X -h ai X -h a^ X — a% X — a^ —h

n impair. . . • • • . . . = e^ ^

X — a\ X — as /*. -1- ^- /*• L -T».

x-\-\x-\-axX-^a% x — a^x — a^ ~xî+

n pair • • • • . .= &^'"'^*

^ X — \ X — a\ X — as a^-hajiCH-a^

a^ X -\- ai^

Comme le degré des dénominateurs lie dépasse pas n ou /i -h i , nous pouvons remplacer les exponentielles par l'unité. Les relations (il) signifient dès lors que les quantités aj, «3, ... coïncident avec «2» «^, ... ; dans le cas de n impair, il y en a une qui est égale à l'unité.

Or, on ne peut faire a< = «2? . . . , car la formule (8) conduirait alors à des conditions incompatibles; il s'ensuit que les racines ai, «8, . . . sont égales à — «2? — ^4> . . . , en d'autres termes, que les racines sont symétriques (dans le cas d'un nombre impair, il y en a une qui se réduit à l'unité, de sorte que m = n — i).

Les formules (12), relatives au cas de i impair, nous disent que les racines sont encore symétriques, mais l'une se réduit à zéro; et, si n est pair, une autre se réduit à l'unité. Pour le comprendre, il suffira d'écrire les équations pour ai = 4 et ai = 5

{x -f- i){x ■+■ ai)(x -h a^){x — a^{x — ai^) = {x — i)(.r — - ai)(a? — «sX^ -H <^2)(^ "*" ^4)» (x -f- aiXx -+- a^Xx H- a5){x — a^X^ — a;) =z{x — ai){x — a3){x — as) (a: -H ai){x -4- a^)

En faisant a:=:o, elles donnent respectivement r7|^2^3<^i = o et ai «2<^3<^4Û55 = 0, d'où il suit qu'il y a toujours une racine nulle. En faisant, dans la première, x = i^ le second membre s'annule, et il s'ensuit qu'il faut faire ^4 = 1 ou «i = — i , ce qui réduit le nombre des racines utiles à trois. On a donc encore m = n — i .

37. En résumé, le nombre m des racines est égal à /i, lorsque n et i sont de même parité (i=zn^ n — 2, n — 4> •••)» ^° ^"^^ m = n — I (l'une des racines coïncidant avec ± i)pour i=z n — i , n — 3, .... Nous n'avons plus, dès lors, que des racines symétriques dz a, d= 6, ±Cy . • . (y compris la racine zéro, si leur nombre est impair). La formule (6) devient

03) \±ic.^m.^(-^y-^(-^)-

et Ton voit que, de cetle façon, on aura, pour m = n^

C,i—i ^ O, Cfi—3 = 0, . , . , Cn-k-i = O, C/14-3 = 0, . . . ,

et pour m = n — i,

Il reste donc, dans le premier cas, les conditions C/i = o, c,i 2 = o, . . . , et dans le second, les conditions c,,« = 0, c„3 = o, qui, les unes et les autres, peuvent s'écrire

(i4) \ 1 = a'»-ï— 6'«-i-hc'«-i — ...,

Le nombre des inconnues a, 6, c,'. . . est — > ou bien — ; — (plus la racine o). En même temps,

i = m, m — 2, m — 4> ••• cl n = m ou m-hi.

11 est entendu que celle des équations (i4) qui correspond à c/=: o doit être remplacée par la suivante

On trouve ainsi, par exemple,

m = 'i (i = *i ... «=}, \ — a^=lCi,

'^ = 3 l t = 3 ... aî = i, a* — t = C3, /i = 3 ou 4 {

i f = I /iV :^ 1 /ï2 1 — 1/1.

de sorte que les limites intercalaires et les coefficienls c/ deviennent, pour w = 3,

Limites. Coefficients c.

Co = — 1.1748

^^3;±(^) et o c,=: 4-0,4142

Cz — -HO, 5

— [-) et o C3 = — 0,25.

On a ensuite, par exemple, pour £ = 2,

7,^i=( fdx— I fdx-\- f fdx,

oïl les intégrales devront être évaluées par quadratures mécaniques. Pour m = 4? 5, 6, . . . , on trouve de même

'^~"* /4rr=2...a— ^> =«5—65= 1, «3 — ^>3 = 1 5 c„

/i = 4 OU 5 \ îi 24

i = o ... «3 ^3 — ^5 — b^— -y a —b = Cn,

AI = 50U6 / t = 3 ... a2--^>î=rt6^6= 1, «4 Ô4= 1±^

t=i ... a*— 6*=a6— ^>6= 1, a2-62=li-^,

1 = 6 ... a — 6 H- c = a3 — ^>3 ^ c3 = a5 — ^5 +. cs = I , m = 6 ) ^'

/i = 6 OU 7 i ^' ~ ^' "^ "'^ = 2 "" 4 "'fi'

38. La résolution de ces équations n'offre aucune difficulté sérieuse.

Dans le cas particulier de i^ m, ainsi que l'a remarqué M. Tchébychef, les valeurs des constantes peuvent s'obtenir d'une manière explicite. Les conditions sont ici

On y satisfait en posant

a = cos » «> = cos > c = cos

m -4- 1 wn- 1 m -h I

Cela résulte des relations

iir 2*^ , /iir î

cos cos h. . .dt cos = - , 2AI-+-I 2/H-l 2AH-I 2

I cos— — cos — -t-... ni cos ir = - in -,

\ n n Al 2 2

comme on le vérifie aisément.

Les formules (3) et (i 3) montrent que, pour 1 = m, nous avons

On trouve ensuite

*^* — T7r~T~T ' *'2/*-Hi —