I. Héron d'Alexandrie, loc. cit., p
LA SCIENTIA DE POjNDERIBUS ET LEONARD DE VINCI 399
portions dans le rapport — ; le poids de la portion proportionnelle à £ (3 pèsera sur a y et celui de la portion proportionnelle à as pèsera sur g 3. De plus, chacun des deux poids supporte la moitié de a g. »
La règle que Héron propose pour répartir la charge entre les deux appuis est celle qu'Aristote avait formulée; cette règle, Aristote y était parvenu par un raisonnement inexact; Héron se contente de la poser sans songer aucunement à la justifier.
Le Précurseur de Léonard de Vinci va faire de cette même règle la conclusion d'une déduction logique.
En effet, il s'est préoccupé, lui aussi, du problème qui a sollicité les efforts d'Aristote, de Vitruve et de Héron d'Alexandrie; il le prend pour objet de la proposition qui clôt son troisième livre. Voici cette proposition et la démonstration, aussi brève que correcte, qui l'accompagne :
(( Le poids qui n'est point suspendu au milieu alourdit la plus courte partie dans le rapport de la partie la plus longue à cette partie plus courtes n
(( Soient E (flg. 9) le poids suspendu et ABC ce qui le soutient;
divisons E en deux parties D et F, de
telle sorte que D soit à F dans le même rapport que AB à BC. Si nous suspendons D au point C et F au point A, chacun d'eux aura même pesanteur que Ç\ ( ^ Q
le poids E, pourvu que l'on regarde f e ^
l'autre extrémité comme jouant le rôle p^^
de point d'appui du levier. Donc, pour
ceux qui portent, en A et G, le poids E, suspendu en B, la pesanteur en A sera à la pesanteur en G comme GB est à BA.» Ge court passage mérite grandement, par lui-même, d'attirer l'attention de l'historien des sciences; pour la première fois, en effet, depuis que les hommes s'occupent de Mécanique,
1. Nous trouvons ici un saisissant exemple des déformations que l'édition de Curtius Trojanus a fait subir à la pensée de VAuctor de ponderibus. Celui ci avait énoncé sa proposition en ces termes : « Pondus non in medlo dependens breviorem parteni secundum proportionem longioris ad ipsam. graviorem reddit. » Le Jordanl opusculum de ponderositate, en sa Quœstio vigesima-octava, lui fait dire : «Mundus non in medio descendens breviorem partem secundum proportionem longioris ad ipsam gravitatem redditur! n
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une force de liaison s'y trouve déterminée par une méthode exacte. Mais combien plus il s'imposera à notre souvenir lorsque nous aurons salué les découvertes qu'il va suggérer à Léonard !
Ce que Léonard de Vinci a pensé en lisant la proposition remarquable que nous venons de reproduire, le Codice Trivulzio ne nous le dit pas; pour saisir l'éveil des réflexions du grand peintre, il nous faut recourir à l'un des feuillets ^ que Libri avait arrachés aux cahiers de la Bibliothèque de l'Institut. Ce feuillet se trouve maintenant en un des deux cahiers factices, provenant des déprédations de Libri, que conserve la Bibliothèque nationale ; il appartenait primitivement au cahier B, dont il formait le 94® feuillet. Comme le cahier A, le cahier B semble être bien souvent une suite naturelle du Codice Trivulzio.
Deux croquis (Jig. 10) sont tracés côte à côte. En l'un, un
FiG. 10.
boulet qui pèse 8 est suspendu à égale distance des deux supports qui soutiennent une perche; la charge 4 est marquée au-dessus de chacun de ces supports. En l'autre, le même boulet est suspendu au point B dont la distance à l'extrémité A de la perche est triple de la distance à l'extrémité C ; un 2 nous indique la charge du support qui aboutit en A, et un 6 la charge du support qui se trouve au-dessous de C.
Ces croquis sont accompagnés du commentaire que voici : «La même proportion qu'a l'espace BC avec AC, le poids de A l'a avec celui de C. »
«Si tout corps pesant désire tomber au centre, l'opposition
I. Les manuscrits de Léonard de Vinci. Ms. 2087 (italien) de la Bibliothèque nationale, fol. l\, verso.
LA SCIEÎVTIA DE PO]NJ)ERlBUS ET LEONARD DE VINCI
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qui en est la plus proche participe plus de ce poids. Et sache qu'autant BG entre par mesure en AG, autant de fois le poids qui se trouve en A entre dans le poids qui se trouve en G; et cette règle est générale.»
