II

__ (Xc) , ([xAc) ,__

^ "(Xa)' ^ ""([xA^)' ^ -'

Aa =0,

A6=6 — Pa, A2^»=o,

Ac = c — Y^> A^c = Ac — Y^^i A3c = o,

le système (8) peut s'écrire

z -I-.. .-+- <t''= cp",

et les formules (9) donnent immédiatement

1/ = cpa -H cp' A6 H- cp" A^c -I- . . . , A/= cp'Aô -H cp''A2c -+-...,

A2/= cp"A2c-h...,

15. Le procédé d'élimination qui vient d'être exposé donne les équations finales pour la détermination des inconnues sous une forme très simple. Ainsi que l'a fait déjà remarquer M. Bienaymé, il convient également à la méthode des moindres carrés et à la méthode de Cauchy : la différence est dans le choix des facteurs X, [JL, V, ... qui servent à former les sommes pondérées des équations approximatives (7).

On commencera par supposer

.en faisant^' = o, x; = o, . • . , et le système (i3) donnera

en première approximation. Dans la méthode de Cauchy, le rap-

port <p = W^ devient

9= c^' ^ Sa

où Sa=.^±a est la somme des valeurs numériques de a, et S/= S ±/, les changements de signe du numérateur étant réglés sur ceux du dénominateur, dont tous les termes deviennent positifs. Ensuite on formera les résidus

dont la combinaison (XA/) ou SA/ doit s'annuler, ce qui fournit une vérification du calcul. S'il y a lieu, on procède à la seconde approximation, en posant

et le système (i3) donnera

OÙ

Les relations (i4) donnent d'ailleurs

On peut continuer de cette manière, jusqu'à ce que les résidus A'"/ paraissent suffisamment petits.

17. Présentée de cette manière, la méthode de Cauchy se rattache très naturellement aux procédés d'élimination plus anciens, dont elle constitue une ingénieuse modification. Je n'ai pas voulu en interrompre l'exposé par des remarques relatives à l'historique de la question, qu'il y a lieu de placer ici.

tuées, et de remplacer «, i', (v, . . . par

/yO >/.' ^" r«

Dans le cas le plus simple, celui d'ua développement suivant les puissances ascendantes de x, on aura donc

et :r'* représentera, à l'ordinaire, la puissance n^"^^^ de ^; mais, en général, nous désignerons par a:" la fonction de x dont n est le numéro d'ordre ou le rang dans la série. On verra qu'il n'en peut résulter aucune confusion et qu'on peut se dispenser d'écrire x^"'^ au lieu de ^", ce qui serait peut-être plus clair, mais très incommode pour la transcription des formules. Nous conserverons aussi la notation de Gauss

pour représenter les sommes de produits ou sommes pondérées.

19. Ceci posé, nous allons considérer le cas spécial où le procédé de Cauchj est appliqué à la construction d'une formule d'interpolation.

En admettant que la fonction de x accessible à l'observation (*) soit développable en série convergente suivant les puissances de x ou, plus généralement, suivant certaines fonctions x^^ x'^ x"j . . . , de sorte qu'on puisse poser

(i5) /= Aa70-^B:r'-4-Ca7"-h...,

il s'agit de déterminer les coefficients A, B, C, . . . à l'aide d'un certain nombre de valeurs données /i, f'^^fzy . . ., qui correspondent aux valeurs x^^ x^, X2, ... de l'argument x. On aura donc le système d'équations linéaires

fi = Xx\ -\-Bx\-\-Cx'[-h,.., /2 = Xxl -h BiPj ■+- Gxl-\-.. .,

(') Dans beaucoup de cas, il sera plus commode de développer directement quelque fonction de /, par exemple son logarithme, comme nous l'avons déjà dit (n» 12).

oii les coefficients donnés xf ^ x'^ ^ x'I j . . . sont ceux que nous avons désignés plus haut par a/, 6/, c/, . . . , tandis que A, B, C, ... remplacent les inconnues x^ y, z, ....

Gomme le nombre des équations est, le plus souvent, supérieur à celui des inconnues, on déduit du système donné un nombre d'équations strictement suffisant en formant les sommes pondérées

(i6) * (>/)=(X^o)A-+-(Xa7')B-t-(X^^)CH-...

analogues à celles qui composent le système (5).

Mais le nombre de ces équations dépend évidemment du nombre de termes qu'on veut conserver dans la formule d'interpolation (i 5). Or, on sait rarement d'avance combien de termes il faudra introduire pour obtenir une représentation satisfaisante, et pour chaque terme nouveau on est obligé de répéter tous les calculs^ C'est pour parer à cet inconvénient que Cauchj a imaginé sa méthode d'approximation successive, où lés termes nouveaux se déterminent en gardant toujours les anciens. Pour y accommoder nos formules, nous n'avons qu'à mettre x^^ x' ^ x" ^ ... à la place de a, ^, c, . . . , et A, B, C, ... au lieu àe x^ y^ Zy . . . , Les relations ( 1 4) montrent que/* s'obtient sous la forme

(17) /= cpa70-i-cp'Aa7'-f-cp''A2a7''-+-. . .,

les coefficients co et les A étant définis par les relations suivantes

(18) A/ = /-cp^o/ AV = A/-o'l^', A3/=:AV-?''A*^", ...,

^'^^ ^-(I^)' ^-ÔIÂ^' ^-(TÂi^F)' •••' qui entraînent les formules d'opération générales

( (XA) = o, (XA2) = o, (hlA2) = o;

f(XA3) = o, ({jiA3) = o, (vA3) = o;

déjà indiquées plus haut. Ajoutons que, n étant le nombre des valeurs données de/, on aura A"/=o.

