DOMINIQUE SOTO ET LA SCOLA8TIQU1 PARISIEN

Au Lieu de tracer seulement une ligne, dam le sujet, on > peut tracer une surface, par exemple une surface plane, et

étudier la qualité qui Informe chacun des points de cette surface; on aura ainsi affaire non plus à une qualité Linéaire, mais à une qualité superficielle1.

L'intensité de la qualité sera représentée par une droite perpendiculaire à la surface informée'; pour imaginer de quelle manière cette intensité varie d'un point à l'autre de La surface en question, on aura à considérer une figure géométrique à trois dimensions.

Aux qualités superficielles ainsi représentées, on peut étendre ce qui a été dit des qualités linéaires. « De même que, parmi les qualités linéaires, on rencontre une qualité uniforme, une qualité uniformément difforme, une qualité difformément difforme, et cela de bien des manières différentes, ainsi en est-il, de toute semblable façon, des qualités superficielles. De même qu'une qualité linéaire uniforme est représentée par un rectangle, de même une qualité superficielle uniforme sera représentée par un corps qui présente huit trièdres trirectangles (angulos rectos corporeos); cette qualité, tout en demeurant la même, peut être représentée par un corps plus ou moins haut, selon ce qui a été dit de la qualité linéaire

n Ce qui a été dit de la qualité linéaire uniforme ou difforme peut être répété de la qualité superficielle. Semblablement, en effet, la sommité de la figure qui représente une qualité uniforme est une surface parallèle à la base tracée dans le sujet, base que l'on a imaginée plane. La sommité de la figure à l'aide de laquelle on imagine une qualité uniformément difforme est une surface plane non parallèle à la base. La sommité de la figure qui représente une qualité difformément difforme est une surface courbe, ou bien est composée de surfaces qui se coupent sous certains angles. »

Mais la qualité superficielle n'épuise pas notre notion de

î. Oresme, Op. laud., Pars I, cap. IV : De quantitate qualitatis. Ms. cit., fol. 217 v". 3. Oresme, Op. laud.. Pars I, cap. XVII : Dequalitate superficialis. Ms. cit., fol. 22k v° et aa5 r°.

qualité. Le sujet informé par cette qualité n'est, dans la réalité, ni une ligne, ni une surface, mais bien un corps ; c'est donc à une qualité corporelle que nous avons toujours affaire. Oresme, assurément, souhaiterait1 que l'on pût imaginer une quatrième dimension de l'espace, afin que l'on pût étendre aux qualités corporelles le mode de représentation qu'il a employé pour les qualités linéaires et superficielles :

« La qualité superficielle est représentée par un corps, et il n'existe pas de quatrième dimension; on ne saurait même en imaginer une. Néanmoins, il faut concevoir la qualité corporelle comme ayant une double corporéité; elle en a une véritable, par l'effet de l'extension du sujet, extension qui a lieu suivant toutes les dimensions; mais elle en a aussi une autre, qui est seulement imaginée; elle provient de l'intensité de la qualité, qualité qui se trouve répétée une infinité de fois par la multitude des surfaces que l'on peut tracer au sein du sujet. »

On préciserait sans doute la pensée d'Oresme beaucoup plus qu'il n'eût été en état de le faire, mais il semble qu'on ne la fausserait pas, en l'exprimant ainsi: Le sujet lui-même, et chacun des solides que Ton obtient en représentant la qualité superficielle de l'une des surfaces, en nombre infini, que l'on peut tracer au sein du sujet, sont autant de figures à trois dimensions tracées dans un même espace, purement idéal, à quatre dimensions.

Gomment Nicole Oresme a établi la loi du mouvement

uniformément varié.

Non seulement Nicole Oresme a devancé Copernic en soutenant contre la Physique péripatéticienne la possibilité du mouvement diurne de la Terre; non seulement il a précédé Descartes en faisant usage de représentations géométriques

i. Oresme, Op. laud., Parsl, cap. IV: De quantitate qualitatum. Ms. cit., fol. 217 V* et fol. a 18 r\

DOMINIQUE soi'o BT LA SCOLAJTIQUB i*aiusii;\ni: 38û

obtenues à l'aide de coordonnées rectangulaires ;« deux ou à Mois dimensions, et en établissant l'équation de la ligne droite; il a encore fait une découverte que l'on attribue communément à Galilée: il a reconnu la loi suivant laquelle croît, avec le temps, la longueur parcourue par un mobile qu'entraîne un mouvement uniformément varié; c'est cette dernière partie de son œuvre qui va maintenant retenir notre attention.

La seconde partie du Tractatus de dijformltate qualitatum a pour titre: De figuratione et potentiarum successivarum uni/or mitate et difformitale . C'est à l'étude des vitesses que cette partie du traité est spécialement consacrée.

Les principes de Cinématique dont Oresme se réclame ne diffèrent pas de ceux qu'Albert de Saxe a posés en son Tractatus proportionum et en ses Quœstiones in libros de Cœlo et Mundo, deux ouvrages qui, sûrement, furent à peu près contemporains du Tractatus de difformitate qualitatum, soit qu'ils l'eussent précédé, soit qu'ils l'eussent suivi.