Gomment Léonard a découvert la loi de composition des forces concourantes.
Gomme nous l'annonce cette dernière phrase, Léonard va cherchera généraliser la règle qu'Aristote a posée, que Vitruve, que Héron d'Alexandrie, que son Précurseur ont suivie.
De suite, il propose une première généralisation; le houlet, qui pèse toujours 8, est suspendu (fig, ii) au point de jonction
de deux poutres inclinées. Dans un premier cas, ces poutres forment, avec la ligne horizontale qui passe par leurs pieds, un triangle isocèle; alors, chacune d'elles transmet au sol une charge k. Dans un second cas, le triangle est scalène; la verticale du point d'application divise la base en parties dont l'une est triple de l'autre; les appuis pressent alors le sol comme les poids 2 et 6. «Bien que ces supports changent de forme, écrit Léonard, néanmoins ils sont de la même nature que ceux* ci-dessus. »
Gette généralisation, fort inexacte d'ailleurs, Léonard va s'efforcer de l'étendre encore davantage : ulngénie-toi, » dit-il, ((à mettre le boulet entre deux cordes. »
ETUDES SUR LEONARD DE VlNCl
Le Vinci s'ingénia aisément à placer le boulet entre deux
cordes ; nous en avons pour garant un feuillet du manuscrit A ».
En ce feuillet, qui est, sans doute, postérieur en date au
feuillet que nous venons d'étudier, nous trouvons le croquis
que reproduit la figure 12; nous a oyons comment Léonard
étend aux tensions de deux cordes qui soutiennent un poids la règle erronée qu'il avait énoncée pour des appuis qui supportent une
charge.
Auprès du croquis que nous venons de reproduire s'en trouvent plusieurs autres, où nous voyons un poids soutenu par plusieurs cordes ou par plusieurs poutres; à ces croquis sont jointes les lignes suivantes :
(( De ponderibus . — Le poids attaché en haut et suspendu avec des cordes ou soutenu pardessous avec des poutres établies avec leurs extrémités en différentes situations donnera une partie de son poids d'autant plus grande à un support qu'à un autre que le point d'appui de l'un sera plus près de la perpendiculaire du centre du poids que l'autre voisin. »
La lecture d'une proposition que VAuctor de ponderibus avait empruntée aux Questions mécaniques d'Aristote a conduit Léonard de Vinci à se poser l'un des problèmes les plus importants de toute la science de l'équilibre, le problème de la composition des forces concourantes.
De ce problème, la première solution qui s'est offerte à l'esprit du grand peintre est une solution erronée; cette solution va retenir avec persistance son adhésion, et, dahs ses notes, nous en retrouverons maintes fois la formule ^ Mais les
FiG. 12.
I. Lei manuscrits de Léonard de Vinci. Ms. A de la Bibliothèque de riustilul, fol. 47, verso.
•2. Les manuscrits de Léonard de Vinci. Ms. A de la Bibliothèque de l'Inslilut, fol. 3i, verso. — Ms. G de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 89, verso.
LA SCIËiVTIA t)E PONDERIBUS ET LEONARD DE VINCI 3o3
incessantes méditations du Vinci sur ce sujet contraindront enfin la vérité à se manifester.
Ouvrons le cahier que Venturi a marqué de la lettre E et lisons -le en sens inverse de la pagination. Nous sommes assurés que nous suivrons ainsi, dans la partie de ce cahier qui nous intéresse, l'ordre même des pensées de Léonard ; et à qui en douterait, nous pourrions en fournir des preuves convaincantes.
A la fin du verso du feuillet 6i, Léonard, ne pouvant achever un raisonnement, écrit : o Tourne le papier. » En haut du recto du même feuillet, nous lisons : « Ici suit ce qui manque derrière au pied. »
Au verso du feuillet 77, un passage biffé est suivi de cette note, qui semble mise après coup : u Ceci est mieux dit à la troisième page après celle-ci. » Or, c'est au recto du feuillet 76 que nous trouvons une nouvelle rédaction du même passage, précédée de ces mots : « Ici se finit ce qui manque à la troisième page avant celle-ci. »
Feuilletons donc le cahier E en commençant par la fin; à partir du recto du feuillet 71, nous voyons Léonard soucieux de la composition des forces concourantes ; presque à chaque page, nous trouvons des réflexions et des dessins qui ont trait à ce problème; jusqu'au feuillet 68 inclusivement, toutes ces réflexions, tous ces dessins ne sont que des variations sur un thème unique, et ce thème est la règle erronée déjà formulée au cahier A.
