples des logiciens qui ont illustré l'École de Paris au xive siècle ne gardent pas toujours la vigueur de dialectique de leurs maîtres; en leurs écrits, plus d'une distinction nécessaire s'efface, plus d'une conclusion perd de

i. Joannis Dullaert Questiones in libros phisicorum Aristotelis. L'ouvrage se termine par deux importantes questions sur le De Cœlo et par le colophon suivant : Hic linem accipiunt questiones phisicales Magistri Johannis Dullaert de Gandavo quas edidit in cursu artium regentando Parisius in Gollegio Montisacuti, impensis honesti viri Oliverii Senant, solertia vero ac caracteribus Nicolai Depratis, viri hujus artis impresorie SOlertissimi prout caractères indicant, anno Domini millesimo quiugentcsimo sexto vigesiuui tertia Marlii.

LÉONARD DE VINCt ET LES DEUX INFINIS 35

sa netteté. A Padoue, Gaétan de Tiène enseigne1, à la fin du xve siècle, qu'une puissance est terminée à la fois par un maximum in quod sic et par un minimum in quod non ; selon que l'on considère le premier terme ou le second, on la nomme puissance ou impuissance. Cette conclusion peu logique n'était même pas originale; en ce cas, comme en bien d'autres, les Abbreviationes de Marsile d'Inghen avaient inspiré Gaétan de Tiène.

D'ailleurs, à la fin du xv* siècle, et plus encore au début du xvie siècle, c'est-à-dire au moment où Léonard méditait ces questions, le goût de la plupart des philosophes s'en détournait; le bel esprit de l'humanisme faisait fort au sens logique ; les subtiles distinctions sans lesquelles il n'est point de véritable rigueur, le style technique sans lequel la confusion rend la discussion impossible, semblaient insupportables à des lettrés qui faisaient profession de priser le beau langage pardessus toutes choses; un Louis Vives (i/jg2-i54o) composait sa diatribe In pseudodialecticos, où il déclarait que les leçons données par Jean Dullaert au Collège de Montaigu l'avaient dégoûté de la Scolastique, et où il condamnait l'emploi du style de Paris, c'est-à-dire du langage technique2.

Ceux mêmes qui, comme Agostino Nifo, tenaient pour l'antique méthode de l'École et revendiquaient3 le droit, pour le philosophe, de parler un langage spécial, ne pouvaient se défendre pleinement de l'affaiblissement du sens logique qui régnait alors, semblable à une épidémie; le scepticisme était la suprême ressource de leur raison énervée, en tous les problèmes où une argumentation rigoureuse eût seule pu saisir et fixer la vérité.

En son exposition sur le De Cœlo, qu'il date du i5 octobre

i. Gaietani Expositio in libro de Celo et Mundo. Cum questione Domini Egidii de materia Celi nuperrime impressa et quam diligentissime emendata. Colophon : Venetiis, mandate- impensisque heredum nobilis viri Octaviani Scoti Modoetiensis. Per Bonetum Locatellum presbyterum Bergomcnsem. Anne- Domini i5oa. Tertio Idus Julias.

2. Cf. : De Wulf, Histoire de la philosophie médiévale, 2' édit., igo5, p. 696. — Ernest Renan, A verroès et l'Averroïsme, Essai historique ; Paris, i85a, pp. 3i2 sqq.

3. Augustini Niphi philosophi Suessani In XII Metaphysicorum libros expositio ; proœmium.

i5i4, Nifo emprunte1 au «savant péripatéticien Albertilla », c'est-à-dire à Albert de Saxe, la distinction des propositions sur l'infini en propositions catégoriques et propositions syncatégoriques; il lui emprunte également la forme de phrase qui sert à marquer cette distinction; mais, lorsqu'il s'agit d'exprimer ses propres opinions, il les fait précéder de cette formule dubitative : « Pour moi, en une si grave question, sauf jugement meilleur auquel je suis toujours prêt à m'en remettre, je dirais... »

Ailleurs2, lorsqu'il s'agit de traiter cette question : Toute puissance active est -elle terminée par un maximum? Nifo ne veut pas que le physicien imite le mathématicien, qui raisonne dans l'abstrait et considère des grandeurs si petites soient-elles ; il veut qu'on ne tienne compte, en philosophie naturelle, que des quantités sensibles. Toutefois, les considérations des «juniores », c'est-à-dire des disciples d'Albert de Saxe, qui procèdent à la manière des mathématiciens, ne lui déplaisent pas. « Voilà, » conclut-il, « ce qui me semble vrai pour le moment, bien que j'aie écrit des choses toutes différentes à propos du livre De generatione ; car je tiens qu'en philosophie naturelle, rien n'est certain; j'écris donc mes pensées comme elles me viennent à la bouche; les opinions changent avec le temps, comme dit Empédocle. »

