Johannis Majoris Proposition de infinito
entre les jugements syncatégoriques et les jugements catégoriques, mais ce n'est pas pour opposer la vérité des uns à l'erreur des autres.
Ainsi Jean Majoris n'hésite pas à déclarer que « tout continu contient catégoriquement une infinité de parties ».
De même, à la question : Linfiniment grand est il possible? il répond par quelques propositions « qui sont, je pense, des vérités » ; et ces vérités, les voici :
« Première vérité : Dieu peut produire un corps de grandeur indéfiniment croissante. »
« Deuxième vérité : Dieu peut produire un corps infiniment grand au sens catégorique. »
« Troisième vérité : Dieu peut produire une multitude infinie, au sens catégorique, d'objets séparés et sans continuité les uns avec les autres. »
Voici la raison que le régent du Collège de Montaigu invoque à l'appui de ces deux dernières « vérités » :
Le Monde aurait pu exister de toute éternité, comme le veut Aristote; rien dans la raison ne s'y oppose; la révélation seule nous enseigne qu'il a été créé dans le temps ; c'est l'opinion de saint Thomas d'Aquin, et Duns Scot y souscrit. Dès lors, la multitude actuelle des jours écoulés pourrait, sans contradiction, être infinie; Dieu aurait pu chaque jour créer une pierre d'un pied cube et l'ajouter aux pierres créées les jours précédents; toutes ces pierres formeraient un corps actuellement infini.
Les partisans de l'opinion adverse, « terrifiés par cette conséquence, » s'efforcent de ruiner l'argument qui la justifie; selon Jean Majoris, ils ne sauraient en dénouer le lien logique. Jean Majoris n'ignore pas les considérations par lesquelles Albert de Saxe et Buridan repoussent l'actualité de l'infiniment grand; mais «il ne voit pas la contradiction qu'on prétend lui opposer ». Il ne se rend pas davantage aux raisons d'Aristote contre l'infinie grandeur du ciel; avec Grégoire de Rimini, il déclare qu'elles ne lui semblent pas concluantes.
Plus encore que son maître, le disciple de Jean Majoris, Jean Dullacrt de Gand, montre1 qu'il connaît les méthodes de
i. Johannis Dullaert de Gamlavo Qmcstiones in libres de Cœlo; qu.pst. I.
raisonnement d'Albert de Saxe; mais non moins formellement ses conclusions s'opposent à celles du logicien du xive siècle.
Jean Dullaert n'hésite pas à admettre la possibilité de l'infini actuel.
« Le Monde, » dit-il, « aurait pu exister de toute éternité; une infinité d'hommes auraient vécu depuis le commencement du Monde; il existerait donc aujourd'hui une multitude infinie d'âmes. » De là, il conclut à la possibilité du nombre actuellement infini. L'exemple de la ligne hélicoïdale, déjà considéré par Albertutius, le conduit de même à admettre la possibilité de la grandeur actuellement infinie. Dieu étant infini, contrairement à l'opinion d'Aristote, peut fort bien créer une telle longueur infinie, comme il peut créer toute espèce d'infini en nombre, en grandeur, en durée et en intensité. Pour justifier cette conclusion, Jean Dullaert fait constamment appel à la division d'un continu en parties proportionnelles, c'est-à-dire en parties qui décroissent en progression géométrique ; constamment aussi, en dépit des profondes remarques de Walter Burley et d'Albert de Saxe, il admet implicitement la possibilité de terminer une semblable division. C'est ainsi qu'au début du xvie siècle on cesse de comprendre les grandes vérités si bien établies par les logiciens du xive siècle.
L'iNFINIMENT GRAND ET l'ïNFINIMENT PETIT DANS LES NOTES
de Léonard de Vinci.
Les débats relatifs à l'infiniment grand et à l'infiniment petit dont nous venons, très sommairement, de retracer les phases, ont vivement sollicité l'attention de Léonard de Vinci; de l'intérêt qu'il portait à ces problèmes, nous trouvons le témoignage dans ses notes; et, bien souvent, les courtes phrases qu'il a jetées sur ses cahiers montrent la plénitude du sens qu'elles renferment lorsqu'on les rapproche des enseignements de l'École.