Après Walter Burley, et presque exactement dans les termes qu'a employés Albert de Saxe, Oresme nous apprend l que le mouvement a deux sortes d'extensions, dont l'une dépend de la distribution de la vitesse aux divers points du sujet, c'est-àdire du mobile, et l'autre du changement de la vitesse au cours du temps. Comme Albert de Saxe, il voudrait que les épithètes : uniforme, difforme, servissent exclusivement à caractériser la distribution qu'affecte la vitesse au sein du sujet, tandis que les qualificatifs : régulier, irrégulier, indiqueraient de quelle manière les valeurs de la vitesse se succèdent dans le temps. Mais il observe qu'il est d'usage d'employer les mots uniforme et difforme même pour désigner la régularité et l'irrégularité dans le temps, et il déclare qu'il se conformera à cet usage.

Notre auteur se demande ensuite2 de quelle manière on doit, en chaque espèce de mouvement, définir la grandeur de

i. Oresme. Op. laud., Pars II, cap. I: De difformitate motus. Ms. cit., fol. 336 r°. a. Oresme, Op. laud., Pars II, cap. III : De quantitate velocitatis; cap. IV: De diversis modis velocitatis. Ms. cit., fol. 237 r° et fol. a38 r\

3gO ÉTUDES SUR LÉONARD DE VINCI

la vitesse ; la vitesse du mouvement local, la vitesse angulaire de rotation, la vitesse de descente, la vitesse de dilatation ou de contraction, la vitesse d'altération sont successivement considérées et déterminées exactement comme elles le sont au Tractatus proportionum d'Albert de Saxe ; ici et là, les mêmes pensées se trouvent proposées, et éclaircies au moyen des mêmes exemples.

Sans nous attarder à reproduire des considérations qui nous sont déjà connues, indiquons seulement une précision introduite par Oresme en la définition de la vitesse du mouvement local.

Il dit d'abord «, comme Albert de Saxe: « Dans le mouvement local, un degré de mouvement (motus) ou de vitesse (velocitas) est d'autant plus grand on plus intense que le mobile parcourt un plus grand espace ou une plus grande distance en un temps égal. » Mais cette définition devient insuffisante pour déterminer ce que l'on doit appeler vitesse à chaque instant, en un mouvement dont la vitesse change d'un instant à l'autre; il convient alors de la compléter en ajoutant ce membre de phrase : En supposant que, pendant tout ce temps, le mobile continue à se mouvoir avec la vitesse qu'il avait à cet instant. Cette addition, notre auteur ne la formule pas en général; mais elle est bien dans sa pensée, et il lui arrive de l'expliciter : « Le degré de la vitesse de descente. » dit-il2 « est d'autant plus grand qu'en un temps égal, le sujet mobile descend davantage ou qu'il descendrait davantage si le mouvement continuait simplement (magis descendit vel descenderet si continuaretur simpliciter). »

Ce qu'Oresme ajoute à la Cinématique d'Albert de Saxe, c'est l'emploi des coordonnées. Comment les coordonnées rectangulaires devront être employées en une telle étude, il le dit avec son habituelle clarté, au début de la seconde partie de son traité3 :

a On peut imaginer les deux extensions à la façon de deux

i. Oresme, Op. laud., Pars 11, cap. III. Ms. cit., fol. 237 r°.

2. Oresme, Op. laud., Pars II, cap. IV. Ms. cit., fol. 237 v°.

3. Oresme, Op. laud., Pars II, cap. I : De difformitate motus. Ms. cit., fol. 236 r*.

DOMINIQUE soin i:r i,\ BG0LA8TIQUE iuuminm ?>()i

droites qui se couperaient orthogonalement, <*m sorte que L'extension relative au sujei sciait appelée latitude; L'intensité

du mouveinoiii. pourrait alors être nommée altitude en un poinl (aliitudo localis) du mouvement f///.o/^ ou <I<; la vitesse (velocitas).

» Mais selon ce qui a été dit au troisième chapitre de la première partie, la vitesse considérée dans le temps est communément appelée latitude; alors chacune des deux extensions, lorsqu'on la comparera avec l'intensité, pourra être nommée longitude; ainsi, la vitesse aura une double longitude comme elle a une double extension.

» En chacune de ces deux extensions, l'intensité de la vitesse pourra varier selon des modes multiples ; comme la difformité naît de ce que l'intensité peut se distribuer de manière variée suivant l'extension, il en résulte que le mouvement ou vitesse peut présenter deux sortes de difformités et aussi deux sortes d'uniformités. »

Il est clair, dès lors, qu'à chacune des deux sortes de difformités dont la vitesse est susceptible, on pourra appliquer1 toutes les dénominations, tous les procédés de classification dont on a usé, d'une manière générale, pour des intensités quelconques ; aussi bien par rapport à la durée que par rapport à l'extension, la vitesse pourra être uniformément difforme ou difformément difforme ; elle pourra commencer ou non au degré nul.

En une qualité quelconque, aussi bien qu'en un mouvement, Oresme ne se borne pas à considérer l'extension, figurée par la longitude, et l'intensité, figurée parla latitude; il étudie, en outre, ce qu'il nomme la quantité totale (quantitas totalis)2 ou la mesure (mensura). Cette mesure est l'un des principaux sujets de la troisième partie du traité, partie qui a pour titre : De acquisitione et mensura qualitatis et velocitatis.