En son commentaire au De generatione, dont la dernière rédaction porte la date du 3 avril 1 52 1 , Nifo ne marque pas moins d'incertitude. Il discute3 la théorie de Gilles de Rome en déclarant qu'il s'agit « d'un doute très caché ». Les problèmes relatifs à l'augmentation indéfinie d'une grandeur, à sa divisibilité à l'infini, provoquent cette déclaration de la part du célèbre professeur de l'Université de Padoue :

aCe sont là des difficultés très grandes; je les ai touchées au 3° livre des Physiques et en divers autres endroits ; toujours,

i. Aristotelis Stagiritœ De Cœlo et Mtindo libri quatuor, c grxco in latinum nb Augustino Nipho philosophe) Suessano conversi, et ab eodem etiain... aucti expositione... Venetiis, apud Hieronymum Scrotum, MDXLIX, lih. I, foll. 3i cl 3a.

a. Augustinus Niphus, toc. cit., lih. I, fol. 6'4, coll. a et b.

3. Augustini Niphi medices philosophi Suessani in libros Aristotelis de generatione et corruptione interpretationes et commentaria... Venetiis, apud Hieronymum Scotum, i55o, lib. I, fol. 5, col. a.

à ce sujet, je me suis montré hésitant; sans cesse, j'ai varié dans ce que j'ai écrit. C'est ce qui m'arrive, d'ailleurs, en tout ce qui me concerne. En philosophie, je tiens que rien n'est certain, qu'une opinion et l'opinion contraire sont également probables. A titre donc de solution des difficultés qui se présentent en ce moment à nous, je vais formuler certaines propositions; mais je proteste que je m'exprimerais tout autrement si les circonstances venaient à changer... »

Ainsi, au début du xvie siècle, un scepticisme déconcertant ruine tout ce que la logique terminaliste de l'École de Paris avait précisé au xive siècle, tout ce qu'elle avait dit de net et de rigoureux sur l'infîniment petit.

Les problèmes qu'elle avait abordés vont être repris par les géomètres et ceux-ci vont en faire sortir le calcul infinitésimal ; mais il faudra aux mathématiciens des efforts séculaires pour renouer la tradition rompue par le bel esprit des humanistes; il leur faudra attendre jusqu'au xixe siècle pour retrouver l'art de raisonner, en de telles questions, avec la rigueur et la précision qu'un Albert de Saxe s'efforçait déjà d'atteindre.

L'infîniment grand dans la Scolastique.

Tout problème sur l'infîniment petit est un problème sur l'infîniment grand; l'étude de l'un des deux infinis ne se sépare pas de l'étude de l'autre; en parcourant rapidement les doctrines que l'École a introduites dans l'étude de l'infîniment grand, nous reconnaîtrons sans cesse l'analogie de ces doctrines avec celles que les scolastiques ont professées lorsqu'ils analysaient l'infîniment petit.

Pour Aristote, aucune grandeur infinie n'existe en acte, car l'Univers est limité. Elle ne saurait non plus exister en puissance; on a beau réaliser une quantité de plus en plus grande, il existe sûrement une limite qu'elle ne saurait franchir, car elle ne peut excéder les bornes du Monde. Aucune puissance

ne saurait donc réaliser une grandeur qui surpasse n'importe quelle grandeur donnée d'avance.

Ce raisonnement vaut pour une puissance qui est tenue de prendre le Monde tel qu'il est, qui ne peut ajouter aucun corps aux corps qui existent déjà, en un mot pour une puissance à qui il n'est pas donné de créer; il ne vaut point pour une puissance créatrice à qui il est permis de produire sans cesse des corps nouveaux, de reculer indéfiniment les bornes de l'Univers.

Aristote n'admettait aucune puissance créatrice; il pouvait donc, sans restriction aucune, soutenir qu'il n'y a pas d'infiniment grand en puissance. La Scolastique chrétienne ne pouvait admettre l'absolutisme de cette proposition ; l'infini potentiel ne saurait être, à l'égard des puissances de ce monde, privées du pouvoir créateur; mais il est possible à Dieu.