P. DUHEM. k
5o ÉTUDES SUR LEONARD DE VINCI
Aristote admet la possibilité du nombre infini en puissance, tandis qu'il n'est point de nombre plus petit que i ; la grandeur infiniment petite, au contraire, est concevable en puissance, tandis que l'infinie grandeur ne l'est pas. Ockam et tous ses successeurs modifient en ce dernier point la doctrine d'Àristote; ils admettent que les deux infinis en puissance sont, pour la grandeur, également concevables.
L'opposition que manifeste alors la comparaison entre le nombre et la grandeur, Léonard la marque en ces termes1 : « La Géométrie est infinie parce que toute quantité continue
est divisible à l'infini dans / l'un et l'autre sens (fig. 1).
Mais la quantité discontinue commence à l'unité et croit à l'infini, et comme il a été dit, la quantité continue FlG t croît à l'infini et diminue
à l'infini. Et si tu prends licence de dire que tu me donneras une lance de 20 brasses, je te dirai d'en faire une de 21. »
La nature du point a vivement préoccupé le Vinci; il en parle souvent comme le ferait un fidèle disciple d'Ockam. a Les termes de la ligne, » dit- il quelque part2, « sont des points, les termes de la surface sont des lignes, et les termes du corps sont des surfaces. » Et ailleurs3 : « Le point n'est pas partie de ligne. »
Une autre note va nous montrer, de la manière la plus netle, quelles étaient les opinions de Léonard de Vinci sur la divisibilité à l'infini; mais, pour comprendre exactement cette note, il est nécessaire que nous disions un mot du problème au sujet duquel elle a été écrite.
Ce problème, c'est le problème de la composition des forces
1. Les manuscrits de Léonard de Vinci, publiés par Ch. Ravaisson-Mollien ; ms. M de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 18, recto.
a. Les manuscrits de Léonard de Vinci; ms. M de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 7, recto.
3. fl radier di Leonardo da Vinci nella biblioteca del Principe Trivuhio in Milano, trascrillo ed annotato da Luca Beltrami, Milano, 1891, fol. 34, recto (68).
LÉONARD DE VINCI ET LES DEUX INFINIS 5l
concourantes posé et résolu par Léonard de la manière la plus élégante.
Bornons-nous au cas particulier qui se trouve visé dans la page que nous allons citer.
Deux poulies p, p' sont sur une même horizontale (fîg. 2) ; une corde qui passe sur ces deux poulies porte en son milieu un poids P; deux poids égaux Q, Q' tendent les brins qui pendent au delà des poulies.
Léonard a découvert la règle dont dépend l'équilibre d'un pareil système. Par rapport à FlG
un point de la corde Pp', le
poids P doit avoir même moment que la tension de l'autre corde, tension qui est égale àQ ; si donc de ce point A on abaisse une perpendiculaire AB sur la direction de la corde pP, et une autre perpendiculaire A G sur la verticale menée par le centre de gravité du poids P, la première de ces perpendiculaires sera à la seconde comme le poids P est au poids Q. Telle est la loi que Léonard formule et prouve en divers passages du cahier E. Dans son langage, AB est le levier potentiel de la tension et AG le levier potentiel du poids tenseur.
Si grand que soit le poids tenseur Q, tant que le poids P n'est pas nul, il est impossible que le levier potentiel AB de la tension soit nul; impossible, par conséquent, que la corde pp' soit horizontale. « Jamais la corde de grosseur ou puissance quelconque ', posée dans la situation de l'égalité avec ses extrémités opposées, ne se pourra redresser ayant quelque poids au milieu de sa longueur. »
C'est à ce propos que Léonard écrit ces lignes 2 :
« Jamais le levier potentiel n'est consumé par aucune puissance; on le prouve par la première qui dit : Toute quantité continue est divisible à l'infini, etc.
i. Les manuscrits de Léonard de Vinci; ms. E de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 60, verso.