« D'une manière universelle, » dit Oresme3, « la mesure ou

i. Oresme, Op. laud., Pars II, cap. VI : De difformitate velocitatis per partes quantitativas. Ms. cit., fol. 238 v°.

2. Oresme, Op. laud., Pars II, cap. III : De quantitate velocitatis. Ms. cit., fol. 237 r<\

3. Oresme, Op. laud., Pars III, cap. V: De mensura qualitatum uniformarum et velocitatum. Ms. cit., fol. 261 r°.

le rapport de deux qualités, ou bien encore de deux vitesses, est égal au rapport des deux figures, comparables entre elles (ad invicem comparatse) , par lesquelles elles sont représentées. Je dis : comparables entre elles, à cause d'une remarque qui a été faite au chapitre septième de la première partie. » Cette remarque, que nous avons analysée en son temps, nous montre ce qu'Oresme entend par figures comparables; ce sont des figures où des intensités égales d'une qualité de même espèce sont représentées par une même longueur.

Le contexte se charge également de nous apprendre ce que l'on doit entendre par rapport de deux figures ; c'est le rapport des aires de ces deux figures si elles sont planes, de leurs volumes si elles sont solides.

De la définition qui vient d'être donnée, se tire immédiatement le corollaire suivant : Les mesures de deux qualités uniformes ont pour rapport le produit du rapport des extensions par le rapport des intensités. « En la susdite mesure*, il faut toujours prendre l'extension totale de la qualité, que cette qualité soit linéaire, superficielle ou même corporelle. Il en faut dire autant de la mesure de la vitesse, si ce n'est que, par extension, il faut alors entendre le temps pendant lequel dure cette vitesse, et par intensité, le degré de vitesse... Par exemple, une vitesse uniforme qui dure pendant trois jours est égale à une vitesse trois fois plus intense qui dure pendant un seul jour. »

En ce cas où la vitesse est uniforme, la mesure ou quantité de la vitesse, telle qu'Oresme vient de la définir, se confond évidemment avec la longueur que le point mobile a parcourue pendant le temps qui remplace ici l'extension. La vérité de la même proposition se manifeste non moins clairement à notre auteur en d'autres cas où le mouvement, sans être uniforme, est une succession de mouvements uniformes. C'est ce qui a lieu dans un problème qu'il résout par une démonstration géométrique fort élégante2.

1. Oresme, Op. laud., Pars III, cap. VI : Adhuc de eodem. Ms. cit., fol. 261 V.

2. Oresme, Op. laud., Pars III, cap. VIII : De mensura et extensione in infinitum quarundam qualitatum. Ms. cit., fol. 262 v° et fol. 263 r°.

DOMINIQUE BOTO BT LA SC0LA8TIQ1 B PAitisn.wi

Prenons La Longitude (rime figure qui représente une qualité linéaire et, selon le Langage usité au Moyen Âge, divisons la

en parties proportionnelles. Pour cela, nous l;i partageons

d'abord en deux moitiés, la seconde moitié est ensuite divisée en deux quarts, le dernier quart en deux huitièmes et ainsi de suite. La longitude se trouve formée d'une suite de seg menls mis bout à bout, et les longueurs de ces segments forment une progression géométrique de raison |" Ce sont les parties proportionnelles de la longitude.

On suppose que la première partie proportionnelle est affectée par une qualité uniforme d'une certaine intensité; que la seconde partie proportionnelle est affectée d'une qualité uniforme de même espèce et d'intensité double; que la troisième est affectée d'une qualité uniforme trois fois plus intense que la première, etc. Les intensités des qualités uniformes qui affectent les parties proportionnelles successives sont entre elles comme les divers nombres entiers.

La figure représentative est formée par une suite de rectangles de plus en plus étroits et de plus en plus élevés. Bien que les hauteurs de ces rectangles croissent au delà de toute limite, la somme de leurs aires demeure limitée; elle est quadruple de l'aire du premier de ces rectangles.

Oresme applique aussitôt ce théorème au cas où la qualité est remplacée par une vitesse : « Si un certain temps avait été ainsi divisé en parties proportionnelles ; qu'en la première partie de ce temps, un certain mobile se mût avec une certaine vitesse; qu'en la seconde, il se mût deux fois plus vite, en la troisième trois fois plus vite, et ainsi de suite, la vitesse croissant toujours de même, cette vitesse serait exactement quadruple de la hauteur de la première partie; en sorte qu'en l'heure entière, ce mobile parcourrait un chemin quadruple exactement de celui qu'il a parcouru en la première partie proportionnelle, c'est-à-dire en la première demi-heure; si, par exemple, en cette première partie proportionnelle, il a parcouru une longueur d'un pied, pendant le reste du temps, il parcourra trois pieds, et pendant la durée tout entière, il parcourra quatre pieds. »

