OOU I
Coefficients.
Co=a
4ou 5. .
I ou 2. . . Ci = — I
20U 3. . . Cj = -f-o,5
Co = — 1,1748
3ou4... C3 = — 0,25
Cl = -f-0,4l42I
Cj = — , 1 5 1 39 Co = -+-0,83443
Cl =—0,22777
C2 = -ho,o6653 Co = — 0,64758
7 ou 8... C7 = — 0,01 562
5 5ou 6. .
±0,70711 eto
±0,84090 eto
=t 0,89945 ±0,55589 eto
±0,91681 ±0,67411 eto
±0,91975 ±0,66389 — OîM4i4
±0,92388 ±0,70711 ±0,38268 eto
et o
Pour mieux faire saisir l'esprit de la méthode, transcrivons ici les formules finales pour /i = 3.
— i,i748Ao= / fdx— j fdx-^- I fdx\ «=0,7937,
o,4i42Ai= / fdx — I fdx -h j fdx — / fdx; « = 0,8409, jAj= / fdx— j fdx -h j fdx; a = o,5,
X» — rt >^0 x,rt ^1
— {^3= 1 fdx — / fdx-^- I fdx— I fdx; « = 0,7071,
Les intégrales s'obtiennent par quadratures mécaniques, à l'aide des valeurs données de y, que l'on suppose nombreuses et rapprochées entre elles. Il faut, bien entendu, commencer par ramener à dz I les limites Xq, x,i de l'argument donné x, en posant
/o\ Xw -f- Xo , X„ — \q
40. On pourrait aussi établir des formules analogues en prenant m^n. Ainsi, pour /i = 2, /n = 4? on aurait les limites di a, ±: 6, avec les conditions
la meilleure valeur de c^ s'obtiendrait pour « = -f- j, 6 = — |, à savoir Co == |. On trouverait alors
Mais cela revient à introduire encore des facteurs numériques qui multiplient les intégrales, et ce serait déjà une extension du problème. Il est vrai que la relation
|A2= r fdx — ^ r*fdx-\' Ç fdx
ne serait guère moins simple que celle-ci
^As = / fdx — 1 fdx-\- j fdx.
41. M. Tchébychef a fait l'application de ses formules à un exemple numérique, emprunté aux recherches de Kopp sur la densité de l'eau. M. Backlund a traité, à son tour, quelques exemples de nature à intéresser les astronomes (réduction d'observations spectrales, comparaison de deux Catalogues, distances mesurées d'un couple).
L'évaluation des intégrales qui entrent dans ces formules peut
élre abrégée par remploi d*un procédé graphique; on peut aussi commencer par régulariser les données d^observalion en formant des « lieux normaux » de même poids. M. Tchébvchef a d^ailleurs donné une formule très simple pour le calcul approximatif des intégrales, qui se déduit de la formule des trapèzes, et que Ton peut, avec M. Backlund, ramener à cette dernière par Tintroduclion des valeurs de f{x) qui correspondent aux limites intercalaires. Supposons que la limite a tombe entre les valeurs Xj, x^ de l'argument pour lesquelles on connaisse y^^ /"<, on fera simplement
Xj^ — Xi
On aura ensuite, par la formule des trapèzes, en supposant ^4,^:5, . . . , X9 compris entre a et 6,
5^4 — a ^ Xi — a ^ Ta — .r^ 3^9 — a??
— Ja -' /* H /* ■+" — "J /«
ÎA 2 2 2
(xi — a)*/»— ^^a — «)*A . Xi—^t ^ , ^« — X* ^ .
42. Un des inconvénients de cette méthode, c'est qu'il faut fixer d'avance le degré de la formule d'interpolation, et recommencer tous les calculs, si le résultat n'est pas satisfaisant. M. Tchébychef a cherché à remédier à ce défaut par sa seconde méthode, fondée sur la formule
(M) /(^) = oo^o-*- ajOiH-. . .H- a«6rt,
où 9o> ^M • • • sont des polynômes donnés de la forme
(25) 0/= ^x^-h^xf-^-h...,
tandis que les coefficients ao, ai, ... se déduisent des valeurs données de /en faisant
= f/{x)dx,
*J En.
les limites intercalaires étant ici exclusivement celles fournies par les formules (i6), de sorte que
D'après ce qui a été dit, ces limites vérifient les conditions
V-*// ''0 — "> ^1 — ^' •••> *'//i-l — "» *'//t+l — "> ^/«+3 — "> •••1 OÙ
On peut déterminer les Q de plusieurs manières. Remarquons d'abord qu'en substituant l'expression (24) dans (26), on doit trouver une identité, d'où il suit que
/ 0,;, rfiF = I ,
f l ^idx =0 pour / = o, I , . . . , m — i , m -h i . . . w.