L'autorité ecclésiastique, précédant la raison, avait affirmé que le monde d'Aristote, éternel mais d'étendue finie, ne saurait épuiser la toute-puissance créatrice de Dieu. Parmi les erreurs qu'Etienne Tempier, évêque de Paris, condamnait en l'an 1277, après avoir pris conseil des maîtres en théologie, nous trouvons celle-ci1 : « Quod Deus est infinitae virtutis in duratione, non in actione ; talis enim infinitas non est, nisi in corpore finito, si esset. »

La philosophie scolastique ne tarda pas à mettre, sur ce point, ses enseignements d'accord avec ceux de l'Église.

Déjà saint Thomas d'Aquin a aperçu la modification essentielle que réclame la pensée d'Aristote; alors que celui-ci déclare qu'il n'existe aucune puissance capable de produire par addition successive une grandeur qui surpasse toute quantité, le Docteur Angélique a soin d'ajouter cette précision2 : Il n'existe aucune puissance dans la nature (in natura); il sauvegarde par là le pouvoir créateur de Dieu.

D'une manière plus explicite, Walter Burley montre l'anti-

1. Collectio errorum Parisiis condemnatorum. Cette collection se trouve à la fin de presque toutes les éditions des : Pétri Lombardi, Episcopi Parisiensis, Sententiarum libri IV. Le texte de la condamnation portée par Etienne Tempier se trouve dans Denifle et Châtelain, Chartularium Universitatis Parisiensis, t. I, p. 545 sqq.; l'erreur en question y est citée sous le n° 29.

2. Sancti Thomas Aquinatis Expositio in libros physicorum. Aristotelis; in libruni III lectio IX, in fine.

LÉONARD DE VTNCI ET LES DEUX INFINIS 3g

nomie qui existe entre l'idée d'une puissance créatrice et l'opinion qu'Aristote et Averroès ont soutenue en niant l'infiniment grand en puissance. Ce qu'il dit de cette antinomie mérite d'être cité1 :

« Si l'on admet que l'addition se fait non par la génération de nouvelles parties, mais par l'addition indéfinie de parties préexistantes, la conclusion du Philosophe est logique. Et c'est bien de la sorte que le Philosophe entend que cette addition doit être faite; car, selon lui, la matière première est ingénérable et incorruptible ; aucune portion de matière première ne saurait donc être produite à nouveau. De même, pour le Commentateur, toute portion de matière est éternelle, car toute quantité de matière est ou bien une portion de matière céleste, éternelle selon lui; ou bien elle est en la matière première et inséparable de celle-ci. Une quantité nouvelle de matière ne saurait donc être produite. Lors donc qu'on veut ajouter un corps à un autre corps ou une grandeur à une autre grandeur, cette addition ne peut se faire par génération d'une nouvelle portion et d'une nouvelle grandeur; elle ne peut se faire que par addition d'une grandeur préexistante; si l'on veut que l'addition se poursuive indéfiniment, il faudra qu'on enlève à une autre grandeur préexistante la partie que l'on veut ajouter à la grandeur en formation. Telle est la véritable intention du Commentateur... »

« De ce qui vient d'être dit résulte clairement cette conséquence : Les théologiens qui soutiennent que Dieu peut créer une nouvelle quantité de matière, et l'ajouter à un autre corps fini, et ainsi de suite indéfiniment, ne sauraient faire usage de cette proposition du Philosophe : Si une grandeur existe en puissance, il est en acte une grandeur égale. Cette proposition, en effet, doit être entendue au sens où l'entend le Philosophe, et ce sens est celui-ci : Si une grandeur est en puissance par la seule addition de parties préexistantes et sans génération de parties nouvelles, une grandeur égale à celle-là est en acte... »

Guillaume d'Ockam s'était constitué, en quelque sorte, l'avocat de la puissance créatrice de Dieu; avec une impi-

i. Burleus Super octo libros physicorum ; Venetiis, 1691; lib. III, fol. 75, coll. 6 et c.

toyablc logique, il s'appliquait à briser les chaînes dont certaines philosophies prétendaient entraver le libre exercice de cette puissance. Il n'a pas manqué de repousser les objections d'Aristote et d'Averroès contre l'infini en puissance.