3g4 ÉTUDES SUR LÉONARD DE VINCI

En ce cas, la définition qu'Oresme donnait de l'intensité de la vitesse suffisait à lui prouver que l'aire de la figure représentative mesurait la longueur décrite par le point mobile. Savait-il qu'il en est de même en général? Pour qu'il le pût démontrer, il eût fallu qu'il possédât une définition précise de la vitesse instantanée, qu'il eût acquis les notions de dérivée et d'intégrale. Assurément, une telle démonstration passait de beaucoup les moyens que lui fournissait sa connaissance très rudimentaire des Mathématiques. Mais incapable de démontrer une telle proposition, en avait-il intuitivement reconnu la vérité? Nous ne trouvons, en son traité, aucune phrase qui l'affirme explicitement. Il semble, toutefois, que ce silence résulte non pas d'un doute où l'auteur serait demeuré, mais bien d'une parfaite assurance en l'exactitude de la proposition qu'il sous-entend. Il ne dit pas que l'aire de la figure représentative mesure, en toutes circonstances, le chemin parcouru par le mobile parce qu'il pense que cela va de soi. Nous trouverons, d'ailleurs, dans un instant, un passage qui suppose clairement cette interprétation. Nous verrons, aussi, que beaucoup des disciples d'Oresme et de ses commentateurs ont interprété de la sorte la pensée du maître, et sans songer même que l'on pût l'interpréter autrement.

Il importait que cette interprétation fût signalée, car elle donne toute sa valeur au passage que nous allons maintenant traduire1 :

« Toute qualité uniformément difforme a même quantité que si elle informait uniformément le même sujet selon le degré du point milieu (Omnis qualitas, si faerit uniformiter difformis, secundum gradum puncti medii ipsa est tanta quanta qualitas ejusdem subjecti). En disant: selon le degré du point milieu, je sous-entends : si la qualité est linéaire; si elle est superficielle, il faudra dire : selon le degré de la ligne moyenne

» Nous démontrerons cette proposition pour une qualité linéaire.

» Soit donc une qualité qui puisse être représentée par un

1. Oresme, Op. laud., Pars III, cap. VII: Do mensura qualitatum et velocitatum difformarum. Ms. cit., fol. 2G2 r" et v°.

DOMINIQUE soin i;i i. \ BCOL ASTIQUE PARISIBNïll

triangle A BC (Jlg. 1); c'esl une qualité uniformément difforme qui, au point B, se termine au degré nul; soi! I) le point milieu de la Ligne qui représente le sujet (subjectiva linea); te degré ou L'intensité qui affecte ce point est figuré par la ligne DE. La qualité qui aurait partout le degré ainsi désigné est représentable par le quadrilatère AFGB, ainsi qu'il résulte du chapitre X de la première partie. Mais par la XXVIe proposition du premier livre d'Euclide, les deux triangles EFG et EGB sont égaux. Le triangle qui représente la qualité uniformément difforme et le quadrilatère AFG 4 qui représente la qualité uniforme selon le degré du point moyen sont donc égaux entre eux; les deux qualités qui sont imaginables l'une par le triangle et l'autre par le quadrilatère sont aussi égales entre elles ; et c'est ce qu'on se proposait de démontrer.

» On raisonne de la même manière au sujet d'une qualité uniformément difforme qui, de part et d'autre, se termine à un certain degré

» Au sujet de la vitesse, on peut dire exactement la même chose que d'une qualité linéaire, seulement, au lieu de dire : point milieu, il faut dire : instant milieu du temps pendant lequel dure cette vitesse.

» Il est donc évident qu'une qualité ou une vitesse uniformément difforme quelconque se trouve égalée a une qualité ou à une vitesse uniforme. »

Si, comme nous le pensons, la quantité ou mesure d'une vitesse s'identifie, dans l'esprit d'Oresme, avec l'espace linéaire que le point mobile parcourt, le résultat auquel notre auteur vient d'atteindre est singulièrement grave ; il peut, en effet, se formuler ainsi : Lorsqu'un mobile se meut, pendant un certain temps, d'un mouvement uniformément varié, le chemin qu'il parcourt est égal à celui qu'il parcourrait en un mouvement uniforme, de même durée, dont la vitesse serait égale à celle qui est prise en l'instant moyen du premier mouvement.

Que ce soit bien là la proposition qu'Oresme entendait, nous en aurons l'assurance par la lecture de l'un des problèmes que traite notre auteur.

Comme il l'a fait en un précédent problème, Oresme prend1 une certaine longitude qu'il divise en parties proportionnelles de raison \ ; mais, en chacune de ces parties proportionnelles, il ne suppose plus que la longitude soit uniforme; il la suppose seulement uniforme dans les parties de rang impair et uniformément difforme dans les parties de rang pair. Il admet donc qu'en la première partie, la longitude garde uniformément un certain degré; qu'en la seconde, elle croisse uniformément de ce degré au degré double; qu'en la troisième, elle garde uniformément ce degré double ; qu'en la quatrième, elle croisse uniformément de ce degré double au degré quadruple, et ainsi de suite. Il énonce alors ce théorème : La mesure totale de la qualité est dans le rapport 7 à la mesure de la qualité qui affecte la première partie. Pour démontrer ce théorème, il se sert, bien entendu, de la règle qu'il a posée au sujet de la mesure d'une qualité uniformément difforme.

