Ms. cit., fol. 266 r

DOMINIQUE BOTO BT LA SCOLA8TXQUE PARISIENNE '<~~

Oresme a divisé son ouvrage en trois parties principale! qu'il a ainsi intitulées :

Piuma pars : De figurations et potentiarum uniformitate et difformitate.

Segunda pars: De Jiguratione potentiarum successivarurn.

Tertia pars : De acquisilione et mensura qualitatis et velocitatis.

Nous n'analyserons pas ici les nombreux chapitres en lesquels ces trois parties se subdivisent; les problèmes les plus divers s'y trouvent traités; l'auteur y discute les questions les plus variées; il y pose les fondements d'une Esthétique musicale; il y argumente contre les principes de l'Astrologie et de la Magie. Laissant de côté tout ce qui ne concourt pas à notre objet, nous nous attacherons seulement à ce qui prépare la découverte que Soto formulera.

Les philosophes qui, depuis Richard de Middleton, admettaient que l'accroissement d'une qualité se fait par addition de parties avaient, pour la plupart, assimilé l'accroissement d'une qualité à l'augmentation d'une grandeur continue et, en particulier, d'une longueur. Cette pensée est celle qui va guider Oresme et servir d'introduction à son système.

« A Fexception des nombres, écrit-il au début de son traité1, toute chose mesurable doit être imaginée à la manière d'une quantité continue. Pour la mesurer, il faut imaginer des points, des surfaces, des lignes; selon l'avis d'Aristote, en effet, ces objets sont ceux où la mesure ou la proportion se rencontrent immédiatement; dans les autres objets, la mesure ou proportion n'est connue que par analogie, en tant que la raison compare ces objets-ci à ceux-là

» Donc, toute intensité susceptible d'être acquise d'une manière successive doit être imaginée au moyen d'une ligne droite élevée verticalement à partir de chaque point de l'espace

ou du sujet qu'affecte cette intensité Quelle que soit la

proportion qui existe entre deux intensités de même espèce, une proportion semblable doit se retrouver entre les lignes correspondantes et inversement. De même qu'une ligne est

i. Magistri Nicholai Oresme Tractatus de Jiguratione potentiarum. Pars I, cap. I: De continuitate intensionis. Bibl. nat., fonds latin, ms. n* 7371, fol. 2i5 ve.

commensurable avec une autre ligne et incommensurable avec une troisième ligne, ainsi en est-il des intensités; il en est qui sont commensurables entre elles et d'autres qui sont incommensurables. »

Les diverses intensités d'une qualité d'espèce donnée peuvent donc être imaginées comme des longueurs de droites; « elles peuvent surtout, et de la manière la plus convenable, être représentées par des droites attachées au sujet et verticalement élevées à partir de ses divers points. La considération de ces lignes aide et conduit naturellement à la connaissance de

chaque intensité Des intensités égales sont figurées par des

lignes égales, des intensités doubles l'une de l'autre par des lignes doubles l'une de l'autre, et ainsi de suite, les intensités et les lignes procédant toujours suivant le même rapport.

» Et cette représentation s'étend, d'une manière universelle, à toute intensité imaginable, qu'il s'agisse de l'intensité d'une qualité active ou d'une qualité non active, que le sujet ou l'objet affecté tombe ou ne tombe pas sous les sens »

« L'intensité que désigne la ligne en question devrait proprement, » selon l'avis d'Oresme1, « être nommée longueur ou longitude (longitudo). » Notre auteur appuie cet avis de diverses raisons. Il ne juge pas convenable de donner à cette intensité le nom de largeur ou latitude (latitudo). « Beaucoup de théologiens, » remarque- t-il, « parlent de la largeur (latitudo) de la charité; en effet, par largeur, ils entendent l'intensité, en sorte que l'on peut avoir une largeur sans longueur. »

Ce n'est donc pas l'intensité (intensio) d'une qualité qu'il faudrait nommer largeur (latitudo), mais bien l'extension (extensio) de cette même qualité. « Il convient 2 de nommer largeur (latitudo) d'une qualité étendue l'extension de cette qualité ; la dite extension peut être représentée par une ligne tracée au sein du sujet, ligne en chaque point de laquelle s'élève perpendiculairement la ligne d'intensité de la même qualité. Ainsi, comme toute qualité de ce genre a intensité et

1. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. II: De latitudine qualitatis. Ms. cit., fol. 216 r* et v.

2. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. III : De longitudine qualitatis. Ms. cit., fol. 216 v" et 217 r*.

DOMINIQUE SOTO BT LA 8COLÀ8TIQUE PARISIBHlfl .'»7<)

extension, dont il faut tenir compte pour la mesurer, si Ton donnée L'intensité le nom de Longueur (longitudo), on donnera à l'extension, qui est la seconde dimension, Le nom <1<* largeur

(latitude). »

Telles sont les dénominations qu'Oresmc aimerait employer; mais il remarque que « selon le langage communément usité, on attribue à l'extension la première dimension, c'est à-dire la longueur (longitude*), et la largeur (latitudo) à l'intensité. Or l'imposition de noms différents ou l'impropriété d'une locution ne fait rien à la réalité; on peut, des deux manières, exprimer la même chose; je veux donc suivre la commune mode, de peur qu'une forme de langage inaccoutumée ne rende moins aisé à comprendre ce que je vais dire. »

Oresme va étudier, tout d'abord, une qualité étendue suivant une ligne, soit que le sujet affecté par cette qualité soit en réalité linéaire, soit qu'en un sujet qui présente deux ou trois dimensions, il trace une ligne, et qu'il se propose d'étudier l'intensité de la qualité aux divers points de cette ligne. A une telle qualité, étendue seulement suivant une ligne, il donne le nom de qualité linéaire (qualitas linealis)1.

Pour la représenter, il portera, sur une droite horizontale, une longueur ou longitude (longitudo) égale à ïextensio; en chaque point de cette droite, il élèvera une verticale dont la hauteur (altitudo vel latitudo) sera proportionnelle à l'intensité (intensio) de la qualité au point correspondant du corps. Il obtiendra ainsi une figure géométrique dont les propriétés correspondront exactement aux propriétés de la qualité qu'il s'agit d'étudier. Mais, par ce mode de représentation, l'étude de cette qualité sera rendue singulièrement plus aisée; les propriétés « en seront examinées plus clairement et plus facilement, dès là que quelque chose qui leur est semblable est dessiné en une figure plane, et que cette chose, rendue claire par un exemple visible, est saisie rapidement et parfaitement par l'imagination... Car l'imagination des figures aide grandement à la connaissance des choses mêmes. »

i. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. IV: De quantitate qualitatis. Ms. cit., fol. 217 r* et v".

Il est impossible de formuler plus exactement qu'Oresme ne l'a fait le principe des représentations graphiques fondé sur l'emploi des coordonnées rectangulaires, ni de mieux marquer l'extrême commodité de telles représentations.

Toute qualité linéaire sera ainsi représentée par une figure plane ; inversement, toute figure plane bornée supérieurement par une ligne dont aucun point ne se projette hors de la base1 peut représenter une qualité linéaire. L'étude géométrique des dispositions que peut affecter une semblable figure permettra de classer les diverses manières dont se peut comporter l'intensité d'une qualité.

Procédant, en cette étude, du simple au composé, Oresme rencontre d'abord2 le cas où la figure qui représente la qualité est un triangle rectangle et où la longitude est un côté de l'angle droit. La qualité que représente un tel triangle « est communément nommée qualité uniformément difforme terminée à une intensité nulle. — Qualitas uniformiter dijformis lerminata in intensione ad non gradum. »

Tout autre triangle3 représente l'ensemble de deux telles qualités de même espèce qui se succèdent l'une à l'autre.

Un rectangle^ figure une qualité dont l'intensité est la même en tous les points de la ligne qui lui sert d'extension. « Une telle qualité est dite uniforme (uniformis) ou d'intensité égale en toutes ses parties. »

Si la figure représentative est un trapèze dont les deux bases sont les deux perpendiculaires élevées à la longitude en ses deux points extrêmes, la qualité correspondante « est dite qualité uniformément difforme terminée de part et d'autre à un certain degré — Qualitas uniformiter dijformis utrinque terminata ad gradum ».

« Toute autre qualité linéaire est dite difformément difforme

i. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. V: De figuratione qualitatis. Ms. cit., fol. 218 r°.

2. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. VIII : De qualitate trianguli rectanguli. Ms. cit., fol. 219 r* et V.

