Le terme général de la formule (67) peut s'écrire

En faisant

il devient

(*') '''^(^^ s\in + sy. Z s\{x-i)l s\(n-a>-sy. ^'^^'^^^

OÙ les deux facteurs de D^^sont des coefficients du développement de (a + 6)^^"* et de (a -4- 6)"-^.

En arrêtant la série (62) ou (67) au terme qui répond à 5 = / — i, on trouve pour /(oc) une valeur approchée /^'^(^), qui, pour x=ij sera/^'^(i). Pour la calculer, il faut faire x = 1 dans^|;,(a?). La formule (74)? qui se réduit alors à son premier terme, donne

et le terme général de/(i), que nous désignerons par #j, devient

expression qui peut se mettre sous la forme

où A, B, C sont des coefficients du développement de certaines puissances de {a -f- b). On a ensuite

Les différences successives D/(i), D^/(i), . , . s'obtiennent aussi facilement. Nous avons d'abord

et la série (72) montre que le premier terme effectif de D"*^, provient de lÙ^'^^Fm^{^)t les termes précédents étant nuls; ce terme est indépendant de x^ les suivants ont le facteur (^ — 1) et s'annulent pour x=^i. Il ne reste donc qu'un seul terme, et l'on trouve, pour x = \ j

ou bien

En tenant compte de (81), il vient, pour le terme général de

La somme devra être prise depuis s =^ m jusqu'à s = l — i, car, pour s <^m^ T^^^^s s'annule, 'i^s étant du degré s. En désignant le coefficient de Ss par (m, 5), on aura donc

(86) D"'/(/J(i) = (m, m)^,n-him, m 4- i) J,„h-i + . . .-H(m, / — OcF/i.

Pour le calcul des coefficients, il est bon de noter que (o, s)=.i, et

(m, s) (s -h m)(s — m-h i) s(s -hi)^ m(m — 1)

{m — if s) fn{n — m) ni{n — ni)

M. Tchéb^chef, dans son Mémoire de 1876, donne un exemple numérique de l'application de ces formules, qui sont particulièrement commodes.

31. On peut enfin, avec M. Tchébychef, chercher l'expression de la somme des carrés des erreurs ou résidus A^y. En parlant de la formule

et nous rappelant qu'en vertu de (48) nous avons

24^,.<}'5 = o pour r^s,

nous obtiendrons S/- en ne conservant dans f^ que les carrés des termes successifs de (46),

ou bien

(88) ^f.^\lB^^V--f^^

En allant jusqu^au dernier terme 4'//-<î ces formules reproduisent les valeurs données de/} et de S/^. En nous arrêtant au terme <}l/^, nous trouvons la valeur approchée y^'\ et la différence de (^lauchy

représente l'erreur de la formule abrégée. On aura d'ailleurs, toujours à cause de (48),

et, en comparant (88) et (89),

(00) .(../),../, [^...M-iP.

On en conclut que

(91) 2(A/+i/)î = 2(A//)î- t^ii'

OU bien

(97.) { 9J-4-1 [S/(t-i-i)...(g'-^/— r)U — n...(/i— t'—Z-t-OPT"]» L\i\ /l(/l2 — i)...(/i«— /i)

On a d'ailleurs, pour / = i ,

et

maïs le calcul direct de A/ est évidemment plus simpl^e.

32. Je tâcherai maintenant de donner, en quelques mots, une idée des recherches de M. Gram, en conservant toutefois la notation employée jusqu'ici. Il s'agit de déterminer par la méthode des moindres carrés, à l'aide des valeurs données /<, /21 • • • , fnt les coefficients A, B, G, ... de la formule d'interpolation

/= Aaro-h Bar' -4- Gar"-4-. . . ,

où x^^ x\ x^ ^ . . . sont des fonctions connues de x. Si la précision des observations est variable et qu'on désigne par v leur poids (l'inverse du carré de l'erreur moyenne), le problème consiste à rendre minima la somme

où y, qu'on peut aussi écrire y*^^^, représente la valeur de y* que donnerait la formule, arrêtée à / termes (la somme étendue à toutes les observations). Il en résulte / équations de condition de

la forme

En posant

( 93 ) 2 vfx^ = */, 2 (^ a?< xi = pijj

elles deviennent

(94 ) si= Xpio -f- Bpii + G/)/2 + . . .

et elles déterminent les / coefficients A, B, G, . , . dont les valeurs dépendent du nombre /, tandis que les quantités Si et pij en sont évidemment indépendantes.

