F.A*/) = (AF.AV) = (A«F.AV) = ... = (A^F.AV
qui se déduisent successivement des formules (27) et (28); elles montrent que, dans les formules (28), on peut remplacer x^ par ^x''j A^x'*, . . ., à^'x'' et en général par Ùl^x^^ puisque cette dilTérence s'annule pour m >> /*. On aura donc aussi
(3i) (\''x'',l^xs) = o pour r^s.
Grâce à ces relations, les sommes qui figurent dans les expressions des coefficients cp peuvent s'écrire de diverses manières, par
exemple
{x'\f) =(flx') =(A:p'.A/),
(x" \^x") = i^xW^x") = (l^x'.ùi^x'' ),
et l'on voit que les dénominateurs des cp deviennent des sommes de carrés. M. Carvallo a fait une remarque analogue.
' 22. Considérons en particulier le cas d'un développement suivant les puissances de x. Nous avons alors x^ = i, x'= x^ ... et (x^x^)= n. L'algorithme, pour l'application de la méthode des moindres carrés, devient
A^c + cp'A'iT*-!-.. .,
(33) IV = o'Aar-hcp'A^arïH-...,
( Aî/= fl^x^-h.,.,
pUl!
A/ =/ -cp, Aî/ =A/ -^'\x, A3/ =A2/-cp''A«a:î,
\x =x — cpi, A2.r =0,
Aa72 = a7* — cpî, A2a7' = Aa?* — ^t^^? A3a:*=o.
et
n •^' * (:fA^) • (a72Aîa72)
T» = T7-^» cp; = i,
(35) { 1 , , , (xiix^)
1 , (x^x^) „ (37»A»ar3)
<P3=-1^3, Ç3=__, ,p3=___, cp3 = I,
et aussi
a: = çpi -h Aar,
i .r3 = Cp3 -h Cp3 Aa7 + Cp'i A2j-2 4. A3;r'\
11 est à remarquer qu'en vertu des relations (32) nous avons
{x\f) =(/A:F) = (Aa7.A/), (a?A2?) =(Aa7.Aa7), ^, j (rpAo?») =(x^,^x) =(Aa7.Aa72),
' (ar2A2/) =(/.A2a:2) = (A2a?2.Aî/), (a:2A2a72)=:(A2ip2.A2a^2),
ce qui permet de transformer les coefficients cp^-^^ de bien des
iTfianières.
Si nous voulions les exprimer par les sommes de puissances ^i7 'fa? ?3î • • •? il suffirait d'appliquer aux relations (36) les formules (28), qui peuvent s'écrire
(38) 1:A=o, 2A» = o, 2a7A2 = o, ..., SiF'-A''-^'' = o.
On trouverait, par exemple,
/i(cp2— cpi9i) = (a?Aa7), 7i(çp3 — cp20i) = (a72Aa7),
7i((p3 — Oicp2) = (a:Aa7)cp;, Il{t!^,,— o^^^) = {x^ ùiX)^'^-\- {x^ ^'ix^),
n(cp4 — o,cp3) = (a7Aar)cp;,, /i(cp5— cp2?3) = (^* Ajc)o'3 -{-(a:» A2a72)çpJ,
et ainsi de suite.
23. On pourrait aussi exprimer les coefficients delà formule (33) par les puissances de A^. Posons
Aa? = >s, a7 = 5-l-cpi,
nous aurons, en ve/tu de (28),
(89) 1:^=0, (-3*-'A0 = o, (5*A^)=(ir^AM,
et ces formules permettent de déterminer les coefficients a,, p,, y^, ... de l'expression
en fonctions des sommes S:;"', par une série de relations de la forme
(iO j 0= Ss^+i + a^Si-'^ -h p^S^-'f-ï-h Y-^^-^"'
Elles donnent encore
et
Or la différence z = x Hx ne change pas, si nous remplaçons X par :c + «, et A/* ne change pas non plus, si l'on mety-f-è à la place de /. Il s'ensuit [comme le montrent les relations (34) et (3^)] qu'il est permis, dans la formule (33), d'ajouter une constante quelconque à x aussi bien qu'à/; on peut aussi remarquer qu'elle est homogène (de dimension zéro) par rapport à x, de sorte que Tunité de x reste arbitraire.