3. Oresme, Op, laud., Pars I, cap. IX: De qualitate aliter triangulari. Ms. cit., fol. 220 r*.

U. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. X: De qualitate quadrangulari. Ms. cit., fol. 220 V. r M£^

DOMINIQUE BOTO BT LA SC0LA8T1QUE PARISIENNE 38l

(diJJorrnUer dijjormis)1 . »> Mais en la multitude de ces qualité!

uniformément difformes, Oresme cherche à introduire an

certain ordre. Toutefois, le choix du principe qui \a servir à établir cette classification suppose que l 'on ait au préalable examiné une certaine difficulté; en cet examen, le sens logique de l'auteur va nous apparaître singulièrement sûr et affiné.

«Toute qualité linéaire, dit-il3, peut être représentée par une figure élevée perpendiculairement sur la ligne qui lui sert d'extension, pourvu que la hauteur de la figure soit proportionnelle à l'intensité de la qualité. Une figure élevée sur la ligne informée par la qualité est dite proportionnelle en hauteur à l'intensité de la qualité lorsque toute droite élevée, en un point de la base, perpendiculairement à cette base, et prolongée jusqu'à la ligne qui termine supérieurement la figure, a une hauteur proportionnelle à l'intensité de la qualité qui affecte le même point...

» Mais, sur une même ligne AB, on peut élever plusieurs figures planes qui soient, en hauteur, proportionnelles les unes aux autres, et qui soient les unes plus grandes et les autres plus petites... 11 en résulte que la même qualité de la ligne A B peut être indifféremment représentée par l'une quelconque de ces figures.

» Toutefois, si cette qualité a été représentée à l'aide de l'une des figures dont il s'agit, tant que l'on gardera cette représentation, une qualité dont l'intensité sera analogue à celle de la première, mais sera partout double de cette première intensité, sera représentée par une figure analogue à la précédente, mais deux fois plus haute; en quelque rapport que la seconde qualité soit plus petite ou plus grande que la première, en ce même rapport sera la hauteur de la seconde figure à la hauteur de la première.

» Néanmoins, au début, la première qualité eût pu être représentée par une figure plus grande ou plus petite en telle proportion que l'on eût voulu choisir; ces diverses figures

i. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. XI : De qualitate uniformi et difformi. Ms. cit., fol. 220 v*.

2. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. VII: De figurarum coaptatione. Ms. cit., fol. 218 V et fol. 219 r°.

38a ETUDES SUR LEONARD DE VIïVCl

eussent pu être prises inégales en grandeur et dissemblables d'aspect; mais elles eussent été, les unes aux autres, proportionnelles en hauteur. »

En langage moderne, nous traduisons ce passage en disant que la longueur par laquelle l'unité d'intensité sera représentée peut être choisie arbitrairement; que, par conséquent, une même qualité peut être représentée par une infinité de figures distinctes ; que toutes ces figures peuvent se déduire de l'une d'entre elles par une opération qui laisse les abscisses invariables et multiplie toutes les ordonnées par un même nombre arbitraire.

Pour qu'une propriété de la figure qui représente une qualité puisse être regardée comme une propriété de cette qualité même, il faut que cette propriété demeure invariable lorsque la figure éprouve la transformation que nous venons de définir.

C'est ce que Maître Nicole Oresme a vu avec une parfaite lucidité; avant de conclure d'une propriété de la figure représentative à une propriété de la qualité même, il a toujours soin de s'assurer que la première propriété est caractère invariant en la transformation par multiplication des ordonnées.

Par exemple, il ne déclare pas d'emblée que le fait d'être représentée par un triangle rectangle dont l'angle droit a la longitude pour côté, caractérise une certaine manière d'être de la qualité, celle que désigneront les mots : qualité uniformément difforme terminée à une intensité nulle. Il commence par établir1 que « toute qualité représentable par un triangle rectangle dont l'angle droit a la longitude pour côté, peut être représentée par tout autre triangle rectangle qui aurait un angle droit placé de même, et ne peut être représentée par aucune autre figure ». Il raisonne de même2 avant de définir la qualité uniforme.

Il est des propriétés géométriques qui ne demeurent pas invariables en l'opération qui augmente ou diminue toutes les

i. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. VIII : De qualitate trianguli rectanguli. Ms. cit., fol. 219 r'*

2. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. X : De qualitate quadrangulari. Ms. cit., fol. 220 v".

DOMINIQUE BOTO Kl i.a RCOL ASTIQUE PARtSlENNB

ordonnées dans un môme rapport ; cei propriétés-là ne peuvent figurer une propriété de la qualité représentée.

