Grégoire de Rimini, loc. cit., fol. 3o, col. b

distinction au sujet de ce terme : infini, qui peut être pris en deux sens différents; selon le langage communément reçu, il peut être pris au sens syncatégoriqae ou bien au sens catégorique.

» S'il s'agit des quantités continues, le premier sens équivaut à cette phrase : Une quantité ne peut être si grande qu'il n'en existe une plus grande (non tanlum quin majusj. S'il s'agit de multitudes d'objets distincts, il équivaut à cette autre phrase : Une multitude ne peut être si nombreuse qu'il n'en soit une plus nombreuse encore (non lot quin plura). »

Ces définitions de l'infini syncatégorique, communément acceptées au temps de Grégoire de flimini, sont celles-là même dont Jean Buridan fait usage; elles ne satisfont pas entièrement le très subtil Augustin qui propose une formule différente pour caractériser l'infini syncatégorique : « Je crois qu'il serait plus exact de dire : Une quantité finie, si grande soit-elle, étant donnée, il est quelque chose de plus grand, ou bien un nombre fini, si considérable soit-il, étant donné, il est quelque chose de plus considérable (quantocunque finito majus, vel quotcunque finitis plura).

» Si l'on veut, au contraire, prendre l'infini au sens catégorique, on explique ce sens par la phrase suivante, lorsqu'il s'agit de quantités continues : Une quantité si grande qu'une quantité plus grande n'existe pas et ne saurait exister. Lorsqu'il s'agit d'objets distincts, on le définit : Une multitude si considérable qu'il n'en saurait exister de plus considérable. »

Ici encore, Grégoire ne se montre pas disposé à accepter ces manières courantes de parler : « Cette manière d'exposer la notion d'infini catégorique ne semble pas convenable ; selon le Philosophe, le premier ciel ou, tout au moins, l'Univers est un corps si grand qu'il n'en existe pas et qu'il n'en saurait exister de plus grand; cependant, ce n'est pas un corps infini. De même, suivant un très grand nombre de docteurs modernes, il peut exister, bien plus! il existe une multitude plus grande qu une multitude infinie.

» Aussi d'autres donnent- ils une meilleure définition de l'infini [catégorique] en disant, s'il s'agit de quantités continues, qu'il est plus grand qu'une grandeur d'un pied, qu'une grandeur de deux pieds, qu'une grandeur de trois pieds et que toutes les grandeurs finies que vous voudrez; et s'il s'agit d'objets distincts, en disant qu'il est plus grand que deux, que trois, que quatre et que toutes les multitudes finies. On peut dire encore que l'infini, pris en ce sens. peut, en ce qui concerne les quantités continues, se définir par celle phrase : Il est plus grand que toute quantité finie, si grande soit-ellr (majus quantocunque finito). Il peut se caractériser par cette phrase. s'il s'agit d'une multitude d'objets distincts : Elle est plus considérable que tout nombre fini, si grand soit-il {plura quotcunque finitisj. n

non; s 389

Grégoire de Rimini caractérise donc par une simple transposition de mots les deux acceptions du terme infini ; il dit : Qaantocunqiie finito majus s'il s'agit d'un infini syncatégorique et : Majas quantocunqiie finito s'il s'agit d'un infini catégorique. Cette manière de parler, intraduisible en français, a été employée d'une manière tout à fait systématique par Albert de Saxe et par ses successeurs i ; elle avait le très grand avantage d'introduire dans les discussions beaucoup de concision et de netteté.

Ces deux formules rappelaient, d'ailleurs, à l'esprit des logiciens scolastiques, des idées clairement conçues.

Lorsqu'ils disaient : Quantocunque finito majas, ils entendaient qu'une quantité finie étant donnée, on pouvait toujours prendre une autre quantité finie plus grande que celle-là, quelle que soit d'ailleurs celle-là; en cette opération, des quantités finies étaient seules posées, mais l'opération, ne s'achevant jamais, définissait un infini in ficri.