Si nous prenons un terme de plus,y*^ devient /'■•■*, et les nouveaux coefficients sont donnés par l -\- i équations de la même forme, dont nous retrancherons les précédentes. En désignant les différences des coefficients respectifs par ^, i, c, ... et faisant,

pour simplifier l'écriture des formules, /= 2, nous aurons les deux systèmes d'équations

So = A/?oo+ B^oi-+- G/>oî, o = apoo-h bp^x -h G/?o2»

*i = A/?io-4- B/?i,-4- G/?i2, 0= a/?io+^/?ii-h GjOij,

*î = Ajt?2oH- B/>2,-H Cj922; /(3)y(2;= «a;o ^ 6^?' | c^r'.

En égalant les deux valeurs de C, fournies par le premier et le second système, et qui sont des rapports de déterminants, il vient

d'où l'on lire

Q - [/^OO/^ll^î] __ r/^00/^1ll r ^{3)__ A2)l [/>00/?lljD22] {PQQPna^'] ^ '^ ^'

y (3) y(2) . \P^^P\\S<t\ [/^OO/^lia^] ^ [/?00/?ll/?22] [/?00i>ll]

Pour /= I, on aurait

et l'on trouve ainsi, par additions successives.

[/^OO/^ll] />

[/?00/>ll/?22| VP^^P\\\

On obtient donc pour / une série ordonnée suivant des polynômes qui sont des fonctions linéaires de x^^ x\ x^\ .... En les désignant par ^m(^)> nous aurons

'tmCa?) = [/?ooi?ii . . . a:'«] =

7>io P\\

et, par suite.

Enfin le dénominateur du terme général peut s'exprimer par S(^<{/f,^. En effet, on voit facilement que ^v^m^r s'obtient en remplaçant ^', dans ^mt par ^^oc^^m\ or, cette somme est nulle pour i<Cr^ car elle s'obtient en remplaçant, dans ^r? la dernière ligne x^, x\ ..., x'^ par /?/o. Pis, . . ., pir] pour « = r, elle représente le déterminant

Il s'ensuit que ^r'i„i'ir s'annule pour m < r, et, par raison de

symétrie, aussi pour r <C m\ pour /• r= m, il reste le produit de Pf'"^ par son premier déterminant mineur. On aura donc

\ ^v^,''^s=o pour r^s.

Ces relations expriment la propriété caractéristique des fonctions i^ qui peuvent servir à développery* en séries selon le principe des moindres carrés, La « série d'interpolation » a la forme

OÙ <|/o (•^) = ^^' En l'arrêtant à ifmt elle représente le résultat de la compensation des observations données par une série procédant suivant les fonctions x^^ x\ . . ., x^. C'est proprement une formule d'interpolation si le nombre des termes (m + 1) égale n, et une formule d'approximation pour m-\- \<^n,

La série (98) coïncide avec celle de M. ïchébychef dans le cas où j:®, x\ ... sont les puissances de x. Lorsque x^^ x\ ... sont des fonctions i qui satisfont aux conditions (97), on a évidemment pijT=o pour i^jf et les coefficients A, B, C, ... prennent la forme caractéristique de la série (98); on a, par exemple,

/?22 Zvor"x'

On trouve enfin, comme on le vérifie aisément, pour la somme qui devient un minimum,

ou

et M/ tend vers zéro à mesure que / augmente.