Supposons, par exemple «, qu'une qualité ait été représentée par un demi cercle dont le diamètre figure la ligne que cette qualité affecte. On pourra également représenter cette même qualité par une ligure plus haute que ce demi cercle, el plus haute en telle proportion que l'on voudra, ou bien par une figure moins haute, et moins haute en telle proportion que l'on voudra.

Ces figures obtenues en augmentant ou en diminuant dans un certain rapport fixe toutes les ordonnées d'une demicirconférence sont des demi-ellipses. Oresme n'était pas assez géomètre pour découvrir cette vérité; il n'a osé énoncer et prouver qu'une proposition moins complète : « La figure, moins haute que la demi -circonférence, par laquelle cette qualité peut être représentée, est-elle un arc de cercle? Je laisse ce point à discuter. Mais je dis qu'elle ne peut être représentée par aucune figure plus haute que le demi-cercle et qui soit une portion de cercle. »

Cette proposition suffît cependant à justifier la conclusion que formule notre auteur : « La courbe qui termine cette figure plus élevée n'est pas circulaire et, toutefois, elle termine une figure qui est proportionnelle en hauteur à celle que termine une demi -circonférence; ainsi, deux figures dont l'une a une courbure circulaire et l'autre une courbure non circulaire peuvent être proportionnelles l'une à l'autre en hauteur. »

Le fait d'être figurée par une ligne qui est une portion de cercle n'est donc pas un caractère intrinsèque de la qualité étudiée. Oresme n'y fera pas appel pour classer les qualités difïbrmément difformes.

La difformité difforme simple (simplex difformis difformitas) sera caractérisée 2 par ce fait que la ligne figurative est formée par une seule ligne courbe qui, en tout son parcours, tourne

i. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. XIV : De simplici difformiter difformi. Ms. cit., fol. 323 v° et fol. 223 r\

3. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. XV : De quatuor generibus difformiter difformis. Ms. cit., fol. 223 r° et v\

sa convexité dans le même sens. Convexe ou concave, cette ligne peut être rationnelle, c'est-à-dire circulaire, ou irrationnelle, c'est-à-dire non circulaire; mais une même qualité peut être représentée indifféremment soit par une ligne rationnelle, soit par une ligne irrationnelle.

Si, laissant de côté les propriétés intrinsèques de la qualité, nous considérons seulement les propriétés géométriques de la représentation figurée, nous avons à distinguer quatre genres de difformités difformes simples :

La difformité rationnelle convexe,

La difformité rationnelle concave,

La difformité irrationnelle convexe,

La difformité irrationnelle concave.

Si nous y joignons » :

L'uniformité,

La difformité uniforme, nous voyons que les figurations simples sont au nombre de six.

Mais nous pouvons obtenir des figurations composées, en chacune desquelles se suivent deux ou plusieurs figurations simples.

Ces figurations composées, Oresme les classe en espèces d'autant plus complexes qu'il faut, pour les former, emprunter des figurations simples à des genres plus nombreux. Ainsi chacune des espèces les moins complexes sera formée au moyen de figurations simples empruntées toutes au même genre ; pour former une figuration dont l'espèce appartienne au second degré de complexité, il faudra employer des figurations simples de deux genres différents; et ainsi de suite. « Dès lors, par les règles de l'Arithmétique, il en résulte ceci : De chaque genre simple pris isolément, on peut effectuer une et une seule combinaison et composition, ce qui nous donne 6 espèces de difformité difforme composée. Au moyen des genres simples pris deux à deux, il se forme des combinaisons et espèces composées jusqu'à i5. De ces genres pris trois

i. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. XVI : De difformitate composita et qualitatc hujusmodi secundum species. Ms. cit., fol. aa3 v° et 22U r°.

DOMINIQUE soin i: i i.a BG0LA8TIQ1 B i'AIiimiwi 385

h trois, il en naît ao. Des genres simples pris quatre à quatre, il en naît i5. De ces genres pris cinq ;» cinq, il <'n résulte 6 Enfin, do tous ces genres pris ensemble, il en résulte «nie, seule. Nous avons donc, en somme, 02 espèees de difformités difformes composées. »

On le voit, au temps d'Oresme, la formule relative au nombre des combinaisons était regardée comme une règle courante d'Arithmétique !.