Dieu, dit-il1, peut créer indéfiniment des individus de même espèce; il peut créer chacun d'eux sans détruire ceux qui existent déjà. Ainsi, après avoir créé une certaine quantité d'eau, il pourra, sans la détruire, en créer une autre, puis encore une autre, et unir chacune d'elles à celles qui ont été faites auparavant. Le volume de l'eau ainsi créé par Dieu croîtra indéfiniment. « Quelle que soit la forme susceptible d'augmentation que l'on donne, Dieu pourra toujours en faire une plus grande... Quelle que soit, par exemple, la quantité d'eau finie qui soit déjà faite, je ne vois pas ce qui pourrait empêcher Dieu de créer une nouvelle goutte d'eau et de l'unir à l'eau préexistante. »

a Le Philosophe nierait la possibilité de ce développement à l'infini; il lui imposerait un terme... On ne doit donc accepter, en cette question, ni son autorité, ni celle du Commentateur. »

Mais cette doctrine se heurte à une grave objection : Si l'on admet l'infini potentiel, au moins à l'égard de la puissance créatrice de Dieu, n'est-on pas tenu d'admettre l'existence de l'infini actuel? Certains philosophes le prétendent. Pour passer de la première proposition à la seconde, ils raisonnent comme ceux qui delà divisibilité à l'infini du continu, concluent à la possibilité de diviser actuellement ce continu en une infinité de parties; ils invoquent de nouveau l'axiome d'Aristote et d'Averroès, selon lequel ce qui est en puissance peut être en acte.

Nous avons entendu Walter Burley analyser cet axiome et marquer avec précision les conditions hors desquelles il est interdit d'en faire usage. Le passage que nous avons cité est immédiatement suivi de celui-ci: « Certains théologiens accor-

i. Magistri Guilhelmi de Ockam Super quatuor libros sententiarum annotationes... Colophon: (mpressum est hoc opus Lugduni perM. JohannemTrechsel Alemannum, virum hujus artis solertissimum. Anno Domini nostri MCCCCXCV, du- vero décima mensis Novembris. Laus omnipotenti Deo. — Libri primi distinctio XVII, quœstio VIII.

LÉONARD DE VINCI ET LES DEUX INFINIS 4l

dent que Dieu pourrait accroître le volume du Ciel, qu'il pourrait, par exemple, rendre le Ciel deux fois plus grand, et ainsi de suite indéfiniment; de telle sorte qu'étant donnée n'importe quelle grandeur finie, Dieu pourrait créer une grandeur double de celle-là Ces théologiens, cependant, nieraient que Dieu pût créer une grandeur actuellement infinie, car cette dernière proposition entraîne peut-être contradiction; et, d'ailleurs, il est vrai que cette proposition : Étant donnée une grandeur, Dieu peut faire une grandeur double de celle-là, et une double de la seconde, n'entraîne pas formellement celle-ci : Dieu peut faire une grandeur actuellement infinie. »

« On dira peut-être que toute grandeur qui peut être conçue en puissance peut aussi exister en acte; qu'elle pourrait être formée par l'addition simultanée de toutes ces parties qui ont été créées; je dis que cette proposition est fausse. Ce n'est pas ainsi que doit être comprise cette proposition fameuse, mais bien comme il a été dit plus haut, c'est-à-dire de la manière suivante : Si une grandeur peut être conçue en puissance par simple addition de parties préexistantes et sans aucune création de parties nouvelles, une grandeur égale peut exister en acte. Cette remarque permet, on le voit sans peine, de répondre à toutes les difficultés que l'on peut opposer à l'accroissement des formes à l'infini. »

Ockam admet que Dieu peut toujours, étant donnée une grandeur, en produire une qui la surpasse, en sorte qu'à l'égard de son pouvoir créateur, l'infiniment grand existe en puissance ; mais il nie formellement l'existence actuelle de cet infini1; ceux qui de la première proposition veulent conclure la seconde commettent une erreur semblable à celle qui a été commise à propos de la divisibilité à l'infini ; les raisons par lesquelles Roger Bacon a réfuté cette erreur-ci, Ockam les oppose textuellement à celle-là.

i. Guillaume d'Ockam, loc. cit. Les jésuites de l'Université de Coïmbre, se référant à ce même passage, mettent* Ockam au nombre de ceux qui ont soutenu cette proposition : Potest infinitum actu divinx virtutis produci. L'attribution de cette opinion au chef de l'École nominaliste est une erreur formelle.

aj Commenta/ni Collegii Conimbricensis, Societatis Jesu, in octo libros physicorum Aristotelis, lib. III, cap. VIII, quaest. 2.

