En posant

^s{x)= Âo 4- A, F, -+- AjFg-f- A3F3-1-. . .

on a, queJle que soit la fonclion A„

Di^,(a7) = A, -+- 2 A2 Fi -t- 3 AsFj -f-. . . ,

D*i];^(a:)= i.î2A2-H-2.3A3Fi-h3.4A4F2-f-..., puis

4;,(a7 -h i) = 4^,(^7) -H D J;^(^) = Bo -+- Bi Fi -h BjFî H-. . . , Di^,(a? -f- 1) = 04^,(57)-+- D2 1^5(37) = B, -f- 2B2F1 -h 3 B3F2 -h. .. ,

^,(a:-4-2)=4^,(a7)-H2D4;,(ir) + D2<^^(ar) = Go-f-CiF,-r-G2F2H-...,

Ao-f-Ai, B, = AiH-2A2, ..., Bx= Ax + (X-M)Ax+i, BoH-Bi, C, = Bi-f-2B2, .... Gx=Bx-v-(X-t-i)Bx-Ki-

On a aussi, comme il est facile de le vérifier,

\ (a:-i)i|>,(^) = BoF, + B,F2-f-B2F3H-...,

'' ^ J (ar — 2;(3r — i)^5(a^)=GoF2-f-G,F3-f-G2F4 -+-...

et, par analogie,

(a? — i)Di];^(a:) = BiFi 4- 2B2F2 -f- 3B3F3 -h. . .

(ar — i)(a7-2)Dî4;^(a7)=i.2GjF2-t-2.3G3F3

Ces relations permettent de constater, en premier lien, que ^s{^) satisfait à l'équation aux différences finies (analogue à l'équation différentielle des fonctions sphériques)

'^^ ( -+- [257-+- I— Al — 5(S -m)] 0^1^5(37) — s(s-\-l)^s(^) = Oy

qui peut aussi s'écrire

Cela résulte de la relation

1(1 -+- i)Gx- (n - i)(X -h i)(X -+- 2)Ax+2

•+ (3 — Ai)(X -f- i)2Bx-j-i - s{s -f- i)Bx = o.

qui se déduit des suivantes