Une fois ce théorème démontré, Oresme ajoute : « On peut prouver une proposition semblable au sujet de la vitesse, et l'appliquer à la vitesse comme on l'a fait au chapitre précédent. » Or, au neuvième chapitre, Oresme avait appliqué à la vitesse le théorème qu'il avait démontré, et cette application supposait essentiellement que la mesure de la vitesse pendant un temps donné fût l'espace qu'elle fait parcourir au mobile pendant ce temps. Il est donc clair qu'il admet la même supposition en son deuxième chapitre, qu'il l'admet aussi en la règle de laquelle dépend la solution que ce chapitre expose. Il entend que l'espace parcouru en un mouvement uniformément varié soit égal à celui qui serait parcouru en un mouvement uniforme de même durée, ayant pour vitesse la vitesse qu'atteint le premier à son instant moyen.

1. Oresme, Op. laud., Pars III, cap. X: Quoddam aliud exemplum. Ms. cit., fol. a 64 r° et v\

DOMINIQUE BOTO BT LA SCOLASTIQUB PARISIEN!*] '.)<)-]

Or, cette loi est celle < l <> 1 1 ( <m a coutume de faire l'un dei litres de gloire de Galilée.

Gomment Oresme a-t-il été amené à concevoir cette féconde pensée? On peut, je crois, le deviner.

Il lui arrive d'insister surcette idée (pie la vitesse a deux sortes d'extensions, l'extension selon le sujet et L'extension selon la durée; que chacune de ces deux extensions peut être traitée de la même manière que l'autre; qu'il y a, par exemple, des vitesses uniformes, uniformément difformes selon le sujet, comme il y a des vitesses uniformes, uniformément difformes dans le temps.

Or, veut-il donner un exemple de vitesse uniformément difforme par rapport au sujet, et commençant au degré nul, il cite1 la vitesse d'un rayon qui tourne autour du centre du cercle.

C'est de cette vitesse que traitait le petit écrit : De proporlione motuum et magnitudinum dont le texte était déjà connu au xiii0 siècle. L'auteur anonyme de ce traité montrait qu'un rayon ou une portion de rayon qui tourne autour du centre du cercle balaye un espace égal à celui que cette même ligne balayerait en une translation qui aurait pour vitesse la vitesse de son point moyen; la démonstration qu'il donnait, fort analogue à celle que nous venons de trouver sous la plume d'Oresme, le conduisait à regarder la vitesse du rayon, variable d'un point à l'autre, comme équivalente à la vitesse du point moyen; en résumé, il formulait, pour la vitesse uniformément difforme par rapport au sujet, la règle qu'Oresme devait formuler pour la vitesse uniformément difforme par rapport au temps.

Très certainement connu de Bradwardine, très probablement connu d'Albert de Saxe, le traité De proporlione motuum et magnitudinum ne fut, sans doute, pas ignoré d'Oresme ; lors même que ce livre ne lui fût pas venu entre les mains, les idées qu'il contenait, résumées dans les Tractatus proporlionum de Bradwardine et d'Albert de Saxe, étaient assu-

i. Oresme, Op. laud., Pars II, cap. VII: De quadam differentia inter motum localem et allerationem. Ms. cit., fol. a3g r°.

3g8 ÉTUDES SUR LÉONARD DE VINCI

rément courantes à Paris au temps où le traité De difformitate qualitatum fut rédigé. Directement ou indirectement, donc, le petit écrit De proportione motuum et magnitudinum a pu inspirer au grand maître du Collège de Navarre la règle que nous lui avons entendu formuler et que, désormais, nous nommerons Règle d'Oresme. Par ce nom, d'ailleurs, nous n'entendons pas affirmer qu'Oresme ait eu, le premier, connaissance de cette règle; ce que nous dirons au paragraphe XXIII montrera que cette affirmation ne serait nullement assurée.

En i368, Albert de Saxe rédigeait ses Quœstiones in libros de Cxlo et Mundo; en 1871, Nicole Oresme regardait déjà comme ancien son traité De difformitate qualitatum. Avant l'an 1370, donc, deux grandes vérités avaient été l'une entrevue, l'autre découverte; on avait émis l'hypothèse que la chute des graves était un mouvement uniformément accéléré; on avait formulé la loi qui, en un tel mouvement, lie l'espace parcouru au temps employé à le parcourir. Il suffisait de donner la première proposition comme assurée et de la comparer à la seconde pour que les deux lois essentielles de la chute des corps se trouvassent formulées. Le fruit, semble-t-il, était mûr; le plus léger attouchement allait suffire à le détacher.

Or, en dépit de cette prévision, plus d'un siècle et demi va s'écouler avant que ce fruit soit cueilli ; c'est seulement dans les écrits de Dominique Soto que la supposition d'Albert de Saxe d'une part, que la découverte d'Oresme d'autre part, se compléteront en se rejoignant; jusqu'au jour où elles seront réunies par le savant dominicain, ces deux idées vont se transmettre d'âge en âge et d'école en école, mais en demeurant séparées l'une de l'autre. Ce sont les péripéties diverses par lesquelles cette longue tradition s'est maintenue qu'il nous faut maintenant retracer.