Il 2 ÉTUDES SLR LÉONARD DE VINCI

« Il est faux, » dit -il, « que dans les choses permanentes il soit possible de réaliser par une opération unique la grandeur telle qu'il n'en soit pas de plus petite ou telle qu'il n'en soit pas de plus grande. Il y a plus, et voici ce que j'énonce comme vérité : Dans les choses permanentes divisibles à l'infini,

comme sont tous les continus , on ne peut donner de

minimum, car si petite que soit la partie donnée, la puissance divine en pourrait réaliser une qui soit plus petite; et, de même, on ne saurait donner un maximum, car, quelque grande que soit une quantité donnée, la puissance divine en peut produire une plus grande. »

« Dira-ton que, quelque grande que soit une quantité, elle peut être produite par une opération unique? Je l'accorde. De même, si l'on se donne une division quelconque d'un continu, on peut la réduire en acte par une seule action. »

« Dira-ton que cette possibilité n'est pas seulement une possibilité à l'existence in fieri, mais à l'existence in facto esse? Si par possibilité à l'existence in facto esse on entend la possibilité d'être réduit simplement à l'acte, de telle sorte qu'il ne demeure plus aucune puissance ultérieure, je dis qu'il ne s'agit pas ici d'Line telle possibilité à l'existence in facto esse. ))

« On ne parvient donc jamais par là à un infini, ni à une grandeur qui soit, en acte, tout ce qu'elle est en puissance; jamais, en effet, cette puissance ne peut être épuisée de telle sorte qu'il ne reste plus aucune possibilité d'une opération nouvelle. »

La théorie dont Walter Burley et Guillaume d'Ockam ont posé les principes se trouve complètement développée dans les écrits de maître Albert de Saxe.

Celui-ci, imitant ce que Duns Scot avait fait pour l'infiniment petit, montre d'abord1 à quelles conséquences paradoxales on serait conduit si l'on admettait, en Géométrie, l'existence actuelle de l'infiniment grand; parmi ces corollaires étranges, nous trouvons la proposition célèbre d'Hermès

i. Acutissimm qiurstiones super Ubros de physica auscultatione ab Alberto de Saxonia editœ ; in lib. III quaost. XIII.

Trismégiste : « Un cercle infini se comporterait comme si son centre était partout et sa circonférence nulle part. »

L'esprit éminemment logique d'Albert de Saxe ne confond point l'étonnement que de telles propositions engendrent en l'intelligence avec la répugnance qu'y produit une véritable contradiction. « Ces raisons, » dit-il, « ne m'inspirent pas grande foi en la conclusion qu'elles prétendent établir. Il y a plus : Si quelqu'un voulait admettre qu'une grandeur infinie peut exister, il accorderait, je pense, toutes ces propositions. Mais je vais maintenant exposer un raisonnement qui entraîne ma conviction. »

Examinons ce raisonnement.

On peut partager une heure en laps de temps dont les durées décroissent en progression géométrique ; telles les durées d'une demi-heure, d'un quart d'heure, d'un huitième d'heure, etc. ; c'est ce qu'Albert appelle diviser l'heure en parties continuellement proportionnelles ou, simplement, en parties proportionnelles.

Imaginons alors qu'en la première partie proportionnelle d'une heure, Dieu crée une pierre d'un pied cube ; qu'en la seconde partie proportionnelle de cette heure, il crée une seconde pierre de même grandeur et l'ajoute à la première, et ainsi de suite. A la fin de l'heure, Dieu aura créé une pierre infinie. « Si une grandeur infinie pouvait être réalisée en acte, ce serait par ce procédé. »

Mais ce procédé implique contradiction ; en effet, de ces pierres que Dieu a créées, il en est une qui a été créée après toutes les autres, partant en la dernière partie proportionnelle de l'heure ; or, le temps est un continu ; et dans la division d'un continu quelconque en parties proportionnelles il n'y a pas de dernière partie; il est impossible de parvenir au terme de la division. Cette proposition qu'Albert prend pour majeure de son argument, c'est celle-là même que Walter Burley a exposée en nous avertissant que « la connaissance n'en était point fort commune ».