Lorsqu'ils disaient, au contraire : Majas qaantocanqae finito, ils entendaient que toutes les quantités finies concevables étaient données, qu'aucune quantité finie plus grande ne pouvait plus être prise, et ils concevaient un objet doué d'existence actuelle et plus grand que toute quantité finie. C'est cet infini in facto esse que Grégoire de Rimini, Albert de Saxe et leurs successeurs nommaient infini catégorique ; aujourd'hui, nous le nommerions transfini.

Que telle soit bien l'exacte pensée de Grégoire de Rimini, nous nous en convaincrons de plus en plus fermement au fur et à mesure que nous pénétrerons plus avant dans l'étude de son écrit; mais pour n'en pas douter, il nous suffirait de lire les lignes qui suivent immédiatement celles que nous avons citées en dernier lieu :

« Ces deux acceptions du mot infini diffèrent notablement : Le prédicat infini, appliqué au sujet d'une proposition, et pris au sens catégorique*, rend la proposition universelle; il ne la rend pas universelle s'il est pris au sens syncatégorique. Or, il peut arriver qu'une proposition soit vraie dans ce dernier cas et fausse dans le premier.» Et Grégoire cite un exemple de proposition qui est vraie ou fausse selon que le sens adopté est le sens syncatégorique ou le sens catégorique.

Contre la possibilité de l'infini catégorique, les objections sont nombreuses et, pour la plupart, fort délicates à résoudre; par des artifices variés, on tire de celle possibilité des conclusions de celte sorte3 : On peut ajouter quelque chose à l'infini, il peut y avoir quelque chose

i. Voir p. ^3, en noie, p. 30 et p. 38 1.

■i. Dans le texte imprimé, les deux mots : syncalheyoreumatice et cathegoreumatice ont été permutés par une erreur manifeste.

3. Gregorius de Arimino In primo sententiarum nuperrime impressus. Et quam diligentissime sue integrilati restitutus. Per venerabilem sacre théologie bacalariumfratrem Paulum de Genezano. — Colophon : Explicit lectura primi sententiarum fratris Gregorii de Arimino : sacri ordinis heremitarum sancti Aug\ Théologie professons

3qO ÉTUDES SUR LÉONARD DE VINCI

de plus grand que l'infini, un infini peut être multiple d'un autre, etc. Ces conclusions, on les répute absurdes, et on en conclut que la possibilité de l'infini catégorique est contradictoire.

Valables contre un infini qui serait conçu comme une grandeur telle qu'il n'en pût exister de plus grande, ces objections sont sans force contre l'infini catégorique tel que Grégoire de Rimini l'a défini. Déjà Jean de Bassols, pressentant obscurément cette définition, n'avait pas hésité à admettre toutes ces conclusions, en se refusant à les taxer d'absurdes ; il avait franchement accepté qu'un infini fût plus grand qu'un autre infini, qu'un infini fût partie d'un autre infini ; il rappelait1 qu'on pouvait, à ces objections, donner cette réponse: «La comparaison des quantités plus grandes ou plus petites ne peut se faire qu'entre quantités finies»; mais cette réponse, il la traitait dédaigneusement : a Je n'en ai cure. — Sed non euro. »

En dépit de l'indifférence avec laquelle elle est traitée par Jean de Bassols, la question vaut la peine d'être examinée. Les mots plus grand, plus petit, tout, partie ont-ils, lorsqu'il s'agit d'infinis, le même sens que lorsqu'il s'agit de grandeurs finies ? Grégoire de Rimini ne le pense pas et, avec une extrême sagacité logique, il s'efforce de distinguer et de définir les significations diverses de ces mots.

La rigueur de notre philosophe s'exerce d'abord au sujet des termes tout et partie12. « Ces termes, en effet, peuvent être pris en deux sens différents, au sens commun et au sens propre.

» Au premier sens, une chose quelconque qui comprend une seconde chose et, en outre, une troisième chose distincte de la seconde et de tout ce qui est compris en la seconde, est dite un tout par rapport à cette seconde chose ; et toute chose ainsi comprise dans un tout est dite partie du tout qui la comprend.