Les rapports cp, qui étaient dénotés plus haut par a, P, y, ... pour /= 67, ^, c, ..., seront maintenant désignés par (po, 'fi,

Sj, ... pour/^ x", x', x" , .... On aura donc l'algorithme

Aa:<> = o,

Aa?' =3?' — cpi^P^, A* 47' = o,

(21) ^' Aar' = ^' — cpjaro, A'^c" = Aa?" — îp^ Aar', A^a:" = o,

Aa7"'= ar'"— cpaaro, A«;r"'= Aa?'"— cp'3 Aa?', A»ar'"= A«ar"'— cpj A2ar%

, . F a;' = ©laro-h Aar',

x" = cp,aro -h cp'g Aar'-f- A^a?',

On commence par poser y*=A:r® en première approximation,

et Ton trouve

A = cp, /=çpa?o.

On calcule alors les résidus A/*, à savoir

et s'il y a lieu, on procède à la seconde approximation en posant

/= Aa-o+Ba?'.

La formule (17) donne alors

/= ça^o-f- cp'Aa-', A/= cp'Aa:',

par conséquent

B = cp', A = cp — cp,cp',

OÙ les coefficients cp sont' fournis par les formules (19) et (20), que nous pourrons écrire, avec Gauchy,

Sa-^ S/ , S^A/

'^*~ Sa^o' "?" Sa^' "^ " S'Aa-''

en réduisant les facteurs )v, [jl à =h i , les signes étant pris de ma-

— Homère que tous les termes de S:r*^ et de S'A^' deviennent positifs. On dira alors, avec Villarceau, que x^ est la dominante des sommes S, et Aj;' celle des sommes S', ces deux fonctions déterminant, l'une le facteur a dans les sommes S, l'autre le facteur [jl dans les sommes S'.

On cherche ensuite les résidus

A«/= A/— ç'Aa:'

et, s'ils sont encore sensibles, on essaye une troisième approximation

dans laquelle on a et, par suite,

les coefficients étant toujours donnés par les formules (19) et (20). On peut continuer ainsi, jusqu'à ce qu'on arrive à des résidus A'"/* qui soient négligeables. Mais il est visible que le choix des facteurs X, [JL, V, ... reste arbitraire.

Au lieu de les réduire, avec Cauchj, à dz i, nous pouvons les égaler aux coefficients des inconnues A, B, G, ... et prendre \ = x^j [JL = j?', V = x", . . . , pour nous conformer à la méthode des moindres carrés et obtenir le résultat le plus avantageux.

Il est toutefois permis de penser que l'emploi rigoureux de la méthode des moindres carrés est bien rarement nécessaire, et qu'il suffit, le plus souvent, d'en suivre le principe en arrondissant les facteurs, c'est-à-dire en remplaçant des groupes de facteurs par une valeur moyenne en nombre rond. Cauchy, en les réduisant tous à ±: I, va probablement trop loin; on sera plus près de la règle, ainsi que nous l'avons déjà dit, en égalant les facteurs ào, dz I, ±: 2, ... selon l'importance du coefficient de l'inconnue qui joue le rôle de dominante,

î20. Dans le cas le plus simple, celui d'un développement sui-

^ant les puissances de Xy nous avons

et (17) devient

/= A-i-Ba?-4-Car«-t-...

y= <p -+-çp'AiC-+- «p'A'aj^-f-

Les facteurs X se réduisent à +1 (dans la méthode de Gauchy, comme dans la méthode des moindres carrés); la somme S est la somme ordinaire S, et (X:c®) = n représente le nombre des observations; les quantités cp, cpi, ©2, • • • sont des moyennes arithmétique^. On a

- 2ar3, n

( (JL A^* ) ([JlA3?3)

(fxAa:) '

(vAV)

(vA«:i-«)'

Ensui te

Ao?

Aa:*

= r — co,

= A/ - cp'Aa:, A3/ = A*/ - cp'A'o;»,

= Aa?^ — (p2 Aa7, A3 3?* = o,

= Aa:3 — cp3 Aa?, A3 373 = A' 073 — ç^'^ A*^',

A*ar3 =

enfin

I =cpo,

a73-cp3-+-'^'3A37-f-cp'iA2 372H-

La forme explicite de la série devient

Quant aux facteurs |jl, v, . . . , on prendrait, avec Cauchy,

(v A2a72) = S*A«a?2 = 2 ifc A«iF*,

en choisissant les signes de manière à n'avoir ici que des termes positifs. C'est sous cette forme que Bartlett a étudié le procédé d'interpolation de Cauchy, en traitant quelques exemples numériques (^m. J. of Se, 1862).

Si nous voulions nous conformer au principe des moindres carrés, il faudrait prendre [jl = ^, v = x^^ ....

21. De même, dans le cas général, en faisant usage de la formule

(17) /= (pa:0-t- cp'A^'+ fl^x"-^. . . ,

on se conformerait au principe des moindres carrés en prenant X = :r®, [ji = j:', v = x"^ . . . , et l'algorithme aurait la forme suivante :

^f = f-^x\ A2/=A/-cp'Aa7',

AV=A2/-o''A2:p", ..., AV=o;

On aurait, pour/= x^^

par conséquent

(aro^'^) , (x'ix")

La formule

donne d'ailleurs

en déHnissant cp(*) par la relation (a;* A*+*y) = o, ou (x^~* A*/) = o, c[ui entraîne (:r^"* A^"*'*y) = 0, . . ., et enfin, d'une manière généxale,

<28) (x'^.\^) = o pour r < 5,

comme le demandent les formules (10), qui s'écrivent maintenant

On a même, plus généralement,

(29) (A"*47'*.A*) = o pour r < 5.

Cela résulte des égalités