Si 9/ a la forme (25), ces conditions sont déjà remplies pour / = o, I, . . ., m. — I, m -4- I, m + 3, . . ., à cause de (2^); il ne reste donc que les conditions relatives à /=m, m +2, m + 4, •••, qui suffisent pour déterminer les coefficients de 6/, puisque
On aurait, en faisant successivement m = l^ l — 2, / — 4? • • • >
I = Pc/',
les coefficients c^"'' étant donnés par les formules (19). On trouve ainsi
Oo=-j, Oi=— a:, 02=7.37*— 5, 0»= — 4a73-h9.iP,
11 est d'ailleurs visible que la forme (25), adoptée pour 8/, est exigée par les conditions (28), qui montrent que 8/ est nécessairement une fonction paire ou impaire, de degré /.
43. Nous allons maintenant déterminer les polynômes d*une manière plus directe. Il convient, pour cela, de poser
(3o) f f{x)dx = ¥{x)
d'où
tn
Nous ferons en même temps
de sorte que (24) devient
{2F(a7) = aoXj — ^aiX2-h^a2X3 — . .., 2F(^)=X,[F]-iX2[F]-hiX3[F]-....
En désignant par z une quantité arbitraire, et prenant
on aurait donc
\z — x\ yz — x\ 1 \^z — x\
Or, d'après ce que nous avons vu, par les formules (6), (7), on a (pour iz= m)
\z — xj z-hi z — ai 2 — «j s — I
(m + i)ci,?' , (m + 3)cai .
Il s'ensuit que {m -f- i)c5^' représente le numérateur de la fraction
> et qu'on aura
z — xj ^
(m -hi)c
Or
7C aTT
et les racines a», ao, . . . sont cos > cos ? • • • • En faisant
5 = cosJ^, et nous rappelant que
sin/iÇ = 2«-isinu cosÇ — cos— j( cosÇ — cos-^ )•••( cosÇ — cos ir j,
il vient
r I 1 (-iV/«-^i.9.(m-4-!) ^ ^ „jL>5 — x\ sinÇ.sin(m -h i)Ç
Si l'on fait encore 2>3 = ^ ~h tj» on trouve et, par suite,
En substituant cette expression dans (.^3), et mettant m pour m 4- 1 , on trouve
ou bien
Si Ton fait x = cos^^, cette relation devient
d'où l'on lire, en différentiant,
(39) 2(- 0- ^P"!r^ = - Smp- ^iîV^,
V î^/ V / I — pa/'* ^ .281117
puisque
I /fX,„4 i
-Bill en résulte les valeurs suivantes des X :
Xi = COSJ^, X2 = C0S2^ -4-1,
X3 =cos3j^ — cos^, X4 = cos4j^ — I,
X5 = cos5^ — cosj^, Xe = cos6j^ — cos2^,
X7 = cos7^ — cos^, Xg = cosSy — i,
Xg. = cos9^ — cos3^, Xio = cosio^ — cosa^,
Xii = cos I ly — cos^, X12 = cos 12^ — cos4j^,
Xi3 = cos l3jK — COS^, Xi4 = cos l^y — C0S2J^,
Xi5 = cosi5j^ — cos5jK — cos3^ ■+• cos/, Xie = cosi6y — i.
On aurait également
. ^ sin 2 V
smy
-. sin3v i f. sin4r
sin^ 3 s\ny
^ sin5r i ^ sinCv i sin2y
smy 5 siïi^ 3 smy
ou bien
60=1, 61 = — cos^, G2=cos2jK + 3, 03 = — cos 3^ — cosj^, ....
Il est donc facile d'exprimer les X et les 9 en fonctions de ^ = cos y ou de Ç = 2X.
Ai. On pourrait aussi procéder comme il suit. Supposons que
Ton ait /(^) = Aq + A^ .r + . . . ; en substituant dans les coefficients oLmy on aurait
Ao-i- Aia^-h. . .= 20/ / (Ao-h Aia7-f-. . .),
par conséquent, à cause des relations (27), (40) ^'« = 0,„c^^'' + 6,„2ci;r2^-i-. . . .
Avec les valeurs (21) des coefficients c^'"^, on trouve
il' , ^ m — I- m (m — 3),,
où il faut écrire 8, au lieu de Oq, si m est impair. L'intégration donne ensuite, en mettant n pour m + i et Ç pour ix^
(42) ll^n=,Xn-\-n\n-'i-^— ^^ X;,4 + . . .+ 2«~i X, (ou a^-sXj ).
En remplaçant X| par x ou X2 par 2;r2, on trouverait, pour n impair ou pair,
Ces formules conduisent aux relations suivantes :
-Xs
-4-5Xa+i6X,
ir
= 8oi
J^ = Xv + 4X,
||8 = X« + 6X4+i6Xj
f$» = Xs + 8X6 + 28X4 + 64X1
d'où l'on tire encore
aX, =$«,
aX, =? ($'-4),
2X, =? ($î 4)(Çî,),
aX, =^«(^i 4)(5î-2)S
2Xn = î ($*-4)($»-3)(?«-i)(^-3$«
En développant, on aurait
-«Xe
^Xh