Albert de Saxe ne manque pas de remarquer à ce sujet qu'une même proposition peut être vraie ou fausse, selon qu'on

la prend au sens syncatégorique ou au sens catégorique; telle cette proposition : En toute partie proportionnelle d'une heure, Dieu peut créer une pierre d'un pied cube. Albertutius rapproche cette proposition de cette autre : Si la puissance qu'a Socrate pour lever un poids est mesurée par 8, Socrate peut lever toute partie d'un poids dont la pesanteur est 8. En chacun des deux cas, on doit bien se garder de conclure du sens divisé, qui est vrai, au sens composé, qui est faux. Chacune des propositions singulières est vraie et compatible avec chacune des autres, mais elles ne sont pas toutes compossibles, en sorte que la proposition universelle n'est pas vraie.

L'argument que nous venons d'entendre développer à Albert de Saxe lui sert à plusieurs reprises. Sans affirmer l'existence actuelle d'un corps infini, plusieurs croyaient à la possibilité de réaliser une ligne de longueur infinie ou une surface courbe d'aire infinie; ne peut-on, par exemple, en un corps fini, tracer une spirale de longueur infinie?

Albert n'admet pas plus1 ces propositions qu'il n'admet l'actualité du corps infini.

Comment s'y prendrait-on, par exemple, pour tracer en un corps fini une ligne de longueur infinie? On prendrait un cylindre fini dont on diviserait la hauteur en parties proportionnelles; à la surface de ce cylindre on tracerait une spire d'hélice ayant pour pas la première partie proportionnelle de la hauteur; on la ferait suivre d'une seconde spire d'hélice ayant pour pas la seconde partie proportionnelle de la hauteur, et ainsi de suite. On formerait de la sorte une espèce de spirale de longueur infinie.

Albert de Saxe accorde bien que cette courbe, si elle était tracée, serait de longueur infinie; mais cette courbe ne peut pas être tracée en entier; il faudrait, en effet, pour qu'elle fût terminée, que ses spires embrassassent toutes les parties proportionnelles du cylindre; or, «il n'existe pas de parties dont on puisse dire qu'elles sont toutes les parties proportionnelles du cylindre, — nullse partes sunt omnes partes proportionnâtes columnse. »

i. Albert do Saxe, loc. cit., in lib. III quœst. XII.

Par cette argumentation, l'impossibilité de l'infiniment grand en acte se trouvait rattachée à l'impossibilité de réaliser la division à l'infini du continu ; entre la théorie de l'infiniment grand et la théorie de l'infiniment petit elle établissait une correspondance très exacte qu'Àristote et Averroès n'avaient point entièrement reconnue.

Cette argumentation ravit assurément les suffrages de plusieurs des grands logiciens nominalistes qui enseignaient à Paris au milieu du xive siècle. En son Proposition de infinito que nous avons plusieurs fois cité, Jean Majoris nous apprend qu'elle n'avait pas seulement entraîné la conviction d'Albert de Saxe, mais qu'elle était également employée par Jean Buridan.

Entre ces deux propositions : L'infiniment grand en puissance n'est pas contradictoire, — L'infiniment grand peut être réalisé en acte, les logiciens du xive siècle, les Guillaume d'Ockam, les Walter Burley, les Albert de Saxe, les Jean Buridan, avaient élevé une barrière qu'ils croyaient solide et infranchissable. Cette barrière, nous allons la voir s'effondrer; non pas, cependant, qu'elle s'abatte tout d'un coup; sourdement ruinée et minée, elle croule peu à peu, tandis que le temps s'écoule de l'année i35o à l'année i5oo.

Déjà, Marsile d'Inghen, tout en suivant de très près Albertutius en ce qu'il a dit du problème de l'infiniment grand, abandonne, en ses Questions sur la Physique, plus d'une conclusion formulée par le maître saxon. Les deux questions qu'il consacre1 à examiner Si une grandeur infinie peut être actuellement réalisée, et Si, de fait, un corps infini existe actuellement dans la nature, procèdent suivant un ordre fort défectueux. Le recteur de Heidelberg y reproduit ces arguments mathématiques contre l'infini actuel qui n'inspiraient aucune confiance à Albert de Saxe; il y reproduit également la plupart des raisons en faveur de l'infini actuel qu'Albert n'avait énumérées que pour les réfuter ; de ces réfutations, il ne parle pas, non plus que du raisonnement qui avait

i. Questiones subtilissime Johannis Marcilii Inguen super octo libros physicorum secundum nominaliuin viam; Lugduni, MCCCCCXVIIi. In librum 111 quaestt. IX et X.

convaincu Albertutius et Jean Buridan ; il ajoute qu'Aristote a nié la possibilité d'un corps infini parce qu'il ne concevait pas l'existence d'une puissance active infinie ; mais à nous, à qui la foi a révélé qu'il existe une telle puissance, l'existence du corps infini n'apparaît plus comme impossible; du moins cette impossibilité ne peut plus être démontrée.