Jusqu'ici, nous avons vu Nicole Oresme étudier comment on peut représenter graphiquement, à l'aide de deux coordonnées rectangulaires, la longitude et la latitude, les variations d'une propriété mesurable; mais rien, dans ce que nous avons cité, ne permet de dire qu'il ait entrevu la Géométrie analytique, qu'il ait compris l'équivalence qui fait correspondre l'une à l'autre une certaine représentation graphique et une certaine relation algébrique entre les valeurs simultanément variables de la longitude et de la latitude. Pour parvenir au point d'où cet aperçu peut être saisi, un nouveau progrès est nécessaire.

Que notre auteur ait au moins fait les premiers pas dans cette voie, il est, croyons-nous, difficile de le nier, après avoir lu les lignes suivantes % qui viennent aussitôt après les définitions géométriques des termes : uniforme, uniformément difforme :

« Les dites variations des intensités ne sauraient être mieux, ni plus clairement, ni plus facilement expliquées et notées que par de semblables imaginations, rapports et figures; on en peut donner, toutefois, d'autres descriptions ou notifications qui, d'ailleurs, sont également connues par les figures que l'on imagine de la sorte. Ainsi, on peut dire que la qualité

1. Marsile d'Inghen était seulement de quelques années plus jeune que Nicole Oresme. Or, dans ses questions sur le De generatione, Marsile d'Inghen donne la règle qui fait connaître le nombre des combinaisons d'un certain nombre de termes deux à deux : Tôt sunt combinationes terminorum... quanta est medietas numeri qui surgit ex multitudine numeri terminorum in numerum immédiate precedentem. Il démontre cette règle exactement comme nous le faisons aujourd'hui. (Egidius cum Marsilio et Alberto de generatione. Golophon : Impressum venetiis mandato et expensis Nobilis viri Luceantonii de giunta llorentini. Anno domini i5i8 die 12 mensis Februarii. Questiones clarissimi philosophi Marsilii inguen super libris de generatione et corruptione. Lib. IT, queest. XII, fol. 116, coll. c et d).

3. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. XI : De qualitate uniformi et difformi. Ms. cit., fol. 220 v* et fol. 22i r°.

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uniforme est celle qui est également intense en toutes les parties du sujet ; que la qualité uniformément difforme est telle que, trois points quelconques [du sujet] étant donnés, le rapport de la distance entre le premier et le second à la distance entre le second et le troisième est comme le rapport de l'excès d'intensité du premier sur le second à l'excès d'intensité du second sur le troisième1. » Et notre auteur démontre que la représentation géométrique de l'intensité uniformément difforme exige, en effet, qu'elle soit douée de cette propriété.

Traduisons en langage moderne la proposition formulée et démontrée par Oresme ; la traduction n'en peut être que celle-ci :

Il revient au même de dire : L'intensité que l'on mesure varie avec l'extension, de manière à être représentée par une ligne droite inclinée sur l'axe des longitudes ou abscisses. — Ou bien de dire : Étant donnés trois points quelconques M,, M„ M8, dont xt, #8, xz sont les longitudes ou abscisses, et yt, y„ y, les latitudes ou ordonnées, on a sans cesse l'égalité

g, — a?i yi — y«

xt — xz y, — y8 '

Et qu'est-ce là, sinon la mise en équation de la ligne droite, sous une des formes les plus usitées en notre moderne Géométrie analytique? N'est- il donc pas juste de dire que la Géométrie analytique à deux dimensions a été créée par Oresme?

Il a été plus loin; il a conçu également la possibilité d'étendre aux figures tracées dans l'espace ce qu'il avait dit des figures planes.

i. Vu le grand intérêt que ce passage nous paraît offrir, nous en donnons ici le texte latin, tel qu'il est dans le manuscrit:

« Predicte differentie intentionum non melius nec clarius nec facilius declarari vel notari possunt quam per taies ymaginationes et relationes et figuras, quamvis quedam alie descriptiones seu notijîcationes dari possunt que etiam per hujusmodi figurarurn ymaginationes sunt note. Ut si diceretur : qualitas uniformis est que in omnibus partibus subjecti est equaliter intensa, qualitas vero uniformiter difformis est cujus omnium trium punctorum proportio distantie inter primum et secundum ad distantiam inter secundum et tertium est sicut proportio excessus primi super secundum ad excessum secundi super tertium in intentione. »