DOMINIQUE BOTO BT LA BGOLA8TIQ1 i PAR1SIEHN1 'i<)|<

L'influence de Nicole Oresme a l'Université de Paris. —

Le tuaité De latitudinibus formarum. Albert de Saxe. Mahsile d'Inghrn.

Le texte manuscrit que nous avons étudié aux deux paragraphes précédents porte en titre: Tractatusdejiguralionepoletiliarum et mensurarum dijformitalum. Mais une main, moins ancienne que celle du copiste, lui a attribué cet autre titre : De latitudinibus Jorrnarum ab Oresme.

Ce dernier litre est celui d'un autre ouvrage, dont Maximilian Gurtze a retrouvé un texte, datant probablement de la fin du xive siècle, en un manuscrit de la bibliothèque du Gymnase Royal de Thorn1.

Cet écrit a été imprimé, à plusieurs reprises, à la fin du xvc siècle et au commencement du xvie siècle2.

i. Maximilian Gurtze, Ueber die Handschrift R. 4*. 2, Problematum Euclidis explicatio der Kônigl. Gymnasialbibliothek zu Thorn (Zeitschrift fur Mathemalik und Physik, KIII*" Jahrgang, 1868. Supplément, pp. 92-97).

2. i* lncipit perutilis tractatus de latitudinibus formarum secundum Beverendum doctorem magistrum Nicholaeum Horen. Die décima Tanuarij — (au fol. n r°) Tractatus de latitudinibns formarum a venerabili doctore magistro Nicolao horen editus fuit foeliciter. Impressus ac diligenti cura emendatus padue per magistrum Matheum cerdonis de vuindisgrech. Anno domini i486. Dievero 18 mensis Februarij. — (au fol. 12 r°) Incipiunt questiones super tractatu de latitudinibus formarum determinate per venerandum doctorem magistrum blasium de parma de pelicanis. — (fol. 19, r°) Expliciunt questiones super tractatum de latitudinibus formarum magistri Iohannis (sic) Horen determinate per venerandum doctorem artium : magistrum Blasium de parma de pelicanis. Impressum Padue Die : mense et anno supradictis. In laude dei summi.

20 Questio de modalibus Bassani Politi. — Tractatus proportionum introductorius ad calculationes Suiset. — Tractatus proportionum Thome Braduardini.— Tractatus proportionum Nicholai Horen. — Tractatus de latitudinibus formarum ejusdem Nicholai. — Tractatus de latitudinibus formarum Blasii de Parma. — Auctorsex inconvenientibus . — Questio subtilis doctoris Johannis de Casali de velocitate motus alterationis. — Questio Blasii de Parma de tactu corporum durorum. Golophon : Venetiis mandato et sumptibus heredum quondam nobilis Viri D. Octaviani scoti Givis Modoetiensis per Bonetum localellum bergomensem presbyterum Kal. Seplembris i5od.

3° Contenta in hoc libello. Arithmelica communis. — Proportiones brèves. — De latitudinibus formarum. — Algorithmus M. Georgii Peurbachii in integris. — Algorithmus Magistri Joanis de Gmunden de minuciis phisicis. Golophon : Impressum Viennae per Joannem Singrenium Expensis vero Leonardi et Lucee Alantse fratrum Anno domini MGGGGGXV. Decimonono die Maii.

L'édition de i5o5 semble attribuer ce traité à Oresme luimême ; mais l'édition de i486 se borne à dire qu'il est composé secundum Nicholaum Horen, et l'édition de i5i5 marque, plus explicitement, qu'il a été écrit secundum doctrinam Magistri Nicolai Horem. Il est certain, en effet, que nous n'y trouvons pas un ouvrage original du grand maître du Collège de Navarre, mais bien un résumé, composé par quelque disciple, du traité De dlfformitate qualitatum.

Réduit presque exclusivement à des définitions et à des énoncés de propositions qu'aucun raisonnement n'accompagne, ce sec compendium ne donne qu'une bien pauvre idée de l'œuvre qui l'a inspiré ; telle est cependant la puissance de cette œuvre qu'on en peut encore deviner quelque chose en la médiocre imitation qu'en donne le traité De latitudinibus formarum; Maximilian Gurtze et M. Maurice Gantor1 qui n'ont connu la pensée d'Oresme que par le petit écrit de son disciple, n'ont pas hésité, cependant, à regarder le futur évêque de Lisieux comme le précurseur de Descartes.

Ils n'eussent pu, en tout cas, le saluer du titre de précurseur de Galilée; la proposition que nous avons convenu d'appeler règle d Oresme est passée sous silence au traité De latitudinibus formarum; nous n'y trouvons qu'une indication rapide sur la proportionnalité entre les quantités de deux qualités de même espèce et les aires des figures qui représentent ces qualités : «Eadem est proportio formœ adformam quœ est figuras adfiguram. »

Qu'un semblable manuel ait été rédigé, et cela, semble-t-il, avant la fin du xive siècle, c'est, pour nous, la preuve manifeste que les méthodes d'Oresme, que l'emploi de la latitude et.de la longitude, c'est-à-dire des coordonnées rectangulaires, pour figurer les variations des diverses propriétés mesurables se sont très vite répandus dans les écoles, du moins à Paris.