Mais voici que l'hésitation s'empare de l'esprit de Léonard; à côté de cette règle erronée, il en entrevoit une autre, qui est la véritable; entre ces deux solutions du problème qui le préoccupe, il semble tâtonner.
La première page où se marquent ces hésitations se trouve au verso du feuillet 67. La page presque entière est consacrée à des énoncés divers de la règle incorrecte; mais tout au bas, un dessin I représente une poutre soutenue par deux cordes concourantes; du centre de gravité de la poutre, qui se trouve
I. Ce dessin et le commentaire qui l'accompagne ont été reproduits et étudiés dans Les origines de la Statique, t. I, fig. 5o et p. 17g.
3oA ÉTUDES SUR LEONARD DE VINCI
dans la verticale du point de suspension, deux perpendiculaires sont abaissées sur les deux cordes ; sans douie, Léonard a comparé les moments des tensions des deux cordes par rapport au centre de gravité de la poutre.
Au verso du feuillet 66, nous trouvons des dessins analogues, mêlés à des croquis relatifs à la règle que Léonard va abandonner ; au recto du même feuillet, le Vinci s'efforce de tirer des propriétés des poulies la solution du problème qui le préoccupe.
Mais voici que la lumière se fait dans son esprit; il voit que la loi de composition des forces concourantes se peut tirer d'une théorie qu'il possède pleinement, la théorie du levier coudé. Il commence par résumer (fol. 65, verso) les principes de cette théorie en les mettant sous la forme qui va lui servir. Puis, par un artifice très élégant' (fol. 65, recto, et 64, verso), il résout l'importante question qu'il avait posée en formulant ce théorème : Lorsque deux cordes soutiennent un poids, par rapport à un point pris sur l'une des deux cordes, le poids et la tension de l'autre corde ont des moments égaux et de sens contraires. ^
Les pages suivantes (fol. 63, verso et recto; 6i, verso et recto ; 6o, verso et recto) sont consacrées à des variations sur cette solution, dont la découverte suffirait à mettre Léonard au premier rang des mécaniciens. Nous avons vu que cette découverte lui avait été suggérée par une proposition que l'École De ponderibus avait empruntée aux Questions mécaniques d'Aristote.
De cette mémorable découverte nous pouvons fixer approximativement la date ; en effet, le cahier E, où elle est consignée, nous apporte deux renseignements propres à déterminer cette date. Au recto du folio i , nous lisons cette mention : (( Je partis de Milan pour Rome au jour 24 de septembre i5i3 avec
I. Nous avons étudié la solution, donnée par Léonard, du problème de la composition des forces dans : Léonard de Vinci et la composition des forces concourantes {Bibliotkeca mathematica, 3* série, t. IV, p. 338, 190/1) et dans Les origines de la Statique, i. I, eh. VIIF, -2. Mais, iaute d'avoir vu que le manuscrit E devait être lu à rebours, nous avions cru que Léonard avait méconnu sa découverte. Le lecteur trouvera ilans CCS deux écrits des détails qui ne peuvent, ici, trouver place.
LA SCIEMIA DE PONDERIBUS ET LÉOiXARD DE VINCI 3o5
Jean, François de Melzi, Salaï, Laurent et le Fanfoia. » Le recto du feuillet 80 nous présente cette autre indication : (( A Parme, à la campagne, au jour 26 de septembre i5i/i. » Si l'on observe que la partie du cahier E comprise entre le folio 80 et le folio 60 renferme précisément tous les essais qui ont conduit Léonard à la loi de composition des forces concourantes ; que, d'ailleurs, cette partie du cahier E a sûrement été écrite en sens inverse de la pagination, nous voyons que la grande découverte du Vinci est postérieure au 25 septembre i5i4 et qu'elle fut sans doute faite peu de temps après cette date. Léonard de Vinci avait alors soixante -trois ans.
Quelques problêmes sur la balance suggérés au Vinci PAR SON Précurseur.
Parmi les propositions que VAuctor de ponderibus a exposées en son quatrième livre, il n'en est aucune dont Léonard ne se soit emparé et à laquelle il n'ait donné quelque développement. Des six propositions qui composent le troisième livre, les deux dernières ont également servi au Vinci, et l'une d'elles, la sixième, lui a fourni l'occasion d'une grande découverte; c'est en cherchant à la généraliser qu'il a obtenu, le premier, la loi de composition des forces concourantes.