3. Les manuscrits de Léonard de Vinci; ms. E de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 60, recto.
5a ÉTUDES SUR LÉONARD DE VINCI
>) Mais ce qui est divisible en acte l'est encore en puissance ; ce n'est pas à dire que ce qui est divisible en puissance le soit en acte. Et si les divisions faites potentiellement vers l'infini varient la substance de la matière divisée, ces divisions retourneront à la composition de leur tout, les parties se rejoignant parles mêmes degrés par lesquels elles furent divisées. Par exemple, nous prendrons la glace et nous la diviserons vers l'infini; elle se changera en eau, et d'eau en air; et si l'air revient à s'épaissir, il se fera en eau et d'eau en grêle, etc. »
Ces quelques lignes nous montrent à quel point Léonard était informé des théories que les scolastiques avaient agitées touchant la division à l'infini. Il admet que tout continu est, en puissance, divisible à l'infini ; mais il n'en conclut pas qu'il le soit en acte ; la vérité du jugement syncatégorique n'entraîne pas celle du jugement catégorique.
Le Vinci, d'ailleurs, semble se prononcer en faveur de la doctrine de Gilles le Romain. Lorsqu'on divise un corps en parties assez petites, a la substance de cette matière est variée, » sa forme est altérée; la glace admet un minimum naturel; si l'on veut la briser jusqu'à la réduire en parties moindres que ce minimum, elle se change en eau.
D'autres doctrines, chères aux maîtres de la Scolastique, se laissent deviner dans les quelques lignes que nous venons de citer; si Léonard y invoque la divisibilité à l'infini, c'est pour expliquer comment le levier potentiel peut tendre vers 0, qui est sa limite, sans l'atteindre jamais, et, par là, il se montre disciple fidèle de Walter Burley et d'Albert de Saxe.
Mais l'influence d'Albert de Saxe apparaît bien plus profonde en ce passage T :
« Pierre a puissance pour 12, et si on lui a donné 12 de poids, il ne le meut pas, parce que les choses égales entre elles ne se surpassent pas. Il portera bien 11, parce que des puissances inégales, la plus grande surpasse la moindre, en sorle que 12 fera mouvoir 11. Et ici il arrive un beau cas, c'est-àdire que si ce 12 peut mouvoir 11, il arrive que ce 12 fera
1. Les manuscrits de Léonard de Vinci; ms. K de la Bibliothèque de L'Institut, fol. 6a [i4], verso.
mouvoir infiniment plus de poids que n, parce que toute quantité continue est divisible à l'infini. L'unité qui est de ii à 12 peut se diviser infiniment, car on peut dire que si 12 peut mouvoir it, il peut mouvoir n et 1/2, et puis 2/3, et puis 11 et 3/4, pouvant croître ainsi dans le même ordre, en sous-divisant le reste; en sorte que le dernier des minimes poids est celui qu'il ne peut pas porter, c'est-à-dire celui qui accomplit 12. De sorte qu'ici deux choses paraissent qu'il est presque impossible de proposer, savoir : que l'homme soit en puissance de porter sur soi infiniment plus de poids que celui qu'il peut porter, et que le minime poids soit celui qu'il ne peut porter.
» Exemple : 4 en balance résistent à 4, mais ne les peuvent pas mouvoir; mais ils pourront mouvoir 3 et infiniment plus de poids que 3; jamais, cependant, autant que 4, parce que de 3 à 4 il y a une unité qui est quantité continue, et toute quantité continue est divisible à l'infini. »
Assurément, Léonard avait profondément médité les enseignements de l'École touchant le minimum in quod non qui borne toute puissance active. Déjà, les théories logiques établies, au xive siècle, par les nominalistes de Paris, commençaient à être oubliées et méconnues de leurs successeurs, des Marsile d'Inghen, des Gaëtan de Tiène, des Jean Majoris et des Jean Dullaert de Gand; mais le génie du Vinci savait reconnaître en ces doctrines une source abondante de vérités.
ET