Dans le corps du volume, les trois premiers traités sont ainsi intitulés:

Incipit Arithmetica communis ex divi Severini Boetii Arithmetica per M. Joannem de mûris compendiose excerpta.

Tractatus brevis proportionum : abbraviatus ex libro de Proportionibus D. Thome Braguardini Anglici.

Tractatus de latitudinibus formarum secundum doctrinam magistri Nicolai Horem. i. Moritz Gantor, Vorlesungen uber die Geschichte der Mathematik. Bd. II, von 1200i GG8, 2" Aufl., Leipzig, njoo ; pp. 1 29- i3r .

DOMINIQUE BOTO BT i.\ SCOLA.8TIQUE PARISIENNE &OI

Do cette rapide diffusion «les doctrines proposées par l<: grand maître <lu Collège de Navarre, nous allons trouver (Jeux témoins contemporains : Albert de Saxe et iVlarsilc; d'Inghen.

En l'une de ses Questions sur la Physique, Albert de Saxe écrit ce qui suit1 :

« Soit une Ligne sur laquelle on décrive un demi-cercle. Supposons que chaque point marqué sur cette ligne soit blanc, et que les blancheurs de deux quelconques de ces points soient entre elles comme les lignes menées de ces points à la circonférence; la difformité de cette blancheur sera semblable au demi-cercle; ce demi-cercle, décrit sur la ligne [qu'affecte cette blancheur], définit (causal) le rayon qui peut représenter l'intensité de la blancheur au point milieu de cette ligne. »

Il est clair qu'Albert de Saxe emploie ici les coordonnées rectangulaires selon les principes posés par Oresme; la dernière phrase s'inspire visiblement de cette pensée sur laquelle le grand maître du Collège de Navarre avait insisté : Une qualité, figurée par un demi-cercle lorsque l'on choisit d'une certaine manière la longueur qui doit représenter l'unité d'intensité de la qualité, cessera d'être figurée de la sorte si l'on change cette longueur.

L'ouvrage imprimé où l'on a réuni2 les écrits de Gilles de Rome, d'Albert de Saxe et de Marsile d'Inghen sur le De generatione et corruptione se termine par une table des questions traitées par ces divers auteurs; cette table porte la date suivante : i385, die i3 Aprilis; cette date est évidemment celle du manuscrit que l'imprimeur a reproduit.

Donc, avant l'an i382, où la mort ravit l'évêque de Lisieux, ou, au plus tard, dans le temps qui suivit immédiatement cette

i. Acutissime Quesliones super libros de Physica auscultatione ab Alberto de Saxonia édite... Venetiis sumptibus heredum q. D. Octaviani Scoti Modoetiensis : ac Sociorum. 21 Augusti i5i6. Lib. VII, quaest. VI, fol. 74, col. a.

2. Egidius cum marsilio et alberto de generatione. Commentaria fidelissimi expositoris D. Egidii Romani in libros de generatione et corruptione Aristotelis cum textu intercluso singulis locis. — Questiones item subtilissime eiusdem doctoris super primo libro de generatione : nunc quidam primum in publicum prodeuntes. — Questiones quoque clarissimi doctoris Marsilii Inguem in prefatos libros de generatione. — Item questiones subtilissime magistri Alberti de saxonia in eosdem libros de gène, nusquam alias impresse. — Omnia accuratissime revisa : alque castigata: ac quantum ars enitipotuit Fideliter impressa. Colophon : Impressum venetiis mandato et expensis Nobilis viri Luceantonii de giunta florentini. Anno domini i5i8. die 12 mensis Februarii.

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mort, Marsile d'Inghen avait rédigé ses Quœstiones in libros de géneratione et corruptione. Or, en ces Questions, il est fait de la longitude et de la latitude un emploi qui est imité de Nicole Oresme.

Indiquons en deux mots la théorie au sujet de laquelle cet emploi se trouve être fait.

Cette théorie, assez singulière, avait été imaginée par Jean Buridan1.

Concevons un certain sujet inégalement chaud en ses divers points. Buridan supposait que chaque point était à la fois chaud et froid, que l'intensité du froid en un point, ajoutée à l'intensité de la chaleur au même point, donnait partout la même somme, que notre auteur désignait comme étant le gradus summus caloris.

Cette opinion qu'il n'eût pas fallu modifier beaucoup pour la transformer en celle-ci : L'intensité du froid n'est que l'intensité de la chaleur changée de signe, cette opinion, disonsnous, attira vivement l'attention des scolastiques de Paris.

Albert de Saxe expose2 avec soin cette opinion et, aussitôt après, l'opinion contraire, selon laquelle, aux divers points d'un sujet inégalement chaud, existent seulement des chaleurs inégalement intenses, sans aucun mélange de froid; puis il ajoute, en manière de conclusion : « Je crois que cette seconde opinion est plus exacte, mais la première est plus répandue. »

Entre ces deux opinions, Oresme ne veut pas discuter où se trouve la doctrine véritable3; il se propose seulement de montrer comment sa méthode permet de représenter géométriquement la théorie de Buridan.