» Au second sens, pour qu'une chose soit dite un tout par rapport à une autre chose, il faut non seulement qu'elle comprenne cette autre chose comme le suppose le premier sens, mais il faut encore que le tout comprenne un nombre déterminé de choses de grandeur déterminée (tôt tanta) que ne comprend pas la chose incluse; inversement,

precellentissimi : prioris generalis quondam prefati ordinis. Qui legit Parisius anno domini 1 3/i4°. Per venerabilem sacre théologie bacalarium fratrem Paulum de Geneçano quamdiligentissime castigata et sue pristine integritati restituta. — Après la table : Venetiis impensa heredum quondam domini Octaviani Scoti Modoetiensis ac sociorum. 10 Julii i5i8. — Distt. XLII, XLIII, XLIV; quaest. IV: llriim Deus per infinitam suam potentiam posset producere effectum aliquem actu infinitum ; art. II, fol. i54, col. d. — Cf. : Lib. II, dist. III, quaest. I : Utrum per aliquam potentiam fuerit possibile aliquam rem aliam a Deo fuisse ab aeterno ; art. II, fol. ia, col. c.

i. Opéra Joannis de Bassolis in quatuor Sententiarum libros, Lib. I, dist. XLIII, quaest. unica, fol. ccxiii, col. c.

■>.. (iregorius de Arimino, In primo sententiarum, Distt. XLII, XI. III, XLIV, quaest. IV, art. Il, fol. i55, col. d.

une chose incluse est dite partie d'un tout lorsqu'elle ne comprend pas un certain nombre déterminé de grandeurs déterminées que comprend la chose en laquelle elle est contenue. »

Ainsi, au sens commun, le tout c'est la partie et n'importe quelle autre chose non comprise en la partie; au sens propre, le tout est la partie et, en outre, un nombre déterminé d'objets finis et déterminés.

« Appliquons cette distinction aux multitudes, » poursuit Grégoire de Rimini. « Au premier sens, une multitude quelconque est un tout par rapport à une autre multitude, lorsque la première multitude contient la seconde, lorsqu'elle comprend tous les objets qui forment la seconde et lorsqu'elle contient, en outre, un objet ou des objets distincts de tous ceux-là et de chacun d'eux. En ce sens, une multitude infinie peut être partie d'une autre multitude infinie.

» Au second sens, pour qu'une multitude soit un tout par rapport à une autre multitude, il faut d'abord, comme au premier sens, qu'elle contienne cette seconde multitude ; il faut, en outre, qu'elle contienne un nombre déterminé d'objets déterminés (tanta tôt), c'est-à-dire d'objets dont la quantité soit déterminée, par exemple un nombre déterminé de groupes de deux unités, ou de trois unités, qui ne soient pas compris en la multitude contenue; inversement, celle-ci est dite partie de la multitude contenante.

» En ce second sens, une multitude infinie ne peut être ni tout, ni partie à l'égard d'une autre multitude infinie; il n'existe pas, en effet, de nombre déterminé de groupes déterminés d'unités (tôt tanta) qui soit contenu en l'une des multitudes et point en l'autre, car chacune d'elles contient une infinité de fois un groupe de tant d'unités (inftnities tantum) ou une infinité de groupes de tant d'objets (infinita tanta). »

Grégoire de Rimini introduit 1 des distinctions analogues en la signification des mots plus grand, plus petit. « Ces mots peuvent être pris au sens propre ; c'est ainsi qu'une multitude est dite plus grande qu'une autre, lorsqu'elle contient non seulement un nombre aussi grand d'unités que cette dernière, mais encore un nombre plus grand (tantumdem et plures); une multitude, au contraire, est dite moindre qu'une autre lorsqu'elle renferme un moindre nombre d'unités (pauciores).

» Ces mots peuvent être pris aussi en un sens impropre ; si une multitude contient toutes les unités d'une autre multitude, et certaines unités différentes de celles-là, on dit qu'elle est plus grande que cette dernière multitude, lors même qu'elle ne contient pas un plus grand nombre d'unités (plures unitates) que la seconde multitude.

» En ce second sens, dire qu'une multitude est plus grande qu'une