Quand les valeurs données fi y /2» ••• correspondent à des intervalles égaux de l'argument x ou seulement à des valeurs de x distribuées s^^métriquement autour de la valeur moyenne, on aura Zi = — Zfi^ et en général zi= — Zn^i i', par suite
et les équations de la forme
qui résultent de (4i) donnent alors
«5 = 0» "(s = 0, £5=0, . . . , de sorte qu'on trouve
Gomme l'unité de x reste arbitraire et que les formules ne renferment que des différences, nous sommes libres de supposer que Xi^ X2, . . . représentent les nombres i, 2, 3, . . . , /i, de sorte que
(44) ^1 = > z = x 9 Zi=i
et
Zi = iiz > IlZ > ....
On a aussi, d'une part,
;r* = (©!-+- s)^^ = o'j ■+-. . .H- 5cpi5^-iH- 5-%
et de l'autre, par les formules (36)
et, en tenant compte de (43), la comparaison donne
24. La formule (33), à laquelle conduit Talgorithme de Cauchy, accommodé au principe des moindres carrés, ne diffère que par les notations de celle que M. Tchébychef a donnée en i854 et dont on trouve la démonstration dans son Mémoire de i855 sur les jf raclions continues^ traduit en français par M. J. Bienajmé, en i858 {Journal de Liouville, 2® série, t. III). Cette formule peut s'écrire
où les fonctions ^s sont celles que nous avons désignées par A^^^, tandis que 9^ représente le poids des observations, que nous avons pris égal à l'unité.
M. Eug. Rouché a étudié les séries de ce genre dans un Mémoire sur le développement des fonctions (Journ. de V Ecole Polytechnique, i858). M. Hcrmite, dans une Note très intéressante sur V Interpolation {Comptes rendus, 10 janvier 1859), rattache les résultats de M. Tchébychef d'une manière directe à la formule de Lagrange, généralisée par l'introduction des polynômes 8(^). M. Borchardt s'en est occupé, à son tour, en 1860. M. Tchébychef lui-même y est revenu à plusieurs reprises : d'abord dans le Mémoire sur V Interpolation par la méthode des moindres carrés {Mém. de VAc, de Saint-Pétersbourg , 1869), ensuite dans deux Mémoires sur l^ Interpolation, publiés en 1864 et en 18^75 (en russe, dans les Bulletins de l'Académie), modifiant chaque fois les notations et le mode d'exposition. Il a aussi traité le cas où la fonction y* est en partie connue, de sorte qu'il s'agit de la repré-
î25. La formule de M. Tchébychef, destinée à représenter des observations de même poids, lorsque /est développable en série suivant les puissances de a:, peut s'écrire comme il suit :
Les fonctions ^s{^) sont les dénominateurs des réduites qui se rencontrent dans le développement en fraction continue de la somme
ju ** 1 ^ «^2 "^ ■ '*^ l\
On a d'ailleurs ^j;o= i, et l'on s'assure facilement que la fonction ^s{^x) de M. Tchébychef n'est autre chose que la différence A* a? de Cauchy. En vertu de (3i), on a donc
La formule (46) revient à celle-ci
qui coïncide avec notre série (33). Mais M. Tchébychef y arrive par une autre voie, et fait usage d'algorithmes ingénieux pour le calcul des coefficients. Dans le Mémoire de 1869, leg sommes (y*. A*^*) sont ramenées à la forme équivalente (^*.A*/) et les calculs reposent sur des séries récurrentes; on les applique à un exemple numérique.
26. Un cas particulier très intéressant est celui où les valeurs données yi correspondent à des intervalles égaux de l'argument x. Comme nous l'avons déjà dit, il est alors permis d'idenlifier Xi, ^2> ^:m • • m «^m sivec les nombres i, 2, 3, . . ., n, de sorte que la série (47) devient
X — I X — 2 X — Il
En désignant par D* les différences finies ordinaires, M. Tchébyclief montre qu'on aura
(5o) ^s(^) = \y'^sy
où
à un facteur constant près, qui reste évidemment arbitraire.
La fonction ^s, ainsi définie, joue dans le calcul inverse des différences un rôle analogue à celui des polynômes de Legendre dans le Calcul intégral.
La formule (46) se transforme comme il suit :
5 , , .'^ i(i-h\)(n — iXn, — i — i)^^.