33. M. Tcliébychef n'avait considéré que les séries d'interpolation qui découlent d'un développement suivant les puissances ascendantes de x^ en particulier pour p = i ; dans ce cas, pour des ordonnées équidistantes, la série (98) donne nos formules (Sa) ou (O7). M. Gram indique encore une autre série pour v =z nx*

En prenani di/= - — > on arrive à la formule d'interpolation

(a? Xi)

de La grange

Les séries trigon orné triques par lesquelles on représente une suite d'observations d'un phénomène périodique (Bessel, 1827; Astr. Nachr., n® 136) fournissent un autre exemple de séries d'interpolation, construites selon le principe des moindres carrés.

Lorsque la série doit servir à représenter une fonction continue /(^r), on remplace les intervalles de l'argument x par dx^ les sommes se changent en intégrales définies, la première équation (97) devient

(100) I V^r^sdx =0,

et le développement a la propriété de rendre minima l'intégrale

f v{f-fiydx,

p OU f^^^ étant toujours la valeur de y* fournie par / termes de la série, et v une quantité positive fonction de x. On se trouve ainsi conduit aux. fonctions V, étudiées autrefois par Sturm et Liouville(i836-i837).

De ce genre, sont les séries de Fourier (*), qui procèdent suivant les sinus et cosinus de mx\ on a ici ç^ = i, les limites des intégrales sont -h u et — t:.

Les fonctions sphériques, ou polj^nômes de Legendre (2), satisfont à la même condition en prenant ç^ = 1 et pour limites +1 et — I. De même, les fonctions de Bessel, et d'autres polynômes qui sont étudiés dans le Traité de Heine. M. Gram, dans sa ïhèse, a indiqué une grande variété de séries d'interpolation; il étudie, notamment, celles qu'on obtient en partant des formules

f—{a-^bx-^cx^-\-...)e-^^ s> — e^

(*) Voir la Notice historique de 13. Rieniann {Bull, des Se. math., t. V, juillet 1873), et une Note de M. Tripler {Bull, de l'Acad. de ViennCy 1876).

(») G. Plarr, Comptes rendus, mai 1857. — E. Rouciie, Journ. de l'École Polytechnique, i858.

liellemenl aux cas où les données sont 1res nombreuses, où, par conséquent, la méthode des moindres carrés entraîne des calculs d'une longueur disproportionnée avec les avantages qu'elle procure sous le rapport de la précision du résultat. La méthode des moindres carrés resterait réservée aux cas où le nombre des données n'est pas très grand, parce qu'elle permet d'épuiser, en quelque sorte, les ressources qu'elles offrent pour diminuer l'erreur moyenne à craindre, et aussi pour nous rendre un compte exact du degré d'approximation qui a été atteint.

La méthode de M. Tchébychef a fait, dans ces derniers temps, l'objet d'études importantes, publiées par M. O. Backlund dans le tome VII des Mélanges mathématiques de l'Académie de Saint-Pétersbourg (mai 1884) et par M. P. Harzer, dans les jjos 2757-2759 des Astronomische Nachrichten (novembre 1886; voir aussi BiilL astr,, t. III, p. 61 1). Ces études, qui sont accompagnées d'exemples numériques, nous faciliteront notre tâche.

35. Il s'agit donc de déterminer les coefficients A de la formule d'interpolation

(i) /(^)= Ao-H AiiP-H.. .-h A„a7«

par des relations de la forme

c,A| = Si/— Si/+ S3/— . . .± S^/,

où S|, S2, S3, . . . sont des sommes de valeurs successives de/, ces valeurs étant données en nombre infini pour des valeurs équidistantes de x. En faisant

(2) c/ = (Si— Sj-h Sg — . . .)^'î on trouve d'abord

(Si— SjH- S3 — . . .)/= AoCq-i- AiCi-4-. . .-+- A^C/j,

et, cette expression devant se réduire à un seul terme A/C/ (avec un facteur ci aussi grand que possible), on a les conditions

(3) Co = 0, Ci = 0, ..., C/i = o, C/^.l = 0, ..., c« = o.