Le grand peintre a-t-il également connu les quatre premières propositions de ce troisième livre?
Les premières propositions de ce livre ont trait à la stabilité de la balance. Aristote avait déjà abordé ce problème en sa troisième Question mécanique^ ; la solution qu'il en avait donnée renfermait de graves erreurs. Ce problème est également l'un de ceux auxquels Jordanus ait tenté d'appliquer la notion de gravité secundam situm; et cette application n'est pas la moins fâcheuse qu'il ait faite de ses principes.
1. Cf. Les origines de la Statique, t. I, chap. VI, 2 ; p. iio.
p. DUHEM -20
ÉTL'DES SUR LEO>ARt> Î)E VlNCt
Au contraire, tout ce que le Précurseur de Léonard a dit au sujet de cette même question, dans les trois théorèmes par lesquels débute son troisième livre, est très clair et très exact. Bornons-nous à reproduire l'énoncé de ces trois théorèmes :
(( Si le pivot autour duquel tourne la règle qui sert de fléau se trouve au-dessus de cette règle, quels que soient les poids suspendus aux deux extrémités, il est impossible que la règle s'incline jusquà devenir verticale. »
(( Si l'on donne le rapport entre la distance du pivot au milieu de la règle et la longueur de la règle; si ton donne également les rapports des poids suspendus au poids de la règle, on connaîtra l'angle de la règle avec la verticale. »
(( Si, au contraire, le pivot se trouve au-dessous de la règle, c'est à peine s'il arrivera que les poids puissent demeurer en équilibre. » Léonard a-t-il connu ces propositions? 11 est malaisé d'en douter ; au sujet de la stabilité de la balance, il a dit ^ des choses fort exactes; et ces choses, très conformes à la théorie de son Précurseur, se trouvent particulièrement au cahier E, où nous avons relevé déjà tant de traces du Liber de ponderibus.
Après les trois théorèmes consacrés à la stabilité de la balance, ce livre nous présente cette proposition, d'allure paradoxale, qui mérite de nous arrêter un instant :
(( Le fléau d'une balance se trouvant dans la position horizontale, on peut, du côté que Von voudra, y suspendre un poids aussi grand que Von voudra, sans que le fléau soit détourné de la position horizontale. »
Soient, en effet, ABC (fig. 13) le fléau, D le pivot autour duquel il tourne, et DE la verticale du point D ; pour remplir les conditions de l'énoncé, il suffit de suspendre au bras BH du fléau le poids qu'on y veut attacher, en donnant à ce poids la forme
I. Les manuscrits de Léonard de Vinci. Ms. E de la Hibliothcque de l'Instilul, fol. 57, verso; loi. 58, recto; loi. 5y, reclo. Cf. Les origines de la Statique, t. 1, r- J^O-
La SGlENTlA DE PONDERIBUS ET LEONARD DE VINCI
d'une règle homogène Z H, dont le milieu T se trouve sur la verticale DE.
II ne paraît pas douteux que Léonard ait connu cette proposition. Voici un fragment^ qui lui ressemble fort :
« Si un corps quelconque (fig. i^J de longue figure, de grosseur et de poids uniformes, étant suspendu à ses extrémités par deux cordes attachées aux extrémités des bras égaux des
CD
Fig. ik.
Fig. ï5.
CD
balances, les cordes sont de longueurs différentes, les balances n'en resteront pas moins dans la ligne de l'égalité. La raison en est que si tu tires perpendiculairement une ligne qui passe sous le centre de la balance, cette ligne passera aussi par le centre du poids soutenu. »
Assurément, c'est la lecture de cette même proposition qui a suggéré au Vinci cette réflexion 2, inscrite au Codice Trivalzio :
(( Tout poids fait la somme de sa charge sur sa résistance en ligne perpendiculaire. Soit, sur une balance, un poids qui en est fort distant, comme le montre ABCD (flg. i5), et qui soit entièrement uni comme en la figure. Je dis que si l'on met un poids 2 sur G et un poids 3 sur D, le poids i en excès apparaîtra dans le plateau B ; et je ramènerai A à l'équilibre en y mettant une livre de plus qu'en B. »
Nous avons accoutumé à voir le cahier A prolonger, en quelque sorte, \q Codice Trivalzio; nous ne nous étonnerons donc
1. Les manuscrits de Léonard de Vinci. Ms. G de la Bibliothèque de l'Institut, fol. 7, verso.