Dans le Mémoire de 1809, M. Tchébychef remplace œ par z = A.r;
on a
par conséquent
ou
bien
Comme on a d'ailleurs Djc = D^, on pourra prendre les différences par rapport à z. En faisant, avec M. Tchébychef, 'i, = D*<ï>j, le terme le plus élevé de t}>.ç devient
\)s ^is — {?ll: -.ç i-
Pour réduire le coefficient de z^ à l'unité, nous poserons plutôt
On trouve alors tj/, = A* a?*, et
ou bien
1^1 = 37 , ^^=z X^ — in-^l)^-^-- '-^ '9 ....
Quant à la démonstration de ces formules, elle est facile à l'aide de certains théorèmes du calcul aux diflTérences finies. En faisant
X = D~* on a, comme on sait (* ),
n n-hl
puis, pour deux fonctions/, F,
[^ Fx • ^/x = ^x -fx — [^ Fa;-4-l • ^/xy
et par suite
Toutes les différences Df qui se rencontrent hors du signe ^ se
déduisent de la série de valeurs yà-, /x^^ , . . . ^fx+s-i ? correspondant aux arguments x, x -\- i, . . . ^ x -hs — i, qui, pour les deux limites x = ieix = n'\-i, deviennent respectivement i, 2, ..., 5, et /i-t-i,Ai-h2, , . ., n-{- s. Or, en vertu de (5 1), ^s s'annule pour
(*) Dans les formules de M. Tchébychef, 7 signifie aussi somme jusqu'à m
exclusiçement.
ces arguments. Il s'ensuit qu'en faisant /:= ^j, les termes hors du
signe [^ s'évanouissent aux limites et qu'on aura, d'une manière
générale,
ou bien
^s étant défini par la formule (5i). Lorsque F représente une fonction rationnelle d'un degré r, inférieur à 5, on a D^F = o, et il vient
rt
Dès lors, en posant F = D''^r> '' <C ^j nous aurons
et cette relation a lieu, évidemment, pour r^s. C'est précisément la relation (3i), ou (48), qui suffit à déterminer les fonctions ^s à un facteur numérique près. On en conclut que
Pour transformer les numérateurs (/.^f), nous avons, en vertu de (56), en écrivant i pour ^,
(59) ^^M. = '^/i.Ds^s(i) = (-iy^^s(.i + s)Ti'fi,
OÙ
(60) 4>.ç(t -h 5) = i{i -h 1). . .(ï -f- 5 — i){i — n). . .(i— n-h s — i). On a
Il reste à traQsformer les dénominateurs /^4'.?' ^^ faisant, dans la formule (59),/= ^j, on trouve
Or, le terme le plus élevé de ^s étant x% on a D*^Ji^ = 5!, et en remarquant encore que ^^(t -f- s) s'annule depuis i 7= n — 5-4-1 jusqu'à i= n, l'équation (61) se réduit à celle-ci
(62) I^2«^,? = (-iy^!2*-(*'-^^)-
On a d'ailleurs, en faisant toujours C= - — ^?
(63) G.DHi — s). . .(i-H5 — i)= i(i-+-i). ..(i -+-5 — 1);
en nous servant de cette relation pour transformer <^j, et introduisant 1^ à la place de \^, (62) peut s'écrire
(64) ! iS^'"^"')'"- S (l-n),,.(i^n-^s-i)
Si nous appliquons la formule générale (55) à l'expression qui précède, il vient
( xDs{i — n).,.(i — n-+-s — i),
car les termes hors du signe disparaissent aux deux limites [ceux qui dépendent du premier produit (i — n) ... à la limite supérieure, à cause du facteur i — /n-5 — i, et ceux qui dépendent du second (i — s) ... à la limite inférieure, à cause du facteur
i—i]. Or
et
tït + i). . .(t-f- 25 — i) = D(i — i)i ... (i-\- is — i).
V / V / 25-hI V / V /
En substituant, intégrant et mettant les limites, on trouve
On pourrait établir cette formule à Taide de l'expression générale
mais la démonstration qui précède peut suffire. En substituant (Sg) et (66) dans la formule (46), on obtient la série (52) de M. Tchébjchef, qui devient
/-^^/'-^(^^•«"Sr^'v-H-...
y;! t i-hs — in — i n — i — s-\-i^ -
s\n{n^—i)...{n^ — s^)^i si * •"
à cause du facteur G, introduit par la formule (54).
27. Il faut enfin chercher une expression de t}»,, appropriée an calcul numérique. Nous avions
En posant .
(68) Fs{x) = {x — j)(X'- •!).., (x — s),
on aurait
Fs(s^i-x) = i-iyF,(x),