Si les valeurs données sont très rapprochées entre elles, les sommes pourront être remplacées par des intégrales ; nous pourrons encore, sans nuire à la généralité des formules, supposer l'argument x contenu enlre les limites -h i et — i. Cet intervalle étant divisé

en une série de Ironrons, ayant pour limites successives

— I, rtj, «2» •••) <^/«» +ï>

et correspondant aux sommes partielles S|, S2, . . . , si nous représentons par le symbole / la suite d'intégrales définies

ou bien

pftl jr^ftt >,«3 ^rtj /*"*"*

«-^—1 «^rtj *^a. «^«4 »>'«,„

nous aurons

F(^) étant l'intégrale indéfinie f /(x)dx. Ensuite

(4) CiAi= I f.x,

OÙ le second membre s'obtient par voie de quadrature mécanique, à l'aide des valeurs données de/, tandis que le coefficient c/ ou cj"*' peut être calculé, une fois pour toutes, par la formule

j x^ dx^

d'où l'on tire

jn*^

Les limites intercalaires a^, «2» ...,«;» se déterminent par les conditions (3), en égalant à zéro l'expression (6), dont le dernier terme est, tour à tour, o ou zh i.

En prenant m = /i, on aurait donc n équations (non linéaires) pour déterminer n inconnues (a<, aa, ...) pour chaque valeur particulière de i. Il faudrait ensuite, parmi les racines réelles, choisir celles qui forment une suite régulière entre les limites — 1 et -h I, et qui donnent pour Ci la plus grande valeur possible (*).

(») On ne peut guère recourir ici aux équations de condition û?c„= o, rfc, = 0, ... que fournit la théorie des maxima relatifs; elles seraient en général incompatibles avec les équations données, à moins de prendre m > /i et d'admettre des racines égales (n» 40).

Le mode de solution employé par M. Tchébychef, fort ingénieux, mais d'une applicalion assez pénible, repose sur les remarques suivantes.

On a, en développant suivant les puissances descendantes de x^

y x-\-\ X — I X — ai X — a^

à cause des relations (3), en vertu desquelles les coefficients ci s'annulent jusqu'à l^=n^ excepté pour l=.i. En multipliant par dx et intégrant, jusqu'à ^ r= oo, on trouve

, a? -f- 1 (x — «2)2... Ci Cn-h\

Cette relation peut s'écrire

fo. ^ + ' (x-a,)Hx-a,y,.. ^ -£ù^££±i^£n±.v...

^^ (a: — 1)^1 (ar -ai)2(a7 — as)*...

On pourrait aussi la déduire de la formule générale qui exprime la dépendance mutuelle des coefficients d'une équation algébrique et des sommes des puissances semblables de ses racines :

•^i Si .ï,

(9) ix — a){x — b){x — c).,.=x^.e -^ «x» s.» '-'^

36. M. Tchébychef se sert de la formule (8) pour déterminer Ci et les racines a^ a^, . . . , à l'aide de raisonnements empruntés à la théorie des fractions continues, en considérant les réduites qui se rencontrent dans le développement de l'expression

eir

Mais il convient peut-être de circonscrire tout de suite le problème, en constatant que la résolution directe des équations (3), en supposant m = ai, donne toujours n racines symétriques (c'està-dire égales et de signes contraires) dans le cas de i=L n^ n — 2, n — 4? • • • et Al — I racines symétriques (la /i^'""*^ étant ± i) dans le cas de f = Ai — i , ai — 3, . . • . On peut, en eflct, prouver que la

soliilion est fournie par ai ou ai — i racines symétriques dz a, di 6, zhcy ... (dont Tune égale à zéro, si leur nombre est impair).

Pour le démontrer, remarquons que, si nous changeons x en — Xf la formule (8) devient

x-^i (x^a,)Hx-^a,y.., ^ ±-£;-±^;-H...

Lorsque i est un nombre pair, en multipliant (8) par (lo), c/ s'élimine, et l'on trouve, suivant que n est pair ou impair,

i' . x^ — al x^^al %-!

\^P^'' :;;¥— :;lzrr^---=^"""'

(il) i pair

x^ — al

x^ — af

x^ — al

fn-^i ^

n impair. . . —g r- — r ^ . . .== er'»^'

^ a?* — af a?*— a|

Lorsque i est impair, on élimine Ci en divisant (8) par (lo); on trouve ainsi

(f2) i impair