De toute cette discussion, la rigueur logique, qui donne tant de netteté à l'exposé d'Albert de Saxe, a complètement disparu; on ne distingue plus entre les propositions catégoriques et les propositions syncatégoriques ; l'argumentation devient vague et indécise, et les conclusions paraissent hésitantes.

Ces conclusions les voici :

Une ligne de longueur infinie, une surface d'aire infinie peuvent être réalisées actuellement.

Au contraire, « il n'existe en fait, et d'une manière actuelle, aucun corps de volume infini; toutefois, cette proposition ne saurait être démontrée; on peut seulement dire en sa faveur qu'elle s'accorde mieux que toute autre avec notre expérience ; tous les corps que nous percevons sont finis, en effet, et aucune raison ne nous contraint de poser l'existence d'un corps infini... »

Comme il arrive presque toujours, les Abréviations de Marsile d'Inghen portent plus nettement, en ce problème, la marque de l'enseignement d'Albert de Saxe que ne la portent les Questions sur la Physique. Nous lisons, en ces Abréviations1, les propositions que voici : « Il est impossible qu'une puissance quelconque produise une pierre d'un pied cube en toute partie proportionnelle de l'heure qui va venir; cela est évident, car cela n'est pas plus possible que de diviser un continu en deux parties proportionnelles pendant toute partie proportionnelle de l'heure... La proposition est donc contraire à ce qui a été démontré précédemment... Il ne peut donc exister de grandeur infinie actuelle... Si elle était possible, en effet, elle pourrait surtout être produite de la sorte : Dieu créerait une pierre d'un pied cube en toute partie proportionnelle

i. Marsilc dlnghen, Abbreviationes libri physicorum, fol. 26 (non numérote), coll. a cl h.

LÉONARD DE VINCI ET LES DEUX INFINIS l\~]

d'une heure; or, cela ne peut être, d'après ce qui vient d'être dit. »

Que l'on n'aille pas, d'ailleurs, faire cette objection : En une partie proportionnelle quelconque de l'heure, Dieu peut faire une pierre d'un pied cube; il peut donc créer une telle pierre en toutes les parties proportionnelles de l'heure; il ne serait pas exact de prétendre ici que la vérité de chacune des propositions singulières entraîne la vérité de la proposition universelle; «cela est exact dans le cas où ces propositions singulières sont toutes les propositions singulières qui correspondent à la proposition universelle; c'est ce qui n'a pas lieu ici. »

« Un corps infini ne peut donc être produit par la puissance divine que si l'on prend le mot infini au sens syncatégorique. »

Ce retour à la logique d'Albertutius n'empêche cependant pas Marsile d'Inghen de maintenir en ses Abréviations, au sujet de la ligne infinie et de la surface infinie, les conclusions qu'il avait formulées dans ses Questions.

Paul de Venise est, plus que Marsile d'Inghen, fidèle à l'enseignement d'Albert de Saxe; comme ses deux prédécesseurs, il admet1 que Dieu ne peut produire une ligne infinie en créant, en toute partie proportionnelle d'une heure, une ligne longue d'un pied; la vérité de la proposition syncatégorique n'entraîne pas la vérité de la proposition catégorique. Avec Albert de Saxe, et contre Marsile d'Inghen, il nie que l'on puisse tracer actuellement une spirale de longueur infinie à la surface d'un cylindre fini. Il pense % toutefois, que la notion de grandeur infinie n'implique pas de contradiction et, comme l'avait fait Albertutius, il détaille quelques-unes des propriétés mathématiques étranges que posséderait cette grandeur infinie.

La dialectique de Jean Majoris est plus minutieuse et plus raffinée que celle de Marsile d'Inghen ; les conclusions auxquelles elle aboutit sont aussi plus radicales et plus formellement opposées à celles d'Albert de Saxe.

Dans son exposé3, nous voyons reparaître la distinction

i. Pauli Vencti Suinma totius philosophiœ, parlis secimdae cap. VI.