Il suppose que le sujet échauffé se réduise à une ligne droite. En chaque point de cette droite, il élève une latitude proportionnelle à l'intensité de chaleur en ce point; il prolonge cette droite d'une longueur proportionnelle à l'intensité de froid

i. Magistri Joannis Buridam Quœstiones super octo Physicorum libros; lib. III, qujcst. III.

a. Alberti de Saxonia Quœstiones in libros Physicorum ; lib. V, quicst. I\ ; éd. cit., fol. 62, coll. a et b.

3. Magistri Nicholai Oresme Tractalus de dijjormitate qualitatum; Pars I, cap. XIX : De figuratione contrariorum ; ms. cit., fol. aa5, v°, et fol. 226, r\

DOMINIQUE SOTO BT LA BCOLABTIQUI l'Utisii. V»>>

au même point; la latitude totale ainsi obtenue ;«, en tout point, la même Longueur. On se trouve ainsi avoir dressé, sur la Longitude qui représente l'extension, une figure reetangulaire; une Ligne divise ee rectangle en deux parties cjui représentent respectivement les deux qualités contraires associées Tune à l'autre au sein du sujet.

« Cette opinion, » dit Marsile d'Inghen ', « m'apparaît probable; je ne sais si cela vient de ce que je me suis pris de passion pour l'opinion de mon Maître Jean Buridan, qui l'a proposée. » C'est au moyen de la représentation géométrique imaginée par Oresme que Marsile expose la théorie qui lui plaît si fort 3.

Marsile d'Inghen ne se contente pas de faire usage des coordonnées rectangulaires, de la longitude et de la latitude ; il connaît également et emploie la règle d'Oresme ; il la cite comme une vérité incontestée, d'usage courant, que l'on invoque à titre d'argument pour ou contre une proposition soumise à la discussion. C'est ainsi que cette règle se trouve rappelée 3 en une question sur le De generatione et corruptione ; « S'il n'en était pas ainsi, » lisons-nous en une argumentation, « une latitude uniformément difforme ne correspondrait pas à son degré moyen. »

U Abrégé du livre des Physiques a certainement été composé par Marsile d'Inghen à Paris, partant avant l'année i386, où l'auteur était recteur de HeideLberg. Or, nous y trouvons plusieurs allusions à la règle de Nicole Oresme.

En cet abrégé, par exemple, nous lisons, sur les vitesses des divers mouvements, des considérations qui sont, pour la plupart, empruntées au Tractatus proportionum d'Albert de Saxe. Elles en diffèrent cependant en un point; contre Bradwardine et Albertutius, Marsile reprend l'opinion soutenue au traité De proportionalitate motuum et magnitudinum ; il admet

i. Questiones clarissimi philosophi Marsilii inguen super libris de generatione et corruptione. Lib. II, quaest. VI; éd. cit., fol. 106, coll. c et d, et fol. 107, col. a.

3. Marsile se sert encore, en un autre endroit du même traité, de la représentation par coordonnées rectangulaires (Marsilii Inguen, Op. laud., lib. I, quaest. XVIII; éd. cit., fol. 77, col. c).

3. Marsile d'Inghen, Op. laud., lib. I, quaest. XX; éd. cit., fol. 90, col. c.

4o4 ÉTUDES SUR LÉONARD DE VINCI

qu'en un corps dont les diverses parties se meuvent inégalement, la vitesse doit être mesurée par la longueur que décrit un point moyen ; or, à l'appui de cette opinion, l'auteur invoque1 la raison que voici :

« Une latitude difforme ne doit pas être dénommée par le point le plus intense, mais bien plutôt par le point moyen. »

Ailleurs, Marsile se demande comment il faut entendre la proportionnalité, admise par la Dynamique péripatéticienne, entre la puissance qui meut un corps et la vitesse de ce corps, dans le cas où la puissance varie d'un instant à l'autre; il répond en ces termes2 :

« En ce cas, il n'y a pas de puissance3 uniforme qui demeure toujours la même, mais il y a une puissance difforme constamment la même, dénommée par son degré moyen ; de même, il n'y a pas une vitesse qui demeure uniforme, mais une vitesse difforme, dénommée par son degré moyen, ou par un autre degré si elle n'est pas uniformément difforme. »

En ses Questions sur la Physique, Marsile d'Inghen revient à l'opinion de Bradwardine et d'Albert de Saxe; il veut que la vitesse d'un corps soit la vitesse du point qui se meut le plus rapidement. La règle d'Oresme ne peut plus lui servir d'argument en faveur d'une telle opinion; mais, à l'encontre de cet avis, elle devient une objection qu'il faut examiner. Marsile a soin de formuler h cette objection : « La blancheur uniformément difforme n'est pas plus intense que son degré moyen. » Cette objection sommairement écartée, la question traitée par notre auteur se trouve extrêmement semblable, par le fond comme par la forme, au Tractatus proportionum d'Albert de Saxe.

Les diverses indications que nous venons de recueillir nous montrent qu'au temps où Nicole Oresme, évêque de Lisieux,

i. Incipiunt subtiles doctrinaque plene abbreviation.es libri phisicorum édite a prestantissimo philosopho Marsilio inguen doctore parisiensi (s. 1. n. d.) (Pavia, Antonius de Carcano, ca. 1/190), 3e fol. (non paginé) après le fol. signé g 4, col. d.